第三章-算符之间的对易关系.
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力学量算符之间的对易关系
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 F , G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 三个定理: 力学量守恒定理
pz, px 0
（13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
x p x ix x p x x i ( x ) i ix x x
• 比较后可得
x p x p x x i
z[ p y , y ] iz
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[ Lx , p x ] 0, [ L x , p y ] i p z , [ Lx , p z ] i p y [ L y , p x ] i p z , [ L y , p y ] 0, [ L y , p z ] i p x [ Lz , p x ] i p y , [ Lz , p y ] i p x , [ Lz , p z ] 0
[ Lx , y ] [ y p z z p y , y] [ y p z , y ] [ z p y , y ] y[ p z , y ] [ y, y ] p z z[ p y , y ] [ z, y ] p y
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
（6）
• 称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G G F • 若 （7）
• 称算符 F 与 G 是对易的 即 F G G F • 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
, G ] [G, F ] [F [ F , G M ] [ F , G] [ F , M ] [ F , G M ] G[ F , M ] [ F , G ] M [ F G, M ] F [G, M ] [ F , M ] G
（16）
另外有
[ Lx , Ly ] i Lz
[ L y , L z ] i L x
[ L z , L x ] i L y （17）
（18）
L L i L
• 1.4 几个重要的推论 2 2 2 2 • (1) [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] 0 z x z y z z z
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F G 定义为
( F G) F G
（1）
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r )之和
p H U (r ) T U (r ) 2 2
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0
动量算符是微分算符
[ y, z] 0
[ z, x] 0
（12）
2 2 因为 则 xy yx
px , p y 0
py, pz 0
2 d d 例如 F 则 F2 2 dx dx
n d Fn n dx
为了运算上的方便，引入量子括号
F , G F G G F
（5）
• 若百度文库
F , G 0
F , G 0
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
x , p x i
但是
（14a）
（14b）
x, p y 0
x, p z 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 (14c) xi , p j i ij
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 F , G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 三个定理: 力学量守恒定理
pz, px 0
（13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
x p x ix x p x x i ( x ) i ix x x
• 比较后可得
x p x p x x i
z[ p y , y ] iz
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[ Lx , p x ] 0, [ L x , p y ] i p z , [ Lx , p z ] i p y [ L y , p x ] i p z , [ L y , p y ] 0, [ L y , p z ] i p x [ Lz , p x ] i p y , [ Lz , p y ] i p x , [ Lz , p z ] 0
[ Lx , y ] [ y p z z p y , y] [ y p z , y ] [ z p y , y ] y[ p z , y ] [ y, y ] p z z[ p y , y ] [ z, y ] p y
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
（6）
• 称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G G F • 若 （7）
• 称算符 F 与 G 是对易的 即 F G G F • 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
, G ] [G, F ] [F [ F , G M ] [ F , G] [ F , M ] [ F , G M ] G[ F , M ] [ F , G ] M [ F G, M ] F [G, M ] [ F , M ] G
（16）
另外有
[ Lx , Ly ] i Lz
[ L y , L z ] i L x
[ L z , L x ] i L y （17）
（18）
L L i L
• 1.4 几个重要的推论 2 2 2 2 • (1) [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] 0 z x z y z z z
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F G 定义为
( F G) F G
（1）
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r )之和
p H U (r ) T U (r ) 2 2
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0
动量算符是微分算符
[ y, z] 0
[ z, x] 0
（12）
2 2 因为 则 xy yx
px , p y 0
py, pz 0
2 d d 例如 F 则 F2 2 dx dx
n d Fn n dx
为了运算上的方便，引入量子括号
F , G F G G F
（5）
• 若百度文库
F , G 0
F , G 0
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
x , p x i
但是
（14a）
（14b）
x, p y 0
x, p z 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 (14c) xi , p j i ij