运筹学-4最大流

当收点已得到标号时，说明已找到增广链。
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
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3. 依据vi 的第一个标号反向跟踪得到一条增广链； 依据vi 的第二个标号求最小值得到调整量θ
4. 调整流量
截量C(V1,V1) 4 2 6 9 21
44 ②
6 6
11
④
76
① 3
8
40 2
2
60
⑥ 91
③
上图所示的截集为
22
⑤
(V1,V1) (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) 截量C(V1,V1) 4 1 2 2 9
所有截量中此截量最小且等于最大流量，此截集称为最小截集。
后向弧：与链的方向相反的弧称为后向弧。
增广链 设 f 是一个可行流，如果存在一条从vs到vt的链，满足：
1.所有前向弧上fij<Cij 2.所有后向弧上fij>0 ②
43
想一想，这 ④ 是一条增广
链吗？
则该链称为增广链
容量
①
4 2 前向弧 64
⑥
流量
85
③
后向弧 ⑤
96
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【定理】最大流量等于最小截集的截量。
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链：从发点到收点的一条路线（弧的方向不一定都同向）称为链。 从发点到收点的方向规定为链的方向。 前向弧：与链的方向相同的弧称为前向弧。
__
截集 将图G＝（V，E）的点集分割成两部分 V1、V 1 并且
__
__
__
vs V1及vt V 1，则箭尾在V1箭头在V 1的弧集合（V1，V 1〕
称为一个截集，截集中所有弧的容量之和称为截集的截量。
下图所示的截集为 (V1,V1) (1,2), (3,4), (3,5) 截量C(V1,V1) 6 2 2 10
容量：在某时期内弧(i，j)上的最大通过能力。记为C (i，j)或Cij 在上图中，C12=4，C13＝8，C23＝4等，怎样安排运输方案，
才能使在某一时期内从v1运到v6的物资最多，这样的问题就是最大 流问题，
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流量：弧(i，j)的实际通过量，记为f (i，j)或f ij
可行流：如果f ij满足： 1.对于所有弧(i，j)有0≤f ij≤Cij
2.对于发点vs有： fsj fis v
j
i
3.对于收点vt有：
fit ftj v
i
j
4.对于中间点点vm有：
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2.标号 3. 得到增广链
∞①
64 82
2
② 42
③
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【定理】设网络G的一个可行流f，如果存在一条从vs到vt的增广链， 那么就可改进一个值更大的可行流f1，并且val f1>val f
【证】设val f＝v
令1 min C(i, j)－f (i, j) | (i, j)是前向弧 2 min f (i, j) | (i, j)是后向弧 ＝min 1,2 | 无前向弧时1 ,无后向弧2
基本概念
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②
4
4
1
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④ 7
①
4
6
⑥
网络中所有流起源于一 8
2
个叫做发点的节点（源）
③
2
所有的流终止于一个叫做收点的节点
9 ⑤
其余所有的节点叫做中间点（转运点） 通过每一条弧的流只允许沿着弧的箭头方向流动 目标是使得从发点到收点的总流量最大
6 6 ①
3 8
② 41
44 11
2 2
③
22
请看演示
④
76
60 ⑤
⑥ 93
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又如下图所示的截集为 (V1,V1) (2,4), (3,4), (5,4)，(5,6)
fim
f mj
i
j
则称流量集合｛f ij｝为网络的一个可行流，简记为 f , v称为可 行流的流量或值，记为v(f).
以下假设网络是一个简单连通图。
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f (i, j)
f1 (i,
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j)
f
(i,
j)
f
(i,
j)
(i, j)不在增广链上 (i, j)是前向弧 (i, j)是后向弧
得到新的可行流，去掉所有标号，从发点重新标号寻 找增广链，直到收点不能标号为止。
进入演示和练习
§7.4 最大流问题
Maximum Flow Problems
【例】求下图v1 到v6 的最大流及最大流量 【解】1. 通过观察得到初始可行流
对改进的可行流f1 ：
f (i, j)
f1 (i,
j)
f
(i,
j)
f
(i,
j)
(i, j)不在增广链上 (i, j)是前向弧 (i, j)是后向弧
则有v( f1) v( f ) v( f )
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【定理】可行流是最大流当且仅当不存在发点到收点的增广链
最大流的标号算法
步骤 1. 找出第一个可行流，例如所有弧的流量fij =0 2. 用标号的方法找一条增广链 A1：发点标号（∞）， A2：选一个点 vi 已标号并且另一端未标号的弧沿着某 条链向收点检查： 如果弧的方向向前并且有fij<Cij，则vj标号（Cij－fij) 如果弧的方向指向vi并且有fji>0，则vj标号（fji) 当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束。