(完整版)随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析
高二数学随机变量的分布列试题答案及解析1.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分);若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________.【答案】-1,0,1,2,3【解析】甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一题并回答错误,乙抢到两题并且都回答错误,此时甲得-1分,故X的所有可能取值为-1,0,1,2,3.2.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A“取出的2件产品都是二等品”的概率P(A)=0.04(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率;(2)若该批产品共10件,从中任意抽取2件;X表示取出的2件产品中二等品的件数,求X的分布列.【答案】(1) 0.2 (2) X的分布列为【解析】解:(1)设任取一件产品是二等品的概率为p,依题意有P(A)=p2=0.04,解得p1=0.2,p2=-0.2(舍去).故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2.(2)若该批产品共10件,由(1)知其二等品有10×0.2=2件,故X的可能取值为0,1,2.P(X=0)==.P(X=1)=.P(X=2)==.所以X的分布列为X0123.已知~,且,则等于( )A.B.C.D.【答案】A【解析】∵~,∴,∴,故选A【考点】本题考查了二项分布点评:熟练掌握二项分布列的期望、方差公式是解决此类问题的关键,属基础题4.一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列;(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列;(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.【答案】(1)的分布列为:01 2 345(2)的分布列为:012345(3)【解析】(1)由于~,则,所以的分布列为:(2)也就是说{前个是绿灯,第个是红灯},也就是说(5个均为绿灯),则,;所以的分布列为:012345(3)所求概率【考点】本题考查了随机变量的分布列点评:分布列的求解分三步:确定随机变量的取值有那些,求出每种取值下的随机事件的的概率,列表对应即为分布列5.设随机变量~,又,则和的值分别是()A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】因为随机变量~,所以,,所以=,=。
随机变量及其分布列习题(含解析)
一.解答题(共8小题)1.(1)100件产品中有10件次品,从中有放回地任取5件,求其中次品数ξ的分布列;(2)某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续抽取5件,求其中次品数η的分布列.2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选2人,设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的概率分布.3.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.4.甲袋中有2个黑球,4个白球,乙袋中有3个黑球,3个白球,从两袋中各取一球.(Ⅰ)求“两球颜色相同”的概率;(Ⅱ)设ξ表示所取白球的个数,求ξ的概率分布列.5.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:X−101P1﹣2q q2(1)求q的值;(2)求P(X<0),P(X<1).6.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响.(1)求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答);(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求ξ的分布列.7.袋中有3个红球,4个黑球,从袋中任取4个球.(1)求红球个数X的分布列;(2)若取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,求得分不小于6分的概率.8.从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛,用ξ表示选出的女生的人数.(1)求随机变量ξ的分布列;(2)求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率.参考答案与试题解析一.解答题(共8小题)1.(1)100件产品中有10件次品,从中有放回地任取5件,求其中次品数ξ的分布列;(2)某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续抽取5件,求其中次品数η的分布列.【解答】解:(1)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5,每次取出次品的概率为:,相当于5次独立重复实验,ξ~B(5,),P(ξ=0)==0.59059,P(ξ=1)==0.32805,P(ξ=2)==0.07329,P(ξ=3)==0.0081,P(ξ=4)==0.00045,P(ξ=5)==0.00001,∴ξ的分布列为:ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001(2)由题意知η的可能取值为0,1,2,3,4,5,且η~B(5,0.1),∴η的分布列为:η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选2人,设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的概率分布.【解答】解:(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人,送考2次的有100人,送考3次的有80人,∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为;(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中﹣人送考1次,另一人送考2次”为事件A,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次“为事件B,“这两人中﹣人送考1次,另一人送考3次”为事件C,“这两人送考次数相同”为事件D,由题意知X的所有可能取值为0,1,2,,,,所以X的分布列为:X012P3.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.【解答】解:(1)由意可知,选出的3名同学全是男生的概率为=,∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P=1﹣=.(2)根据题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列为:ξ0123P4.甲袋中有2个黑球,4个白球,乙袋中有3个黑球,3个白球,从两袋中各取一球.(Ⅰ)求“两球颜色相同”的概率;(Ⅱ)设ξ表示所取白球的个数,求ξ的概率分布列.【解答】解:(I)从甲中取出黑球的概率为,取出白球的概率为,从乙中取出黑球的概率为,取出白球的概率为,故“两球颜色相同”的概率P=.(II)由题意可得,ξ所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故ξ的分布列为:ξ012P5.设X是一个离散型随机变量,其分布列为:X−101P1﹣2q q2(1)求q的值;(2)求P(X<0),P(X<1).【解答】解:(1)依题意,得,解得或(舍去),所以.(2)由(1)得,,所以,.6.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为,且每次射击的结果互不影响.(1)求射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答);(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率(用数字作答);(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数,求ξ的分布列.【解答】解:(1)设事件该射手第i次射击,击中目标为A i,i=1,2,3,则,所以,事件射手在3次射击中,至少有两次连续击中目标可表示为,因为事件,,A1A2A3互斥,所以又事件A1,A2,A3相互独立,所以==;(2)事件射手第3次击中目标时,恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标,又各次击中目标的概率为,所以前3次中恰有两次击中目标的概率为,第四次击中目标的概率为,所以事件射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率;(3)由已知ξ的取值有3,4,5,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅,又,,,⋅⋅⋅,,所以随机变量ξ的分布列为:ξ345…n…P……7.袋中有3个红球,4个黑球,从袋中任取4个球.(1)求红球个数X的分布列;(2)若取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,求得分不小于6分的概率.【解答】解:(1)由题意可得,X可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为:X0123P(2)设得分为Y,则得分Y可以取4,5,6,7,分别对应4个黑球,3黑1红,2黑2红,1黑3红四种情况,P(Y≥6)=P(Y=6)+P(Y=7)=,故得分不小于6分的概率为.8.从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛,用ξ表示选出的女生的人数.(1)求随机变量ξ的分布列;(2)求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率.【解答】解:(1)由题意得ξ的可能取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,∴随机变量ξ的分布列为:ξ012P(2)事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为:P=P(ξ=1)+P(ξ=2)==.。
独立性检验练习含答案
§1.1 独立性检验一、基础过关1.当χ2>2.706时,就有________的把握认为“x 与y 有关系”.2.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶,则χ2≈__________.(结果保留3位小数)3.分类变量X 和Y 的列表如下,则下列说法判断正确的是________.(填序号)y 1 y 2 总计x 1 a b a +b x 2c d c +d 总计a +cb +da +b +c +d①ad -bc 越小,说明X 与Y 的关系越弱; ②ad -bc 越大,说明X 与Y 的关系越强; ③(ad -bc )2越大,说明X 与Y 的关系越强; ④(ad -bc )2越接近于0,说明X 与Y 的关系越强.4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由χ2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )算得,χ2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.8.附表:P (χ2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是________.①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”; ②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”; ③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”; ④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.5.为了研究男子的年龄与吸烟的关系,抽查了100个男子,按年龄超过和不超过40岁,吸烟量每天多于和不多于20支进行分组,如下表:年龄合计 不超过40岁 超过40岁吸烟量不多于20支/天 50 15 65 吸烟量多于20支/天10 25 35 合计6040100则有________的把握确定吸烟量与年龄有关. 二、能力提升6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些情况,具体数据如下表:专业 性别非统计专业统计专业 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关,根据表中的数据,得χ2=50×(13×20-10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2≈4.844>3.841,所以判断主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性为________.7.在2×2列联表中,若每个数据变为原来的2倍,则卡方值变为原来的________倍. 8.下列说法正确的是________.(填序号)①对事件A 与B 的检验无关,即两个事件互不影响; ②事件A 与B 关系越密切,χ2就越大;③χ2的大小是判断事件A 与B 是否相关的惟一数据; ④若判定两事件A 与B 有关,则A 发生B 一定发生.9.为研究某新药的疗效,给50名患者服用此药,跟踪调查后得下表中的数据:无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计2179100设H 0:服用此药的效果与患者的性别无关,则χ2的值约为________,从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关,这种判断出错的可能性为________.10.某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查,结果如下表所示:支持新教材支持旧教材合计 教龄在15年以上的教师122537教龄在15年以下的教师102434合计224971根据此资料,你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关?11.下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关,请说明理由;(2)若饮用干净水得病5人,不得病50人;饮用不干净水得病9人,不得病22人.按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水的卫生程度有关,并比较两种样本在反映总体时的差异.三、探究与拓展12.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:甲厂:分组[29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98)[29.98,30.02)频数126386182分组[30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14)频数9261 4乙厂:分组[29.86,29.90) [29.90,29.94) [29.94,29.98) [29.98,30.02)频数297185159分组[30.02,30.06) [30.06,30.10) [30.10,30.14)频数766218(1)分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;(2)由以上统计数据填写2×2列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.答案1.90% 2.16.373 3.③ 4.③ 5.99.9% 6.5% 7.2 8.② 9.4.882 5%10.解 由公式得χ2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=71×(12×24-25×10)237×34×22×49≈0.08.∵χ2<2.706.∴我们没有理由说教龄的长短与支持新的数学教材有关. 11.解 (1)假设:传染病与饮用水的卫生程度无关. 由公式得χ2=830×(52×218-466×94)2146×684×518×312≈54.21.因为54.21>10.828.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关. (2)依题意得2×2列联表:得病 不得病 总计 干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时,χ2=86×(5×22-50×9)255×31×14×72≈5.785.由于5.785>5.024,所以我们有97.5%的把握认为该种传染病与饮用水的卫生程度有关. 两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论,但(1)问中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性,(2)问中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性. 12.解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500×100%=72%;乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500×100%=64%. (2)甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001 000由列联表中的数据,得χ2=1 000×(360×180-320×140)2680×320×500×500≈7.353>6.635.所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.Welcome To Download !!!欢迎您的下载,资料仅供参考!。
01离散型随机变量及其分布列(检测+答案)
离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X 、Y 、ξ、η …表示.所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2, …x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2, … ,n)的概率P(X =x i )=p i ,则表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列.有时为了表达简单,1.i P ≥0,i =1,2,…,n ; 211n i i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列p =P(X =1)为成功概率.2.超几何分布列一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X =k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N M n C C P X k k m C --=== .其中m =min{M ,n},且n≤N ,M≤N ,n ,M ,N ∈N*.称分布列例1:设随机变量X A.1 B.1 C.23 D.12X ,那么X =4表示的随机试验结果是( )A .2颗都是4点B .1颗是1点,另一颗是3点C .2颗都是2点D .1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点解:X =4表示的随机试验结果是1颗1点,另1颗3点或者两颗都是2点.例3:若随机变量X 的分布列P (x =i )=i 2a(i =1、2、3),则P (x =2)= ( ) A.1 B.1 C.1 D.1 =0.3,那么n =________.2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X 个红球,则随机变量X 的概率分布解:P (X =0)=1C 25=110,P (X =1)=C 3C 2C 25=35,P (X =2)=C 3C 25=310. 1.对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点:其一,在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;其二,在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量,即存在统计规律性.(2)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.因此, 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.2.分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列,要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确,如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质,就说明计算过程中存在错误;反之,也不能说明所得分布列一定是正确的.但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法.例6:设X则q 等于 A .1 B .1±2 C .1-2 D .1+2则k 的值为 A.12B .1C .2D .3若P (ξ2<x )=1112,则实数x 的取值范围是__________.i i =1,2…. 2.P 1+P 2+…+P n =1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性,或者用来计算随机变量取某些值的概率. 例9:某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.求X 的分布列.解:X 的所有可能取值为:0,1,2,3,4,P (X =i )=C i 4C 4-i 4C 4(i =0,1,2,3,4),即例10:1个红球每次胜、负、平的概率相等.已知当这4场比赛结束后,该班胜场多于负场.(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和;解:由题意知η可取3,2,1,0即当η=3时,ξ=0.η=2时,ξ=1.η=1时,ξ=2.η=0时,ξ=3.∴η的分布列为η 3 2 1 0P 542 1021 514 121例13:第:31组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位:cm): 若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm 以下定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有1人是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是530=16,所以抽中的“高个子”有12×16=2人,“非高个子”有18×16=3人.用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”,则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”,则P (A )=1-P (A )=1-C 23C 25=1-310=710.因此,至少有1人是“高个子”的概率是710. (2)依题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,则P (ξ=0)=C 38C 312=1455,P (ξ=1)=C 14C 28C 312=2855,P (ξ=2)=C 24C 18C 312=1255,P (ξ=3)=C 34C 312=155.因此,ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P 1455 2855 1255 155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).解:(1)设甲胜A 的事件为D ,乙胜B 的事件为E ,丙胜C 的事件为F ,则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件.因为P (D )=0.6,P (E )=0.5,P (F )=0.5,由对立事件的概率公式知P (D )=0.4,P (E )=0.5,P (F )=0.5红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F ,D EF ,DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P =P (DE F )+P (D E F )+P (D EF )+P (DEF )=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此p (ξ=0)=P (DEF )=0.4×0.5×0.5=0.1,P (ξ=1)=P (DE F )+P (DEF )+P (D EF )=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,P (ξ=3)=P (DEF )=0.6×0.5×0.5=0.15.由对立事件的概率公式得 P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=0.4.所以ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E (ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.。
(必考题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(有答案解析)
一、选择题1.现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件,设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =,(20)P X =(30)P X <=,则p =( ) A .0.16B .0.2C .0.8D .0.842.已知随机变量X 的分布列则对于任意01a b c <<<<,()E X 的取值范围是( )A .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()0,1D .1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭3.假定男女出生率相等,某个家庭有两个小孩,已知该家庭至少有一个女孩,则两个小孩都是女孩的概率是( ) A .12B .13C .14D .164.随机变量ξ的分布列如表所示,若1()3E X =-,则(31)D X +=( )A .4B .5C .6D .75.设01p <<,随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时( )A .()E ξ减小,()D ξ减小B .()E ξ减小,()D ξ增大C .()E ξ增大,()D ξ减小D .()E ξ增大,()D ξ增大6.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A 为“第一次取到的是奇数”,B 为“第二次取到的是3的整数倍”,则(|)P B A =( ) A .38B .1340C .1345D .347.已知随机变量~X N ()22,σ,(0)0.84P X=,则(04)P X <<=( )A .0.16B .0.32C .0.66D .0.688.袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球,不放回地依次摸出两球,设“第一次摸得黑球”为事件A ,“摸得的两球不同色”为事件B ,则概率()|P B A 为( ) A .14B .23C .13D .129.随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==,,≤≤,则12m n+的最小值为( )A .3+B .6+C .3+D .6+10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =( ) A .14B .34C .29D .5911.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为( ) A .313B .413C .14D .1512.10张奖券中有3张是有奖的,某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下,第二次也抽到中奖券的概率是( ) A .27B .29C .310D .15二、填空题13.游乐场某游戏设备是一个圆盘,圆盘被分成红色和绿色两个区域,圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针,且指针受电子程序控制,前后两次停在相同区域的概率为14,停在不同区域的概率为34,某游客连续转动指针三次,记指针停在绿色区域的次数为X ,若开始时指针停在红色区域,则()E X =______.14.由“0,1,2”组成的三位数密码中,若用A 表示“第二位数字是2”的事件,用B 表示“第一位数字是2”的事件,则(|)P A B =__________.15.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是________. 16.下列说法中,正确的有_______.①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ,且至少过一个样本点;②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥,而()26.6350.01P K ≥≈,则有99%的把握认为两个分类变量有关系;③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关;④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a,则(5)0.81P ξ≤=,则(3)0.19P ξ≤-=.17.已知某随机变量X 的分布列如下(,p q R ∈):且X 的数学期望()12E X =,那么X 的方差()D X =__________. 18.(1)10件产品,其中3件是次品,任取2件,若ξ表示取到次品的个数,则()E ξ=_______;(2)设随机变量ξ的分布列为()P k ξ==21C ()()33k k n kn -,k =0,1,2,…,n ,且()24E ξ=,则()D ξ= _______;(3)设袋中有两个红球一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续摸三次,X 表示三次中红球被摸中的次数(每个小球被抽取的概率相同,每次抽取相互独立),则方差()D X =______.三、解答题19.已知某射手射中固定靶的概率为34,射中移动靶的概率为23,每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分,脱靶均得0分,每次射击的结果相互独立,该射手进行3次打靶射击:向固定靶射击1次,向移动靶射击2次.(1)求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率; (2)求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20.某校拟举办“成语大赛”,高一(1)班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试,在相同的测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)的茎叶图如图所示.(1)你认为选派谁参赛更好?并说明理由;(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析,设抽到的2次成绩中,90分以上的次数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .21.在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N .已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(1)此次参赛的学生总数约为多少人?(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,则设奖的分数线约为多少分? 说明:对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说,通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ,从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ. 参考数据:可供查阅的(部分)标准正态分布表()Z Φ Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.2 0.8849 0.869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985722.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数; (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X ,求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 23.为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠,并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内.独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图(以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率):(1)根据频率分布直方图,估计100只小白鼠该项医学指标平均值x (同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布()2,N μσ,且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时,则认定其体内已经产生抗体;进一步研究还发现,对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗,约有10只小白鼠又产生了抗体.这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ,2σ近似为样本方差2s .经计算得2 6.92s =,假设两次注射疫苗相互独立,求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p (精确到0.01). 附:参考数据与公式6.92 2.63≈,若()2~,X N μσ,则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=;②()220.9545P X μσμσ-<≤+=;③()330.9973P X μσμσ-<≤+=. 24.甲、乙两人进行乒乓球比赛,规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为12,各局比赛相互独立,用X 表示比赛结束时的比赛局数(1)求比赛结束时甲只获胜一局的概率; (2)求X 的分布列和数学期望.25.现有编号为1,2,3的三只小球和编号为1,2,3的三个盒子,将三只小球逐个随机地放入三个盒子中,每只球的放置相互独立. (1)求恰有一个空盒的概率;(2)求三只小球在三个不同盒子中,且每只球编号与所在盒子编号不同的概率; (3)记录所有至少有一只球的盒子,以X 表示这些盒子编号的最小值,求()E X . 26.某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况,抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查,甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图(将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组)和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示(单位:小时).(1)从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人,求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率;(2)从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况,设4人中乙班学生的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围,再由方差公式求出值.【详解】∵(20)(30)p X P X =<=,∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-,化简得1p p -<,即12p >,又()850(1)D X p p ==-,解得0.2p =或0.8p =,∴0.8p =,故选C . 【点睛】 本题考查概率公式与方差公式,掌握这两个公式是解题的关键,本题属于基础题.2.B解析:B 【分析】由题易得222()E X a b c =++,结合题中条件再由基本不等式可得2222()133a b c a b c ++++>=,即1()3E X >;再由2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<,即()1E X <,最后得出()E X 的取值范围. 【详解】由随机变量的期望定义可得出222()E X a b c =++, 因为01a b c <<<<,且1a b c ++=,所以222222222a b aba c acbc bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++,故2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++,即2222()133a b c a b c ++++>=,所以2()1()33a b c E X ++>=,又因为2()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<,所以1()13E X <<. 故选:B . 【点睛】本题考查随机变量的期望,考查基本不等式的应用,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于常考题.3.B解析:B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”,事件B 为“另一个也是女孩”,分别求出A 、B 的结果个数,问题是求在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率,即求(|)P B A ,由条件概率公式求解即可. 【详解】解:一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男,男},{男,女},{女,男},{女,女}.记事件A 为“至少有一个女孩”,事件B 为“另一个也是女孩”,则{A =(男,女),(女,男),(女,女)},{B =(男,女),(女,男),(女,女)},{AB =(女,女)}.于是可知3()4P A =,1()4P AB =. 问题是求在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率,即求(|)P B A ,由条件概率公式,得()114334P B A ==.故选:B . 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件,主要考查条件概率的计算公式:()()()P AB P B A P A =,等可能事件的概率的求解公式:()mP M n=(其中n 为试验的所有结果,m 为基本事件的结果).4.B解析:B 【分析】 由于()13E X =-,利用随机变量的分布列列式,求出a 和b ,由此可求出()D X ,再由()(319)X D D X +=,即可求出结果.根据题意,可知:112a b ++=,则12a b +=, ()13E X =-,即:1123b -+=-,解得:16b =,13a ∴=,()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()59959(31)D D X X ==⨯+=, ∴5(31)D X +=.故选:B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法,以及离散型随机变量的分布列、数学期望等知识,考查运算求解能力.5.B解析:B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差,再判断p 在(0,1)内增大时,()E ξ、()D ξ的单调性即可. 【详解】解:设01p <<,随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-, 方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+,当p 在(0,1)内增大时,()E ξ减小,()D ξ增大.故选:B . 【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题,也考查了运算求解能力.6.B【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =,分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”:若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况;若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种情况,故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义:()13(|)()40P A B P B A P A ==故选:B 【点睛】本题考查了条件概率的计算,考查了学生概念理解,分类讨论,数学运算的能力,属于中档题.7.D解析:D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥,再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ,关于2X =对称,故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选:D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.8.B解析:B 【分析】根据题目可知,求出事件A 的概率,事件AB 同时发生的概率,利用条件概率公式求得()|P B A ,即可求解出答案.【详解】依题意,()1214C 1C 2P A ==,()11221143C C 1C C 3P AB ==,则条件概率()()()123|132P AB P B A P A ===.故答案选B . 【点睛】本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率,解题时要理清思路,注意()P AB 的求解.9.D解析:D 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=,再将代数式22m n +与12m n +相乘,展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值. 【详解】 由于()210,XN σ,由正态密度曲线的对称性可知,()()128P X P X m >=<=,所以,()()188102P X P X <+≤≤=,即12m n +=,221m n ∴+=, 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=, 当且仅当()420,0m n m n n m=>>,即当n =时,等号成立, 因此,12m n +的最小值为6+,故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值,解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值,以及对所求代数式进行配凑,以便利用基本不等式求最值,考查计算能力,属于中等题.10.A解析:A 【分析】确定事件AB ,利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ,再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”,则()3344A P AB =,()4444A P A =,()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=,故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算,考查条件概率公式的理解和应用,考查运算能力,属于中等题.11.A解析:A 【分析】根据条件概率的计算公式,分别求解公式各个部分的概率,从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”;事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==,()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项:A 【点睛】本题考查条件概率的求解,关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.12.B解析:B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数,再由古典概型求得概率. 【详解】在第一次抽中奖后,剩下9张奖券,且只有2张是有奖的,所以根据古典概型可知,第二次中奖的概率为29P =.选B. 【点睛】事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率”,记为(|)P B A ;条件概率常有两种处理方法: (1)条件概率公式:()(|)()P AB P B A P A =. (2)缩小样本空间,即在事件A 发生后的己知事实情况下,用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率.二、填空题13.【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望;【详解】解:该游客转动指针三次的结果的树形图如下:则的分布列如下:0 1 2 3 故故答案为:【点睛】本题考查概率的计算随机解析:27 16【分析】依题意画出数形图,即可求出X的分布列,即可求出数学期望;【详解】解:该游客转动指针三次的结果的树形图如下:则X的分布列如下:X0123P 16421643964364故()01236464646416 E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为:27 16【点睛】本题考查概率的计算,随机变量的分布列和数学期望,解答的关键是画出树形图. 14.【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A表示第二位数字是2的事件用B表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为:【解析:1 3【分析】利用古典摡型的概率计算公式,分别求得(),()P B P A B,结合条件概率的计算公式,即【详解】由“0,1,2”组成的三位数密码,共有33327⨯⨯=个基本事件,又由用A表示“第二位数字是2”的事件,用B表示“第一位数字是2”的事件,可得33131 (),()273279P B P A B⨯====,所以1()19 (|)1()33P A BP A BP B===.故答案为:1 3 .【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解,其中解答中熟记条件概率的计算公式,准确运算时解答得关键,属于基础题.15.【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析:1 3【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下,基本事件总数n=3,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1,由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率.【详解】一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,基本事件有: {男,男},{男,女},{女,男},{女,女},已知这个家庭有一个女孩的条件下,基本事件总数n=3 ,这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1,∴已知这个家庭有一个女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是13mpn==,故答案为:1 3【点睛】本题主要考查了条件概率,可以列举在某条件发生的情况下,所有事件的个数及所研究事件的个数,利用古典概型求解,属于中档题.16.②④【分析】由回归直线的性质判断①;由独立性检验的性质判断②③;由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误;由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确;的值很小解析:②④ 【分析】由回归直线的性质判断①;由独立性检验的性质判断②③;由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ,但不一定要过样本点,故①错误; 由2 6.635K ≥,得有99%的把握认为两个分类变量有关系,故②正确;2K 的值很小时,只能说两个变量的相关程度低,不能说明两个变量不相关,故③错误;(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=,故④正确;故答案为:②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等,属于中等题.17.【解析】根据题意可得解得故的方差解析:34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得34p =,14q =,故X 的方差()22131131124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.8【解析】(1)由题意得随机变量的可能取值为012所以(2)由题意可知所以解得所以(3)每次取球时取到红球的概率为黑球的概率为所以服从二项分布即所以解析:358 23 【解析】(1)由题意得,随机变量ξ的可能取值为0,1,2,()27210C 70C 15P ξ===,()1P ξ=1173210C C 7C 15==, ()23210C 12C 15P ξ===,所以()77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=. (2)由题意可知2,3B n ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭~,所以()2243n E ξ==,解得36n =,所以()D ξ= 22361833⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭.(3)每次取球时,取到红球的概率为23、黑球的概率为13,所以X 服从二项分布,即23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,所以()22231333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.三、解答题19.(1)13;(2)分布列答案见解析,数学期望:4112. 【分析】(1)记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ,得到D ABC BC A =+,结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可求解;(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,求得相应的概率,得出分布列,利用期望的公式,即可求解. 【详解】(1)记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D , 则()34P A =,()()23P B P C ==, D ABC BC A =+,其中ABC C AB +互斥,,,,,A B C B C 相互独立,从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭, 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=, 所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,5, 则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=,()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤: 理解随机变量X 的意义,写出X 可能的全部值; 求X 取每个值对应的概率,写出随机变量的分布列; 由期望和方差的计算公式,求得数学期望()(),E X D X ;若随机变量X 的分布列为特殊分布列(如:两点分布、二项分布、超几何分布),可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.20.(1)选派乙参赛更好,理由见解析;(2)分布列见解析,()25E X =. 【分析】(1)计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差,由此可得出结论;(2)由题意可知,随机变量X 的取值有0、1、2,计算出随机变量X 在不同取值下的概率,可得出随机变量X 的分布列,进而可计算得出()E X . 【详解】(1)甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲,方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲,乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙,方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙,所以,x x <甲乙,22s s >甲乙,因此,选派乙参赛更好;(2)由题意可知,随机变量X 的可能取值有0、1、2,()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()148125525P X ==⨯⨯=,()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 所以,随机变量X 的分布列如下表所示:因此,()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛:求解随机变量分布列的基本步骤如下:(1)明确随机变量的可能取值,并确定随机变量服从何种概率分布; (2)求出每一个随机变量取值的概率;(3)列成表格,对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别,一般地,不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率,放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 21.(1)526(人);(2)83分. 【分析】(1)由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭,则(90)1(90)P P ξξ=-<可求,结合对应人数可得总人数;(2)假定设奖的分数线为x 分,由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭,查表得x 值.【详解】 (1)由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭,故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈(人).(2)假定设奖的分数线为x 分,由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭, 即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭,查表得70 1.3110x -=, 解得83.1x =,故设奖的分数线约为83分.【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 22.(1)240人;(2)分布列见解析,2;(3)2212s s >. 【分析】(1)由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时,把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数;(2)学习时间不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4;利用组合知识,由古典概型公式计算可得X =0,1,2,3,4的概率,进而可得随机变量X 的分布列;(3)根据折线图,看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度,根据方差的实际意义可得答案. 【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4, 故X 的所有可能取值为0,1,2,3,4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =,P (X=1)=1344481687035C C C ==, P (X=2)=22444836187035C C C ==, P (X=3)=3144481687035C C C ==, P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛:本题考查了折线统计图和超几何分布,考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算,求解离散型随机变量分布列的步骤是: 首先确定随机变量X 的所有可能取值;计算X 取得每一个值的概率,可通过所有概率和为1来检验是否正确; 进行列表,画出分布列的表格;最后扣题,根据题意求数学期望或者其它. 23.(1)17.4;(2)0.94. 【分析】(1)利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ;(2)先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-,即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量,加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体,可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数,即可求概率. 【详解】(1)0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= (2)17.40 2.6314.77μσ-=-=∴()10.68270.68270.84142P x μσ-≥-=+= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体,则()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=,因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体,有1008416-=只没有产生抗体.故注射疫苗后产生抗体的概率84100.94100P +==. 【点睛】 结论点睛:频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算, ①直方图中各个小长方形的面积之和为1; ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数; ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数; ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等;⑤平均数是频率分布直方图的重心,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 24.(1)18;(2)分布列见解析,()72E X =.【分析】(1)先分析出甲只获胜一局的所有情况,然后根据对应的情况去计算概率;(2)先分析X 的可能取值,然后根据取值列出对应的比赛获胜情况,由此计算出对应的概率,可得X 的分布列,根据分布列可计算出数学期望.【详解】(1)因为比赛结束时甲只获胜一局,所以一共比赛了4局,且甲在第1局或第2局赢了,当甲在第1局赢了,则乙在后面3局都赢了,此事件的概率为:31112216⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭,当甲在第2局赢了,则乙在第1,3,4局赢了,此事件的概率为:2111122216⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭,记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A ,则()112168P A =⨯=; (2)根据条件可知:X 可取2,4,6,当2X =时,包含甲或乙前2局连胜,此时2种情况:{甲,甲},{乙,乙};当4X =时,包含甲或乙前2局赢了1局,后2局都没赢,此时4种情况:{甲,乙,乙,乙},{乙,甲,乙,乙},{乙,甲,甲,甲},{甲,乙,甲,甲}(大括号中,按顺序为各局的获胜者);()2112222P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()4114424P X ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()()()161244P X P X P X ==-=-==, 所以X 的分布列为:所以()2462442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛:求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤: (1)先分析X 的可取值,根据可取值求解出对应的概率; (2)根据(1)中概率值,得到X 的分布列;(3)结合(2)中分布列,根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 25.(1)23;(2)227;(3)43. 【分析】(1)方法一:将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来,写出满足条件的基本事件,用满足条件的个数除以总的个数计算其概率; 方法二:用排列组合数表示;(2)方法一:将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来,写出满足条件的基本事件,用满足条件的个数除以总的个数计算其概率;方法二:用排列组合数表示;(3)方法一:将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来,写出满足条件的基本事件,用满足条件的个数除以总的个数计算其概率;方法二:用排列组合数表示;【详解】解:方法一:记三个球分别为①,②,③,试验的全部基本事件如下表:共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.(2)记“三只小球在三个不同盒子中,且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B,事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.(3)X的可能取值为1,2,3.。
随机变量及其分布_真题(含答案与解析)-交互
随机变量及其分布(总分102, 做题时间90分钟)一、单项选择题(每题的备选项中,只有1个最符合题意)1.下列关于“右偏分布”的表述错误的是( )。
SSS_SINGLE_SELA 右偏分布是正态分布的形式之一B 符合右偏分布的随机变量大量取值在左边,少量分布在右边C 符合右偏分布的随机变量少量取值在左边,大量分布在右边D 随机变量的分布很散分值: 1答案:B[解析] 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”,符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边,少量取值在右边,并且很分散。
2.对于产品的某个质量特性X的不合格品率,在计算之前需要知道的条件有( )。
SSS_SINGLE_SELA产品质量特性X的分布,在过程受控情况下X的分布常为正态分布(μ,σ2),这是稳定过程的概括B 某个公认标准对产品特性的要求C 企业对产品下达的任务书D X低于下规范限的概率和X高于上规范限的概率分值: 1答案:A[解析] 产品某个质量特性X的不合格品率的计算要知道两件事:①质量特性X 的分布,在过程受控情况下,X的分布常为正态分布N(μ,σ2),这是稳定过程的概括;②产品的规格限,包括上规格限TU 和下规格限TL。
3.设某二项分布的均值等于3,方差等于2.7,则二项分布参数P=( )。
SSS_SINGLE_SELA 0.1B 0.3C 0.7D 0.9分值: 1答案:A[解析] 此二项分布记为b(n,p),则E(X)=np,Var(X)=np(1-p),根据题意,代入数据可得np=3,np(1-p)=2.7,所以p=0.1。
4.对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。
SSS_SINGLE_SELA 两点分布b(1,的方差:np(1-B 超几何分布h(n,N,的方差:n(N-/(N-1)•(M/(1-(M/)C均匀分布U(a,的方差:(b+ 2/12D对数正态分布LN(μ,σ2)的方差:分值: 1答案:B[解析] A项两点分布的方差为p(1-p);C项均匀分布的方差为(b-a)2/12;D项对数正态分布的方差为。
第2章_随机变量及其分布练习题及答案
第2章 随机变量及其分布(练习、复习题及答案)一、填空题:1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ,(k =1,2,…,N),则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击,直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2,P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.5,则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0),则C = e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…,其中λ>1,则a = λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ,以ξ表示三个零件中合格品的个数,则P{ξ=2}= 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ,则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102),则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2),已知P(ξ<9)=0.975,P(ξ<2)=0.062,则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1),则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中,构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0,则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时,),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量,则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1),ξ的分布函数为Φ(x ),则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1),ξ的分布函数为Φ(x ),则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x ),在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,,则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex,则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数,其表达式为分段函数,则当x ∈( A )时,f (x )=cos x ,其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0,5]上的均匀分布,则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62),η~ N(μ, 82),记p 1=P{ξ≤μ-6},p 2=P{η≥μ+8},则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题:1.下列表格是概率分布吗?为什么?(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ; )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p ),已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1),试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5,P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ,把这个试验独立重复地做两次。
新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1.已知随机变量ξ的分布列如下表,若()2E ξ=,则()D ξ的最小值等于( )A .0B .2C .1D .122.近几年新能源汽车产业正持续快速发展,动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%,充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电,那么他的车能够达到充放电100次的概率为( ) A .0.324B .0.36C .0.4D .0.543.从一个装有3个白球,3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球,记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”,事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”,则在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率()|P B A =( ) A .37B .1237C .1219D .16214.元旦游戏中有20道选择题,每道选择题给了4个选项(其中有且只有1个正确).游戏规定:每题只选1项,答对得2个积分,否则得0个积分.某人答完20道题,并且会做其中10道题,其它试题随机答题,则他所得积分X 的期望值()E X =( ) A .25B .24C .22D .205.已知随机变量()2~0,X N σ,若()10.2P X>=,则()01P X <<的值为( )A .0.1B .0.3C .0.6D .0.46.某校从6名学生干部(其中女生4人,男生2人)中选3人参加学校的汇演活动,在女生甲被选中的情况下,男生乙也被选中的概率为( ) A .12B .25C .35D .457.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( ) A .0.75B .0.6C .0.52D .0.488.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”的前提下,学生丙第一个出场的概率为( )A .313 B .413C .14D .159.已知ξ是离散型随机变量,则下列结论错误的是( ) A .21133P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B .()()()22E E ξξ≤C .()()1D D ξξ=-D .()()()221D D ξξ=-10.吸烟有害健康,远离烟草,珍惜生命.据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02,一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病,则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为( ) A .67B .2125C .4950D .不确定11.已知随机变量X 的分布列如下表所示则(25)E X -的值等于 A .1B .2C .3D .412.随机变量()~1,4X N ,若()20.2p x ≥=,则()01p x ≤≤为( ) A .0.2B .0.3C .0.4D .0.6二、填空题13.加工某种零件需要两道工序,第一道工序出废品的概率为0.4,两道工序都出废品的概率为0.2,则在第一道工序出废品的条件下,第二道工序又出废品的概率为__________. 14.一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的一等品件数,则D()X =__________。
高中试卷-专题8.3 列联表与独立性检验(含答案)
专题8.3 列联表与独立性检验姓名:班级:重点分类变量与列联表难点独立性检验例1-1.在一次独立性检验中,其把握性超过了%99,则随机变量2K 的可能值为( )。
A 、841.3B 、024.5C 、635.6D 、897.7【答案】D【解析】∵在一次独立性检验中,其把握性超过了%99,对应的临界值表中数值为小于01.0,查表可得01.0)635.6(2=≥K P ,故635.62>K ,故选D 。
例1-2.把两个分类变量的频数列出,称为( )。
A 、三维柱形图B 、二维条形图C 、列联表D 、独立性检验【答案】C【解析】选项A 、B 是粗略地判断两个分类变量是否相关的方法,错,选项C 用两个分类变量的频数列表,对,选项D 是通过列联表计算得到两变量是否相关的方法,错,故选C 。
例1-3.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,计算得到统计量2K 的观测值892.4≈k ,参照附表,得到的正确结论是( )。
)(02k K P ≥100.0050.0025.00k 706.2841.3024.5A 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C 、在犯错误的概率不超过%5的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”D 、在犯错误的概率不超过%5的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】∵计算得到统计量值2K 的观测值841.3892.4>≈k ,参照题目中的数值表,得到正确的结论是:在犯错误的概率不超过%5的前提下,认为“爱好该运动与性别有关”,故选C 。
例1-4.某22⨯列联表:1y 2y 总计1x 431622052x 13121134总计56283339则随机变量2K 的值为 。
【答案】469.7【解析】469.728356134205)1621312143(33922=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 。
随机变量及其分布习题解答
+随机变量及其分布习题解答(共16页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1第二章 随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ,则X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为 投保一年内因其他原因死亡:5万,概率为投保一年内没有死亡:的分布律为:2、一袋中有53、4、5,在其中同时取三只,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解:X 可以取值3,4,5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : 3, 4,5 P :106,103,1013、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品的只数,(1)求X 的分布律,(2)画出分布律的图形.解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个.3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0, 1, 2 P : 351,3512,352224、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为q =1-p (0<p <1)(1)将实验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律.(此时称X 服从以p 为参数的几何分布.)(2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律.(此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布.)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%,以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解:(1)P (X=k )=q k -1p k=1,2,……(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n -1次有n 次失败,且最后一次成功} ,,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1-p ,或记r+n=k ,则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k (3)P (X=k ) = k -k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P5、 一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的.有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去.鸟在房子里飞来飞去,试图飞出房间.假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各扇窗子是随机的.(1)以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数,求X 的分布律.(2)户主声称,他养的一只鸟,是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试不多于一次.以Y 表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数,如户主所说是确实的,试求Y 的分布律.(3)求试飞次数X 小于Y 的概率;求试飞次数Y 小于X 的概率. 解:(1)X 的可能取值为1,2,3,…,n ,…P {X=n }=P {前n -1次飞向了另2扇窗子,第n 次飞了出去}=31)32(1⋅-n , n=1,2,……(2)Y 的可能取值为1,2,3 P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=31P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇,第2次飞了出去} =312132=⨯P {Y=3}=P {第1,2次飞向了另2扇窗子,第3次飞了出去} =31!3!2=3∑∑===<===<==<3231}|{}{}|{}{}{)3(k k k Y Y X P k Y P k Y Y X P k Y P Y X P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==<0}1|{Y Y X P 全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯=<==∑=k k X P k Y P }{}|{,k X P k Y Y X P Y X <==<独立即注意到同上,∑======31}|{}{}{k k Y Y X P k Y P Y X P81192743192313131}{}{31=⨯+⨯+⨯====∑=k k X P k Y P故8138){}{1}{==-<-=<Y X P Y X P X Y P 6、一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为,问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P (2)至少有3个设备被使用的概率是多少00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P (3)至多有3个设备被使用的概率是多少3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C(4)至少有一个设备被使用的概率是多少 40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P7、设事件A 在每一次试验中发生的概率为,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号.(1)进行了5 次独立试验,求指示灯发出信号的概率 .(2)进行了7次独立试验,求指示灯发出信号的概率解: 设X 为 A 发生的次数. 则()0.3,.X B n n=5,7B:“指示等发出信号“① (){}3P B P X =≥55530.30.70.163k k k k C -===∑②(){}3P B P X =≥={}{}7231k P X K P X K ===-=∑∑71622510.70.30.70.30.70.353G G =--⋅⨯-⨯≈ 8、甲、乙二人投篮,投中的概率各为, ,令各投三次.求4(1)二人投中次数相等的概率. 记X 表甲三次投篮中投中的次数 Y 表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立,且彼此投篮也独立. P (X =Y )=P (X =0, Y=0)+P (X =2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X =0) P (Y=0)+ P (X =1) P (Y=1)+ P (X =2) P (Y=2)+ P (X =3) P (Y=3)= 3× 3+ [])3.0(7.0[])4.0(6.0213213⨯⨯⨯⨯⨯C C3223223)6.0(]3.)7.0([]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯+C C 321.0)7.0(3=⨯(2)甲比乙投中次数多的概率.P (X>Y )=P (X =1, Y=0)+P (X =2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2) =P (X =1) P (Y=0) + P (X =2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X =3) P (Y=0)+ P (X =3) P (Y=1)+ P (X =3) P (Y=2)=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯82233213)3.0(]4.0)6.0([)3.0(])4.0(6.0[C C 3213223)6.0(])3.0(7.0[]4.0)6.0([+⨯⨯⨯⨯⨯C C321333)6.0(])3.0(7.0[)6.0()3.0(+⨯⨯⨯+⨯C 243.0]3.0)7.0([223=⨯⨯⨯C9、有一大批产品,其验收方案如下,先做第一次检验:从中任取10件,经验收无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受这批产品,若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率 (2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解:X 表示10件中次品的个数,Y 表示5件中次品的个数,由于产品总数很大,故X~B (10,),Y~B (5,)(近似服从) (1)P {X =0}=≈(2)P {X ≤2}=P {X =2}+ P {X =1}=581.09.01.09.01.0911082210≈+C C (3)P {Y =0}= 5≈(4)P {0<X ≤2,Y=0} ({0<X ≤2}与{ Y=2}独立) = P {0<X ≤2}P {Y=0}=×≈(5)P {X =0}+ P {0<X ≤2,Y=0} ≈+=510、有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯,能将甲种酒全部挑出来,算是试验成功一次.(1)某人随机地去猜,问他试验成功一次的概率是多少(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次,成功3次.试问他是猜对的,还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的.)解:(1)P (一次成功)=701148=C(2)P (连续试验10次,成功3次)= 100003)7069()701(73310=C .此概率太小,按实际推断原理,就认为他确有区分能力.11. 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的.但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆规和直尺将角三等分的文章.设某地区每年撰写此类文章的篇数X 服从参数为6的泊松分布.求明年没有此类文章的概率.解: ().6~πX 6=λ{}0025.01066≈===∴-ee X P12. 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求(1)每分钟恰有8次呼唤的概率.(2)某一分钟的呼唤次数大于3的概率.()4~πX 4=λ(1){}∑∑∞=∞=--⋅-⋅==899484!!8r r r e r e X P λλ 029771.0021363.0051134.0=-= (2)566530.0}4{}3{=≥=>X P X P13. 某一公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2)t 的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解:2tλ= ()X πλ①32λ= {}3200.2231P X e -===②52λ= {} 2.512.510.918!k k e P X k -∞=≥==∑14、解:~(2)X t π(1)、10t =分钟时16t =小时,6{}131310.2388!1k ee P X k κλ--====(2)、{}00.5P X =≥故()0220.50.346571tt e t -≥⇒≥(小时)所以0.34657*6020.79t ≥≈(分钟) 15、解:{}()(){}10500005000100.001510.0015100.8622k kk P X k P X -=⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭≤≈∑ 16、解:{}{}{}011000,0.0001,0.12101110.99530.00470!1!n p np P X P X P X e e λλλλλ--====≥=-=-==--≈-=17、解:设X 服从()01分布,其分布率为{}()11,0,1kk P X k p p k -==-=,求X 的分布函数,并作出其图形.解一:X 0 1 k p1p - p()0,1XX 的分布函数为:()0010111x F x p x x , <⎧⎪=- , ≤<⎨⎪ , ≥⎩718.在区间[]0,a 上任意投掷一个质点,以X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在[]0,a 中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X 的分布函数.解:① 当0X <时.{}X x ≤是不可能事件,(){}0F X P X x =≤=②当0x a ≤≤时, {}0P X x kx ≤≤= 而 {}0X a ≤≤是必然事件 {}101P X x ka k a∴≤≤==⇒= {}0x P X x kx a∴≤≤==则 (){}{}{}00x F x P X x P X P X x a=≤=≤+≤≤=③当x a >时,{}X x ≤是必然事件,有(){}1F x P X x =≤=()0001x x F x x a a x a , < ⎧⎪⎪∴ , ≤≤⎨⎪ , >⎪⎩19、以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计),X 的分布函数是⎩⎨⎧<≥-=-000,1)(4.0x x e x F x X求下述概率:(1)P {至多3分钟};(2)P {至少4分钟};(3)P {3分钟至4分钟之间};(4)P {至多3分钟或至少4分钟};(5)P {恰好分钟} 解:(1)P {至多3分钟}= P {X ≤3} =2.11)3(--=e F X (2)P {至少4分钟} P (X ≥4) =6.1)4(1-=-e F X(3)P {3分钟至4分钟之间}= P {3<X ≤4}=6.12.1)3()4(---=-e e F F X X (4)P {至多3分钟或至少4分钟}= P {至多3分钟}+P {至少4分钟} =6.12.11--+-e e (5)P {恰好分钟}= P (X ==020、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F X ,求(1)P (X<2), P {0<X ≤3}, P (2<X<25);(2)求概率密度f X (x ).解:(1)P (X ≤2)=F X (2)= ln2, P (0<X ≤3)= F X (3)-F X (0)=1,45ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<<X X F F X P8(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,0,1,1)(')(e x x x F x f21、设随机变量X 的概率密度)(x f 为(1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它01112)(2x x x f π(2)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其他021210)(x x x x x f求X 的分布函数F (x ),并作出(2)中的f (x )与F (x )的图形.解:(1)当-1≤x ≤1时:21arcsin 111arcsin 211212120)(212121++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-+=---∞-⎰⎰x πx x πx x x πdx x πdx x F Xx当1<x 时:10120)(11121=+-+=⎰⎰⎰--∞-xdx dx x πdx x F故分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-++--<=x x x πx x πx x F 111121arcsin 11110)(2解:(2)⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+-++=<--=-++=≤≤=+=<≤==<∞-∞-∞-∞-122121120010)2(0)(,2122)2(0)(,2120)(,1000)(,0xxxxdt dt t dt t dt x F x xx dt t dt t dt x F x x dt t dt x F x dt x F x 时当时当时当时当故分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤--<≤<=xx x x x x x x F 212112210200)(22(2)中的f (x )与F (x )的图形如下f (x )(Maxwell)分布,其概率密度为()220xbAx e xf x-⎧⎪ , >=⎨,⎪⎩其它其中2b m kT=,k为Boltzmann常数,T为绝对温度,m是分子的质量.试确定常数A.解: ①()1x dx+∞-∞=⎰即()22xbf x dx Ax e dx-+∞+∞-∞=⎰⎰222xbAb xxe db-+∞⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰22200()|222x x xb b bAb Ab Abxd e xe e dx---+∞+∞+∞=-=-+⎰⎰2212002xbAbe dx d x--+∞+∞⎤==⎥⎦⎰1122Ab==221122uduπ+∞-⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎰A∴=②当0t<时,()00tTF t dt-∆=⋅=⎰当0t≥时,()()()2411241xt tT TF t f x dt F t e dt--∞=⋅==⎰⎰2411te-=-()2410,01,0tTtF te t-<⎧⎪∴=⎨⎪- ≥⎩{}{}{}()()501001005010050P T P T P T F F∴<<=<-≤=-50100e e--=-或{}()1005050100P T f t dt<<=⎰50100100241241241501241te dt e e---==-⎰xF (x)923、某种型号的电子的寿命X (以小时计)具有以下的概率密度:⎪⎩⎪⎨⎧>=其它010001000)(2x x x f现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立).任取5只,问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为32)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000150010002=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=≤-=>⎰x dx x X P X P令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”.则)32,5(~B Y ,{}24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155=-=⨯+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布,其概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它,00,51)(5x e x F xX某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y 的分布律.并求P (Y ≥1).解:该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为21051051051)()10(-∞+-∞+-∞+=-===>⎰⎰e edx edx x f X P xx X因此5,4,3,2,1(,)1(5)().,5(~5222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==----k e e k k Y P e B Y kk 即.5167.04833.018677.01)1353363.01(1)389.711(1)1(1)0(1)1(1)1(55552=-=-=--=--=--==-=<-=≥-e Y P Y P Y P 25、设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程02442=+++K xK x 有实根的概率∵K 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他50051)(K K f要方程有根,就是要K 满足(4K )2-4×4× (K+2)≥0. 解不等式,得K ≥2时,方程有实根. ∴53051)()2(5522=+==≥⎰⎰⎰∞+∞+dx dx dx x f K P 26、设X ~N ()(1)求P (2<X ≤5),P (-4)<X ≤10),P {|X|>2},P (X>3) ∵ 若X ~N (μ,σ2),则P (α<X ≤β)=φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμβφ⎪⎭⎫ ⎝⎛-σμα∴P (2<X ≤5) =φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-235φ⎪⎭⎫ ⎝⎛-232=φ(1)-φ(- =-=P (-4<X ≤10) =φ-⎪⎭⎫⎝⎛-2310φ⎪⎭⎫ ⎝⎛--234=φ-φ(-=-=P (|X |>2)=1-P (|X |<2)= 1-P (-2< P <2 )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-2322321 =1-φ(- +φ(- =1-+=P (X >3)=1-P (X ≤3)=1-φ⎪⎭⎫⎝⎛-233=1-= (2)决定C 使得P (X > C )=P (X ≤C )∵ P (X > C )=1-P (X ≤C )= P (X ≤C ) 得 P (X ≤C )=21=又P (X ≤C )=φ023,5.023=-=⎪⎭⎫⎝⎛-C C 查表可得∴ C =327、某地区18岁的女青年的血压(收缩区,以mm-Hg 计)服从)12,110(2N 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X .求(1)P (X ≤105),P (100<X ≤120). (2)确定最小的X 使P (X>x ) ≤ .解:3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12110105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 5952.017976.021)8333.0(21)65(2)65()65()12110100()12110120()120100(=-⨯=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<X P.74.129.74.12974.19110.645.112110.95.0)12110(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥⇒≥-≥-Φ⇒≤-Φ-=≤-=>X x x x x x X P x X P 故最小的查表得28、由某机器生产的螺栓长度(cm )服从参数为μ=,σ=的正态分布.规定长度在范围±内为合格品,求一螺栓为不合格的概率是多少设螺栓长度为X P {X 不属于-, + =1-P -<X <+=1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--Φ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Φ06.005.10)12.005.10(06.005.10)12.005.10( =1-{φ(2)-φ(-2)}=1-{-} =29、一工厂生产的电子管的寿命X (以小时计)服从参数为μ=160,σ(未知)的正态分布,若要求P (120<X ≤200==,允许σ最大为多少∵ P (120<X ≤200)=80.04040160120160200=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛-Φσσσσ又对标准正态分布有φ(-x )=1-φ(x )∴ 上式变为80.040140≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ 解出9.040:40≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσσ便得 再查表,得25.31281.140281.140=≤≥σσ30、解:[]{}{}{}223120~(120,2) ~(0,1)2P 118,122P 1181222P 12(10.8413)0.31745(1)0.32042V V N X N V V V X p p -=∉=<⋃>=->=-=⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭则p=31、解:0 ,0()0.20.8/30 ,0301 ,30x F x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩32、解:[]()0,()0,01()(1)()0()(1)()()(1)()(1)1f xg x a af x a g x af x a g x dx a f x dx a g x dx a a ∞∞∞-∞-∞-∞≥≥<<∴+-≥+-=+-=+-=⎰⎰⎰且所以()(1)()af x a g x +-为概率密度函数 33、设随机变量X 的分布律为: X :-2, -1, 0, 1, 3P :51,61, 51, 151,3011求Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2:(-2)2 (-1)2 (0)2(1)2(3)2 P : 516151 1513011 再把X 2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y 的分布律为:∴ Y : 0 1 4 9P : 5115161+ 51301134、设随机变量X 在(0,1)上服从均匀分布 (1)求Y=e X 的分布密度 ∵ X 的分布密度为:⎩⎨⎧<<=为其他x x x f 0101)(Y=g (X ) =e X 是单调增函数 又 X=h (Y )=lnY ,反函数存在 且 α = min [g (0), g (1)]=min (1, e )=1 =βmax [g (0), g (1)]=max (1, e )= e∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅=⋅=为其他y e y yy h y h f y ψ0111|)('|)]([)((2)求Y=-2lnX 的概率密度.∵ Y= g (X )=-2lnX 是单调减函数又 2)(Y e Y h X -== 反函数存在. 且 α = min [g (0), g (1)]=min (+∞, 0 )=0 β=max [g (0), g (1)]=max (+∞, 0 )= +∞∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<=-⋅=⋅=--为其他y y e ey h y h f y ψy y 0021211|)('|)]([)(2235、设X ~N (0,1) (1)求Y=e X 的概率密度 ∵ X 的概率密度是+∞<<∞-=-x e πx f x ,21)(22Y= g (X )=e X 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=0 β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为:⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⋅=⋅=-为其他y y y e πy h y h f y ψy 00121|)('|)]([)(2)(ln 2 (2)求Y=2X 2+1的概率密度.在这里,Y=2X 2+1在(+∞,-∞)不是单调函数,没有一般的结论可用. 设Y 的分布函数是F Y (y ), 则 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P (2X 2+1≤y ) =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--2121y X y P 当y<1时:F Y ( y )=0当y ≥1时:⎰----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=212122212121)(y y x y dx e πy X y P y F故Y 的分布密度ψ( y )是:当y ≤1时:ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>1时,ψ( y )= [F Y ( y )]' ='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰----21212221y y x dx eπ=41)1(21---y ey π(3)求Y=| X |的概率密度. ∵ Y 的分布函数为 F Y ( y )=P (Y ≤y )=P ( | X |≤y ) 当y<0时,F Y ( y )=0当y ≥0时,F Y ( y )=P (| X |≤y )=P (-y ≤X ≤y )=⎰--y yx dx e π2221∴ Y 的概率密度为:当y ≤0时:ψ( y )= [F Y ( y )]' = (0)' =0当y>0时:ψ( y )= [F Y ( y )]' =2222221y y yx e πdx e π---='⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰36、(1)设随机变量X 的概率密度为f (x ),求Y = X 3的概率密度. ∵ Y=g (X )= X 3 是X 单调增函数, 又 X =h (Y ) =31Y ,反函数存在, 且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (0, +∞)=-∞ β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为:ψ( y )= f [h ( h )]·| h' ( y )| = 0,,31)(3231≠+∞<<∞-⋅-y y y y f 但0)0(=ψ(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,求Y=X 2的概率密度.法一:∵ X 的分布密度为:⎩⎨⎧≤>=-00)(x x e x f xY =x 2是非单调函数当 x<0时 y =x 2 反函数是y x -= 当 x<0时 y =x 2y x =∴ Y ~ f Y (y ) = ))(())(('+'--y y f y y f -y y=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+--00,21210y y e ye yyy法二:)()()()()(~y X P y X P y X y P y Y P y Y F Y -≤-≤=≤<-=≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+--⎰,00,100y y e dx e y y x∴ Y ~ f Y (y ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0.0,21y y e y y37、设X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=为其他x πx πxx f 002)(2xOyy=x 2求Y =sin X 的概率密度. ∵ F Y ( y )=P (Y ≤y ) = P (sin X ≤y ) 当y<0时:F Y ( y )=0当0≤y ≤1时:F Y ( y ) = P (sin X ≤y ) = P (0≤X ≤arc sin y 或π-arc sin y ≤X ≤π)=⎰⎰-+πy πy dx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222当1<y 时:F Y ( y )=1∴ Y 的概率密度ψ( y )为:y ≤0时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' = (0 )' = 0 0<y <1时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' ='⎪⎭⎫⎝⎛+⎰⎰-πy πydx πx dx πxarcsin 2arcsin 0222=212yπ-1≤y 时,ψ( y )=[ F Y ( y )]' = )1(' = 038、设电流I 是一个随机变量,它均匀分布在9安11安之间.若此电流通过2欧的电阻,在其上消耗22.W I =求W 的概率密度.解:I 在()9,11上服从均匀分布I ∴的概率密度为:()1,1120,q x f x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它22W I =的取值为162242W <<分布函数 (){}{}2222w w F w P W w P I w P I ⎧⎫=≤=≤=≤⎨⎬⎩⎭()q P Q i f x dx ⎧⎪=<≤=⎨⎪⎩12q q ⎫==⎪⎪⎭()()',1622420,w w w f w F w <<∴== ⎩其它 39、某物体的温度T (o F )是一个随机变量,且有T ~N (,2),试求θ(℃)的概率密度.[已知)32(95-=T θ]法一:∵ T 的概率密度为+∞<<∞-=⨯--t et f t ,221)(22)6.98(2π又 )32(95)(-==T T g θ 是单调增函数. 3259)(+==θθh T 反函数存在.且 α = min [g (-∞), g (+∞)]=min (-∞, +∞)=-∞ β = max [g (-∞), g (+∞)]= max (-∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为59221|)('|)]([)(4)6.983259(2⋅=⋅=-+-θeπθh θh f θψ +∞<<∞-=--θeπθ,109100)37(812法二:根据定理:若X ~N (α1, σ1),则Y=aX+b ~N (aα1+b, a 2 σ2 ) 由于T ~N (, 2)故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=295,9333295,91606.9895~91609522N N T θ故θ的概率密度为:+∞<<∞-==--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛--θππθψθθ,10929521)(100)37(8129529333222ee。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为:x1,x2,…,x3,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为,则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质:⑴Pi≥0,i=1,2,… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确!二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P(<ξ<)的值为A、B、C、D、答案:D考点二:离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池,其中有2只没电,4只有电,每次随机抽取一个测试,不放回,直至分清楚有电没电为止,所要测试的次数为随机变量,求的分布列。
解:由题知2,3,4,5∵ 表示前2只测试均为没电,∴ ∵ 表示前两次中一好一坏,第三次为坏,∴ ∵ 表示前四只均为好,或前三只中一坏二好,第四个为坏,∴ ∵ 表示前四只三好一坏,第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率:称为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
2、相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件,那么,A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB,则有P(AB)= P(A)P(B)推广:如果事件A1,A2,…An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。
离散型随机变量及其分布列测试题(含答案)
离散型随机变量及其分布列测试题一、选择题:1、如果X 是一个离散型随机变量,则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数;B.X 取所有可能值的概率之和为1;C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和;D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ;②在(0,1)区间内随机的取一个数X ;③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是( ) A .①; B .②; C .③; D .①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下,则a 的值为( )X1 2 3 4P16 13 16aA .12 B .16 C .13 D .144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯,则λ的值为( )A .1;B .12; C .13; D .145.给出下列四个命题:①15秒内,通过某十字路口的汽车的数量是随机变量; ②在一段时间内,某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量; ③一条河流每年的最大流量是随机变量;④一个剧场共有三个出口,散场后某一出口退场的人数是随机变量. 其中正确的个数是( D )A.1 B.2 C.3 D.46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值,如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为( )A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子,所得点数之和记为X ,那么4X =表示的随机实验结果是( )A. 一枚是3点,一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点8.盒中有10只螺丝钉,其中有3只是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( )A .恰有1只是坏的B .4只全是好的C .恰有2只是好的D .至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.(2007年湖北卷第9题)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ,则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20,的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.(2007年北京卷第5题)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一行,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有A .1440种 B.960种 C .720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种 二、填空题:13、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是(把全部正确的答案序号填上)()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量,Y 的取值为1,2,3,,10,则X 的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为_____三、解答题:17、某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km ,则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ,则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量,他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (2)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km ,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列.分析:欲写出ξ的分布列,要先求出ξ的所有取值,以及ξ取每一值时的概率. 19.(2007年重庆卷第6题)从5张100元,3张200元,2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,而随机终止.设分裂n 次终止的概率是n21(n =1,2,3,…).记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,求(10)P X ≤.22.(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ,B ,C ,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率;X -1 0 1 p0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p0.4 0.7 -0.1X 5 0 -5 p0.3 0.6 0.1②()1,2,3,4,5,P X k k k===④ ⑤(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数,求X 的分布列.高中数学系列2—3单元测试题(2.1)参考答案一、选择题:1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题: 13、 ③④14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题:17、解:(1)依题意得η=2(ξ-4)+10,即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2,得ξ=18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多15分钟. 18、解:设黄球的个数为n ,由题意知绿球个数为2n ,红球个数为4n ,盒中的总数为7n .∴44(1)77n P X n ===,1(0)77n P X n ===,22(1)77n P X n =-==. 所以从该盒中随机取出一球所得分数X 的分布列为X 10 -1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张,总的基本事件数是C 310=120,而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”,即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C (种).所以,所求概率为.4312090= 20解P (A )=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ...n 2 ... P21 41 81 161 ... n21 ...∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++.22.[解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ,那么P (E A )=A 33C 25A 44=140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ,那么P (E )=A 44C 25A 44=110.所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )=1-P (E )=910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2,事件“X =2”是指有两人同时参加A 岗位服务,则P (X =2)=C 25A 33C 25A 44=14.所以P (X =1)=1-P (X =2)=34,X 的分布列为:。
二、随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布(一)学号一.选择题:1 .设X是失散型随机变量,以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4( A)1111(B)1111 p p248162488X x1x2x3x4(D)X x1x2x3x4( C)1111p1111 p23412234122 .设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数,则 F ( 2) = [0.2( A)(B)( C)(D)1二、填空题:1 .设随机变量X的概率分布为X012,则 a = p a0.20.52 .某产品 15 件,其中有次品 2 件。
现从中任取3 件,则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366, P( x1)C21 C13236, P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 .设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次,则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题:1 .同时掷两颗骰子,设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求:( 1)X的概率分布;(2)P( X3) ;(3)P( X12)解:(1)P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4,,,,36363636P( X6)5,P( X7) 6 , P( X5 436 8), P(X 9)363636P( X10)3 ,P( X11)2 ,P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列:X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636(2) P(X3) 336( 3) P(X>12)=02 .产品有一、 二、三等品及废品四种, 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%,10%,20%及 10%,任取一个产品检查其质量,试用随机变量X 描述检查结果。
随机变量及其概率分布练习题
随机变量及其概率分布练习题(共90分)一.选择题(每题2分共20分)2.F(X)是随机变量X 的分布函数,则下列结论不正确的是( )A.≤0F(x )1≤B.F(x )=P{X=x }C.F(x )=P{X x ≤}D.F(∞+)=1, F(∞-)=03.设随机变量X 的分布律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( ) X0 2 4 6 P 0.1 0.2 0.3 0.4A.0.3B.0.5C.0.6D.0.44.下列函数可以作为随机变量分布函数的是( ) 4x 01≤≤x 2x 10<≤xA.F(x)=B.F(x)=1 其它2 其它-1 x<0 0 x<0C.F(x)= 2x 10<≤xD.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.54x 31<<-x 5.设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2<x<2}=( ) 0, 其它A. 0B.83C. 43D. 856. 以下函数可作为随机变量X 的概率密度的是( )A.f(x)=.;11,0,其它<<-⎩⎨⎧x xB.f(x)=.;11,,02其它<<-⎩⎨⎧x xC.f(x)=.;11,0,21其它<<-⎪⎩⎪⎨⎧x D.f(x)=.;11,0,2其它<<-⎩⎨⎧x7.设随机变量X~N(1,4),5.0)0(,8413.0)1(=Φ=Φ,则事件{13X ≤≤}的概率为() A.0.1385 B.0.2413 C.0.2934 D.0.34138.已知随机变量X 的分布函数为( )F(x)= ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<313132102100x x x x ,则P }{1X ==A . 61B .21C .32D .19.已知连续型随机变量X 服从区间[a ,b ]上的均匀分布,则概率=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X P ( )A .0B .31C .32D .110、设随机变量X 在区间[2,6]上服从均匀分布,则P{2<x<4}=( )A.P{5<x<7}B.p{1<x<3}C.P{3<x<5}D.P{4.5<x<6.5}二.填空题(每题2分共20分)2.设连续型随机变量X 的分布函数为如下F(x), 则X 的概率密度)(x f 为( ) 0 x<0F(x)= 2x, 5.00<≤x1 x ≥0.53.设随机变量X 的分布为P{X=k}=10k,k=0,1,2,3,4,则P{0.5<X ≤2}=( )4.设随机变量X ~N(2,9),已知标准正态分布函数值=Φ)1(0.8413,为使P{X<a}<0.8413,则常数a<( )5.某人掷五次骰子,则在五次中得到点为6的次数X 的分布率为P{X=i}=( ) i=0,1,2,3,4,56.设随机变量X 服从区间[]10,0上的均匀分布,则P (X>4)=_ _.7.在[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布,且已知P{X=4}=3P{X=3},则在[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为_ _.8.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<3x 13x 1321x 0210x 0 则P{2<X ≤4}=_ _.9.已知随机变量X 的概率密度为f(x)=ce -|x|,-∞<x<+∞,则c=_ _.10.设随机变量X 的概率分布为F (x )为其分布函数,则F (3)=_ _.三.计算题。
数学-随机变量及其分布 试题版
第七章随机变量及其分布目录第七章随机变量及其分布 27.1条件概率与全概率公式 27.1.1条件概率 27.1.2全概率公式 3习题7.1 47.2离散型随机变量及其分布列 5习题7.2 67.3离散型随机变量的数字特征 77.3.1离散型随机变量的均值 77.3.2离散型随机变量的方差 9习题7.3 107.4二项分布与超几何分布 117.4.1二项分布 117.4.2超几何分布 13习题7.4 147.5正态分布 15习题7.5 16复习参考题7 17随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率思考原理一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B∣A)=P(AB) P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率(conditional probability ).思考原理由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B∣A)我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula).1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.求:(1)第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率;(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.2已知3张奖券中只有1张有奖,甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗?3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字,求:(1)任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率;(2)如果记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.练习1.设A⊆B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义,直接写出P(B∣A)和P(A∣B)的值再由条件概率公式进行验证.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中,每次从中随机抽出1张扑克牌,抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌,求第2次抽到A牌的概率.3.袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:(1)在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;(2)两次都摸到白球的概率.7.1.2全概率公式探究公式一般地,设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=ni =1 P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式(t otalprobability formula ).4某学校有A ,B 两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.6;如果第1天去B 餐厅,那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.5有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第式£=1,2,3)台车床加工的概率.探究公式贝叶斯公式(Bayes formula ):设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T .Bayes ,1702-1761)发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.P (B )>0,有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k,i =1,2,⋯,n6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率;(2)已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.练习1.现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.2.两批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率;(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批产品的概率.习题7.1复习巩固1.为了研究不同性别学生患色盲的比例,调查了某学校2000名学生,数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.(1)已知选到的是男生,求他患色盲的概率;(2)已知选到的学生患色盲,求他是男生的概率.2.从人群中随机选出1人,设B=“选出的人患有心脏病”,C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”,请你判断P(B)和P(C)的大小,并说明理由.3.甲、乙两人同时向一目标射击,已知甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次,求甲命中目标的概率.4.甲和乙两个箱子中各装有10个球,其中甲箱中有5个红球、5个白球,乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,从甲箱子随机摸出1个球;如果点数为3,4,5,6,从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.5.在A、B、C三个地区爆发了流感,这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8,现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.6.已知P(A)>0,P(B)>0,P(B∣A)=P(B),证明:P(A∣B)=P(A).综合运用7.一批产品共有100件,其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验,并按以下规则判断是否接受这批产品:如果抽检的第1件产品不合格,则拒绝整批产品;如果抽检的第1件产品合格,则再抽1件,如果抽检的第2件产品合格,则接受整批产品,否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.8.在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为DD、Dd、dd,其中D为显性基因,d为隐性基因,且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交,那么子三代中基因型为dd的概率是多大?9.证明条件概率的性质(1)和(2).拓广探索10.证明:当P(AB)>0时,P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB).据此你能发现计算P A1A2⋅⋅⋅A n的公式吗?7.2离散型随机变量及其分布列思考原理一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量(random var iable ).思考原理可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量(discrete random var iable ).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X ,Y ,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x ,y ,z .思考原理一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,⋯,x n ,我们称X 取每一个值x i 的概率P X =x i =p i ,i =1,2,⋯,n为X 的概率分布列(list of probability distribution ),简称分布列.探究公式对于只有两个可能结果的随机试验,用A 表示“成功”,A表示“失败”,定义X =1,A 发生,0,A发生.如果P (A )=p ,则P (A)=1-p ,那么X 的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X 01P1-pp我们称X 服从两点分布(two -po int distribution )或0-1分布.1一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,定义X =1,抽到次品,0,抽到正品. 求X 的分布列.2某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数X 的分布列,以及P (X ≥4).3一批笔记本电脑共有10台,其中A 品牌3台,B 品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A 品牌台数的分布列.练习1.举出两个离散型随机变量的例子.2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;(2)某足球队在5次点球中射进的球数;(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料,其实际含量与规定含量之差.3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分的分布列.4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次,写出正面向上次数X的分布列.习题7.2复习巩固1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口,每个路口可能遇到红灯或绿灯.(1)写出随机试验的样本空间;(2)设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值,并说明这些值所表示的随机事件.2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为:X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确.3.在某项体能测试中,跑1km时间不超过4min为优秀.某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗?如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩,应该如何定义随机变量?4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为:X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀,那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少?综合运用5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格,某同学只能背诵其中的6篇,试求:(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率.6.某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书.不再参加以后的考试,否则就继续参加考试,直到用完3次机会.李明决定参加考试,如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,且每次考试是否通过相互独立,试求:(1)李明在一年内参加考试次数X的分布列;(2)李明在一年内领到资格证书的概率.7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究公式一般地,若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示,表7.3-2X x1x2⋯x nP p1p2⋯p n则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x n p nn=x i p ii=1为随机变量X的均值(m ean)或数学期望(mathematical exp ectation),数学期望简称期望.1在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8.那么他罚球1次的得分X的均值是多少?2抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值.3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示.表7.3-3歌曲A B:C 猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.探究公式一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.4根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60600元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1运走设备,搬运费为3800元;方案2建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3不采取措施.工地的领导该如何决策呢?练习1.已知随机变量X的分布列为:X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X);(2)求E(3X+2).2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,求得分X的均值.3.甲、乙两台机床生产同一种零件,它们生产的产量相同,在1h内生产出的次品数分别为X1,X2其分布列分别为:甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列X2012P0.30.50.2哪台机床更好?请解释你所得出结论的实际含义?7.3.2离散型随机变量的方差探究公式我们称D (X )=x 1-E (X ) 2p 1+x 2-E (X ) 2p 2+⋯+x n -E (X ) 2p n=ni =1 x i -E (X ) 2p i为随机变量X 的方差(va r iance ),有时也记为V ar (X ),并称D (X )为随机变量X 的标准差(s ta n dard deviation ),记为σ(X ).探究公式在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化.D (X )=ni =1 x i -E (X ) 2p i=n i =1 x 2i -2E (X )x i +(E (X ))2p i=ni =1x 2i p i -2E (X )ni =1x i p i +(E (X ))2ni =1p i=ni =1x 2i p i -(E (X ))2.5抛掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差.6投资A ,B 两种股票,每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示.表7.3-9股票A 收益的分布列收益X /元-102概率0.10.30.6表7.3-10股票B 收益的分布列收益Y /元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大?(2)投资哪种股票的风险较高?练习1.已知随机变量X 的分布列为:X 1234P0.20.30.40.1求D (X )和σ(2X +7).2.若随机变量X 满足P (X =c )=1,其中c 为常数,求D (X ).3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度,其误差(精确到1cm )X 和Y 的分布列如下:甲班的目测误差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大,再分别计算X和Y的方差,验证你的判断.!习题7.3复习巩固1.某品牌手机投放市场,每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况.按定价售出每部利润100元,打折后售出每部利润0元,没有售出而收回每部利润-300元.据市场分析,发生这三种情况的概率分别为0.6,0.3,0.1.求每部手机获利的均值和方差.2.现要发行10000张彩票,其中中奖金额为2元的彩票1000张,10元的彩票300张,50元的彩票100张,100元的彩票50张,1000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是多少元?3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,若E(X)=1,求a和b.4.在单项选择题中,每道题有4个选项,其中仅有一个选项正确.如果从四个选项中随机选一个,选对的概率为0.25.请给选对和选错分别赋予合适的分值,使得随机选择时得分的均值为0.5.证明:D(aX+b)=a2D(X).综合运用6.有A和B两道谜语,张某猜对A谜语的概率为0.8,猜对得奖金10元;猜对B谜语的概率为0.5,猜对得奖金20元,规则规定:只有在猜对第一道谜语的情况下,才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择,他应该选择先猜哪一道谜语?7.甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为X和Y(单位:s),其分布列为:甲品牌的走时误差分布列X-101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y-2-1012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能.拓广探索8.设E(X)=μ,a是不等于μ的常数,探究X相对于μ的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小,并说明结论的意义.7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布思考原理我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials ).思考原理我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n 次;(2)各次试验的结果相互独立.探究公式一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,⋯,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomialdistribution ),记作X ∼B (n ,p ).1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:(1)恰好出现5次正面朝上的概率;(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6 内的概率.2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2,⋯,10,用X 表示小球最后落入格子的号码,求X 的分布列.3甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利?归纳一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X∼B(n,p).探究公式一般地,可以证明:如果X∼B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)E(X)=,D(X)=.2.鸡接种一种疫苗后,有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗,求:(1)没有鸡感染病毒的概率;(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否,并说明理由:(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(12,0.25);(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中的次品数Y~B(6,0.1).4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.7.4.2超几何分布探究公式一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-k N-kC n N,k=m,m+1,m+2,⋯,r其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution).探究公式随机变量X服从超几何分布,则E(X)=nM N4从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.5一批零件共有30个,其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测,求至少有1件不合格的概率.6一个袋子中有100个大小相同的球,其中有40个黄球、60个白球,从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球,求X的分布列;(2)分别就有放回摸球和不放回摸球,用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例,求误差不超过0.1的概率:练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券,每张奖券奖励饮料一罐,从中任意抽取2罐,求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.习题7.4复习巩固1.抛掷一枚骰子,当出现5点或6点时,就说这次试验成功,求在30次试验中成功次数X的均值和方差.2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次的射击中,恰好有一次未击中目标的概率是多大.3.如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点;(2)质点位于4的位置.4.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张,求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001).综合运用5.某射手每次射击击中目标的概率为0.8,共进行10次射击,求(精确到0.01):(1)恰有8次击中目标的概率;(2)至少有8次击中目标的概率.6.有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).7.一个车间有3台车床,它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X,在下列两种情形下分别求X的分布列.(1)假设这3台车床型号相同,它们发生故障的概率都是20%;(2)这3台车床中有A型号2台,B型号1台,A型车床发生故障的概率为10%,B型车床发生故障的概率为20%.拓广探索8.某药厂研制一种新药,宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人,经过使用该药治疗后,治愈的人数不超过6人,你是否怀疑药厂的宣传.7.5正态分布思考原理取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuous random var iable).思考原理对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal distribution ),记为X∼Nμ,σ2.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.思考原理由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1;σ2π(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.探究公式若X∼Nμ,σ2,则E(X)=μ,D(X)=σ2.1李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3)如果某天有38min可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.练习1.设随机变量X~N(0,1),则X的密度函数为,P X≤0≈,P X ≤1≈,P X≤1≈,P(X>1)≈.(精确到0.0001.)2.设随机变量X~N0,22,随机变量Y~N0,32,画出分布密度曲线草图,并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系,以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系.3.举出两个服从正态分布的随机变量的例子.习题7.5复习巩固1.对某地区数学考试成绩的数据分析,男生成绩X服从正态分布N72,82,女生成绩Y服从正态分布N74,62.请你从不同角度比较男、女生的考试成绩.2.某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N170,52,随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:(1)165<X≤175;(2)X≤165;(3)X>175.3.若X~Nμ,σ2,则X位于区域[μ,μ+σ]内的概率是多少?综合运用4.袋装食盐标准质量为400g,规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.假设误差服从正态分布,随机抽取100袋食盐,误差的样本均值为0,样本方差为4.请你估计这批袋装食盐的合格率.复习参考题7复习巩固1.举例说明P(B)与P(B∣A)没有确定的大小关系.2.抛掷两枚质地均匀的骰子,求:(1)两个点数都出现偶数的概率;(2)已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下,第二枚骰子的点数也是偶数的概率.3.假设有两箱零件,第一箱内装有10件,其中有2件次品;第二箱内装有20件,其中有3件次品.现从两箱中随意挑选一箱,然后从该箱中随机取1个零件.(1)求取出的零件是次品的概率;(2)已知取出的是次品,求它是从第一箱取出的概率.4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示:X012P0.361-2q q2求:(1)常数q的值;(2)E(X)和D(X).5.已知随机变量X取可能的值1,2,⋯,n是等可能的,且E(X)=10,求n的值.6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3,现存n门大炮同时对某一目标各射击一次.(1)当n=10时,求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001);(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%,至少需要多少门大炮?综合运用7.长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生,求他近视的概率.8.某商场要在国庆节开展促销活动,促销活动可以在商场内举行,也可以在商场外举行.统计资料表明,每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元;商场外的促销活动,如果不遇到有雨天气可获得利润8万元,如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元.9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%,商场应该选择哪种促销方式?9.一份某种意外伤害保险费为20元,保险金额为50万元.某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单,而需要赔付的概率为10-5.利用计算工具求(精确到0.0001):(1)这家保险公司亏本的概率;(2)这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率.拓广探索10.甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求n次传球后球在甲手中的概率.11.某单位有10000名职工,想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者.假设携带病毒的人占5%,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法:随机地按5人一组分组,然后将各组5个人的血样混合再化验.如果混合血样呈阴性,说明这5个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就。
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A.20 B.25
C. 30 D.40
5. 甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 分, 负者得 分,比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 的期望 为( )
14.2016年国家已全面放开“二胎”政策,但考虑到经济问题,很多家庭不打算生育二孩,为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关,现随机抽查了某四线城市 个一孩家庭,它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
家庭月收入(单位:元)
千以下
千~ 千
千~ 千
千~ 万
万~ 万
万以上
调查的总人数
有二孩计划的家庭数
(1)由以上统计数据完成如下 列联表,并判断是否有 的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关?说明你的理由.
(方法二)打完5局后能结束比赛的情况是:甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜,其概率等于 ,所以,打完5局后仍不能结束比赛的概率等于 .11.3源自【解析】略12.27
【解析】
13.(Ⅰ) ;(Ⅱ)随机变量 的分布列为
【解析】
试题分析:(Ⅰ)这是一个独立重复试验,比赛进行 局结束,且乙比甲多得 分,只能是前两局乙胜一局,3,4局乙连胜,根据独立重复试验从而求出,值得注意的是,做这一类题,一定分析清楚,否则容易出错;(Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数, 只能取值 ,不能为3,5,分别求出 的取值为 的概率,列分布列,从而求出数学期望,易错点为 的取值不正确,导致分布列错误。
收入不高于 千的家庭数
收入高于 千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
(2)若二孩的性别与一孩性别相反,则称该家庭为“好字”家庭,设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响,设收入在 千~ 万的 个有二孩计划家庭中“好字”家庭有 个,求 的分布列及数学期望.
则其概率为C53×( )2×( )3= ,
故选D.
点评:本题考查相互独立事件的概率的计算,其难点在于分析质点P移动五次后位于点(-1,0)的实际平移的情况,这里要借助排列组合的知识.
9.
【解析】
试题分析:由题意得,令 ,得 ,令 ,得 ,两式相减,得 ,所以 .
考点:赋值法的应用.
10.
【解析】(方法一)打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局,另一个人胜2局,其概率为 .
三、解答题
13.我校社团联即将举行一届象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得 分,负者得 分,比赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜负互不影响.
(Ⅰ)求比赛进行 局结束,且乙比甲多得 分的概率;
(Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列和数学期望.
下面的临界值表供参考:
参考答案
1.A
【解析】
试题分析:由题意得事件 的个数为 ,事件 的个数为 ,在 发生的条件下 发生的个数为 ,在 发生的条件下 发生的个数为 ,所以 , .故正确答案为A.
考点:1.计数原理;2.条件概率.
2.A
【解析】略
3.B
【解析】
4.B
【解析】
试题分析: 枚硬币正好出现 枚正面向上, 枚反面向上的概率为 ,由题意可知 服从 的二项分布,所以数学期望为 ,故本题选B.
数学学科自习卷(二)
一、选择题
1.将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率 , 分别是( )
A. , B. , C. , D. ,
2.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 的值为
A. B. C.5D.3
3.已知随机变量 ~ ,若 ,则
A. 0B. 1C. 2D. 4
A. B. C. D.
6.现在有 张奖券, 张 元的, 张 元的,某人从中随机无放回地抽取 张奖券,则此人得奖金额的数学期望为( )
A. B. C. D.
7.一个篮球运动员投 篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c, ,且无其它得分情况,已知他投篮一次得分的数学期望为1,则ab的最大值为()
分析:根据题意,分析可得质点P移动五次后位于点(-1,0),其中向左移动3次,向右移动2次,进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况,由相互独立事件的概率公式,计算可得答案.
解答:解:根据题意,质点P移动五次后位于点(-1,0),其中向左移动3次,向右移动2次;
其中向左平移的3次有C53种情况,剩下的2次向右平移;
6.B
【解析】
试题分析:当取三张都是两元的得奖金额是 元;当取两张两元一张五元得奖金额是 元; 当取一张两元两张五元得奖金额是 元.故得奖金额为 ,对应的概率分别是 ,故其数学期望是 ,应选B.
考点:概率和数学期望的计算.
7.B
【解析】略
8.D
【解析】
考点:n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
专题:计算题.
考点:二项分布与数学期望.
5.B
【解析】
试题分析:由已知, 的可能取值是
设每局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还要继续,则甲,乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以
所以 故选B.
考点:1.相互独立事件的概率;2.数学期望.
【名师点睛】解答本题,关键在于准确理解题意,利用独立事件的概率计算公式,计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式,也是对考生的考验.
11.设 是离散型随机变量, ,且 ,又 ,则 的值为_______.
12.某车站每天 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为
到站的时刻
8:10
9:10
8:30
9:30
8:50
9:50
概率
一旅客8:20到站,则它候车时间的数学期望为_______。(精确到分)
A. B. C. D.
8.位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动:电子兔每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为 ,向右移动的概率为 ,则电子兔移动五次后位于点 的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.已知 ,则 ______.
10.乒乓球比赛采用7局4胜制,若甲、乙两人实力相当,获胜的概率各占一半,则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.