数值计算方法 第三章 多项式插值与函数逼近(1)
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b a
b
W ( x )dx
2 ( x ) ( x ) ( x ) f ( x )W ( x )dx
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
将 ( x ) 代入前式：
( i , f ) i ( x ) f ( x )W ( x )dx i 0,1, 2,
令
Gn ( , ) i j ( n1)( n1)
n
i , j 0,1,
,n
称矩阵
Gn 是关于函数系 j ( x ) j 0的Gram(格拉姆)矩阵
2
,
1 x
,x
n
1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx
指数函数系：
e
0 x
,e ,
,e
n x
函数逼近构造思想： 要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小
误差度量标准：
（1）
a xb
b
max f ( x ) ( x )
a
（2）
f ( x ) ( x ) W ( x )dx
j 0
0 ( x),1 ( x), ,n ( x) 为区间[a , b] 上的一个线性无关函数系
c0 , c1 ,
, cn 为一组实常数。
,x
广义多项式
n1
若线性无关函数系取 1, x, x 2 ,
,x
n
就是我们前面讨论的多项式逼近
常用的函数系： 幂 函数系： 1, x, x 三角函数系：
( x ) 在[a,b]上的最佳平方逼近.
由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题
记
F (a0 , a1 ,
b
, an )
f ( x ) ( x ) W ( x )dx a
b 2
由极值的必要条件
F ak ak
b a
f ( x) ( x) W ( x)dx 0 k 0,1,
p n a
一致逼近
Lp逼近
二、最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/
假设 f ( x ) C[a, b] ， j ( x )
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , W ( x ) 为[a,b]上的一个权函数 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
§6 函数逼近/* Approximation of Function */
一、函数逼近问题的提法
假设 f ( x ) 是定义在某区间 [a , b]上的函数，现寻求另一个构 造简单、计算量小的函数 ( x )来近似地代替：
n
( x ) c00 ( x )
cn n ( x ) c j j ( x )
2 a
,n
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,
,n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
a
b
k 0,1, 2,
,n
记
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
a
b
k 0,1, 2,
b a b
,n
,n ,n
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,
a
( x) a00 ( x) ann ( x ) ( 0 , 0 )a0 ( 0 , 1 )a1 ( 0 , n )an ( 0 , f ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) ( n , 0 )a0 ( n , 1 )a1 ( n , n )an ( n , f )
p
对于给定的函数系
使得函数 ( x ) （1） （2）
n a x b
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,
, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：
x ( x0 , x1 ,
T T
, xn ) 0
T
x Gn x 0
T
x Gn x x ( , ) x i j ( n1)( n1)
( xk k ( x ), xk k ( x ))
k 0 k 0
n
n
0
a a
即
f ( x) ( x) W ( x)dx min
b 2 a
记
Baidu Nhomakorabea
D
f ( x ) ( x ) a
b b
2
W ( x )dx
2
f ( x ) ( x ) a b 2 D ( x ) ( x ) W ( x )dx a
上述方程组存在唯一解
设由上述方程组的解确定的广义多项式为：
( x) a00 ( x) a11( x)
对于任意广义多项式
ann ( x) bnn ( x)
2
( x) b00 ( x) b11( x)
下面证明
b 2 b
f ( x) ( x) W ( x)dx f ( x) ( x) W ( x)dx
b
a0 , a1 , , an ( x) a00 ( x )
2
ann ( x )
f ( x) ( x) W ( x)dx min
a
称函数 ( x )为 f
( x ) 在[a,b]上关于权函数 W ( x ) 的最佳
平方逼近或最小二乘逼近；特别，若W ( x ) 1 ，则称 ( x ) 是f
b
W ( x )dx
2 ( x ) ( x ) ( x ) f ( x )W ( x )dx
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
将 ( x ) 代入前式：
( i , f ) i ( x ) f ( x )W ( x )dx i 0,1, 2,
令
Gn ( , ) i j ( n1)( n1)
n
i , j 0,1,
,n
称矩阵
Gn 是关于函数系 j ( x ) j 0的Gram(格拉姆)矩阵
2
,
1 x
,x
n
1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx
指数函数系：
e
0 x
,e ,
,e
n x
函数逼近构造思想： 要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小
误差度量标准：
（1）
a xb
b
max f ( x ) ( x )
a
（2）
f ( x ) ( x ) W ( x )dx
j 0
0 ( x),1 ( x), ,n ( x) 为区间[a , b] 上的一个线性无关函数系
c0 , c1 ,
, cn 为一组实常数。
,x
广义多项式
n1
若线性无关函数系取 1, x, x 2 ,
,x
n
就是我们前面讨论的多项式逼近
常用的函数系： 幂 函数系： 1, x, x 三角函数系：
( x ) 在[a,b]上的最佳平方逼近.
由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题
记
F (a0 , a1 ,
b
, an )
f ( x ) ( x ) W ( x )dx a
b 2
由极值的必要条件
F ak ak
b a
f ( x) ( x) W ( x)dx 0 k 0,1,
p n a
一致逼近
Lp逼近
二、最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/
假设 f ( x ) C[a, b] ， j ( x )
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , W ( x ) 为[a,b]上的一个权函数 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
§6 函数逼近/* Approximation of Function */
一、函数逼近问题的提法
假设 f ( x ) 是定义在某区间 [a , b]上的函数，现寻求另一个构 造简单、计算量小的函数 ( x )来近似地代替：
n
( x ) c00 ( x )
cn n ( x ) c j j ( x )
2 a
,n
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,
,n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
a
b
k 0,1, 2,
,n
记
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
a
b
k 0,1, 2,
b a b
,n
,n ,n
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,
a
( x) a00 ( x) ann ( x ) ( 0 , 0 )a0 ( 0 , 1 )a1 ( 0 , n )an ( 0 , f ) (1 , 0 )a0 (1 , 1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) ( n , 0 )a0 ( n , 1 )a1 ( n , n )an ( n , f )
p
对于给定的函数系
使得函数 ( x ) （1） （2）
n a x b
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,
, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：
x ( x0 , x1 ,
T T
, xn ) 0
T
x Gn x 0
T
x Gn x x ( , ) x i j ( n1)( n1)
( xk k ( x ), xk k ( x ))
k 0 k 0
n
n
0
a a
即
f ( x) ( x) W ( x)dx min
b 2 a
记
Baidu Nhomakorabea
D
f ( x ) ( x ) a
b b
2
W ( x )dx
2
f ( x ) ( x ) a b 2 D ( x ) ( x ) W ( x )dx a
上述方程组存在唯一解
设由上述方程组的解确定的广义多项式为：
( x) a00 ( x) a11( x)
对于任意广义多项式
ann ( x) bnn ( x)
2
( x) b00 ( x) b11( x)
下面证明
b 2 b
f ( x) ( x) W ( x)dx f ( x) ( x) W ( x)dx
b
a0 , a1 , , an ( x) a00 ( x )
2
ann ( x )
f ( x) ( x) W ( x)dx min
a
称函数 ( x )为 f
( x ) 在[a,b]上关于权函数 W ( x ) 的最佳
平方逼近或最小二乘逼近；特别，若W ( x ) 1 ，则称 ( x ) 是f