江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
江苏省南京市2019-2020学年高二数学期中试卷分析
2019年南京市统考高二数学试卷分析一、试卷基本结构科目数学题量22总分150本次试卷结构偏向于全国卷新高考，单选题1-10题，多选题11、12题；13-16题填空题，17-22题为解答题；二、试卷知识考点&模块分析1.每题考点分析题号分值考点分析所属知识模块14直线的位置关系解析几何24向量共线定理空间向量34双曲线的渐近线方程圆锥曲线44线性回归方程线性回归方程54圆的表面积几何体的表面积64空间向量线性表示空间向量线性运算74直线与圆位置关系直线与圆位置关系84三角恒等变换三角恒等变换94抛物线弦长问题圆锥曲线104圆锥曲线圆锥曲线114立体几何线面关系立体几何证明124点的轨迹方程圆锥曲线135双曲线、抛物线方程圆锥曲线145椭圆的离心率圆锥曲线155概率概率与统计165立体几何立体几何1712解三角形三角函数1812频率分布、概率概率与统计1914立体几何证明立体几何2014空间向量、二面角空间向量角的计算2114圆锥曲线圆锥曲线2216点的轨迹方程、圆锥曲线圆锥曲线2.知识模块分析&分值占比知识模块2019年考试题号分值占比三角函数8、1710.67%平面、空间向量2、6、2014.6%概率与统计4、15、1814%立体几何11、16、1915.3%圆锥曲线3、9、10、12、13、14、21、2237.3%三、试卷综合分析整张试卷考查的知识点侧重于解析几何、立体几何；试卷结构偏向于全国卷，11-12题第一次出现多选题，学生在后面学习过程中需要更加注意对应题型的练习；整张试卷的难度中等偏上，计算量较大，对于学生的计算能力需要在平时加强练习，试卷中出现的题型与去年试卷结构出现很大差异，这也是符合新高考、新课标的要求；本次市统考期中卷在于改革，但考察的知识点都是平常我们经常讲解的、练习的题型，对于成绩不理想的学生需要反思，以及调整后续学习的重难点时间的分配！。
2019-2020学年高二下学期期中数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。
2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。
2B ．0.3C ．0。
4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷
江苏省南京市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若复数，其中是虚数单位，则复数的模为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·佛山期中) 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程+ax+b=0没有实根B . 方程+ax+b=0至多有一个实根C . 方程+ax+b=0至多有两个实根D . 方程+ax+b=0恰好有两个实根4. （2分）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二下·登封期中) 由直线y=0，x=e，y=2x及曲线所围成的封闭的图形的面积为（）A . 3+2ln2B . 3C . 2e2﹣3D . e6. （2分）如图，长方形ABCD的长AD=2x，宽AB=x（x≥1），线段MN的长度为1，端点M、N在长方形ABCD 的四边上滑动，当M、N沿长方形的四边滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G的周长与G围成的面积数值的差为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·海南模拟) 圆周率是无理数，小数部分无限不循环，毫无规律，但数学家们发现可以用一列有规律的数相加得到： .若将上式看作数列的各项求和，则的通项公式可以是（）A .B .C .D .8. （2分）若函数f（x）=x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A . [﹣5，0）B . （﹣5，0）C . [﹣3，0）D . （﹣3，0）9. （2分）(2012·四川理) 函数y=ax﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·威海期末) 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2 ，在（1，2）内任取两个实数x1 ，x2（x1≠x2），若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围为（）A . （28，+∞）B . [15，+∞）C . [28，+∞）D . （15，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高二下·长春期末) 若z＝4＋3i，则＝________.12. （1分）已知函数，则f'（1）=________．13. （1分）已知函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中正确的是________．f（）＞﹣1； f（）＞；f（）＜； f（）＜f（）14. （1分）(2017·榆林模拟) 若图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an ，则 + + +…+ =________．15. （1分）“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以函数y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误在于________ 错误导致结论错．三、解答题 (共6题；共50分)16. （10分）(2019·永州模拟) 已知函数（其中，为自然对数的底数，）.（1）若，求函数的单调区间；（2）证明：当时，函数有两个零点，且 .17. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）若函数有两个不同的零点，求的范围．18. （10分）对于数列{an}，若（1）求a2，a2，a4，并猜想{an}的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．19. （5分）某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为20000元，每生产一组该组合床柜需要增加投入100元，已知总收益满足函数：，其中x是组合床柜的月产量．（1）将利润y元表示为月产量x组的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获得利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）20. （10分） (2018高一上·湖南月考) 小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润（单位：万元）与投入成本（单位：万元）的数据如下：投入成本0.5123456毛利润 1.06 1.252 3.2557.259.98为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测.（1）根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润；（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率的最大值，并说明理由.（）21. （5分） (2019高二下·宁德期末) 已知曲线在处的切线方程为 .（Ⅰ）求值.（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、。
江苏省南京市高二(下)期中数学试卷(文科)
江苏省南京市2019-2019学年高二(下)期中数学试卷(文科)一、填空题：本大题共14小题，请把答案填写在答题纸相应位置.1. ( 5 分)已知集合A={ - 1, 2, 4} , B={ - 1, 0, 2}则A AB= { - 1 , 2}.考点：交集及其运算.专题：计算题.分析：直接利用交集的概念进行求解运算.解答：解：由集合A={ - 1, 2, 4}, B={ - 1, 0, 2},所以A QB={ - 1, 2, 4} A{ - 1, 0, 2}={ - 1, 2}.故答案为{ - 1, 2}.点评：本题考查了交集及其运算，是基础的概念题，属会考题型.2. ( 5 分)函数f (x) =J_,；l+lg (3-x)的定义域是［-2, 3) .考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法.专题：函数的性质及应用.分析：利用根式函数和对数函数的定义域，求函数 f (x )的定义域.解答：解：要使函数有意义，则有严2弓,3- x>0■-- 2 即; ，所以-2致V 3,x<3即函数f (x)的定义域为［-2, 3). 故答案为：［-2, 3).点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数的定义域的求法.3.(5分)从某项综合能力测试中抽取7人的成绩，统计如表，则这7人成绩的方差为考点：极差、方差与标准差；茎叶图.专题：概率与统计.分析：根据茎叶图得到数据，利用平均数、方差公式直接计算即可.解答：丿解:由题意得，这7人成绩为：8, 8, 9, 10, 11, 12, 12.其平均值 :.= (8+8+9+10+11 + 12+12 ) =10,72 ・ 2 2 2 2 2方差为s= [ (8 - 10) + (8 - 10) + ( 9- 10) + (10- 10) + (11 - 10) + (12 -2 2 1810) + (12- 10)]=,,故答案为：一'.7点评：:,本题考查茎叶图、样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键.f2x, i<04. ( 5 分)设f (x) = ^ .，则f (log23) = 30 T>0考点：对数的运算性质；函数的值.专题：计算题；函数的性质及应用.分析：判断出Iog23 > 1为，代入第二段解析式求解.解答：解：••Tog23> I%,：f (Iog23) =2Iog23=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值•分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.2 25. (4 分)已知f (x- 1) =x - 3x,则函数f (x)的解析式f (x) = f (x) =x —x—2考点：函数解析式的求解及常用方法.专题：计算题.分析：由已知中f (x- 1) =x2- 3x，我们可将式子右边凑配成 a (x- 1) 2+b (x - 1) +c的形式，进而将(x- 1)全部替换成x后，即可得到答案.解答：〕解: T f (x - 1) =x2- 3x2=(x - 1) -( x - 1)- 22••• f (x) =x - x - 22故答案为：x - x - 2点评：: 本题考查的是函数解析式的求解及其常用方法，其中本题使用的凑配法，是已知复合函数解析式及内函数的解析，求外函数解析式时常用的方法，属于基础题.6. ( 4分)(2019?长宁区一模)如图是一个算法的流程图，则最后输出的S= 36考点：循环结构.专题：计算题；图表型.分析：按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出S.解答：: 解：经过第一次循环得到的结果为s-1, n-3,经过第二次循环得到的结果为s-4, n-5,经过第三次循环得到的结果为s-9, n-7,经过第四次循环得到的结果为s-16, n-9经过第五次循环得到的结果为s-25, n-11,经过第六次循环得到的结果为s-36, n-13此时满足判断框中的条件输出36故答案为36点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找出规律.3 27. ( 4分)函数f (x) =x - 2x的图象在点(1,- 1 )处的切线方程为y= - x考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的综合应用.分析：求导函数，确定切线的斜率，利用点斜式可得切线方程.解答：〕解: T f (x) -x - 2x ,• f' (x) -3x - 4x,• f' (1) - - 1•函数f (x) -x3-2x2的图象在点(1,- 1 )处的切线方程为y+1- -(x - 1),即y--x故答案为：y- - x.点评：: 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题.&( 4分)取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m 的概率是 '.~2—考点：几何概型.专题：概率与统计.分析：因为绳子的总长为4m ,所以只能在绳子中间 2m 的部分剪断，才能使剪出的两段符 合条件.由此结合几何概型的概率公式，不难得到本题答案.解答：解：记 两段绳子的长都不小于 1m ”为事件A ,•••绳子的总长为 4米，而剪得两段绳子的长都不小于1m•••如图所示，只能在中间 2m 的部分剪断，才能使剪出的两段符合条件2JIL根据几何概型的概率公式，可得事件 A 发生的概率 P (A )=.2故答案为：;点评：本题给出4米长的绳子，求使剪出的两段绳子的长都不小于 几何概型及其计算公式等知识，属于基础题.9. ( 4分)已知函数f (x ) =x (e x +ae x )是偶函数，贝V a= - 1 考点：函数奇偶性的性质. 专题：函数的性质及应用.分析：利用函数f (x ) =x (e x +ae -x )是偶函数，得到 g (x ) =e x +ae -x 为奇函数，然后利用 g (0) =0,可以解得a . 解答：解：设 g (x ) =e x +ae x , 因为函数f (x ) =x (^+ae %)是偶函数，所以g (x ) =e <+ae 「x 为奇函数.又因为函数f (x )的定义域为 R ，所以g (0) =0, 即 g ( 0) =1+a=0 ,解得 a= - 1. 故答案为：-1.点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，特别是要掌握奇函数的一个性质，若奇函数 过原点，则必有f (0)=0，要灵活使用奇函数的这一性质.10. (4分)函数f (x ) =x+1 - 的值域为:函数的值域. :函数的性质及应用.:利用换元法设t=—-,将函数转化为关于t 的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求函数的值域.解答：解：设t= —，则t 为，且x=1 - t 2,所以原函数等价为 尸/+七二-(七一专)+亍，1 C R因为t%，所以t 斗时，函数有最小值 弓，所以y <弓.24 4即函数f (x )的值域为(-汽斗］. 4故答案为：(-8,§.4Im 1m 的概率.着重考查了点评：本题主要考查函数的值域，利用换元法将函数转化为一元二次函数，利用一元二次函 数求函数的值域.11. (4分)函数：…匚■的单调递增区间是(°, e ).考点：; 利用导数研究函数的单调性. 专题： 计算题. 分析：一求出函数■ : . •…的导数为y 的解析式，令y'>0求得x 的范围，即可得到函数X的单调递增区间.解答：解：由于函数的导数为y J ?',令y > 0可得lnx > 1,解得0v x v e ,故函数f (K )二Iw 的单调递增区间是(0, e ),x故答案为 (0, e ).点评：: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. (4分)已知函数f (x )是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x 駅 都有f (x+4) =f (x )+f (2) 成立，若 f ( 1) =2，则 f ( 2019) =2.考点：抽象函数及其应用；函数的值. 专题： 计算题；函数的性质及应用.分析：/ 令x= - 2,可求得f (- 2) =f (2) =0，从而可得f ( x )是以4为周期的函数，结合 f (1) =2，即可求得f(2019)的值.解答：〕解：T f (x+4) =f ( x ) +f (2), ••• f (- 2+4) =f (- 2) +f (2),••• f (- 2) =0，又函数f (x )是定义在 R 上的偶函数，• f (2) =0.• f (x+4) =f (x ) +0=f (x ),• f (x )是以4为周期的函数，又 f (1) =2, • f (2019) =f (503>4+1) =f (1) =2.故答案为：2.点评：: J本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，求得f (2) =0是关键，考查函数的周期性，属于中档题.f (Xi ) -f ( X 2)对任意X1芳C2,都有K>0 勒 _ L>0成立，则实数k 的取值范围是 「, 1) 一2考点： 函数单调性的判断与证明；导数的运算. 专题： 函数的性质及应用. 分析：f ( Xi) _ f ( Xn)利用对任意X1族2，都有> 0成立，可得函数在 R 上单调递增，[_mj13.( 4分)已知函数f(x) =e x _ k, (1 -k) x+k,从而可得不等式组，即可求得实数k 的取值范围.解答：f I ： ■-； ■: 1 解：•••对任意 X 1^(2,都有 -------------------------- > 0成立，X1 _ x 2•••函数在R 上单调递增，「- k T rCO(1 -k) x+k,葢>0‘• l-k>0 •k>l-k•实数k 的取值范围是［1, 1), 2故答案为：［丄,1).2点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.214. (4分)已知函数f (x ) =2x +m 的图象与函数g (x ) =ln|x|的图象有四个交点，则实数 m 的取值范围为—|*—I:.£:根的存在性及根的个数判断. :函数的性质及应用.:利用导数求出求出这两个函数的图象在(。
2019-2020年高二下学期期中考试数学理试题.doc
2019-2020年高二下学期期中考试数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后。
）1. 复数1011⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．32 D ．－322. 若C z ∈且|22|,1||i z z --=则的最小值是（ ）A ．22B ．212-C ．22+1D ．2-1 3. 如图所示，正方形的四个顶点分别为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C ，曲线2yx =经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．13 D ．254. 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）A.88A 种 B.48A 种 C.44A ·44A 种 D.44A 种5.（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥； （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确6.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是（ ）A.12+kB.)12(2+kC.112++k kD.122++k k 7. 经过抛物线212x y =的焦点,且斜率为1-的直线方程为( ) A. 161610x y +-= B. 2210x y +-= C. 4410x y +-= D. 8810x y +-=8.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 51 B. 52 C. 53 D. 549．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{}n a 中()111111,22n n n aa a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 10．如图，直线从o l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速 （转动角度不超过90度）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是（ ）11.设a R ∈，若函数x ye ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ）A ．1a <-B 。
2019-2020年江苏省南京市南师附中高二下学期数学期中考试
3i n南京师大附中 2019-2020 学年度第 2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括单选题（第 1 题~第 8 题）、多选题（第 9 题~第 12 题）、填空题（第 13 题~第题 18题）、解答题（第 19 题~第 23 题）四部分，本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.2． 答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若 A 2= 20 ，则n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 函数 f ( x ) = sin 2 x 的导数是（ ） A. 2 c o s 2 xB. -2 cos 2 xC. 2 sin 2 xD. - 2 sin 2 x3. 若i 为虚数单位，复数z 满足 z (1 + i ) =| 3 + 4i | ，则 z 的虚部为（ ）A.5i B. 5C. - 5iD. - 522 2 24. 已知等差数列{a } ，若a ， a 是函数 f ( x ) = 1 x 3 - x 2+ mx + 1的极值点，则 a 的值为（ ）n 2 403832020A. 1B. - 1C. ± 1D. 05. 已知复数z 满足 z -1 - = 1，则 z 的最大值为（ ）A. 1 B .2 C . 3 D . 46. 若 ke x - x -1 ≥ 0 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A .(-∞,1]B .(0,1]C .(0, +∞)D .[1, +∞)7. 某班联欢会原定的 3 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这 2 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）A. 1 2B. 20C. .36D . 1208. 定义在 R 上的可导函数 f (x ) 满足 f '(x ) < 1，若 f (m ) - f (1 - 2m ) ≥ 3m -1，则m 的取值范围是（ ）A.(-∞, -1]B.(-∞, 1 ]3 C .[-1, +∞) D.[1,3+∞)二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得0 分.9.若复数z 满足(z+2)i=3+4i（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（）A.z 的虚部为3B. | z |=C. z 的共轭复数为2 + 3iD. z 是第三象限的点10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720 种不同排法B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576 种不同排法C.如果女生不能站在两端，那么有1440 种不同排法D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440 种不同排法11.已知函数f (x) 定义域为[-1, 5] ，部分对应值如表，f (x) 的导函数f '(x) 的图像如图所示.x - 10245f (x) 12021下列关于函数f (x) 的结论正确的有（）A.函数f (x) 的极大值点有2 个；B.函数在f (x) 上[0, 2] 是减函数；C.若x ∈[-1,t]D . 当1 <a < 2时，f (x) 的最大值是2，则t 的最大值为4；时，函数y =f (x) -a 有4 个零点；12.若函数f (x) 的图像上存在两个不同的点A, B ，使得曲线y =f (x) 在这两点处的切线重合，称函数f (x) 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（）A. y =e x -xB. y =x 4 -x 2 C . y =x3D.y =x + sin x三、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分.13.已知复数z 满足z +3= 0 ，则| z |=. z14.已知函数f (x)= xx2 + 3，则f '(0)的值为.15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.1316. 直线y = m 与直线 y = 2x + 3 和曲线 y = ln 2x 分别相交于 A , B 两点，则 AB 的最小值为 .17. 已知函数 f ( x ) = e x ( x - 1) ，则它的极小值为 ；若函数g (x ) = mx 总存在x 2 ∈ [-1, 2]，使得 f (x 1 ) > g (x 2 ) ，则实数 m 的取值范围是 .，对于任意的 x 1 ∈ [-2, 2] ， 18. 已知定义域为 R 的奇函数 f (x ) 满足 f (-x ) = f (x + 2) ，且当0 ≤ x ≤ 1时， f ( x ) = x 3 + x .若函数h (x ) = f (x ) - t在[-4, 0) Y (0, 4] 上有 4 个不同的零点，则实数t 的取值范围是.x四、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．19. （12 分）设复数 z 1 = 2 - ai (a ∈ R ), z 2 = 4 - 3i . （1）若 z 1 + z 2 是实数，求 z 1 ⋅ z 2 ；z 1 （2）若 2是纯虚数，求 z 1 的共轭复数.20. （12 分）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - 1(a + 6)x 2+ 6ax + b (a , b ∈ R ) .3 2（1）若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率为 -2 （2）若在区间 (2, 3) 上，函数 f (x ) 不单调，求a 的取值范围.，求 a ,b 的值； z21. （12 分）为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.22. （12 分）如图，某景区内有两条道路AB , AP ,现计划在AP 上选择一点C ，新建道路 B C ，并把ςABC 所在的区域改造成绿化区域. 已知∠BAC =π，AB = 2 km ，AP = 2 3km . 若绿化区域ςABC 改造6成本为10万元/ km2 ，新建道路 B C 成本为10万元/ km .（1）①设∠A B C=θ，写出该计划所需总费用F (θ)的表达式，并写出θ的范围；②设AC =x ，写出该计划所需总费用 F (x )的表达式，并写出x的范围；（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C 在何处时改造计划的总费用最小.23.（12 分）设函数f (x) = ln x -ax(a ∈R), g(x) =xf (x) .（1）若f (x) ≤ 0恒成立，求a的取值范围；（2）①若 a =1，试讨论g(x) 的单调性；2e2②若g(x) =有两个不同的零点，求2a的取值范围，并说明理由.nn 南京师大附中2019-2020 学年度第2 学期高二年级期中考试数学试卷2020.05注意事项：1．本试卷共4 页，包括单选题（第1 题~第8 题）、多选题（第9 题~第12 题）、填空题（第13 题~第题18 题）、解答题（第19 题~第23 题）四部分，本试卷满分为150 分，考试时间为120 分钟.2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若A2 = 20 ，则n 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】A2 =n (n -1)= 20 解的n = 5【点评】考查排列组合的运算。
江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（三）数学试题
南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（三） 试题时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合{}{}0,1,2,3,4,2,3,5,A B ==则A ∩B = ( ) A. {}0,2,4 B. {}2,3 C. {}1,3,5 D. {}0,1,2,3,4,52.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b += ( ) A.1- B.12- C.12D.13.设向量(1,1)=a ，(1,3)=-b ，(2,1)=c ，且()λ-⊥a b c ，则λ= ( )A.3B.2C.2-D.3-4.101()x x-的展开式中4x 的系数是 ( )A.210-B.120-C.120D.2105．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为 ( )A ．108里B ．96里C ．64里D ．48里 6．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A.310 B. 25 C. 35D.710 7．已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f (6)= ( ) A ．−2 B ．−1C ．0D ．28．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( )A ．25B ．246+C ．27+D ．26二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
校2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1.若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A. 5B.52C. 52-D. -5【★答案★】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得★答案★． 【详解】由（1+i ）z ＝|3+4i |22345=+=， 得z ()()()5155511122i i i i i -===-++-， ∴z 的虚部为52-． 故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A. x R ∃∈，210x x -+≤ B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. x R ∃∈，210x x -+> D. x R ∀∈，210x x -+≥【★答案★】A 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到★答案★．【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ．【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.点 M 的直角坐标是()1,3-，则点 M 的极坐标为（ ）A. π 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π2,2π3k ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈Z【★答案★】C 【解析】分析：利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，先将点M 的直角坐标是(1,3)-，之后化为极坐标即可.详解：由于222x y ρ=+，得24,2ρρ==， 由cos x ρθ=，得1cos 2θ=， 结合点在第二象限，可得23πθ=， 则点M 的坐标为2(2,)3π，故选C. 点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径ρ和极角θ的意义，利用22x y ρ=+来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.4.下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ）A. 因为函数y=sinx （x∈R）的值域为[﹣1，1]，2x ﹣1∈R，所以y=sin （2x ﹣1）（x∈R）的值域也为[﹣1，1]B. 昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C. 在平面中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c，将此结论放到空间中也是如此D. 如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 【★答案★】C 【解析】 【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现新结论． 【详解】C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理．故选C ．【点睛】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．5.()():220p x x -+>；:01q x ≤≤.则p 成立是q 成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】利用集合间的包含关系法判断即可． 【详解】解：∵()()220x x -+>， ∴22x -<<， 又[]()0,12,2-，∴p 成立是q 成立的必要不充分条件， 故选：A ．【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判定，属于基础题．6.直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线13cos :4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2:1C ρ=上,则AB 的最小值为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【★答案★】C 【解析】 【分析】先求出圆12,C C 的直角坐标方程,再利用圆心间的距离减去半径求解即可.【详解】1C 的普通方程为22(3)(4)1x y -+-=,圆心为1(3,4)C ,半径为11r =.2C 是圆心,圆心为2(0,0)C ,半径为21r =,2212345C C =+=.所以5113AB =--=min ． 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的参数方程、极坐标方程,同时也考查了两圆上的点的距离最小值问题,属于基础题.7.研究变量,x y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论 ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好；③在回归直线方程0.20.8y x ∧=+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ∧平均增加0.2个单位④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给命题的真假即可.【详解】由题意可知：研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析时： ①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大说明拟合效果越好，故②错；③在回归直线方程0.2.8ˆ0yx =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量ˆy 平均增加0.2个单位④相关系数为正值，则两变量之间正相关，相关系数为负值，则两变量之间负相关，相关系数的绝对值越接近1，则变量之间的相关性越强.若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强.综上可得，正确说法的个数是3. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其结论的应用等知识，属于基础能力.8.命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是 A. “若x y <，则22x y <” B. “若x y >，则22x y >” C. “若x ≤y ，则22x y ≤”D. “若x y ≥，则22x y ≥”【★答案★】C因为命题“若22x y >，则x y >”的逆否命题是若x y ≤，则22x y ≤”选C9.将曲线240x y +=作如下变换：124x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'，则得到的曲线方程为（ ）A. 214x y ''=-B. 214y x ''=-C. 24y x ''=- D. 24x y ''=-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意可得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，代入曲线240x y +=，可得★答案★.【详解】解：由题意，得214x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()212404x y ⎛⎫''+⋅= ⎪⎝⎭．所以得到的曲线方程为24y x ''=-. 故选：C.【点睛】本题考查直角坐标系中的伸缩变化，关键是掌握伸缩变化的公式. 10.满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A. 椭圆 B. 两条直线C. 圆D. 一条直线【★答案★】A 【解析】 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到★答案★． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆，【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.利用反证法证明：“若220x y +=，则0x y ==”时，假设为A. x ，y 都不为0B. x y ≠且x ，y 都不为0C. x y ≠且x ，y 不都为0D. x ，y 不都为0【★答案★】D 【解析】原命题的结论是,x y 都为零，反证时，假设为,x y 不都为零. 12.已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是（ ）A. p q ∨是假命题B. p q ∧是真命题C. ()p q ∨⌝是假命题D. ()p q ∧⌝是真命题【★答案★】D 【解析】 试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真；11(0,),sin 0,sin 2sin 2sin sin x x x x x xπ∀∈>+≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D, 考点：命题真假【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可. 以命题真假为依据求参数取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若()f x 为一次函数，且()91f f x x =+⎡⎤⎣⎦，则()f x =_____________ 【★答案★】134x +或132x --【分析】设一次函数()f x ax b =+，得到2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，从而得到方程组，解方程组求得,a b ，即可求得()f x 的解析式. 【详解】解：设一次函数()f x ax b =+，则2[()]()91f f x a ax b b a x ab b x =++=++=+，291a ab b ⎧=∴⎨+=⎩， 解得314a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或312a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()134f x x =+或()132f x x =--. 故★答案★为：134x +或132x --.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，其中得到关于,a b 的方程组是解题的关键. 14.已知函数()y f x =的定义域为[]7,1-，则函数()232f x y x -=+的定义域是________【★答案★】(]2,2- 【解析】 【分析】根据()y f x =的定义域即可得出()232f x y x -=+需满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可.【详解】解：∵()y f x =的定义域为[]7,1-，∴()232f x y x -=+满足723120x x -≤-≤⎧⎨+≠⎩，解得22x -<≤， ∴()232f x y x -=+的定义域为(]2,2-.故★答案★为：(]2,2-.【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知()f x 的定义域求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域的方法，是基础题.15.设集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤.若()A A B ⊆⋂，则实数a 的取值范围为________ 【★答案★】(],9-∞ 【解析】 【分析】 由()A AB ⊆得，A B ⊆，由此分类讨论即可求出★答案★．【详解】解：∵()A A B ⊆，∴A B ⊆，∵{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤， ∴当2135a a +>-，即6a <时，A B =∅⊆，符合题意；当2135a a +≤-，即6a ≥时，由A B ⊆得，21335226a a a +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，解得69a ≤≤，∴实数a 的范围是(],9-∞， 故★答案★为：(],9-∞．【点睛】本题主要考查根据集合的基本运算求参数的取值范围，解题的关键在于找到集合间的基本关系，解题时还应注意不要忽略空集的情况，属于基础题．16.若函数()4,3log ,3ax x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.①若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是__________； ②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________． 【★答案★】 (1). [)1,1- (2). (]1,3 【解析】 ①a =13时，画出函数()f x 的图象，如图所示：若函数()g x 无零点，则y =k 和()y f x =无交点， 结合图象，可知﹣1≤k ＜1；②若0＜a ＜1，显然()f x 无最小值，故a ＞1， 结合log a 3=1，解得a =3， 故a ∈（1，3]. 三、解答题：17.已知0a >，0b >用分析法证明：2222a b a b ++≤. 【★答案★】证明见解析； 【解析】 【分析】将2222a b a b ++≤两边同时平方，整理变形即可证明. 【详解】因为0a >，0b >，要证2222a b a b ++≤， 只需证22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，即2222222a ab b a b +≤++ 只需证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立， 故22a b aba b+≥+成立.【点睛】本题考查分析法证明不等式，是基础题. 18.已知函数()2,(0)f x x m x m m =--+>. (1)若1m =，解关于x 的不等式()1f x ≥； (2)若()f x 的最大值为3，求m . 【★答案★】(1)(,1]-∞；(2)1. 【解析】 【分析】(1)把原不等式，根据绝对值的定义，得出等价不等式组，即可求解，得到★答案★． (2)利用绝对值的三角不等式，得到()f x 的最大值3m ，即可求解． 【详解】(1)由题意，原不等式()2,(0)f x x m x m m =--+>等价于1121x x x >⎧⎨---≥⎩ 或-2111-21x x x ≤≤⎧⎨--≥⎩ 或2121x x x <-⎧⎨-++≥⎩， 解得φ或21x -≤≤或2x <-， 综上所述，不等式的解集为(,1]-∞．(2)由绝对值的三角不等式，可得()2233f x x m x m x m x m m m =--+≤---==， 又由()f x 的最大值为3，即33m =，解得1m =．【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含有绝对值不等式的解法，以及合理使用绝对值的三角不等式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. 【★答案★】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；直线l 的普通方程为350x y --=；（2）37.【解析】 【分析】（1）对曲线C ，两边同乘以ρ即可化简；对直线的参方采用代入消参法； （2）利用直角方程，用弦长公式，求得弦长计算面积即可. 【详解】（1）由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ；由35212x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得()353y x =-，即直线l 的普通方程为350x y --=. （2）由（1）可知C 为圆，且圆心坐标为（2，0），半径为2，则弦心距253213d -==+， 弦长|PQ |＝2232272⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因此以PQ 为一条边的圆C 的内接矩形面积S ＝2d ·|PQ |＝37.故该矩形面积为37.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的化简，以及利用普通方程求弦长. 20.2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下： 年龄段[22,35) [35,45)[45,55)[55,59]人数（单位：人） 180 18016080约定：此单位45岁~59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事.完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 12 中年 5 总计30（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？20()P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【★答案★】（1）18,12 ；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；（3）25. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用分层抽样的定义求解.（2）第（2）问，利用随机变量2k 的公式计算得到它的值，再查表下结论. （3）第（3）问，利用古典概型的概率公式解答. 试题解析：(1)抽出的青年观众为18人，中年观众12人 （2）22⨯列联表如下： 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大事 总计 青年 6 12 18 中年 7 5 12 总计131730()2230651274051.8332.70613171812221K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关.（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为1234,,,A A A A ，其余两人记为12,B B ，则从中选两人，一共有如下15种情况：()()()()()()()()()()()1213142324341112212231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B A B()()()()32414212 ,,,,,,,,A B A B A B B B 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况，所以62155P ==. 21.“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入y (单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型ˆˆˆln y b x a =+拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；（2）如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税. 附注： 参考数据10155ii x==∑，101155.5i i y ==∑，1021-)82.5i i x x ==∑（，101-))94.9i i i x x y y =-=∑（（，10115.1i i t ==∑，1021-) 4.84i i t t ==∑（,101-))24.2i i i t t y y =-=∑（（，其中ln i i t x =；取ln11 2.4=，ln36 3.6=参考公式：回归方程v bu a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为121-))-)ˆniii nii u u v v bu u ==-=∑∑（（（,ˆˆa v bu=- 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下： 旧个税税率表（个税起征点3500元） 新个税税率表（个税起征点5000元） 税缴级数 每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除 税率（%） 1 不超过1500元的部分 3 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 超过12000元至25000元的部分 20 4 超过9000元至35000元的部分 25 超过25000元至35000元的部分 25 5 超过35000元155000元的部分30超过35000元至55000元的部分30【★答案★】（1）5ln 8y x =+；（2）2130元. 【解析】 【分析】（1）由题意，令ln t x =，根据最小二乘法的计算公式，分别求得ˆˆ,,,t y ba 的值，即可得到回归直线的方程；(2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入，再利用表格中的数据和个税的计算方法，求得新旧个税政策下缴交的个人所得税，即可得到★答案★．【详解】（1）由题意，令ln t x =，则ˆˆˆybt a =+由最小二乘法的公式，可得121))24.254.ˆ84)niii ni i t t y y bt t ==--===-∑∑（（（， 又由101155.515.51010ii yy ====∑，10115.1 1.511010ii tt ====∑， 所以-15.555 1.58ˆˆ1ay bt ==-⨯=， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ58yt =+， 因为ln t x =，从而y 关于t 的回归方程为ˆ5ln 8yx =+． (2)由(1)得该IT 从业人员36岁时月平均收入为：ˆ5ln1185 2.4820y=+=⨯+= (千元)， 旧个税政策下缴交的个人所得税为：15003%300010%450020%(2000035009000)25%3120⨯+⨯+⨯+--⨯=(元)，新个税政策下缴交的个人所得税为：30003%(2000050003000)10%990⨯+--⨯=(元)，故根据新旧个税政策，则该IT 从业人员36岁时每个月少缴交的个人所得税为31209902130-= (元).【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，正确理解表格的意义，利用最小二乘法的公式准确计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷
江苏省南京市2019-2020年度高二下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设集合，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示（）A .B .C .D .2. （2分）若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·银川模拟) 《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的（）条件．A . 充分条件B . 必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高一上·河北期中) 当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017高二下·曲周期中) 如果，那么=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣26. （2分） (2019高二下·南昌期末) 某教师要把语文、数学、外语、历史四个科目排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天课表的不同排法种数有（）A . 96B . 36C . 24D . 127. （2分） (2019高二下·鹤岗月考) 给出下列四个结论：①命题“ ，”的否定是“ ，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“ 是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分）设函数f（x）=x2+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（）A . 任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数B . 存在m∈R，使y=f（x）是奇函数C . 任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数D . 存在m∈R，使y=f（x）是偶函数二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知集合A={x|x2﹣3x﹣10=0}，B={x|mx﹣1=0}，且A∪B=A，则实数m 的值是________．10. （1分）化简： ________.11. （1分） (2018高一上·北京期中) 已知f（x+y）=f（x）f（y）对任意的非负实数x，y都成立，且f（1）=4，则 =________．12. （1分） (2016高二下·衡阳期中) 将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________．13. （1分）校团委组织“中国梦，我的梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有________ 种．14. （1分）已知函数y=lg（﹣1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式﹣m2x﹣2mx＞﹣2恒成立，则正实数m的取值范围是________．15. （1分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知函数y=f（x）对于任意x∈R有，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是：①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；③函数的最大值是4；④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；⑤当x1 ，x2∈[1，3]时，．其中真命题的序号是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）已知函数f（3x﹣2）=x﹣1（x∈[0，2]），函数g（x）=f（x﹣2）+3．求函数y=f（x）与y=g（x）的解析式，并求出f（x），g（x）的定义域.17. （10分） (2019高二下·黑龙江月考) 已知数列满足，且 .（1）求，，的值并依此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.18. （10分）已知函数f（x）=x2+（2a﹣1）x﹣3，x∈[﹣2，3]．（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．19. （10分） (2018高二上·浙江月考) 如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左，右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角三角形.（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过做直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.20. （10分）(2019·临沂模拟) 已知函数．（1）求的最小值m；（2）若正实数满足．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
江苏省2019学年高二下学期期中考试数学(文)试卷【含答案及解析】(2)
江苏省2019学年高二下学期期中考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 已知集合，，，则实数_______ .2. 函数的定义域是 _______ .3. 若复数z=（1﹣i）（m+2i）（i为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 __ ．4. 设函数，则 = ________ .5. 若函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是 ____ .6. 已知，，，则三者从小到大的关系是 ___________7. 若角θ的终边经过点 P ( －，m )( m ≠0) 且 sin θ＝ m ，则cos θ的值为 ________ .8. 已知函数的导函数为，且满足，则_______ ．9. 若函数是R上的单调函数，则实数 m 的取值范围为 ___ ．10. 已知函数 f ( x ) ＝ sin( x ＋ ) ，其中x ∈ ，则 f ( x ) 的值域是 ________ .11. 已知，其中、、、为常数，若，则 ___ ．12. 已知函数（，）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为____________________________ ．13. 设是定义在内，且周期为2 的函数，在区间上，，其中．若，则的值为____________．14. 设是定义在上的奇函数，且，设若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______________二、解答题15. （本题满分14分）已知命题，．（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围．16. (1) 已知 f ( x ) ＝，求 f ( － ) 的值(2) 已知－π< x <0 ， sin(π＋ x ) － cos x ＝－ .①求 sin x － cos x 的值；②求的值 .17. 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费 t ( 百万元 ) ，可增加销售额约为－ t 2 ＋ 5 t ( 百万元)(0 ≤ t ≤ 5) ( 注：收益＝销售额－投放 ) ．（ 1 ）若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？（ 2 ）现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费 x ( 百万元 ) ，可增加的销售额约为－ x 3 ＋ x 2 ＋ 3 x ( 百万元 ) ．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．18. 已知函数在处的切线方程为 .（1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求正数的取值范围.19. 已知函数．（ 1 ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（ 2 ）若函数在上的最小值为 3 ，求实数的值．20. 已知定义在上的函数是偶函数．（ 1）求实数的值；并判断在上的单调性； ( 不必证明 )（ 2 ）若恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
(苏科版)南京市鼓楼区2019-2020学年高二数学下期中考试文科试题(附详细答案)
高二下期中考试数学试题(文科)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差：s 2=1n ∑i =1n(x i －x -)2，其中x -＝1n ∑i =1n x i .一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z ＝1＋2i ，则复数 1z在复平面内对应的点位于第 象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是 ．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90 km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70 km/h 以下的汽车有 辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为 ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ．(第5题)(第3题) (第4题) S ←0For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S0.010.020.030.04124 7 7 90 19．执行如图所示的伪代码，当输入a ，b 的值分别为1，3时，最后输出的a 的值为 ．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是 ．11．根据如图所示的流程图，若输入值x ∈[0，3]，则输出值y 的取值范围是 ．12．已知函数f 0(x )= cos x ，f 1(x )=f 0′(x )，f 2(x )=f 1′(x )，…，f n +1(x )=f n ′(x )，…，其中n ∈N ，则f 19(π3)= .13．对于非零实数a ，b ，c ，以下四个命题都成立：①(a ＋b )2＝a 2＋2a •b ＋b 2； ②若a •b ＝a •c ，则b ＝c ； ③(a +b )•c =a •c + b •c ； ④(a •b )•c =a •(b •c )；那么类比于此，对于非零向量→a ，→b ，→c ，相应命题仍然成立的所有序号是 ． 14．设函数f (x ) =12x + 2，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－2015)+ f (－2014)+ f (－2013)+…+ f (2014)+f (2015)+ f (2016)的值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2．(1)求z 1；(2)复数z 1z 2是纯虚数时，比较｜z 1｜与｜z 2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：（第11题）（第10题）（第9题）(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？ 17. (本题满分14分)(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x 的一元二次方程x 2－2bx ＋c 2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c 是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率． 18．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1·a n －2·a n ＋1＝0 (n ∈N *).(1)求1a 2－1 ，1a 3－1 ，1a 4－1的值； (2)求{a n }的通项公式．19．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，且过点A (0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M ，N (M ，N 不与点A 重合) ．直线MN 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由． 20．已知函数f (x )= ln xx．(1)当e ≤x ≤e 2时，求函数f (x )的最小值； (2)已知函数g (x )＝2x －ax (x －1)ln x，且f (x )g (x )≤0恒成立，求实数a 的值； (3)某同学发现：存在正实数m 、n (m ＜n )，使m n =n m ，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m 的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(文科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．四 2．19 3．75 4．325 5．16 6．2 7．0.3 8．139．510．I≤10或I<11或I≤11或I<12或I<10.5，等 11．[1，7] 12．3213．①③ 14．1008 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i ；……………………………………………………………………………………6分(2) z 2＝－2＋i ，…………………………………………………………………………10分 ｜z 1｜＝2，｜z 2｜＝22，……………………………………………………………………………12分 ｜z 1｜＜｜z 2｜．…………………………………………………………………………14分 16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分 (没有任何过程，最多得4分)(2)660 ＝0.1，………………………………………………………………………………8分 30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分 类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分 17．(1)设事件A 为“这2只球颜色不同”； -----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1, 黄2)， 事件A 包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------5分 所以，事件A 发生的概率P (A )＝56． ----------------------7分(2)设事件B 为“方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根”； ------------------……………---8分 当Δ＝4b 2－4c 2＝4(b 2－c 2)＜0，即b ＜c 时，方程x 2－2bx ＋c 2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b 的取值，第二个数表示c 的取值．--…………--4分事件B 包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分 因为每个基本事件发生的可能性都相同， ----------------------12分所以事件B 发生的概率P (A )＝312＝14． ----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由a n ＋1a n ＝2·a n －1得a n ＋1＝2－1a n，…………………………………………………2分代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得1a 2－1＝32，1a 3－1＝52，1a 4－1＝72，………………………………………………………6分 (2)猜想：{1a n －1}是等差数列．证明：由a n ＋1·a n ＝2·a n －1变形，得 (a n ＋1－1)·(a n －1)＝－(a n ＋1－1)＋(a n －1)， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝1在n ∈N *时恒成立， 所以{1a n －1}是等差数列．………………………………………………………………12分 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，…………………………………………………………………14分所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．…………………………………………16分19．(1) x 23＋y ²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M ，N 不与点B 重合，所以直线AM 的斜率存在，且不为零．………………5分 设AM 的斜率为k ，则AN 的斜率为－直线AM 方程：y =kx +1，7分9分12分15分16分解法二设直线MN 方程为y =kx + m ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 可得m =－12．20．(1) f (x )定义域为(0，+∞)，f ′ (x )＝1－ln xx2． 令f ' (x )＝1－ln xx2＝0，则x =e ． 列表如下：当e ≤x ≤e 2时，函数f (x )单调减，所以，函数f (x )的最小值为f (e 2) =2e －2．…4分 (2)f (x ) g (x )≤0恒成立，即2ln x －ax ＋a ≤0在x >0时恒成立． 令h (x ) = f (x ) g (x )，则h ′(x )＝2－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，当x ∈(0，2a)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(2a，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. ………………………………………6分所以，若a ≤0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝0，故f (x )≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分若a >2，则当x ∈(2a，1)时，f (x )单调递减，f (x )>f (1)＝0，不合题意，………………10分若0<a <2，则当x ∈(1，2a)时，f (x )单调递增，f (x )>f (1)＝0，不合题意，……………12分若a ＝2，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0符合题意. 故a ＝2．…………………………………………………………………………………14分 (3)正确，m 的取值范围是1＜m ＜e ．…………………………………………16分 理由如下，研究函数图像，f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减． 又∵当x →+∞时，f (x )→0．∴总存在正实数m ，n 且1＜m ＜e ＜n ，使得f (m )=f (n )，即ln mm=ln nn，即m n =n m ． 【…、￥。
江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（一）数学试题
南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（一）时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1.“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设函数21y x =-的定义域A ，函数3x y =的值域为B ，则A B =（ ）A. (0,1)B. (0,1]C. [1,1]-D. (0,)+∞3.某单位为了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程ˆ260yx =-+，那么表中m 的值为（ ） 气温x （℃）1813 10-1 用电量y （度） 24 34m64A. 40B. 39C. 38D. 374.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A. 150B. 200C. 300D. 4005.函数()e e ||--=x xf x x 的图像大致为（ ）A. B. C. D.6.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且939S S =，则{}n a 的通项公式可能是（ ）A. 22n a n =+B. 22n a n =-C. 21n a n =+D. 21n a n =-7.已知O 是ABCD 的两条对角线的交点．若DO AB AC λμ=+，其中,λμ∈R ，则:=λμ（ ） A. -2B. 2C. 12-D.128.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则(|)P B A =（ ）A.13B.16C.19D.112二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 9.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，且对称轴为1x =-，则以下选项中正确的为（ ）A. 24b ac >B. 21a b -=C. 0a b c -+=D. 5a b <10.如下的四个命题中真命题的标号为（ ）A. 97100162700C = B. 3239910C C C += C. 12345678888888C C C C C C C 254++++++= D. 10(12)x +的展开式中二项式系数最大的项是513579(4)5!x ⨯⨯⨯⨯11. 已知直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则3a ＋2b 的值可以为( )A. 3 2B. 2 2C. 10D. 1312. 已知两点A (－1,0)，B (1,0)以及圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)，若圆C 上存在点P ，满足AP →·PB →＝0，则r 的取值可以是下列选项中的( )A. 4B. 5C. 6D. 7三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 13．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b 的最小值是__________________14.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，点在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 15.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个.（用数字作答）16.已知函数32()62f x ax x =-+，若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.18．（12分）已知向量(sin ,cos 2sin )a ααα=-，(1,3)b =．（1）若a b ，求tan α的值；（2）若||||a b a b +=-，求cos2α的值．19.（12分）如图,已知AE ⊥平面CDE ,四边形ABCD 为正方形,M ,N 分别是线段BE ,DE 的中点.(1)求证:MN ∥平面ABCD ;(2)若21EC AE 求EC 与平面ADE 所成角的正弦值.20..某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望．21已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，直线20bx y a -+=经过椭圆C的左焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线40bx y -+=与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，APB ∠的平分线在y 轴上，PA PB ≠则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()22xa f x e x ax =--，其中0a >. （1）当1a =时，求不等式()24f x e >-在()0,∞+上的解；（2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，求证：当ln x a <时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<.南京市秦淮中学2019~2020学年第二学期 高二数学期末模拟检测试卷（一）答案时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1. B 2.B 3.C 4. C 5. D 6. D 7.A 8.B二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请将正确选项填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上. 9.【答案】AD 10.【答案】BCD 11.【答案】BCD. 12. 【答案】选ABC.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 13．【答案】 2 14.【答案】15.【答案】198． 16.【解析】32()62f x ax x =-+()2()31234f x ax x x ax '∴=-=-当0a >时，由()0f x '>，解得0x <或4x a>， ()f x 在(-∞，0]上是增函数，且(1)6150f a a -=--+=--<，(0)10=>f ，所以()f x 在(1,0)-上有零点，由题意知2432()20f a a=->，由216a >故4a 或4a >，又0a >4a ∴> ．当0a =时，2()26f x x =-解得3x =有两个零点，不合题意． 当0a <时，()f x 增区间为4[,0]a ，减区间为4,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+且(0)2f =，当4()0f a >时，则由单调性及极值可知，有唯一零点，但零点大于0，当4()0f a <时，则有三个零点， ∴4()f a无论正负都不合适．所以(4,)a ∈+∞．故答案为：(4,)+∞.四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2， ∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1) ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝1＋（2n －1）2·n ＋1－2n1－2＝n 2＋2n －1. ∵S n －(n 2＋2n )＝－1<0，∴S n <n 2＋2n .18．（12分）已知向量(sin ,cos 2sin )a ααα=-，(1,3)b =．（1）若a b ，求tan α的值；（2）若||||a b a b +=-，求cos2α的值． 【解析】（1）因为(sin ,cos 2sin )a ααα=-，(1,3)b =且a b ， 所以3sin (cos 2sin )0ααα--=，即5sin cos αα=，………………3分 当cos 0α=，则1sin α=±，不合题意（舍去）；………………5分当cos 0α≠，则1tan 5α=．………………6分 （2）因为22||||()()a b a b a b a b +=-⇒+=-，所以0a b ⋅=， 所以5sin 3cos αα=，………………10分 代入22sin cos 1αα+=得29sin 34α=，………………11分 所以28cos 212sin 17αα=-=．………………12分19.（12分）如图,已知AE ⊥平面CDE ,四边形ABCD 为正方形,M ,N 分别是线段BE ,DE 的中点.(1)求证:MN ∥平面ABCD ;(2)若21=EC AE 求EC 与平面ADE 所成角的正弦值.(1)证明:连接线段BD.在△BDE 中,∵M ,N 分别是线段BE ,DE 的中点,∴MN 为中位线,则MN ∥BD.又∵MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴MN ∥平面ABCD.(2)解:连接线段AC.∵四边形ABCD 为正方形,∴CD ⊥AD.又∵AE ⊥平面CDE ,∴CD ⊥AE ,且AD ∩AE=A ,∴CD ⊥平面ADE. EC 与平面ADE 所成角的平面角即为∠CED. 在△ACE 中,令AE=a ,CE=2a ,则AC=5a ,∴CD=210a. 在△CDE 中,sin ∠CED=4102210==a aCE CD ∴EC 与平面ADE 所成角的正弦值为41020..某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a 的值；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望． 【答案】（1）0.040a =，（2）答案见详解.【解析】（1）由()0.0050.0100.0250.020101a ++++⨯=可得0.040a =（2）由频率分布直方图可得，优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯=，即概率为0.6 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X ，则33,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()3032805125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2133236155125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭ ()2233254255125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33332735125P X C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为X0 1 2 3P8125 36125 54125 27125所以39355EX =⨯= 21已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，直线20bx y a -+=经过椭圆C的左焦点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线40bx y -+=与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，APB ∠的平分线在y 轴上，PA PB ≠|，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.（1）在直线方程20bx y a -+=中令0y =，则2a x b=-， 故2a c b =，又22c a =，故2b =，所以4a =，所以椭圆标准方程为：22184x y +=.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 因为P 在y 轴上且P 在直线240x y -+=，故()0,4P . 因为APB ∠的平分线在y 轴上，所以1212440y y x x --+=，而1122,y kx b y kx b =+=+， 代入整理得到：()()1212240kx x b x x +-+=. 由2228y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()2221+24280k x kbx b ++-=， 所以2121222428,1+21+2kb b x x x x k k -+=-=， 所以()2222842401+21+2b kb k b k k -⎛⎫⨯+--= ⎪⎝⎭，化简得到()10k b -=， 所以对任意的k ，总有1b =，故直线AB 过定点()0,1.22.已知函数()22xa f x e x ax =--，其中0a >. （1）当1a =时，求不等式()24f x e >-在()0,∞+上的解；（2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，求证：当ln x a<时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<. 【答案】（1）()2,+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】（1）当1a =时，()212x f x e x x =--，()1x f x e x '=--，()10x f x e '⎡⎤'=->⎣⎦， ∴()1xf x e x '=--在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ''>=， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增，又()224f e =-，∴()24f x e >-的解集为()2,+∞； （2）()()x g x f x e ax a '==--，∵()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，∴()()22ln 2ln x a h x g a x ax a a a e=-=+-- ∴()()222ln xx a g x h x e ax a a e -=--+令()222ln x x a p x e ax a a e =--+， ()22220xx a p x e a a a e '=+-≥-=，当且仅当ln x a =时取“＝”， ∵ln x a <，故上式取不到“＝”，即()0p x '>， ∴()p x 在(),ln a -∞上单调递增，故()()ln 2ln 2ln 0p x p a a a a a a a <=--+=，即()()0g x h x -<，∴当ln x a <时，()()g x h x <，（3）证明：由已知()()x g x f x e ax a '==--，()xg x e a '=- 由1x ，2x 是函数()f x 两个不同极值点（不妨设12x x <）.即1x ，2x 是函数()0g x =的两个不同实根.即()10g x =，()20g x =∴110x e ax a --=，220x e ax a --=， 两式相减得：1212x x e e a x x -=-，于是要证明12ln 2x x a +<，即证明1212212x x x xe e e x x +-<-，两边同除以2x e ，即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-， 即证()121221210x x x x x x e e ----+>令()12 0x x t t -=<即证不等式210t t te e -+>当0t <时恒成立.设()21t tt te e φ=-+，∴()222221'11222t t t t t t t t t t e t e e e e e e φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅-=+-=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 而212tt e >+，即2102tt e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，∴()0t φ'<，∴()t φ在(),0-∞上是减函数,又()00φ=∴()0t φ>恒成立.则12ln 2x x a +<.。
江苏省南京市秦淮中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
【点睛】本题给出函数的导数图象,要我们找出符合函数性质的选项，着重考查了对函数图象的理解和函数单调性与导数的关系等知识,属于中档题．
12.已知函数 ，则下列结论正确的是（)
A。 函数 存在两个不同的零点
B。 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 当 时，方程 有且只有两个实根
D. 若 时， ，则 最小值为
二、多项选择题：共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,请将正确选项填涂在答题卡相应位置上．
9.下列各式中，等于 的是（ )
A. B. C。 D。
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．
故答案选AD
【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
11.已知 是定义域为 的函数 的导函数,如图是函数 的图象，则下列关于函数 性质说法正确的是( ）
A。 单调递增区间是 , B。 单调递减区间是 ，
C。 是极小值D. 是极小值
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据函数 的图象，得原函数在 上是增函数，在区间 和 上为减函数，因此函数的极大值为 ，极小值为 ．由此对照各个选项,即可得到本题的答案．
【详解】解：由 的图象可得当 时 ， 时 ，故函数 在 上是增函数，在区间 和 上为减函数，
所以函数 在 处取得极小值,在 处取得极大值，故正确的有BC;
【详解】解:分四种情况：
（1）安排甲到一所学校有 种方法，安排乙到第二所学校有 种方法，余下三人一起
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江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若9人乘坐2辆汽车，每辆汽车最多坐5人，则不同的乘车方法有多少种？（）
A．B．C．D．
2. 若随机变量，则等于（）
A．B．C．D．
3. 如图，点，在函数的图象上，且，
为的导函数，则与的大小关系是（）
A．B．
C．D．不能确定
4. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于
A．B．
D．1
C．
5. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值是（）A．-1 B．0 C．1 D．2
6. 为支援边远地区教育事业的发展，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区三所不同的学校去支教，每个学校至少去1人，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有( )
A．180种B．150种C．90种D．114种
7. 展开式中的系数为（）
A．10 B．24 C．32 D．56
8. 已知函数的导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（）
A．B．
C．D．
二、多选题
9. 下列各式中，等于的是（）
A．B．C．D．
10. 对于二项式，以下判断正确的有（）
A．存在，展开式中有常数项；
B．对任意，展开式中没有常数项；
C．对任意，展开式中没有的一次项；
D．存在，展开式中有的一次项.
11. 已知是定义域为的函数的导函数，如图是函数的图象，则下列关于函数性质说法正确的是（）
A．单调递增区间是，B．单调递减区间是，
C．是极小值D．是极小值
12. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
三、填空题
13. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在(0，4)内取值的概率为0.6，则在(0，+∞)内取值的概率为__________
14. 设n为正整数，展开式的二项式系数最大值为x，展开式的二项式系数的最大值为y，若，则n=__________.
15. 的展开式中的系数是
__________.
16. 已知函数方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题
17. 设，求：
（1）；
（2）.
18. （1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求经过点（4，0）且与曲线相切的直线方程.
19. 一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿
灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.
（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；
（2）求的概率分布和数学期望.
20. 已知函数．
（1）设时，求的导函数的递增区间；
（2）设，求的单调区间；
（3）若对恒成立，求的取值范围．
21. 2名女生、4名男生排成一排，求：
（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
22. 已知函数，求证：
（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点.。