谓词演算推证举例
1.8谓词演算的推理规则
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
(4)存在指定规则(ES)/存在量词消去规则(EI)
∃xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中存在着具 有性质A的元素,那么个体域中必有某一元 素c具有性质A. 该式成立的条件是: (1)c是使A为真的特定的个体常项; (2) c不在A(x)中出现; (3)若A(x)中除自由出现的x外,还有其它自由 出现的个体变项,此规则不能使用.
或
∀xA( x) ∴ A(c)
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
这个规则的意思是说:如果个体域中的所有元 素都具有性质A,那么个体域中的任一元素 (或某一个元素c)皆具有性质A. 两式成立的条件是: (1)在第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x) 中约束出现的个体变项; (2)在第二式中,c为任意的不在A(x)中出现过的 个体常项;
如果个体域中的所有元素都具有性质a那么个体域中的任一元素或某一个元素c皆具有性质a
离散数学
卓泽朋
zhuozepeng@
数学科学学院
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
主要内容 一. 推理规则 二. 推理举例
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
第1组: 命题演算中的推理规则都是谓词演 算中的推理规则(教材P26). 第2组:谓词演算中所有的永真蕴含式,恒等 式和代入规则都是推理规则(教材P45-P46).
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
例3 在个体域为实数集合上构造下列推理的 证明: 所有的有理数是实数.某些有理数是整数.因此 某些实数是整数.
☞ 1.8 谓词演算的推理规则
注: (1)四种规则的意思和各式成立的条件务必 记住; (2)证明方法通常有直接证法和间接证法; (3)证明过程中要先引进带存在量词的前提.
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明什么是谓词逻辑谓词逻辑（Predicate Logic），也称为一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus）或一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一个重要分支。
它是一种用于研究自然语言和数学推理的形式系统，能够精确地描述和分析复杂的命题、关系和推理。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象之间的关系，使用量词来表示命题的范围。
谓词是一个描述性质或关系的函数，它接受一些参数并返回真或假。
量词则用于限定谓词的范围，包括全称量词∀（for all）和存在量词∃（exists）。
通过合理地运用这些符号和规则，我们可以进行有效式证明，即证明某个命题在给定公理系统下是可证明的。
有效式证明的基本概念在进行有效式证明之前，我们首先需要了解一些基本概念。
命题命题是一个陈述句，它要么为真（True），要么为假（False）。
在谓词逻辑中，我们使用符号P、Q、R等来表示命题。
公理公理是谓词逻辑中的基本假设或前提，它是一个被认为是真的命题。
在进行有效式证明时，我们需要基于一组公理来推导出新的命题。
推理规则推理规则是用于从已知命题推导出新的命题的规则。
常见的推理规则包括：假言推理、析取三段论、合取三段论、全称推广、全称特指等。
有效式证明有效式证明是指使用一组公理和推理规则，通过一系列合法的推导步骤，从已知命题推导出目标命题。
如果我们能够按照一定的规则进行推导，并最终得到目标命题，则称该证明是有效式的。
谓词逻辑有效式证明的步骤进行谓词逻辑有效式证明时，通常需要按照以下步骤进行：1.确定目标：首先需要确定要证明的目标命题。
2.建立前提：根据已知信息和所给公理，建立起一组前提命题。
3.运用推理规则：根据前提和已有信息，运用合适的推理规则来进行推导。
4.反复应用：根据需要反复应用不同的推理规则，直到最终得到目标命题。
5.证明结束：当我们成功地从已知信息推导出目标命题时，证明结束。
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
10
NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
18谓词演算的推理规则.
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
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量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
谓词公式等值演算
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 无法证明，只能理解！
1、个体域为有限集D={a1,a2,...,an},则有 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
(1)/x(A(x)B)/xA(x)B A(x)含自由x (2)/x(A(x)B)/xA(x)B B不含有自由x 5 、约束变元改名规则 将A中某量词辖域中变元的每次约束出现，全部换成公 式中未出现的字母，所得到的公式记为B，则AB 6 、置换规则：公式局部等值变换后,仍与原公式等值。
例题、x(A(x)B)xA(x)B
例题、 xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y))
xy(F(x)G(y)H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y)) pqpq
xy( (F(x)G(y))H(x,y)) 德摩律
xy((F(x)G(y))H(x,y))
离散数学
1、 xA(x) A(a1)A(a2)… A(an) 个体域为有限 xA(x) A(a1)A(a2) … A(an)
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x) x A(x)x A(x) 3、量词分配律
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x) xB(x) 4、量词作用域的收缩与扩张律
2.量词的德摩律
xA(x)xA(x)
x A(x)x A(x)
当否定符“”移过时，变成、变成、变 成、变成。
离散数学-谓词演算的推理规则
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
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二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
第四讲谓词演算的推理理论
谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。 解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必 须是整个谓词公式，而不是其中的一部分
谓词演算的推理理论(牛连强)
2.5 谓词演算的推理理论1．推理定律谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。
我们以此作为推理的基础，即推理定律。
表2-2序号 等价或蕴含关系 含义E27 E28 ┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x) 量词否定等值式E29 E30∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)量词分配等值式（量词分配律）E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀x(B∨A(x))⇔ B∨∀xA(x)∀x(B∧A(x))⇔ B∧∀xA(x)∃x(B∨A(x))⇔ B∨∃xA(x)∃x(B∧A(x))⇔ B∧∃xA(x)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)A→∀xB(x)⇔∀x(A→B(x))A→∃xB(x)⇔∃x(A→B(x))量词作用域的扩张与收缩I21 I22∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)I23 ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。
E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
2．量词的消除与产生规则谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。
除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。
如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。
谓词逻辑表示法的举例
谓词逻辑表示法的举例谓词逻辑表示法是一种符号逻辑表示法，它是用来描述论述中陈述的关系和命题。
简而言之，谓词逻辑就是需要用到谓词的逻辑。
谓词是指在命题中可以用来刻画对象或主语属性特征的一种语言成分。
谓词逻辑非常适用于在大量数据和信息集合中推理、分类和描述数据特征。
在本文中，我们将通过几个举例来展示谓词逻辑的表示能力和优越性。
举例一：家族关系假设我们有三个人，一个爷爷（Grandfather）、一位父亲(Father)和一个儿子(Son)。
然后我们就可以把他们的关系表现为：GrandFarther(GF) ----- Father(F) | | | --- Son(S)通过谓词逻辑公式表示为：GrandFarther(GF) - Son(S)其中，- 表示“拥有“或者”儿子“, GF 表示爷爷，F 表示父亲，S 表示儿子。
这个谓词逻辑公式基本上就代表了这个家族的结构和关系，可以方便地实现数据建模和分类。
举例二：环境保护假设现在有两个动物，一个是乌龟(Turtle)，一个是袋鼠(Kangaroo)。
然后我们想要描述它们和环境的关系，可以表示为：Turtle(T) --- LivesIn(LI) --- WaterEnv(W) | --- LandEnv(LE)Kangaroo (K) --- LivesIn (LI) --- LandEnv (LE) 这组谓词逻辑公式表示表明乌龟生活在水环境中，而袋鼠生活在陆地环境中。
这样的结构是非常重要的，因为它给我们提供了更多的信息和描述性，这可以用来分类和描述这两个动物。
举例三：人物关系网络假设现在有四个人物，分别是John、Mary、Tom和Kevin。
他们之间的关系为：John(J) -----SisterOf (SO) ---- Mary(M) | FatherOf(FO) -- Tom(T) -- FriendOf(FO) -- Kevin(K)通过谓词逻辑公式可以表示为：SisterOf(SO) (Mary, John) FatherOf(FO) (Tom,John) FriendOf(FF) (Tom, Kevin)这个公式可以很好地描述这个人物网络之间的联系和关系，对于人物分析和推理非常有用。
1.8 谓词演算的推理理论
NUIST
使用时的注意事项
1. 量词的消去或添加规则只对前束范式（即辖域为整个 公式）的量词成立，不能对出现在公式中间的量词使 用它们。 2. 使用时，要严格按照限制条件去使用，并从整体上考 虑个体常元和个体变元符号的选择。
3. 用y或c取代A(x)中自由出现的x时，一定要在x自由出 现的每一处都取代。
19
两式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ 在①式中，y为任意的不在A(x)中约束出现的个体变元。 特别地，y可取x。
⑶ 在②式中，c为任意的个体常元。
3
NUIST
例如： 设个体域D为实数集，谓词 F(x,y)：x>y。 则xyF(x,y)： 对任意的实数x，都存在实数y，使x>y。（真命题） 则下列推理正确的是：( ) 1.xyF(x,y)yF(c,y) 2.xyF(x,y)yF(x,y) 3.xyF(x,y)yF(y,y) 4.xyF(x,y)yF(z,y) 答案：1，2，4正确 3出错的原因是y已在yF(x,y)中约束出现。
6
NUIST
添加规则(推广规则)
3. UG规则(全称推广规则)
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A， 则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是：
⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时， A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。 注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个 ｘ，A(x)都为真。
(4) x (G(x) → F(x))
(5) G(y) → F(y) (6) x(Q(x)→G(x))
(3) 蕴含等价式，规则T
数学逻辑中的谓词与谓词演算
数学逻辑中的谓词与谓词演算在数学逻辑领域中，谓词是一种用于描述事物属性或关系的语言元素。
谓词演算是一种形式化的推理方法，旨在通过一系列符号化的公式来分析和推断命题的真假性。
本文将对数学逻辑中的谓词与谓词演算进行探讨。
一、谓词的定义与应用谓词是数学逻辑中最基本的概念之一，它是用于描述命题中的属性或关系的符号。
谓词的定义通常包括两个部分：谓词符号和谓词变元。
谓词符号表示谓词的含义，例如P(x)表示“x具有属性P”，Q(x, y)表示“x与y之间存在关系Q”。
谓词变元则是赋予谓词具体内容的变量，可以是常量、变量或复合表达式。
谓词在数学逻辑中广泛应用于命题的表达和推理过程。
通过引入谓词，我们可以更精确地描述事物的属性和关系，使得逻辑推理更加准确和有效。
例如，在数学中我们可以使用谓词来描述“偶数”、“素数”等特殊的数学性质，进而进行相关的推理和证明。
二、谓词演算的基本构成谓词演算是数学逻辑中一种重要的形式化推理方法，旨在通过对谓词之间的关系和结构进行符号化处理，从而进行逻辑推理和证明。
谓词演算通常包括以下几个基本构成要素：1. 逻辑符号：谓词演算中使用的逻辑符号包括命题符号、连接符号和量词符号等。
命题符号用于表示命题的真假，常用的命题符号包括“∧”表示逻辑与、“∨”表示逻辑或、“¬”表示逻辑非等。
连接符号用于连接多个命题形成复合命题，量词符号则用于描述谓词的范围和数量。
2. 公式化规则：谓词演算中使用的公式化规则通常包括谓词逻辑公式的构造和推导规则。
通过这些规则，我们可以将复杂的逻辑关系转化为一系列公式，并进行逻辑推理和证明。
3. 推理规则：谓词演算中的推理规则主要包括共识化、脱离量词、简化和替换等方法。
通过这些推理规则，我们可以通过对谓词形式的公式进行逻辑操作，得到新的公式以推导出结论。
三、谓词演算的应用和意义谓词演算在数学逻辑和计算机科学中有着广泛的应用和重要意义。
它不仅可以用于描述和分析命题的真假性，还可以应用于模型论、证明论和自动推理等领域。
1.8 谓词演算的推理规则
2 全称指定规则US
• 全称指定规则 (Universal Specification)，记为US。
xA( x) A( y)
这个规则是删除全称量词。这里A(x)是谓词，y是论域中 某个任意的客体。 例如，设论域是全人类，A(x)表示“x总是要死的”，那么 xA(x)表示“所有人总是要死的”，若y表示“苏格拉底”， 则可以得出结论A(y)，即“苏格拉底总是要死的”。
解 设T(x): x是大学教师，N(x): x是知识分子，H(x): x有怪脾 气。 这个论证是 x(T (x) N (x)), x(N (x) H (x))
x(T (x) H (x)) 这个论证是无效的，要证明无效，只需找出一种解释说明上式， 即 x(T(x) N(x)) x(N(x) H(x)) x(T(x) H(x)) 非永真即可。
现取论述域为整数，T(x)：x=1，N(x)：x是奇数，H(x)：x是质 数。则x(T(x)→N(x))是真， x(N(x)∧H(x))是真，但x(T(x) ∧H(x))是假，故非永真式。
(b) 每一松树都是针叶树，每一冬季落叶的树都非针叶树，所 以，每一冬季落叶的树都非松树。
解 设P(x)：x是松树，Q(x)：x是针叶树，R(x)：x是冬季落 叶的树。 这个论证是
T1,E T2,I T3,E T2,I T5,E T4,ES T6,US T7,8,I T9,E P
⑿ P(c)∨Q(c)
US
⒀ (P(c)∨Q(c))∧(P(c)∨Q(c)) T10,12,矛盾
例4 证明: x(P(x)∨Q(x)) xP(x)∨xQ(x)
证法2: 原式可改写为 x(P(x)∨Q(x)) xP(x)→xQ(x)
可用CP规则转化为证明:
第一章数理逻辑 谓词演算
(ⅲ) 量词的否定 xP(x)xP(x) xP(x)xP(x) 设： P(x)表示x今天来上课了，则：… (ⅳ) 量词辖域的扩张和收缩 x(A(x)P)xA(x)P x(A(x)P) xA(x)P x(A(x)P) xA(x)P x(A(x)P) xA(x)P 其中P是不含约束变元x的谓词（包括命题） 然而 x(A(x)P)xA(x)P x(A(x)P) xA(x)P x(P A(x)) P xA(x) x(P A(x)) P xA(x)
(1) 全称指定规则（简称US规则） xP(x)P(y)
其中：y为任意的不在P(x)中约束出现的个体变元， 否则会发生错误： 例：设论述域为实数集，谓词F(x，y)表示 x>y，则xyF(x，y)为：对于任一实数x而言， 都存在着实数y，使得x>y。这是一个真命题。如 果进行如下的推演： xyF(x，y) ∴ yF(y，y) US 则得到“因此存在着实数y，y>y”，这是个错误 的结论。
3.对偶原理 在公式AB或AB中，A、B仅含运算符、 和，将上式中的全称量词与存在量词互换， 与互换，T和F互换，则 A*B*，B*A*。
证：A*B*的证明与命题演算中的对偶原理的 证明相同。 因为AB，即A真时推得B真， 所以A假时推得B假，BA，将深入 到原子公式， 再将连同原子公式看成一个整体，即得 B*A*
1.8 谓词演算的推理规则 谓词演算的推理方法，可以看作是命题 演算方法的扩张，因为谓词演算的很多等价 式和蕴涵式，是命题演算有关公式的推广， 所以命题演算中的推理规则亦可在谓词的推 理论应用。但在谓词推理中，某些前提与结 论可能是受量词限制的，为使用这些等价式 和蕴涵式，必须在推理过程中有消去和添加 量词的规则，以使谓词演算公式的推理过程 可类似于命题演算中推理理论那样进行。 推理规则：
谓词演算的推理理论
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2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体，
则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前
结论： D(a)
推理的形式结构：x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则，规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理，规则T
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例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。
注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个
（二）谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制， 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加
量词的规则。
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2
消去规则(指定规则)
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1. US规则(全称指定规则)
习题六_谓词演算的推理理论
习题六：谓词演算的推理理论1．证明下列各式。
a))()()()()),()()((x A x x B x B x A x ∃⇒⌝∀→⌝∀b)))()()(()()()()(x B x A x x B x x A x →∀⇒∀→∃c)))()()(()(()()(()),()()((x A x C x x B x C x x B x A x ⌝→∀⇒⌝→∀→∀ d))()()()()),()()(()),()()((x A x x C x x C x B x x B x A x ∀⇒∀⌝→∀∨∀2．用CP 规则证明a ）)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∀→∀⇒→∀b ）)()()()())()()((x Q x x P x x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀3．符号化下列命题并推证其结论。
a )所有有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。
b)任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。
c)每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生4．指出下列推理中的错误：（1）①()()x G x xF →∀ 前提引入②()()y G y F → ①S（2）①()()()x G x F x ∨∀ 前提引入②()()b G a F ∨ ①S（3）①()()x G x F → 前提引入②()()()y G y F y →∃ ①EG（4）①()()c G x F → 前提引入②()()()x G x F x →∃ ①EG（5）①()()b G a F → 前提引入②()()()x G x F x →∃ ①EG（6）①()()()x G x F x ∧∃ 前提引入②()()()y R y H y ∧∃ 前提引入③()()c G c F ∧ ①ES④()c F ③化简⑤()()c R c H ∧ ② ES⑥()c H ⑤化简⑦()()c H c F ∧ ④⑥合取⑧()()()x H x F x ∧∃ ⑦EG5．下面公式是否有效，对有效的公式加以证明，对无效的公式加以反驳。
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设前提为∀x∃yF(x, y) ，下面的推证是否正确？
(1) ∀x∃yF(x, y) P
(2) ∃yF(y, y) T (1) US 解：推证不正确。
取解释I：个体域为R，在I下前提被解释为∀x∃y(x>y) ，为真；
而∃yF(y, y)被解释为∃y(y>y) ，为假。
所以推理不正确。
错误的原因是第(2)步违反了US规则成立的条件y不应在P(x)中约束出现。
设前提为∀x∃yF(x, y) ，下面的推证是否正确？
(1) ∀x∃yF(x, y) P
(2) ∃yF(t, y) T (1) US
(3) F(t, c) T (2) ES
(4)∀xF(x,c) T (3) UG
(5)∃y∀x F(x,y) T (4) EG 解：推证不正确。
取与例2.16相同的解释，则∀x∃yF(x,y)为真；
而∃y∀x F(x,y)意为“存在着最小实数”，是假命题，
所以推理不正确。
之所以出现这样的错误，是第(3)步违反了ES规则成立的条件
P(x)中除x外还有其他自由出现的个体变元时，不能用此规则。
试证明
∀x(P(x)→Q(x))∧∀x(Q(x)→R(x))⇒∀x(P(x)→R(x))证：(1)∀x(P(x)→Q(x)) P
(2)P(y)→Q(y)T (1) US
(3)∀x(Q(x)→R(x)) P
(4)Q(y)→R(y)T (3) US
(5)P(y)→R(y) T (2)(4) I
(6)∀x(P(x)→R(x)) T (5) UG
证毕。
试证明
∀x(C(x)→W(x)∧R(x))∧∃x(C(x)∧Q(x))⇒∃x(Q(x)∧R(x))证：(1) ∃x(C(x)∧Q(x))P
(2) C(a)∧Q(a)T (1) ES
(3) ∀x(C(x)→W(x)∧R(x))P
(4)C(a)→W(a)∧R(a)T (3) US
(5)C(a) T (2) I
(6)W(a)∧R(a) T (4)(5) I
(7)Q(a)T (2) I
(8)R(a)T (6) I
(9)Q(a)∧R(a)T (7)(8) I
(10)∃x(Q(x)∧R(x)) T (9) EG
证毕。
2.5.2 谓词演算推证举例
注意：
在推证过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词，而且选用的个体是同一个符号，则必须先使用规则ES，再使用规则US。
在例2.19的推理过程中(2)(3)与(4)两条就不能颠倒，若先用US规则得到C(a) W(a)∧R(a)，则再用ES规则时，不一定得到C(a)∧Q(a)，一般应为C(b)∧Q(b)，故无法推证下去。
例2.20
证明苏格拉底三段论：“所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。
”证：设H(x)：x是一个人，D(x)：x是要死的，a：苏格拉底。
则本论证形式化为：∀x(H(x)→D(x))∧H(a)⇒D(a);
(1)∀x(H(x)→D(x)) P
(2) H(a)→D(a) T (1) US
(3) H(a) P
(4) D(a) T (2)(3) I
证毕。
谓词演算推证中利用US,ES规则可将谓词演算的推证转化为命题演算的推证，再通过UG,EG转化回来。
关于四条规则使用的特别提示：
（1）当既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词，而且选用的个体是同一个符号，则必须先使用规则ES，再使用规则US。
然后再使用命题演算中的推理规则，最后使用规则UG或规则EG引入量词，得到所要的结论。
（2）如一个变量是用规则ES消去量词，对该变量在添加量词时，则只能使用规则EG，而不能使用规则UG；如使用规则US消去量词，对该变量在添加量词时，则可使用规则EG和规则UG。
（3）如有两个含有存在量词的公式，当用规则ES消去量词时，不能选用同样的一个常量符号来取代两个公式中的变元，而应用不同的常量符号来取代它们。
（4）在用规则US和规则ES消去量词时，此量词必须位于整个公式的最前端（一般化为前束范式）。
本小节内容思维形式注记图:
(A1∧A2∧…∧A k)→B是否为永真式
谓词演算推证
直接间接
归谬附加前提P规则 T规则 CP规则US,UG,ES,EG
推理规则。