椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程
一、椭圆中的焦点三角形面积公式
1、公式：)2
tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程： 设椭圆的标准方程为：）（0122
22>>=+b a b
y a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则
在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=α
cos 222212
22
12
212222121PF PF PF PF F F c b a a
PF PF c
F F ⇒
)cos 1(2)(212
21221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒
α
α
cos 12cos 1(222
221+=+-=b
c a PF PF ）
)
2tan()
2(cos 22
cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221
sin 2122222
2121α
α
α
ααα
α
αα
b b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221α
b S F PF =∆．
二、双曲线中的焦点三角形面积公式
1、公式：1-2)2
tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：
设双曲线的标准方程为：），（001-22
22>>=b a b
y a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则
在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===α
cos 22-2212
2212
212
222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF c
F F ⇒ )cos 1(2)(212
21221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ α
α
cos 12cos 1(222
221-=--=b a c PF PF ）
1
22222
21)2
(tan )
2(sin 22
cos
2sin 2cos 1sin sin cos 12
21sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==ααα
ααα
α
αα
b b b b PF PF S F PF 即1
-2)2tan(21αb S F PF =∆．