3.2.1指数概念的扩充
北师大版必修1数学教学练习课件第三章指数函数和对数函数第二节指数扩充及其运算性质
第三章 指数函数和对数函数
〔跟踪练习 4〕 (1)设|x|<3，化简 x2－2x＋1－ x2＋6x＋9； (2)如果 m<－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋ m2＋10m＋25； (3)已知 y＝ 3x－2＋ 2－3x＋ 26，求实数 x 及 y 的值．
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
返回导航
A．－1
B．14
C．12 [解析]
因为 f(－2)＝2－2＝14，
D．32
数 学 必
所以 f[f(－2)]＝f(14)＝1－ 14＝1－12＝12，故答案选 C．
修
①
北 师 大A 版
返回导航
第三章 指数函数和对数函数
3．若 b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则 b＝_5_－__3m_n___.
[解析] 若 bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则 b＝amn ，所以由 b－3n＝5m 知 b
数 学
3x－2≥0 2－3x≥0
，解得xx≥≤2323
.
必
修 ① 北
∴x＝23，从而 y＝ 26.
师
大A
版
返回导航
第三章 指数函数和对数函数
空间
典例 5 已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10，
∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18.解得 x＝10.
数
∴原方程可化为(8－x)－(10－x)＝2x－18，解得 x x 的取值范围为 8≤x≤10.
北 师 大A 版
返回导航
·
第三章 指数函数和对数函数
『规律总结』 熟练掌握指数运算的性质及公式，是正确、迅速地化简、 求值的条件．
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 第2节 指数扩充及其运算性质(第1课时)基础知识素材 北师大版必修1
2．1 指数概念的扩充1．了解整数指数幂的概念．2．理解分数指数幂的概念，掌握分数指数形式与根式形式的互化． 3．了解无理数指数幂和实数指数幂的概念．1．整数指数幂 a n＝(n ∈N ＋)，a 0＝____(a ≠0)，a －n ＝____(a ≠0，n ∈N ＋)．【做一做1－1】 π0等于( )．A ．0B ．πC ．1D ．2π【做一做1－2】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝__________.2．分数指数幂(1)定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在____的正实数b ，使得b n＝____，那么b 叫作a 的m n次幂，记作b ＝____.它就是分数指数幂．分数指数幂m na 不是m n个a 相乘，实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解．(2)写成根式形式：m na ＝____，1m nm naa-=＝____(其中a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．(3)结论：0的正分数指数幂等于_________，0的负分数指数幂________． 【做一做2－1】 323等于( )．A. 2B.33 C.327 D.27【做一做2－2】 5a －2等于( )． A ．25a- B ．52a C ．25a D ．52a -3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的____．指数的扩充过程：(1)规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．(2)规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂． 【做一做3】 计算：(1)1327-；(2)126449-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)212-⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：1．11na 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 162．(1)唯一 a mm na (2)na m1na m(3)0 没有意义【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 A 3．实数【做一做3】 (1)13 (2)78(3)221．为什么分数指数幂的定义中规定b 为正实数？剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.2．为什么分数指数幂的定义中规定整数m ，n 互素？剖析：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：13a 中，底数a ∈R, 当a ＜0时，13a ＜0，而如果把13a 写成26a ，有两种运算：一是26a ＝126()a 就必须a ≥0；二是26a＝126()a ，在a ＜0时，26a 的结果大于0，与13a ＜0相矛盾．所以规定整数m ，n 互素．题型一 用分数指数幂表示正实数【例1】 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．反思：将b k＝d 中正实数b 写成分数指数幂的形式时，主要依据分数指数幂的意义：b n ＝amb ＝a m n(m ，n ∈N ＋，b ＞0)．题型二用分数指数幂表示根式【例2】用分数指数幂表示下列各式：(1)3x2；(2)13a；(3)4a－b3；(4)3m2＋n2.反思：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式：a mn＝na m(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．题型三求指数幂a mn的值【例3】计算：(1)6412-；(2)238；(3)13125-.分析：将分数指数幂化为根式，再求值．反思：分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式时，用熟悉的知识去理解新概念是关键．题型四易错辨析易错点忽略n的范围导致化简na n时出错【例4】化简：31＋23＋41－24.错解：原式＝(1＋2)＋(1－2)＝2.错因分析：错解中忽略了1－2＜0的事实，应当是41－24＝2－1. 答案：【例1】解：(1)b＝134.(2)b＝125-.(3)b＝33nm.【例2】解：(1)3x2＝23x.(2)13a＝131a＝13a-.(3)4a－b3＝34()a b-.(4)3m2＋n2＝1223()m n+.【例3】解：(1)12164864-==.(2)2323388644==.(3)13125-＝13125＝15.【例4】正解：原式＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.1 122写成根式形式是( )．2若b 4＝3(b ＞0)，则b 等于( )．A ．34B ．143 C ．43 D ．353 230-等于( )．A ．0B ．1C ．23- D ．没有意义4 把下列各式中的正实数x 写成根式的形式：(1)x 2＝3；(2)x 7＝53；(3)x －2＝d 9.5 求值：(1)10012；(2)329-；(3)34181-⎛⎫⎪⎝⎭.答案：1．A 2.B 3.D4．解：(1)x＝123=x＝375=(3)x＝92921dd-=.5．解：(1)∵102＝100，∴12100＝10.(2)∵231927-⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴321927-=.(3)∵274＝3181-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴34181-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝27.。
北师大版数学必修1课件：3.2.1指数概念的扩充
指数扩充及其运算性质
2.1 指数概念的扩充
1.理解分数指数幂的概念;(重点） 2.掌握分数指数幂和根式之间的互化；（难点）
3.培养学生观察、分析、抽象概括的能力，渗透转化
的数学思想.
细胞分裂中的正整数指数幂
你还记得如下性质吗?
a 1 (a 0)
0
a
n
1 (a 0) n a
a a a
1.414
25.118 864 31… 25.703 957 82…
25.941 793 62…
25.953 743 00… 25.954 340 62…
…
1.414 2 1.414 21
…
1.414
10 ,10 ,10
1.4
1.41
,10
1.4142
,10
1.41421
,...
10 10
1.4
m n
mn
(a ) a mn
m n
a b
n
a n bn
上述运算性质的范围？ 不一定是整数
如臭氧含量 Q 与时间 t 存 在指数关系，当 t 是半年 时，或 15 年零 3 个月时， 即指数是分数时情况 又会怎么样？
分数指数幂
给定正实数 a ，对于任意给定的整数 m, n （ m, n 互素） ，存在唯一的正实数 b ，
1.41
10
1.414
10
1.4142 1.42
... 10 10
1.5
2
... 10
1.4143
10
1.415
10
10 是一个实数
2
1 1和 a
高中数学 第三章 指数概念的扩充教案 北师大版必修1
第三章指数函数与对数函数§1正整数指数函数一. 教学目标：1．知识与技能（1）理解正整数指数函数的概念和意义；（2）理解和掌握正整数指数函数的图象和性质；（3）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．情感、态度、价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.§2.1指数概念的扩充一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解教学过程：一、复习1.零指数、负整数指数的概念，以及它们之间的关系.2.浓缩后的3条法则是什么？怎样浓缩好？二、新课引入与讲解在初中已学过，若是大于1的整数，是的整数倍，那么若不是的整数倍，那么上式中右端的就是一个分数了(引入自然，合理)例如，当＝2，＝3时，，显然不能用正整数指数幂来解释,所以必须对的分数指数幂重新定义，为此规定，在不是的整数倍时也适用，自然应把看成是根式的另一种记法，对于底为什么要使，须回忆应分几种情况：1.零指数与负整数的底均不能为零.2.正分数指数幂，当指数的分子，分母互质时，分母为奇数，底数可以为任意实数；分母为偶数时底数为非负实数.3.负分数指数幂，当指数的分子与分母互质时，分母为奇数、底数不能为零，分母为偶数，底数为正实数.总之，当正实数为底时，指数可为任意实数.以上这几点均可举例说明.关于运算法则仍然成立，可以通过特殊值加以验证，克服心理障碍.假如，设＝，＝验证第一条∵ ，∴成立.它不仅让学生从心理上承认在指数概念推广后，运算法则仍然有效，同时也能启发学生在解繁杂根式运算时，用幂的运算法则更为简便.当时，(、∈，且为既约分数)；(、∈且为既约分数). 这样当指数推广到分数指数幂以后当，为有理数时，表示一个确定的实数.当，为无理数时，是否还表示一个确定的实数？答案是肯定的，它是在的以值不足近似值为指数的所有幂与以的以的过剩近似值为指数的所有的幂中间的一个实数，这样就使中的可取一切实数了.为学习指数函数做好了必要准备.由此得可以验证与证明；；，其中，，、为任意实数.三、课堂练习(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)利用计算器计算(精确到0.001)①；②；③.(请同学按课本上的方式按键计算，如学生手中的计算器按键方式不同，教师需给予辅导).课堂小结：。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案一、教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的应用。
2. 掌握指数的运算规则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方与积的乘方。
3. 能够运用指数的概念解决实际问题，提高数学思维能力。
二、教学内容1. 指数的概念：引入指数的概念，解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
2. 同底数幂的乘法：讲解同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加，如2^3 2^2 = 2^(3+2)。
3. 同底数幂的除法：讲解同底数幂相除的规则，即底数不变，指数相减，如2^3 / 2^2 = 2^(3-2)。
4. 幂的乘方：讲解幂的乘方的规则，即指数相乘，如(2^3)^2 = 2^(32)。
5. 积的乘方：讲解积的乘方的规则，即先乘后指数，如(23)^2 = 2^2 3^2。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考实际问题，激发学生对指数概念的兴趣。
2. 使用多媒体课件，通过动画和示例，直观地展示指数的运算规则。
3. 组织学生进行小组讨论和互动，鼓励学生分享自己的理解和解题方法。
4. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固指数的概念和运算规则。
四、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对指数概念的理解程度。
2. 练习题：布置相关的练习题，检查学生对指数运算规则的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生的合作能力和思维过程。
五、教学资源1. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，展示指数的概念和运算规则。
2. 练习题：准备相关的练习题，包括基础题和拓展题，以供学生练习。
3. 小组讨论材料：提供一些实际问题，供学生进行小组讨论和分享。
六、教学活动1. 引入指数的概念：通过展示实际问题，如人口增长、利息计算等，引导学生思考指数的概念。
2. 讲解指数的表示方法：解释指数的表示方法，如2^3表示2的3次方。
3. 演示同底数幂的乘法：通过动画和示例，展示同底数幂相乘的规则，即底数不变，指数相加。
指数概念的扩充学案
指数概念的扩充 学案学习目标1、 理解分数指数幂的概念，了解实数指数幂的意义 2 、掌握分数指数幂与根式的互化学习重难点 分数指数幂 ; 无限逼近的思想 学习过程一、复习导入：初中时我们已学习了整数指数幂：(1)a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅=（n 个a 相乘,*N n ∈）； (2)10=a ,)0(≠a ;(3)n n aa 1=- ),0(*N n a ∈≠问题1： 在许多实际问题中，指数不一定都是整数．例如3327=,若已知3a 27=,你能表示出a 吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为13a 273==定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m 、n （m 、n 互素），存在唯一的正实数b ，使得m n a b =，则b 叫___________幂，记作_______，它就是_____指数幂例如：32b 7=,则________； 53x 3=,则_______________说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式（a >0,1,,>∈+n N n m 且） （1）=nm a __________；（2）nm a-=___________例如：=2125_______ ; =3227_______3 0的正分数指数幂等于____________；0的负分数指数幂____________4 思考并阅读教材第65至66页：指数的概念从整数推广到有理数指数，那么，指数还可扩充为任意的无理数吗？指数可以为任意实数吗？ 四 例题讲解例1．把下列各式中的b )0(>b 写成正分数指数幂的形式：()5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈练习1：把下列各式中的)0(>x x 写成正分数指数幂的形式： )1(5x 64=； （2）2n 3x 45(n N )+=∈例2：计算：（1）1327；（2）324练习：计算（1）1532； （2）2327； （3）1202)23()32()17(3--+--+例3: 将下列各式中的根式化为指数幂（1）55y x ; (2)352; (3)59)(b a -;(4)42)(b a -想一想：方程9131=-x 的解是__________ 及时演练：1、求值：（1）238= ；（2）12100-= ； （3）31()4-= ；（4）3416()81-= 。
指数性质及运算知识分享
指数性质及运算高一数学衔接教学一 指数性质及运算知识要点:1．指数概念的扩充当n ∈N 时，43421Λan n a a a a 个⋅⋅⋅= 当n ∈Q 时，⑴零指数 a 0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a –n =n 1a(a≠0)； ⑶分数指数n m a= (a>0，m 、n 为正整数)① 根式如果有x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数． 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，用符号3=–2．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数． 用符号”2负数没有偶次方根． =0表示．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．根据n 次方根的意义，可得n =a ．例如2=5，3= –2a ．当n ，例如3= –2．但当n 为偶数时，如果a 是非负数，则=a ，例如4=3，但如果a–a–(–3)=3．这就是说，当n ；当n 为偶数时， {a (a 0)a a (a 0)≥==-<② 分数指数幂当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被根指数整除一样写成分数指数幂的形式．例如23a =，54b =．我们规定正数的正分数指数幂的意义是mn a =，m ，n ∈N ，且n>1)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定nm nm a a1=- (a>0，m ，n ∈N ，且n>1) 注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则⑴a m ⋅a n =a m+n (m ，n ∈Z);⑵(a m )n =a m ⋅n (m ，n ∈Z); ⑶(ab)n =a n b n (n ∈Z)． 注:因为a m ÷a n 可以看作a m ⋅a –n ，所以a m ÷a n =a m –n 可以归入性质⑴．例题分析：例1．求下列各式的值； ． 解: ⑴33)8(-= –8； ⑵2)10(-=|–10|=10； ⑶44)3(π-=|3–π|=π–3； ⑷2)(b a -=|a –b |=b –a (a <b )．例2．求下列各式的值：328，21100-，43)8116(- 解: 422)2(8233323232====⨯；101)10(110011002121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----．例3．计算下列各式 ⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ．解: ⑴a ab b a b a b a b a 444)3()6)(2(0653121612132656131212132===-÷--+-+； ⑵3232888)()()(83418341q p q p q p q p ===---．例4．计算下列各式⑴107532a a a a ⋅⋅； ⑵435)1255(÷-； ⑶332)(xy xy ．解: ⑴571072153107215322107532a a a a a aa a a a ==⋅⋅=⋅⋅--+； ⑵451214123413141233155555)55(5)1255(43-=-=÷-=÷---； ⑶676531272523232121)()()(32332332y x y x y x xy y x xy xy xy ==⋅==． 习题：1．求下列各式的值: ⑴44100； ⑵55)1.0(-； ⑶2)4(-π； ⑷66)(y x - (y>x)．2．求下列各式的值：⑴21121； ⑵21)4964(-； ⑶4310000-； ⑷32)27125(-．3．计算 ⑴1274331a a a ⋅⋅；⑵654332a a a ÷⋅； ⑶12)(4331-y x ； ⑷)32(431313132----÷b a b a ； ⑸23)2516(462--r t s ； ⑹)4)(3)(2(324132213141y x y x y x ----；⑺)6()3(43221314141----÷-y x y x x ；⑻)32)(32(41214121---+y x y x ．4．计算 ⑴313132)271(343)21(1252---++； ⑵313221125.0)27102()6.5()94(0--+--+；⑶4025.05.12)22(])0081.0[(16)4(324334------+；⑷310)1()21(125.0)833()3()416(323221---+-------；⑸2121212121212121b a b a b a b a-+++-； ⑹(a 2–2+a –2)÷(a 2–a –2)．5．已知a 2x =2+1，求x x x x aa a a--++33的值． ．6．求下面等式中的x 的值2111113131313132111-=---+++++---------x x x x x x x x ．．。
3.2指数扩充及其运算性质3.2.2指数运算的性质教案2北师大版必修1
指数运算的性质一、教学目标：1、知识与技能： 能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．2、 过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点: 无理指数幂的确定以及运算．教学难点：无限逼近的思想． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四 、教学过程 （一）、新课导入复习:分数指数幂以及分数指数幂的运算．练习:1．计算:4310000),1(-; 32)27125(),2(- ; 23)4936(),3( 2．。
c b a c b a 的值求已知+-===2310,510,310,2103．．计算:（1）211111336622(2a b )(6a b )(3a b )-÷- （2）31884(x y )-4．已知42121=+-aa ,求下列各式的值（1）1-+a a （2）22-+a a若a 0,>α是一个无理数,a α表示一个确定的实数,这样就可以将有理指数幂扩充到实数指数幂．（二）新知探究请同学们阅读课本,无理数2=1．414 213 562 373 095 048 801 688 724 210…的不足近似值和过剩近似值,得到的近似值,应该是个确定的实数．类似地,11(,(102π等都是确定的实数,对于任意的实数α,都有111,a (a 0)aα-αα==> 根据无理数的逼近过程,可以看出无理指数幂也是一个确定的实数,请你举出几个实数指数幂的例子．说明:（1）0的正无理指数幂等于0,0的负无理数指数幂没有意义． （2）实数指数幂同样适用以下运算性质：a a αβ=a α+β ;(a )αβ=a αβ ; (ab)α=ab αα（其中a 0,b 0,,>>αβ为实数）．（3）实数指数幂满足性质：若a 0,>α是实数,则a α>0． （4）在这里我们只讨论底数大于0的实数指数幂．（5）对于每一个实数α,我们都定义了一个实数指数幂a (a 0)α>与它对应,这样可以把有理指数函数扩展到实数指数函数,称为指数函数． （三）、例题探析例1、化简（式子中的字母都是正实数）（1）;（2）1(x y)(4y )α-αα解: （1）36yz =⨯=;（2）11(x y)(4y )4xy 4x ⋅αα-αα-ααα==例2、已知103,104αβ==,求10α+β,10α-β,210-α,510β解:因为103,104αβ==,所以1010103412α+βαβ=⋅=⨯=;103101010104αα-βα-ββ=⋅==;222110(10)39-αα--===;1155510(10)4ββ==．练习:课本1,2,3（四）小结: 1．正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂→实数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数→指数函数； 3．实数指数幂的运算法则．（五）、作业:习题3-2 A 组1,7,8 B 组1-5 五、教学反思：。
指数概念的扩充
【自学目标】1.掌握正整数指数幂的概念和性质；2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】1．方根的概念若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。
这时a的正的n次实数方根用符号。
注意：0的n次实数方根等于0。
2．根式的概念式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质（1）；（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，【预习自测】例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根；⑵ 27的三次方根；⑶－32的五次方根；⑷的三次方根．例2．求下列各式的值：⑴；⑵；例3．化简下列各式：⑴；⑵；⑶；例4．化简下列各式：⑴；⑵。
【课堂练习】1．填空：⑴0的七次方根；⑵的四次方根。
2．化简：⑴；⑵；⑶；⑷。
3．计算：【归纳反思】1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
【巩固提高】1．的值为（）2．下列结论中，正确的命题的个数是（）①当a<0时，；②；③函数的定义域为；④若与相同。
3．化简的结果是( )4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（）5．当8<x<10时，。
6．若，则 = 。
7．若有意义，则x∈8．计算的值9．若，用a表示10．求使等式成立的实数a的取值范围。
精 品 教 学 设 计3.2.1指数扩充及其运算性质第一课时
精 品 教 学 设 计§2指数扩充及其运算性质教学目的：1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.3.会对根式、分数指数幂进行互化.4．培养学生用联系观点看问题.教学重点：1.分数指数幂的概念.2.分数指数幂的运算性质.3.根式的概念及性质.教学难点：1. 对分数指数幂概念的理解；2. 根式性质的应用.授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：教材分析：本节在正整数指数概念的基础上将指数概念扩充到有理指数幂. 在分数指数幂概念之后，进一步说明“若a ＞0， p 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数”为学习指数函数做准备在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.教学过程：（第一课时） 一、复习引入： 整数指数幂的概念*)(N n a a a a a an n ∈⋅⋅=个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a a n n ∈≠=-二、讲解新课：1.正数的正分数指数幂的意义：给定正实数a,对于任意给定的整数m,n(m,n 互素)，存在唯一的正实数b,使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂，记作m n b a =.它就是分数指数幂.例如1 把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式：5(1)32;b = 45(2)3;b = 53(3)(,).n m b m n N π-+=∈2 计算：13(1)27; 32(2)4; 13(3)8.- 2.规定：(1)正分数指数与根式：n m nma a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) (2)负分数指数的意义： n mn maa 1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1) (3) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.3.根式的概念及性质:（1）回顾平方根，立方根有关概念;（2）定义：一般地，若*),1(N n n a x n ∈>=， 则x 叫做a 的n 次方根. n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数指出：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：n a x ±= ③负数没有偶次方根，④ 0的任何次方根为0（3）运算= = （4）性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n na =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 4.阅读理解: a ＞0，p 是一个无理数时，p a 的值就可以用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数列无限逼近而得到(这个近似结果的极限值就等于p a )，故p a 是一个确定的实数.而且有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂也适用.这样指数的概念就扩充到了整个实数范围.（课本P65）三、讲解例题：例1求值：2(1);(2)3(3);(4). 解：（１）５；（２）２；（３）－２；（４） 3.π-例2判断下列各式正确与否：0(1)(12cos60)1;()(2)()(3)8;()(4)0;()(5)()-===->= 解：(1)错误；（2）错误；（3）错误；（4）错误；（5）正确. 例3 （1）化简：1009922;-（2解：(1)原式=99992(21)2;-=53(2)0.5 3.522+-=原式. 四、练习：五、小结：本节课学习了以下内容：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，根式的运算及性质.六、课后作业：。
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生了解指数概念扩充的必要性。
让学生理解指数概念扩充的基本思路。
1.2 教学内容：回顾指数的基本概念和性质。
引出指数概念扩充的原因和意义。
1.3 教学步骤：1. 复习指数的基本概念和性质，例如：指数的定义、指数的运算规则等。
2. 提出问题，引导学生思考指数概念扩充的必要性。
3. 通过实例展示指数概念扩充的意义和应用。
1.4 练习题：1. 解释为什么需要扩充指数概念。
2. 简述指数概念扩充的基本思路。
第二章：指数的扩充定义与性质2.1 教学目标：让学生掌握指数的扩充定义。
让学生熟悉指数扩充后的性质。
2.2 教学内容：介绍指数的扩充定义。
讲解指数扩充后的性质。
2.3 教学步骤：1. 引入指数扩充的定义，解释指数扩充的概念。
2. 通过示例演示指数扩充的运算规则。
3. 引导学生发现指数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
2.4 练习题：1. 请给出指数扩充的定义。
第三章：指数函数的扩充3.1 教学目标：让学生了解指数函数的扩充概念。
让学生掌握指数函数扩充后的性质。
3.2 教学内容：介绍指数函数的扩充概念。
讲解指数函数扩充后的性质。
3.3 教学步骤：1. 引入指数函数扩充的概念，解释指数函数扩充的意义。
2. 展示指数函数扩充后的性质，如：单调性、奇偶性等。
3. 通过实例演示指数函数扩充的应用。
3.4 练习题：1. 解释什么是指数函数的扩充。
第四章：指数方程的扩充4.1 教学目标：让学生了解指数方程的扩充概念。
让学生掌握指数方程扩充后的解法。
4.2 教学内容：介绍指数方程的扩充概念。
讲解指数方程扩充后的解法。
4.3 教学步骤：1. 引入指数方程扩充的概念，解释指数方程扩充的意义。
2. 展示指数方程扩充后的解法，如：代入法、消元法等。
3. 通过实例演示指数方程扩充的应用。
4.4 练习题：1. 解释什么是指数方程的扩充。
第五章：指数不等式的扩充5.1 教学目标：让学生了解指数不等式的扩充概念。
人教版高中数学必修第一册3.2指数扩充及其运算性质
答案 因为指数已扩充为实数，故有aamn＝am·a－n＝am－n. 既不必再区分 m、n 的大小，也不必区分 am·an 和aamn了.
一般地，当a>0，b>0时，有：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)n＝anbn.其中m，n∈R.
答案
知识点二 实数指数幂的化简
思考
第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算性质
学习目标
1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 2.理解实数指数幂的运算性质； 3.能用实数指数幂运算性质化简、求值.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 实数指数幂的运算性质
思考1 在实数指数幂ax中，为什么要规定a>0?
方法二 因为ab＝ba，b＝9a， 所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a， 所以 a9＝9a，a8＝9，a＝4 3.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 3 已知 67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值.
3
4
解 由67x＝33，得 67 3x , 603y＝81得 603 3 y ,
类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化
例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：
(1)a2· a；
解
a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
(2)a3·3 a2；
解
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3;
(3) a a；
指数概念的扩充数学教案
指数概念的扩充数学教案第一章：指数概念的引入1.1 教学目标1. 理解指数的概念及其在数学中的重要性。
2. 掌握指数的基本性质和运算规则。
3. 能够应用指数概念解决实际问题。
1.2 教学内容1. 指数的概念：正整数幂的定义，指数的表示方法。
2. 指数的基本性质：指数的乘法规则，指数的除法规则，指数的乘方规则。
3. 指数的运算：同底数幂的加法，同底数幂的减法，幂的乘法，幂的除法。
4. 应用指数概念解决实际问题：计算利息，复合增长，指数函数模型。
1.3 教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，让学生主动发现指数的基本性质和运算规则。
2. 利用数学软件或图形计算器，进行指数运算的演示和验证，增强学生对指数概念的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数概念解决问题，培养学生的应用能力。
1.4 教学评估1. 课堂练习：布置一些基础的指数运算题目，检查学生对指数概念的理解和运算能力。
2. 课后作业：设计一些应用性的题目，让学生独立完成，评估学生对指数概念的应用能力。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决一个复杂的指数问题，评估学生的合作和沟通能力。
第二章：指数函数的性质2.1 教学目标1. 理解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像和特点。
3. 能够应用指数函数解决实际问题。
2.2 教学内容1. 指数函数的定义：指数函数的表示方法，指数函数的定义域和值域。
2. 指数函数的性质：指数函数的单调性，指数函数的奇偶性，指数函数的周期性。
3. 指数函数的图像：指数函数的图像特点，指数函数的渐近线。
4. 应用指数函数解决实际问题：人口增长，放射性衰变，利息计算。
2.3 教学方法1. 利用数学软件或图形计算器，绘制指数函数的图像，让学生直观地感受指数函数的性质。
2. 通过具体的例子，引导学生发现指数函数的单调性和奇偶性，深化学生对指数函数性质的理解。
3. 提供实际问题情境，让学生应用指数函数解决问题，培养学生的应用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 指数扩充及其运算性质
2.1 正整数指数函数
教学目标：
1、知识与技能
⑴理解分数指数幂和根式的概念； ⑵掌握分数指数幂和根式之间的互化；
2、过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3、情感、态度与价值观
培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；让学生体验数学的简洁美和统一美。
重点难点
⑴教学重点：分数指数幂和根式概念的理解 ⑵教学难点：分数指数幂及根式概念的理解
学法指导 讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 教学方法 探究交流 ，讲练结合 教学过程：
一、复习引入：
1．初中时的整数指数幂，运算性质？
,n n
a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅
()n N +∈ 01(0)a a =≠ 00无意义
1
n n a a
-=
(0,)a n N +≠∈ 上一节中关于臭氧含量Q 与时间t 的函数关系0.9975t Q =，只讨论了
自变量是正整数的情况即
()t N +∈，如果时间t 是半年即12t =，或3年零4个月即10
3
t =，此时
自变量不是一个整数，而是分数，那么此时情况又怎样呢？ 即把整数指数幂扩充到了分数指数幂 二、有理数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算n b a =中，已知正实数a 和正整数n ，如何求b ？
例如：已知29x =，求x ？容易知道239=，即1
2
3= 已知5
32x =求x ？容易知道5
232=，即15232
=
一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数n ，存在唯一的正实数
b ，使得n b a =，我们把b 叫作a 的1
n
次幂，记作1
n b a =
问题2：在n m b a =中，已知正实数a 和正整数m ，n ，如何求b ？ 一般地，给定正实数a ，对于任意给定的正整数m ，n ，存在唯一的正
实数b ，使得n m b a =，我们把b 叫作a 的m
n
次幂，记作m
n b a =
它就是正分数指数幂
例1：①325b =我们说b 叫作5的23
次幂 ②5425x =呢？③428x =呢？ 例2：把下列各式中的b 写成正分数指数幂的形式。
①532b = ②453b = ③53n m b π=(,)m n N +∈ 例3：计算 ①13
27 ②324
正分数指数幂的根式形式：m n
a =
例4：⑴128= ⑵2327= ⑶32
4=
⑷53
27=
=
= 正数的负分数指数幂 规定：1m n
m n
a
a
-=
(0,,,1)a m n N n +>∈>且
0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂无意义
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111n
m
m
m
m
n
a a a a =⋅⋅⋅⋅ (0)a >
于是把整数指数幂扩充到了有理数指数幂
例5：把下列各式中的b 写成负分数指数幂的形式。
①532b -= ②453b -= ③23n m b π-=(,)m n N +∈ 例6：计算 ⑴13
8
-= ⑵23
27
-
= ⑶34
625= ⑷32
4
-
= ⑸
3
416()81
-=
= 三、无理数指数幂
阅读课本第65页至66页
发现类似
1(2
3π等幂都是无理数的都是实数， 即11α
=和1
a
a
α
α-= (0,)a α>是无理数
注意：指数幂aα中，a一定大于0，aα也大于0.
即把有理数指数幂扩充到了实数指数幂
小结：1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的。