图乘法例题 - 360文档中心

图乘法练习题

Fi Δii

Fj Δji
Fj j
Δji Δjj
Fj j
Δjj Δji
W W
Fi Δij Fj Δji
Fi Δij F j Δji
功的互等定理
力 i 在力 j 引起的位移上作的功(虚功)，等于力 j 在力 i 引起的位移上作的功(虚功) 。
一般地，对线弹性结构:
力系 i 的力在力系 j 引起的相应位移上所作的功，等于力系 j 的力在力系 i 引起的相应位
A
Fl
1
2
B
M Mdx
wC
EI F B ΔB
C
3 FB
2
wC

1 EI
1 2
l

Fl 2

l 3

1 2
l 2

Fl 2

l 3
3 2
3F 2k
M
l
l
3
l3
2
Fl 3 9F ()
8EI 4k
16
图乘法小结
图乘法是 Mohr 积分的一种简单算法，适用于等刚度直杆。要点为：
d
x
Mohr积分是单位载荷法在线弹性结构上的应用，其要点为：
• 构造一个虚力状态，计算出单位力引起的内力方程 FN , M , FQ ,T.
• 计算原结构中实际载荷引起的内力方程 FN , M , FQ , T .
• 对整个结构计算Mohr积分。
求任意点A的位移
q(x) A
ΔA
弯矩 M ( x ) 单位载荷法：
题：求图示刚架A 截面的转角或C 点的挠度。已知各部分弯曲刚度为
EI。

材料力学-图乘法

例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA 。
CL12TU41
解： AH
qa 4 EI
1 4
2 3
1 3
85
3qa 4 8E I
qa 2
qa qa 2 qa / 2
2
CL12TU31
解：
M(x) M 0(x)
vB
l
EIdxM Nhomakorabea0 C
EI
1 Pl 2 2l
EI 2 3
Pl 3
3E I
B
1 EI
Pl 2 2
1
Pl 2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU32
顶点顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
解：
ml 2
2 3
ml 逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
CL12TU35
解：
ql 2
vB
1 EI
l
3
ql 2 2
3l
4
2
ql4 8E I
ql 2
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
2
ql 3
顺时针
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。
ql 3 12
a
2
0
X ql 3 8a(l a)
C
1 EI
Xal 2
2 3
Xa 2 2
1
ql 3 12
1
2
0
X ql 3 4a(2l 3a)

第五节图乘法

4m C 4m
MP图(kN·m)
须注意两点：一是对于斜杆CD，解：求解本题∆DV时，须注意两点：一是对于斜杆，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘不同分段图乘。轴为基线计算；二是对于阶形住，应按不同分段图乘。 (1)作MP图作
A1 = 2 × 12.65 × 45 = 379.5 3
§6-5 图乘法
求简支梁在均布荷载作用下A端转角引例求简支梁在均布荷载作用下端转角
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx EI
q
A
ql 2 8
ql M p = x(l − x) 2
Mp
x M 1 = 1− l
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx = ? EI
利用积分的方式求解，计算繁复！利用积分的方式求解，计算繁复！简化计算的方法？简化计算的方法？ 1
2.5kN/m D 2EI (12.65m) 3EI B 8m 4EI A 12m
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5
(45)
A1
D
4m C 4m
140
MP图(kN·m)
1 A2 = × 12.65 × 100 = 632.5 2
A4 =
A5 =
1 × 8 × 20 = 80 2
A q B l/2 l
ql 2 ( ) 32
ql
C l/2
并按A 作MP图，并按 1、A2、A3、A4四部分划分，如图6-22b所示分划分，如图所示
∆CV 1 = ( A1 y01 + A2 y02 + A3 y03 − A4 y04 ) EI 1 = EI 1 l ql 2 l l ql 2 3 )× + ( × )× l ( × × 3 2 2 4 2 2 2

图乘法

图乘法如图所示，用图乘法求结构中B 处的转角B ϕ和C 点的竖向位移vc ∆。

EI=常数。

ααCBAM=qa2q解：求转角B ϕ建立虚拟状态（即在所求转角处作用一个单位力偶）ααBAM=1画弯矩图P M 图ααCBA2qa 22qaααBAM 图根据公式cy EIω∆=∑ω为P M 图的面积c y 为P M 图的形心所对应的M 图的竖标的弯矩值232112(22)2323cB y qa qa a qa a EI EI EIωϕ==⨯⨯-⨯⨯=∑() 结果为正，说明方向与所设单位力偶的方向相同求位移vc ∆ 建立虚拟状态αα注：求转角和求位移的公式一样，公式中的力是广义的力（可以是集中力或力偶），位移是广义的位移（可以是位移和转角）。

1画弯矩图ααCBAP M 图BAααM 图2241125(22)222322824v ccy a qa qa a qa a a EI EI EIω∆==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-∑( ) 结果为负，说明所求位移方向与所设虚拟单位力的方向相反注：M 图和P M 图中可以用其中一个的面积去乘以这个的形心所对的另一个在该形心位置上的弯矩值，也就是说M 和P M 中至少有一个为直线图形即可，比如本题中就是用M 的面积去乘以其形心所对的P M 中三角形的弯矩值总结：求转角和求位移所用的公式相同只是求转角作用的虚拟单位力是力偶，求位移用的虚拟单位力是集中力2qa 22qa 2a。

4-5 图乘法

2.面积A和纵距yC若在杆件的同侧,则乘积AyC
取正号，异侧 AyC取负号。
3.常用的几种简单图形的"顶点"，是指其切线平行于基线的点，而顶点在中点或端点者称为"标准抛物线图形"。
yluo@
§5 图乘法
四、图乘法运用要点
4.当直线图形不是一段直线而是由若干段直线段组成时，由于各段具有不同的倾角，应分段进行计算。
二、图乘法公式
条件：（1）杆轴为直线；
（2）EI为一常数；
（3）图乘的两个弯矩图中至少有一个是直线图形。
公式
KP
MM P EI
ds

1 EI
AyC
yluo@
§5 图乘法
例5.1 已知图示结构各杆EI＝常数，求B点的
竖向位移。
解：1. 建立虚拟状态 2. 作出实际状态和虚拟状态的弯矩图。
2 ql2
[( l) ( l)]
EI 2 2
38
ql4 yluo@ 3EI
（→）
§5 图乘法
例5.9 试求图示结构C、 D、 F点的水平位移。
解：（一）C点的水平位移
1.建立虚拟状态
2.作出实际状态和虚拟状
ql2 / 2
态的弯矩图。
3.本题符合图乘法条件，用图乘法计算
tan
EI xMidx EI xdA
yluo@
§5 图乘法
二、图乘法公式
1
EI MMPdx

tan
EI

xdA

tan
EI
AxC
1 EI AyC
所以
yluo@
MMP ds 1

结构力学-图乘法

1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP

M M P ds EI

F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy

yc
EI

[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc

yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。

《结构力学图乘法》PPT课件

EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ

1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx

tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3

图乘法

1.2.3图乘法图乘法是关于的简化计算方法。

在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。

适用条件（1）杆件为直杆；（2）EI为常数（等截面）；（3）和图中至少应有一个直线图形。

对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。

算位移的公式（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。

这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。

三）几种常见图形的面积的形心位置在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。

图1-15【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。

这种图形可称为抛物线标准图形。

应用图中有关公式时，应注意这个特点。

（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题（1）必须取自直线图形。

（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。

（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。

（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。

（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。

（6）如果杆件EI分段变化时，可分段图乘，最后叠加。

（7）如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。

（1）绘实际荷载作用下的图；（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；（3）代入式（1-15）求位移：【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。

图乘法

yc
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48EI 4 EA
yc
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
C
EA A
MP
D
P
l
EI Pl
B
1
1
Pl EI
l
l
Mi
l
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
N i N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)(2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
EI
40 kN m 10 m
1
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可.
1
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16EI

结构力学图乘法

EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ

1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 FP2

(c
2d) 3
b c取负值
A
a A1
C
y1 c
B A2 b
D y2
d
MK 图 M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘
（4）曲线图形与折线图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
（5）阶形杆件图形相乘
M i M K dx A1 y1 A2 y2 A3 y3 Ai yi
12 22
1） δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。
I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。
2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。

p102-图乘计算的例题(2)(精)

第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
在AC段图乘时，将AC 段的M图分解为三角形和抛物线形，再分别与 M 1图相乘，
然后相加。 CD、AC两段图
乘后可得
ΔDH 1 1 1 ql 2 2 1 ql 2 2l 2 ql 2 l 3ql 4 AyC l l) ( l l ) ( EI EI 2 2 3 2 2 3 3 8 2 8 EI
(a)
(b)
(c)
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
因M 图中的BC段没有弯矩，故只需在AB段进行图乘。将AB段的M图分解
为二个三角形，与 M 图相
乘后相加，得
(b)
3 1 1 1 1 2 5Fl AyC ( l l ) ( Fl 2Fl） EI EI 2 3 3 6 EI
( )
正号表示DH的方向与所设 F 1 的方向相同，即水平向右。
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
(2) 求角位移B 。B截面虚加一单位力偶 M e 1 ，绘出 M 2 图(图d)。
将M图与 M 2图分段相乘，得
1 1 1 ql 2 1 ql 3 θB AyC l EI EI 2 2 3 12EI
( )
负号表示B的转向与所设的 M e 1 的转向相反，即逆时针方向。
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法
(c)
ΔCH
(
)
正号表示CH的方向与所设 F 1 的方向相同，即水平向右。
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移\图乘法

材料力学力法典型例题解

l
q
RB
B
l q
X1
B Δ1F
B δ11
1
Example 2 .画图示钢架旳弯矩图，EI=const .
P
a
B
A
CP B
A
a
CP
a
B
C
B
C
X1
M
1
M
A
A
Pa
a
解 : 1）选图示相当系统（：一次超静定）
2）力法方程：
X 0
11 1
1P
3）利用图乘法求系数:
a
P
a
B
A
a
C
P
a
B
C
B
C
M
1
M
A
A
PPal
X1
2）力法方程
F
X 0
11 1
1P
3）图乘法求系数
11
2 EI
(1 2
aa
2 3
a)
2a3 3EI
1P
2 EI
(1 2
a
Fa
2 3
a)
a a
2Fa3
M
3EI
4）解得:
1
C
X1
1P
11
F
1
C
Fa
X1=1 Fa
F
1
M
F
F1 C
F
Example 1 . 求RB (EI=const.).
解: 1）选图示相当系统（一次超静定）
B
CP
P
P
a
a
X1
a a
X1 1
A
Pa
解：1）选图示静定基及相当系统

结构力学-图乘法

实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时，其内部产生的抵抗弯曲变形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内力，其方向与构件轴线垂直。
弯矩
作用于构件横截面上的内力偶矩，其大小等于该截面左侧或右侧所有外力对截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构中的力学元素和它们之间的关系，使得分析结果更直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图乘法能够更快地给出结构分析的近似解，适用于初步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同类型的结构，包括静定结构和超静定结构，具有较广泛的适用性。

05-讲义：6.5 图乘法

若记 M P 图形心 C 到 y 轴的距离为 xc ，则根据面积矩定理有：
B
A xdA A xc
(6-22d)
将式(6-22d)代入(6-22c)式，得：
105
B A
MMP EI
dx
tan EI
A xc
（6-22e）
式(6-22e)中 xc tan yc ， yc 为 M 图中与 M P 图形心 C 相对应的竖标，于是有：
110
∑∫ ∑ CC
M .M Pds EI
Aw yc EI
1 EI
2
1 2
l 2
ql 2 8
2 3
1
2
1 3
l 2
ql 2 8
1
ql3 （
）
ห้องสมุดไป่ตู้
12EI
【例 6-10】计算图 6-34(a)所示组合结构中 C 点竖向位移 CV ，已知 E 2.1104 kN / cm2 ， I 3600cm4 ，杆 BD 的截面面积 A 12cm2 。【解】在截面 C 处施加一个竖向单位集中力 F 1，如图 6-34(b)所示。在单位荷载作用下，先求出链杆 DB 的轴力 F N 2.5kN ，并作出梁式杆(AB 和 CE)的 M 图。
图乘，分别见上式中后三项。
图 6-32 例 6-8 图
(a)实际荷载作用 (b)单位荷载作用及 M 图 (c) M P 图(kN.m) (d) M P 图中 AB 杆内力图分解【例 6-9】计算图 6-33(a)所示三铰刚架在铰 C 左右两截面的相对转角 CC ，已知 EI 为常数。
图 6-33 例 6-9 图
第五节图乘法
由上节可知，计算梁式杆在荷载作用下的位移时，先要写出实际荷载作用下弯矩 M P 以及单位荷载作用下弯矩 M 的表达式，然后代入式(6-22a)进行积分运算：

图乘法

？ Δ = 1 1 3a ⋅3a×Pa EI 2 4
Pa
Δ
=
1 EI
⎡ ⎢⎣
Pa×a 2
×
2 3
a 2
×2+
a
2
+3a 2
4
×
a 2
×2×
Pa⎥⎦⎤
a
= 23Pa3
a/2
24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
Δ C
=
ωy0
EI
=
⎜⎛ ⎝
= 1 (220⋅0.533− 555⋅0.4 + 53.3⋅0.6) = −2×10−3m = −0.2cm
3.6465
例：求B点竖向位移。
21
3ql2/2
ql2/8
MP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql
EI l
B
l
M1
Δ BV
=
1 EI
⎡1 ⎢⎣ 2
3ql 2 2
l
2l 3
− 2l 3
ql 2 8
A2 b 侧的两个三角形，分别与另
一图形相乘，然后叠加。
c y1
y2 d
A⋅ yc EI
=
1 EI
(A1 ⋅
y1 +
A2 ⋅
y2 )
=
=
1 EI
⎡al ⎢⎣ 2
(−
2 3
c
+
1 3
d)
+
bl 2
(1 3
c
−
2 3
d)⎥⎦⎤
=
1 EI
⎡l ⎢⎣6

结构力学图乘法

结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第 5页
根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点：（1）必须符合上述三个条件；（2）纵距 y c 只能取自直线图形；（3）与 y c 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置
1 l h 2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第 1页
§7－4 图乘法
一．图乘法的计算公式
梁和刚架在荷载作用下的位移式
M M Pds 1 K P EI
当结构的各杆段符合下列条件时：（1）杆轴为直线；（2）EI＝常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
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a
1
2
y2
b
d
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。处理原则也和上面一样，可分解为位于基线两侧的两个三角形，分别与另一图形相乘，然后叠加。
c
y1
EI EI 1 al2 1 bl 1 2 1 l ( c d ) (c d ) ( 2 ac 2 bd ad bc ) EI 2 3 3 23 3 EI 6
a
1
2 b
y2 d
c
y1
yC 1 ( 1 y1 2 y2 ) EI EI 1 al 2 1 bl 1 2 ( c d ) ( c d ) EI 2 3 3 2 3 3 1 l (2ac 2bd ad bc ) EI 6

p101-图乘计算的例题(1)(精)

第101讲
图乘计算的例题 (1)
主讲教师：闫礼平
江苏建筑职业技术学院微课研制：河北水利电力学院
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移
例 10−12 试用图乘法求图示简支梁跨中点C截面的竖向位移ΔCV和B 截面的角位移qB 。设梁的弯曲刚度EI为常数。
解
CV
（1）求竖向位移ΔCV 。
1 1 1 l Fl l Fl 3 AyC 2 ( ) EI EI 2 2 4 6 48EI
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。（2）角位移qB 。
1 1 1 Fl 1 Fl 2 qB AyC l EI EI 2 4 2 16EI
( )
计算结果为负，表示qB的转向与所设单位力偶的转向相反，即逆时针转向。
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移
例 10−13 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移ΔCV 。设梁的弯曲刚度EI为常数。解绘出在荷载作用下的M图。在C截面虚加一竖向单位力 F =1，绘出M图。将AB段的M图分解为三角形和抛物线形，分AB、BC两段图乘后相加，得
CV 1 1 1 ql 2 l 2 ql 2 l AyC l l 4 EI EI 2 8 3 3 8 1 1 ql 2 l 3l ql 4 ( ) EI 3 8 2 8 128EI
计算结果为正，表示ΔCV的方向与所设单位力的方向相同，即ΔCV向下。
第10章
静定结构的内力与位移\静定结构的位移
绘出在荷载作用下的M图。
在B截面虚加一单位力偶 Me =1，绘出M2图。

结构力学图乘法

c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap

lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
三角形
a
l
A

1 2
al
xc

1 2
l
xc

1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A

1 3
al
A

2 3
al
a 1 b 2 状态II FPa FPb M FQFN
ds M ds
EI
0ds

kFQ GA
ds
ds FN ds
EA
ds M ds
EI
ds FN ds
EA

0ds

kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
所以 r21C1C2 r12C2C1
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
EI
93 3
3
156 17.33 ( ) 9EI EI
y2