2.1.2(一)函数的表示方法教案学生版
2.1.1(一)变量与函数的概念教案学生版
第二章函数§2.1函数2.1.1函数第1课时变量与函数的概念【学习要求】1.通过丰富实例，加深对函数概念的理解，学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2.了解构成函数的三要素．3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．【学法指导】通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数的概念：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.2.区间概念：设a，b∈R，且a<b.(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作[a，b]．(2)满足a<x<b 的全体实数x的集合，叫做开区间，记作(a，b)．(3)满足a≤x<b或a<x≤b的全体实数x的集合，叫做半开半闭区间，分别记作[a，b)或(a，b]．(4)满足x≥a，x>a，x≤a，x<a的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞) ，(a，＋∞)，(－∞，a] ，(－∞，a) .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质．对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强．但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．探究点一变量与函数的概念问题1阅读教材29－30页中的(1)，(2)，(3)，(4)四个函数关系的例子，指出这四个例子的共同特点是什么？变量之间的对应关系采用什么形式表达的？问题2从上述的四个例子中，你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量？问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点？问题4确定一个函数最少需要几个要素？为什么？问题5若检查给定两个变量之间是否具有函数关系，只须检查什么？例1对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．A．1个B．2个C．3个D．4个跟踪训练1下列函数中哪个与函数y＝x相等？(1)y＝(x)2；(2)y＝3x3；(3)y＝x2；(4)y＝x2x.探究点二区间的概念问题1阅读教材31页下半段，然后回答区间的概念是如何定义的？问题2实数集R及x≥a，x>a，x≤b，x<b如何用区间表示？问题3在数轴上如何表示区间[a，b]、(a，b)、[a，b)、(a，b]、[a，＋∞)、(a，＋∞)?探究点三求函数的定义域导引在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合．问题1对于一个确定的函数关系式，我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域？问题2在初中已学函数的定义域和值域是怎样的？例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1x－2；(2)f(x)＝3x＋2；(3)f(x)＝x＋1＋12－x.跟踪训练2 求函数f(x)＝1x ＋1的定义域．探究点四 求函数值和值域例3 求函数f(x)＝1x 2＋1(x ∈R)，在x ＝0,1,2处的函数值和值域．跟踪训练3 求下列函数的值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝x ＋1.例4 (1)已知函数f(x)＝x 2，求f(x －1)； (2)已知函数f(x －1)＝x 2，求f(x)．跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x 2)的定义域．(2)已知函数f(2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中，不正确的是 ( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应法则确定后，函数值域也就确定D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( )A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应3.已知函数f(1－x 1＋x)＝x ，求f(2)的值．课堂小结：1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可.2. f(x)是函数符号，f 表示对应法则，f(x)表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不同的函数中f 的具体含义不同，由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.。
精选教案设计思路(精选5篇
精选教案设计思路(精选5篇一、教学内容本节课选自《高中数学》教材第二章“函数的概念与性质”，具体包括2.1节“函数的定义”及2.2节“函数的性质”。
详细内容涉及函数的定义、表示方法、图像以及单调性、奇偶性等基本性质。
二、教学目标1. 让学生掌握函数的定义，理解函数的概念；2. 培养学生运用函数图像分析函数性质的能力；3. 使学生能够运用函数的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：函数单调性、奇偶性的判断及运用。
教学重点：函数的定义、图像及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备；2. 学具：教材、练习本、函数图像绘制工具。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如气温变化、人口增长等，让学生感受到函数在生活中的应用。
2. 基本概念：讲解函数的定义，引导学生理解函数的表示方法。
3. 图像绘制：以具体函数为例，演示函数图像的绘制方法，让学生动手实践。
4. 例题讲解：分析具体函数的性质，如单调性、奇偶性，并给出判断方法。
5. 随堂练习：让学生尝试解决实际问题，运用函数性质进行分析。
六、板书设计1. 函数的定义与性质2. 定义：函数的定义、表示方法、图像3. 性质：单调性、奇偶性4. 例题：具体函数性质分析5. 练习：实际问题解决七、作业设计1. 作业题目：（1）判断下列函数的奇偶性：f(x) = x^3, g(x) = x^2 1；（2）已知函数h(x) = 2x + 3，求证：h(x)为增函数；（3）绘制函数y = |x|的图像，并分析其性质。
2. 答案：（1）f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；（2）任取x1 < x2，则h(x1) < h(x2)，故h(x)为增函数；（3）图像为对称于y轴的折线，y = |x|为偶函数。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：关注学生对函数概念的理解，加强对函数性质判断方法的指导；2. 拓展延伸：引入更复杂的函数，如复合函数、分段函数等，提高学生解决问题的能力。
人教版高数必修一第4讲：函数的表示方法(学生版)
函数的表示方法__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2(2)y x x =-≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒：解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
指数函数图像与性质教学设计精选10篇
指数函数图像与性质教学设计精选10篇指数函数及其性质教学设计解读篇一《2.1.2 指数函数及其性质(2 》教学设计【学习目标】1.知识与技能①.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。
②.掌握指数函数的性质及应用。
③.理解指数函数的简单应用模型, 认识数学与现实生活及其他学科的联系。
2.情感、态度、价值观①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
②培养学生观察问题，分析问题的能力。
③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；3.过程与方法让学生通过观察函数图象，进而研究指数型函数的性质, 主要通过小组讨论、小组展示、及时评价完成整个导学过程【学习重点】熟练掌握指数函数的的概念，图象和性质及指数型增长模型。
【学习难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、指数型函数的图象，性质。
【导学过程】教学内容师生互动设计意图互查每组两名同学互查识记内容教师提问记忆方法，学生回答，其他同学可以相互借鉴。
复习指数函数的图象及性质，为本节课中的内容储备知识基础。
展系吗？→请用一句话概括下图是指数函数2x y =, 3xy =, 0.3x y =, 0.5x y =的图象，请指出它们各自对应的图象。
教师随时点评，引导，欣赏，鼓励。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可让学生从图象直观的理解指数函数，从变化中找到不变的规律，提高学生的总结归纳能示交流结论：针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
力教学内容师生互动设计意图展示交流探究二：指数形式的函数定义域、值域：求下列函数的定义域、值域：(121 x y =+,(2y =,(3 1 4 2x y-=.首先提问给出的三个函数是否是指数函数，加深学生对指数函数概念的理解。
学生小组讨论，交流。
每组选派一名代表课堂上展示交流成果，组内同学补充。
其他同学可针对展示交流成果提出问题，进一步加深理解。
所给函数虽然不是指数函数，但是由指数函数得到的复合函数，其性质与指数函数密切相关，通过训练能够培养学生的创造性思维能力。
函数的表示法教案三篇
函数的表示法教案三篇函数的表示法教案一篇一、目的要求1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、函数及其图象这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
函数的表示方法》教案
函数的表示方法》教案缺点：对于非常复杂的函数，解析式可能很难得到或者很难处理．2)用列表法表示函数关系优点：适用于简单的函数，易于列出表格，易于找出自变量和函数值之间的对应关系．缺点：难以处理连续变化的函数，也难以处理非常复杂的函数．3)用图象法表示函数关系优点：通过图像可以直观地看出函数的性质，能够帮助我们更好地理解函数的变化规律．缺点：图象法只适用于可视化的函数，不适用于非常复杂的函数或者无法可视化的函数．个人看法：三种表示函数的方法各有其优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法来表示函数关系．在实际应用中，可以根据问题的性质和需要，选择最适合的方法来解决问题．四．拓展应用1、分段函数的概念；2、设计掷骰子游戏的分段函数；3、小结．函数的表示方法》教案教学目标：1.知识目标：1) 掌握函数的三种常见表示方法；2) 了解函数表示形式的多样性，以及如何进行转化；3) 能够根据要求求出函数的解析式，了解分段函数及其简单应用。
2.能力目标：1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；2) 使学生初步认识如何用函数的知识解决具体问题；3) 使学生初步了解数形结合的思想方法。
3.情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题。
教学重难点：重点：对函数图象的分析。
难点：通过函数的解析式分析函数的图象。
教学过程：一．复引入1.复函数的概念和定义域对应法则；2.回顾初中时如何作函数y=2x+1的图象。
二．概念形成1.引入人口普查实例，讨论列表法表示函数关系的优缺点；2.探讨图象法表示函数关系的优缺点；3.解析法表示函数关系的定义和优缺点。
三．概念深化1.讨论三种表示函数的方法各自的优缺点；2.总结如何根据问题的性质和需要选择最适合的方法来表示函数关系。
四．拓展应用1.引入分段函数的概念；2.设计掷骰子游戏的分段函数；3.小结。
改写后的教案通过删除明显有问题的段落，剔除了格式错误，同时对每段话进行了小幅度的改写，使其更加简洁明了，易于理解。
《函数的表示方法》教案
《函数的表示方法》教案教学目标1、知识目标：(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化;(3)根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用.2、能力目标：(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．教学重难点：重点：对函数图象的分析．难点：通过函数的解析式分析函数的图象．教学过程：一．复习引入1、函数的概念；2、函数的定义域和对应法则；问题1：初中时我们是如何作函数y = 2x + 1的图象的？师生互动:教师提出问题，学生思考后回答问题．设计意图：通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．二．概念形成投影出P38人口普查实例．问题2：所列表格能否表示一个函数？为什么？1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．问题3：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？2、图象法：如果图形F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．问题4：我们在作作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法． 师生互动：教师逐一提出问题，学生思考后回答，依次引入函数的三种常见的表示方法． 设计意图：通过生活中的实际问题，使学生进一步认识到，数学源于生活；通过对学生熟悉的问题1引入函数的三种常见的表示方法，使学生感受到本课所学的知识仅仅是以前所学知识的概括与深化．三．概念深化问题5：三种表示函数的方法各有优缺点．请你认真思考、对比，或与周围的同学研究、探讨一下，然后谈谈你的看法，供其他同学参考和借鉴．4、三种表示函数的方法各有优缺点：(1) 用解析法表示函数关系优点：简间明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算．(2) 用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．(3) 用图象法表示函数关系优点：形象直观．可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．师生互动：教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．设计意图：通过对函数三种表示方法的优缺点比较，使学生进一步理解概念，并在今后的学习中学会根据情况选择恰当的表示方法.四．应用举例例1作函数y 的图象．例2 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元。
2.1 函数及其表示(新授学生版)
1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计 (2)
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计一、教学目标1.知道函数的基本定义；2.能够利用自变量和因变量的关系来表示函数；3.能够描述二元函数的定义域和值域；4.能够解决简单函数问题。
二、教学重点和难点教学重点：1.函数的基本定义；2.函数的表示方法；3.二元函数的定义域和值域。
教学难点：1.函数的概念及其性质；2.函数的不同表示方法的转化。
三、教学过程设计3.1 导入新知识引导学生回忆什么是一元二次方程，以及它的图像长什么样子。
引导学生思考为什么该方程可以描述某个物体的运动轨迹。
引出函数的概念，引导学生明确函数是一种描述自变量和因变量之间关系的方法。
3.2 函数的基本定义介绍函数的基本概念：一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一的对应关系，这个对应关系可以用一个函数来表示。
通过实际例子，引导学生理解函数的定义。
3.3 函数的表示方法介绍函数的三种表示方法：函数图像、符号表示法和表格表示法。
通过实例演示将三种方法之间的相互转化。
3.4 二元函数的定义域和值域引入二元函数的概念，介绍其定义域和值域。
通过实例演示将二元函数的定义域和值域计算出来，并且学会将它们用符号表示法表示出来。
3.5 课堂练习在课堂上，提供一些函数的问题，让学生分别考虑如何用三种不同表示方法来描述函数。
例题：一个人在跑步，与时间的关系可以近似认为是线性函数。
已知他在5秒时跑了10米，在15秒时跑了30米，求在30秒时他会跑多少米？3.6 实践操作让学生在班内测量身高和步长，计算出身高与步长之间的关系，引导学生将其用函数的三种表示方法表示出来。
3.7 课堂小结通过本节课的教学，学生理解了函数的概念及其三种表示方法，能够判断和描述二元函数的定义域和值域，同时学会了处理简单函数问题。
四、教学反思在教学中，需要理清函数的基本概念、性质和表示方法的不同相互转化。
此外，需要注意让学生通过实际案例来理解函数的定义和概念，使学生在学习过程中更容易接受和理解新的知识。
函数的表示方法教案
函数的表示方法教案《函数的表示方法教案》一、教学目标1.了解函数的定义和表示方法。
2.掌握常见函数的表示方法。
3.能够运用函数的表示方法解决实际问题。
二、教学重点和难点1.函数的定义和表示方法。
2.函数表示方法的运用。
三、教学准备1.教师准备：课件、黑板、白板、笔等。
2.学生准备：教材、课堂笔记。
四、教学过程Step 1 引入新知识 (5分钟)教师通过举例子引入函数并进行讲解，如：小明每天跑步的时间与他所跑的距离之间的关系可以用一个函数表示。
Step 2 定义函数 (10分钟)教师解释函数的定义及其特点，即每个自变量对应唯一的一个因变量。
Step 3 函数的表示方法 (20分钟)1.函数的文字表示方法教师通过例题让学生掌握如何用文字表示函数。
示例1：设 y 是 x 的一个函数。
a) y = 3x + 2，表示 y 是 x 的一个函数，且函数关系为 y = 3x + 2。
b) f(x) = 3x + 2，表示 y 是 x 的一个函数，且函数名为 f，函数关系为 f(x) = 3x + 2。
2.函数的图像表示方法教师通过绘制函数的图像让学生了解函数的图像表示方法。
示例2：绘制函数 y = 2x + 1 的图像。
教师先画出坐标系，然后给出几个 x 的值，计算出对应的 y 值，并将这些点连成一条直线。
最后将坐标系内的点进行标注。
3.函数的表格表示方法教师通过给出函数的表格让学生了解函数的表格表示方法。
示例3：给出函数 y = 2x + 1 的表格。
x | y--------0 | 11 | 32 | 53 | 7Step 4 常见函数的表示方法 (15分钟)教师通过讲解常见函数的表示方法来巩固学生对函数表示方法的理解。
示例4：常见的函数表示方法有：a) 幂函数：y = ax^n，其中 a、n 是常数，x 是自变量。
b) 指数函数：f(x) = a^x，其中 a 是常数，x 是自变量。
c) 对数函数：y = loga(x)，其中 a 是常数，x 是自变量。
初升高数学衔接课程 第10讲 函数的概念及其表示(学生版)
第10讲 函数的概念及其表示一、函数的概念1. 函数的概念：一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域.思考：值域(){}f x x A ∈与集合B 是什么关系？ 说明：①“,A B 是非空的实数集”.一方面强调了,A B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.2. 区间的概念 ①设a b <②符号“∞.3. 函数的表示方法①解析法 ；②图象法 ；③列表法. 题型一 函数的概念 例1.在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（1）{}{},A x x Z B y y Z =∈=∈，对应法则:3xf x y →=； （2）{}{}0,,A x x x R B y y R =>∈=∈，对应法则2:3f x y x →=； （3）{}{},A x x R B y y R =∈=∈，对应法则22:25f x x y →+=； （4）,A R B R ==，对应法则2f x y x →=：；（5）{}{}11,,0A x x x R B =-≤≤∈=，对应法则:0f x y →=； （6）(){},,,A x y x R y R B R =∈∈=，对应法则():,f x y S x y →=+；（7）{}{}1,2,3,4,0,1A B ==，对应关系如图：例2.若函数()y f x =的定义域为[]2,2-，值域为[]0,2，则函数()y f x =的图象可能是( )例3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.（1）()()()1,1x x f x g x x x-==-；（2）()()f x g x ==（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-；（4）()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩； （5）()()0,1f x x g x ==.例4.已知函数()()21,f x x x g x x=-=. （1）分别求下列函数值：①()2f = . ②13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ③()f a = .④()21f a -= . ⑤2g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ⑥()2g t = .⑦()()2f g = . ⑧12g f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ⑨2f g t ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若()2f a =，则a = .题型二 函数的定义域 例5.求下列函数的定义域.（1）()()2xf x x x =+（2）()f x =（3）()f x =（4）()()1x f x x x+=-例6.(1) 已知函数()y f x =的定义域为[]1,2，求函数()21y f x =+的定义域； (2) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]3,6，求函数()y f x =的定义域； (3) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]1,3-，求函数()21y f x =-的定义域；(4) 已知函数()1y f x =+的定义域为[)3,7，求函数()2y f x =的定义域；(5) 若函数()y f x =的定义域为[]2,1-，求函数()()()2252f xg x f x x +=++-的定义域.题型三 函数解析式 例7.(1) 已知函数()y f x =为一次函数，满足()()12,20f f ==，求()f x 的解析式； (2) 已知函数()y f x =为一次函数，且()43f f x x =-⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 例8.(1) 已知()2123f x x x -=--，求()f x 的解析式；(2) 已知)1fx =+()f x 的解析式；(3) 已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.例9.(1) 已知()()()()223,3f x g x x x f x g x x x +=-+-=-+，求()f x 的解析式；(2) 已知函数()y f x =满足()()243f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；(3) 已知函数()y f x =满足()1132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.题型四 函数值域 例10.求下列函数的值域：(1)()[]225,1,2f x x x x =-+∈- (2)()25243f x x x =-+(3)()[]21,2,52x f x x x -=∈+ (4)()()21,1,1x f x x x +=∈+∞-(5)()2221=1x f x x -+(6)()2f x =(7)()(]2,1,3f x x x =∈- (8)()2f x x =+-例11. 求下列函数的值域.（1）()212x f x x x +=-+(2)()2254,01x x f x x x ++=>+(3)()[)22231,2,1x x f x x x x ++=∈+∞++ (4)()2224723x x f x x x +-=++题型五 分段函数 例12.(1) 若函数()21,03,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则()()2f f = . (2) 已知()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，若()3f a =，则a = . (3) 已知()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是 .例13. 把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.（1）()=2f x x - (2)()21f x x =-(3)()223f x x x =-- (4)()223f x x x =--跟踪训练1. 下列各图像中，是函数图像的是( )2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数为( )A.0B.1C.2D. 0个或1个均有可能3. 函数()f x =( )A.(],1-∞B.(),1-∞C.[)1,+∞D. ()1,+∞4. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A.1B.1或32C.1或32或5. 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域是( )A.[]0,1B.[)0,1C.[)(]0,11,4D.()0,16. 已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域为( ) A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]1,4-C.[]5,5-D.[]3,7-7. 已知111xf x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()1f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.11xx-+ B.1xC.1D. 08. 已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f a =，则a = .9. 已知()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()5f = .10. 函数(),21,243,4x x f x x x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，若()()3f a f <-，则a 的取值范围是 .11. 已知函数()y f x =满足111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是 .12. 已知函数()f x R ，求实数m 的取值范围.13. 求下列函数的值域：(1)()211f x x =+； (2)()322x f x x +=-； (3)()f x(4)()2211x x f x x ++=+； (5)()2f x x =- (6)()222251x x f x x x ++=++14. 画出下列函数的图像：(1)()2211x x f x x -=-； (2)()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩； (3)()221f x x x =-+。
2.1.2(二)函数的表示方法学生版
1 / 12.1.2 函数的表示方法(二)一、基础过关1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5x ≥6，f x ＋2x <6，则f(3)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0≤x≤12 1<x<23 x ≥2的值域是 ( ) A ．R B ．[0,2]∪{3} C ．[0，＋∞) D ．[3，＋∞)3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x>0，x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值为 ( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－34．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为 ( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米5．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．6．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为________．7．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 －1≤x≤11 x >1或x<－1，(1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 8．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f(x)的解析式． 二、能力提升9．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1x≤0，－2x x>0，使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－5210．在函数y ＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )11．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x)＋x ，则f(x)的解析式为________________． 12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－f(x)＝2x ＋9，求f(x)．三、探究与拓展13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式.。
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案学生版
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式【学习要求】1．理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．2．理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．【学法指导】通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．两点间的距离公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离表示为d(P1，P2)＝|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2；(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是：．2．中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝ . 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们已经知道数轴上的两点A、B的距离|AB|＝|x A－x B|，那么如果已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离d(P1P2)呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一两点间的距离公式问题1在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有怎样的对应关系？有序实数对(x，y)与点P对应时x，y分别叫做什么？问题2在x轴上，已知点P1(x1,0)和P2(x2,0)，那么点P1和P2的距离为多少？问题3在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？问题4如图，已知x轴上一点P1(x0,0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？问题5在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O，A)等于什么？问题6一般地，已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用上述方法求点P1和P2的距离？例1已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求证：△ABC是等腰三角形．跟踪训练1 已知点A(－3,4)，B(2，3)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，并求出d(P，A)．例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练2求函数y＝x2＋1＋x2－4x＋8的最小值．探究点二中点公式问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)是线段AB的中点，如何用A，B点的坐标表示M点的坐标？例3已知▱ABCD的三个顶点A(－3,0)，B(2，－2)，C(5,2)，求顶点D的坐标(如图所示)．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于()A．5 2 B．513 C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则()A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．结论都不正确3．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．课堂小结：1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．。
高中数学教案实例
高中数学教案实例【篇一：高中数学教学案例】课题 : 2.1.2指数函数及其性质一、教学设计思路：1、函数及其图像在高中数学中占有重要的位置，如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心。
我们知道：函数的表示法有3种：列表、图像、解析法，以往函数的学习大多只关注图像的作用，这其实只借助了图像的直观性。
只是从一个角度看函数是片面的。
本节课，力图让学生从不同角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便迁移到其他函数的研究中去。
2、本节课我努力做到：①在课堂活动中通过同伴合作，自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；②在教学过程中努力做到生生对话，师生对话，且在对话之后重视体会、总结、反思、力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习研究数学的方法；③通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
二、教案【篇二：高中数学课堂教学设计案例一则】高中数学课堂教学设计案例一则默认分类2009-10-11 07:29阅读69评论0字号：大中小新课程标准下的高中数学课堂教学设计案例一则一、课堂教学改革势在必行新课标的基本理念是：构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择；倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识。
高度概括地说，老师的教与学生的学就是自主、合作、创新。
所谓自主就是尊重学生学习过程中的自主性、独立性，即在学习的内容上、时间上、进度上，更多地给学生自主支配的机会，给学生自主判断、自主选择和自主承担的机会；合作就是学生之间与师生之间的互动合作，平等交流；创新就意味着不固步自封、不因循守旧、不墨守成规。
传统的教学方式一般以组织教学、讲授知识、巩固知识、运用知识和检查知识来展开，其基本做法是：以纪律教育来维持组织教学，以师讲生听来传授新知识，以背诵、抄写来巩固已学知识，以多做练习来运用新知识，以考试测验来检查学习效果。
高中数学_函数的概念(学生版)
函数的概念知识图谱函数的概念与表示知识精讲一.函数的定义1.传统定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定了一个x 值，相应地就确定唯一的一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量.2.现代定义：设集合A 是一个非空的数集，对于A 中的任何一个数x ，按照某个确定的法则f ，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作()y f x =，x A ∈.其中x 叫做自变量，x 的取值集合A 叫做这个函数的定义域，与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){,}y y f x x A =∈叫做这个函数的值域．二.区间的概念及表示设 , a b ∈R ，且a b <.则 , a b 可以作为端点表示一个区间，区间的长度为b a -.如图所示，其中符号+∞读作“正无穷大”，符号-∞读作“负无穷大”,用,+∞-∞作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.含义名称符号图形表示{|}x a x b≤≤闭区间[,]a b{|}x a x b<<开区间(,)a b{|}x a x b≤<左闭右开区间[,)a b{|}x a x b<≤左开右闭区间(,]a b{|}x x a≥左闭右开区间[,)a+∞{|}x x a>开区间(,)a+∞{|}x x a≤左开右闭区间(,]a-∞{|}x x a<开区间(,)a-∞R开区间(,)-∞+∞数轴上所有点三.映射与函数1.映射的定义设,A B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对A中的任意一个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x.于是()y f x=，x称作y的原象.映射f也可记为：: A Bf→，()x f x→.其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广），由所有象()f x构成的集合叫做映射f的值域，通常记作()f A.2.一一映射如果映射f是从集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射.3.函数与映射的关系（1）映射中的集合可以是数集，也可以是点集或其他集合.例如映射可以是人到物品或者人到成绩的对应关系，函数只能是数字之间的对应关系.映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，是建立在两个非空数集上的映射.（2）在映射:f A B→中：①集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；②不要求集合B中的每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的象，且集合B中的象在A中对应的原象不唯一.若映射是一个函数，则要求集合B中的每一个元素都有原象；（3）映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”和“多对多”.四.函数的表示方法1.列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．2.图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．3.解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．五.复合函数1.定义如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即(),()y f u u g x ==，那么y 关于x 的函数[()]y f g x =叫做复合函数，u 叫做中间变量．如函数21(0,1)x y a a a +=>≠且可以看成是由指数函数(0,1)u y a a a =>≠且和二次函数21u x =+复合而成的．三点剖析一.注意事项1.函数()y f x =，f 代表此函数的对应法则，也可用其他字母表示，如“()y g x =”.2.符号∞不是一个数，而是一个变化趋势.二.方法点拨1.相同函数的判定函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域()f A 和对应法则f .当函数的定义域A 及对应法则f 确定之后，函数的值域()f A 也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域A 和对应法则f 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数；定义域不同而解析式相同的函数要看做是不同的函数.另外，要理解(),()y f x x A =∈的意义，对应法则与我们选择表示自变量的字母没有关系，例如2()f x x =与2()f t t =等都表示同一函数.函数及区间的概念例题1、下列四种说法中，不正确的是（）A.函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D.若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例题2、用区间表示下列集合：1{|}x x >-=__________．{5|2}x x <≤=__________．3{|}x x ≤-=__________．4{|2}x x ≤≤=__________．3{|0x x -≤<,或24}x ≤<__________．例题3、如图，可表示函数y ＝f （x ）的图象的可能是（）A. B. C. D.随练1、下列四个图象中，不是函数图象的是（）A.B.C.D.判断同一函数例题1、下列函数中哪个与函数y x =相等（）A.2(y x = B.33y x= C.2y x= D.2x y x=例题2、下列各组函数表示同一函数的是（）A.293x y x -=-与y =x +3B.21y x =-与y =x -1C.y =x 0（x ≠0）与y =1（x ≠0）D.y =2x +1，x ∈Z 与y =2x -1，x ∈Z例题3、下列各组函数中，表示同一组函数的是（）A.f （x ）＝x －2，21()31x g x x -=-- B.f （x ）＝x ，2()(g x x =C.2()f x x =g （x ）＝x D.f （t ）＝|t －1|，1,1()1,1x x g x x x -≥⎧=⎨-+<⎩随练1、下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()-1f x x =与()221x x x g -+= B.()f x x =与()2g x x x=C.()f x x =与()33g x x =D.()242x x x f --=与()2g x x =+随练2、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.f （x ）=2x ，g （x ）=x ）2B.f （x ）=（x -1）0，g （x ）=1C.f （x ）=211x x --，g （x ）=x +1D.f （x ）2x ，g （t ）=|t |映射与函数例题1、设A 到B 的函数2:(1)f x y x →=-，若集合{0,1,2}A =，则集合B 不可能是（）A.{0,1}B.[0,1,2]C.{0,1,2}-D.{0,1,1}-例题2、给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）A.只有①②B.只有①④C.只有①③④D.只有③④例题3、下列从集合A 到集合B 的对应中，是映射的是（）A.A ＝{0，3}，B ＝{0，1}；f ：x→y ＝2xB.A ＝{－2，0，2}，B ＝{4}；f ：x→y ＝|x|＋1C.A ＝R ，B ＝{y|y ＞0}；f ：14x y x →=D.A ＝R ，B ＝R ；f ：x→y ＝－x ＋1随练1、已知集合A 到B 的映射31f x y x →=+：，若B 中的一个元素为7，则对应的A 中原像为（）A.22B.17C.7D.2函数的表示方法例题1、如果函数f x g x （），（）分别由下表给出x 123f （x ）132x 123g （x ）321则1g （）的值为，[]1f g （）的值为．例题2、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A.y=[10x ]B.y=[310x +]C.y=[410x +]D.y=[510x +]例题3、如图，在△AOB 中，点A （2，1），B （3，0），点E 在射线OB 上自O 开始移动，设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积S ，则函数S ＝f （x ）的图象是（）A.B.C.D.随练1、如图，等腰梯形的下底边AB =2，上底边CD =1，两腰AD =BC =1，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为（）A. B. C. D.随练2、某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是．函数的定义域知识精讲一．函数定义域的三种类型解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含以下几种类型：1．自然型：指使函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围.2．限制型：指命题的条件或人为对自变量x 的限制，这是函数学习中重点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；3．实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义．二．具体函数的定义域1．如果()f x 是整式，则()f x 的定义域就是实数集R ；2．如果()f x 是分式，则要求分母不为0；3．如果是()f x 的偶次根式，即形如())*2n f x n N ∈时，则要求()0f x ≥；4.0y x =的定义域是{}0x x ≠；5．如果()f x 是由多项构成的，那么函数的定义域是每项都有意义的x 的集合．三．抽象函数的定义域抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数．求抽象函数的定义域有以下四种基本题型：1．已知()f x 的定义域为A ，求[()]f g x 的定义域.由()g x A ∈解出x 的范围，即为[()]f g x 的定义域.2．已知[()]f g x 的定义域为A ，求()f x 的定义域.()f x 的定义域就是()g x 的值域，其中x A ∈.3．已知[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由[()]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得[()]f h x 的定义域．4．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．三点剖析一．注意事项1.当函数()y f x =用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合.2.当函数()y f x =用图象给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数x 的集合.3．定义域不同，而对应法则相同的函数，是两个不同的函数．4．若未加以特别说明，函数的定义域是指使这个式子有意义的所有x 的集合，在实际问题中，还必须考虑x 所代表的具体量的取值范围．具体函数的定义域例题1、已知函数229xy x -=-，其定义域为（）A.(-),2∞ B.(-],2∞C.()-(,3]--3,2∞⋃ D.[)(2,33),⋃+∞例题2、函数23x x x f =-（）的定义域为（）A.[0,3]2 B.[0]3， C.[30]-， D.03（，）例题3、函数1y x x =-+）A.{}1|x x ≤B.{}0|x x ≥C.{1|x x ≥或0}x ≤D.{}1|0x x ≤≤随练1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）函数f （x ）=1x ++12x-的定义域为____。
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计概述本教学设计以人教版高中数学必修1(B版)第2章1节“函数的概念与表示”中2.1.2小节“函数的表示方法”为重点，以帮助学生全面了解函数的表达方式，确保学生对函数的概念及表示方法有当地的认识。
教学目标•理解初等函数在平面直角坐标系中的分法、象限和对称性等性质。
•掌握用解析式表示函数图象的方法。
•了解用函数关系式表示函数图象的方法。
•掌握幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图象特征。
教学重点•用解析式表示函数图象的方法。
•掌握幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图象特征。
教学难点•了解用函数关系式表示函数图象的方法。
•掌握幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图象特征。
教学准备•PPT课件或黑板•教材《人教版高中数学必修1(B版)》•教学实例、练习题教学过程导入新知识（5分钟）•提问：“你知道什么是函数吗？”•回顾前方内容：“在上节课，我们讲了函数的基本概念及性质。
”•引出重点：“本节课我们将重点学习函数的表示方法。
”理论讲解（20分钟）1.用解析式表示函数图象的方法•用一些例子介绍函数图象分法、象限及对称性等基本概念。
•通过例题演示函数图象的解析式表示方法。
2.用函数关系式表示函数图象的方法•通过例题分析基本的函数图象，让学生了解并掌握不同的函数图象，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
•通过练习题让学生巩固所学知识。
3.幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图象特征•通过幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的图象特征，让学生理解函数图象的形态及其变化规律。
•用一些经典函数的例子，帮助学生掌握函数图象变化的规律。
4.解题策略分析•通过分析解题策略，让学生能够运用所学知识解决实际问题。
•通过课堂例题的演示，让学生更好的理解。
教学实践（25分钟）•通过练习题让学生独立完成题目，检查所学知识掌握程度。
•让学生在小组内交流答案，互相讨论，加深对知识点的理解。
高中数学教学案例
高中数学教学案例 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
课题:§2.1.2指数函数及其性质
灵宝三高李荣娟
一、教学设计思路：
1、函数及其图像在高中数学中占有重要的位置，如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图像语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望和好奇心。
我们知道：函数的表示法有3种：列表、图像、解析法，以往函数的学习大多只关注图像的作用，这其实只借助了图像的直观性。
只是从一个角度看函数是片面的。
本节课，力图让学生从不同角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便迁移到其他函数的研究中去。
2、本节课我努力做到：①在课堂活动中通过同伴合作，自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式；②在教学过程中努力做到生生对话，师生对话，且在对话之后重视体会、总结、反思、力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握学习研究数学的方法；③通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
二、教案
教学
反思
与评
价：
通
过具
有一
定思
考价
值的
问题，激发学生的求知欲望和好奇心，树立数形结合思想，学会“看图说话，并加强指数运算
的计算能力。
通过练习使学生掌握指数函数的简单性质.。
《函数的表示方法》教学设计.doc
《函数的表示方法》教学设计钱蒙娜一、教材分析本节内容为苏教版《数学必修1》中2.1.2 “函数的表示方法”。
在初中学生已经接触过较简单函数的一些不同表示方法，在高中阶段继函数的概念、定义域、值域之后学习函数的表示方法，这部分属于函数三要素Z-,即对应关系的表达方式。
函数学习要“多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深对函数概念的理解。
”在苏教版《数学必修4》中还会继续学习的三角函数，也是非常重要的一类函数模型。
学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。
同时，基于高屮阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。
学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但这是对函数很不全而的认识。
在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。
函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。
特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学牛更好地体会这一重要的数学思想方法。
因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。
二、教学目标根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，我从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观三个维度制订教学目标。
知识与技能：掌握函数常用的三种表示方法（列表法、图象法、解析法），了解函数不同表示方法的优缺点并能根据不同需要选择恰当的方式表示函数；掌握分段函数、复合函数的概念；能根据不同情况求出函数的表达式和定义域。
过程与方法：通过实例，分析比较函数三种不同的表示方法；通过分段函数改变的形成过程，培养学生观察、归纳和抽彖的能力，培养数形结合和分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观：通过对函数不同表示方法的学习，从中体会数学的简洁统一美；通过探究函数的表达式，激发学牛的学习热情。
2.1.2(二)函数的表示方法教案学生版
2.1.2 函数的表示方法(二)【学习要求】1.进一步掌握求函数解析式的方法；2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域；3.学会运用函数图象来研究分段函数．【学法指导】通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)．3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数．探究点一待定系数法求函数解析式问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？问题2用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？例1 设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．探究点二 消去法求函数解析式导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x)，那么如何求函数的解析式？问题1 在一个等式中同时含有f(x)与f(－x)能不能求出函数的解析式？为什么？问题2 仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，那么如何创造条件来求出解析式？例2 已知函数y ＝f(x)满足af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝cx ，x≠0，其中a 、b 、c 都是非零常数，a≠±b，求函数y ＝f(x)的解析式．跟踪训练2 设f(x)满足关系式f(x)＋2f(－x)＝3x ，求f(x)．探究点三 分段函数问题1 作函数的图象通常分哪几步？跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.问题2 在例3和跟踪训练3中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？例4 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 不超过40 g 付邮资160分，超过40 g 不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0<x ≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．跟踪训练4 某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地，在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发是开始)的函数，再把车速v km/h 表示为时间t(h)的函数．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x≤0，x 2， x>0，若f(α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22.已知f(x)＋2f(1x)＝3x ，则f(x)的解析式为____________．3.画出函数y ＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．课堂小结：1.求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法，换元法，待定系数法，消元法，特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解．2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.1.2 函数的表示方法(一)
【学习要求】
1.会用列表法、图象法、解析法表示一些具体的函数；
2.会根据具体条件求函数的解析式；
3.会在不同情境中用不同形式表示函数．
【学法指导】
学习函数的表示方法，不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深函数概念的理解．通过根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，感受函数与生活实际联系的密切性，通过求函数解析式加深对数学思想方法的理解，提高分析问题、解决问题的能力.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.列表法：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
2.图象法：如果图形F是函数y＝f(x)的图象，则图象上的任一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)，反之，
满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在图象F上．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
3.解析法：如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式) 来表达的，这种方法叫做解析法.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！…，那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？探究点一函数的表示方法
问题1 在初中学习的函数有哪几种常用的表示法？
问题2列表法是如何定义的？
问题4 图象法是如何定义的？
问题5我们在作函数y＝2x＋1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y＝2x＋1这种表示方法叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？
问题6 三种表示函数的方法各有哪些优缺点？
例1某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．
跟踪训练1 用列表法画出函数y＝x的图象．
例2：设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．
跟踪训练2 已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋，求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．
探究点二换元法求函数的解析式
问题已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？这种方法的具体做法是怎样的？
例3 已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)．
跟踪训练3 已知f(x－1)＝3－x，求f(x)的解析式．
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.函数y ＝f(x)的图象与一直线x ＝a 的交点个数为 ( )
A ．必有一个
B ．一个或两个
C ．至多一个
D ．可能两个以上
2.已知f(1＋1x )＝1x
－1，则f(x)＝__________.
3.已知f(x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f(x)．
课堂小结：
1.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：
列表、描点、连线．
作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，
再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法， 与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．
主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法．。