硕士研究生数值分析试卷

数值分析（研究生，2008-12-15）

（ 分）求函数⎩⎨⎧≤≤++<≤-+=1

0,101,1sin )(2x x x x x x f 在区间☯ ， 上的最佳平方逼近式

x e a x a a x 210)(++=φ。

．（ 分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----110141012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的 条件数和谱条件数。

（ 分）已知函数x x f sin )(=在36.0,34.0,32.0210===x x x 处的值分别为352274.0,333487.0,314567.0210===y y y 。用☹♋♑❒♋⏹♑♏插值多项式对3167.0=x 的函数值进行近似计算，并估计近似计算的误差界。

（ 分）用☠♏♦♦☐⏹迭代法求方程0ln 2=+x x 在区间（ ，2

π）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

（ 分）用☝♋◆♦♦♏♓♎♏●迭代法解方程组

⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---542834*********x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T

x =，估计达到 位有效数字需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

 （ 分）应用拟牛顿法解非线性方程组

⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.

12,2322112221x x x x x x 取T x ]1,0[)0(= ，终止容限210

-=ε。 （ 分） 求解矛盾方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++2

32328

.12221

321321321321x x x x x x x x x x x x

（ 分）用复合 ♓❍☐♦☐⏹公式计算积分

⎰=2

1sin )(xdx f I 讨论在误差要求不超过410-的条件下的步长。

数值分析（研究生， ）

（ 分）求函数x x f =)(在区间☯， 上关于权函数3

1)(x x w =的最佳逼近多项式.)(2cx bx a x ++=φ

．（ 分）利用乘幂法计算下列矩阵的主特征值和相应的特征向量

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121012，初始向量为T x ]0,0,1[0=（要求结果有三位有效数字）。同时计算该矩阵的∞ 条件数和谱条件数。

（ 分）假定给出函数x x f sin )(=的等距点函数表)11(≤≤-x 。若用二次抛物线插值求x sin 的近似值，要使截断误差不超过310-，问使用函数表的步长h 应取多少？

（ 分）用☠♏♦♦☐⏹迭代法求方程032=-x e x 在区间（ ， ）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解具有四位有效数字。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。

（ 分）用 迭代法解方程组

⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---042830261016321x x x 取初始近似向量0[0,0,0]T

x =，估计达到精度达到310-需要的迭代次数，并实际计算之。就该具体问题分析计算过程中总的乘除法计算量。

 （ 分）应用拟牛顿法解非线性方程组 ⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=++=+32,1222y z x e e x y xyz z xy

取T ]1,1,1[作为初始值，终止容限210-=ε。

（ 分） 求数据（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）的最小二乘拟合.)(210x a a x +=φ

（ 分）用复合 ♓❍☐♦☐⏹公式计算积分 ⎰=1

0cos )(xdx e f I x 讨论在误差要求不超过210-的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。