第三章-算符之间的对易关系.
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算符对易关系_第三章
推导 坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系
13
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测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
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测不准关系的严格推导
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 设 F 和 G 的对易关系为 [F, G] ik
ˆ ˆˆ ˆˆ FG GF ik
ˆ ˆ ˆ ˆ F F F , G G G ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ FG GF (F F )(G G ) (G G )(F F ) ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (FG FG FG FG) (GF GF GF GF)
12
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１2 ）
4．测不准关系 引言 由前面讨论表明，两对易力学量算符则同 时有确定值；不对易两力学量算符，一般 来说，不存在共同本征函数，不同时具有 确定值。 两个不对易算符所对应的力学量在某一状 态中究竟不确定到什么程度？即不确定度 是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的 大小。
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ， 则 F 与 G 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ 若 [ F , G] 0 ，则 F 与 G 不对易
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3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系 ˆ ˆ x, y 0 [x , x ] 0 , 1, 2, 3 ˆ ˆ y, z 0 x1 x, x2 y, x3 z ˆ 0 ˆ z, x
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ ˆ 若算符F 和 G 具有共同的本征函数完全 定 理 ˆ ˆ 系，则 F 和 G 必对易。 ˆ ˆ prove: 设 n 是 F 和 G 的共同本征函数完全系，则
算符对易关系第三章-精品文档
等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0
, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
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3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ
1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件
第三章 量子力学中的力学量
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
11/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
6/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
1/26
Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation 一、算符间的对易关系 (Commutation relation of operators)
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ [ L x y z ˆ ˆ ]i L ˆ [ Ly , L z x ˆ ˆ ]i L ˆ [ L , L z x y
ˆ ˆ ˆ [ L , L ] i L , 123 1 εαβγ—列维--斯维塔(j (j=1,2,…) 分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
所以相应的波函数
n j ai jni ( j 1, 2,
ˆ y (i p ˆz ) i p ˆz p ˆy p ˆ z (i p ˆy) i p ˆy p ˆz 0 00 p
ˆ ,p ˆ ,p ˆ 2 ] 0,[ L ˆ 2] 0 [L y z
第三章 量子力学中的力学量
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Quantum mechanics
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系 ppt课件
1.坐标和动量
[,] 0 [pˆ, pˆ]0 [,p ˆ]i (,x,y,z)
2.角动量和坐标
[Lˆx , x] 0 [Lˆx, y]i z
[Lˆx,z]i y
即
[Lˆ,]i 或 [,Lˆ]i
3.角动量和动量
[Lˆx, pˆx] 0
[Lˆx, pˆy]i pˆz
即
[L ˆ,p ˆ]i p ˆ
22 r12rr2r2Lˆ2r2
pˆ
2 r
2
Lˆ2
2r2
径向动能算符 横向动能算符
其中径向动量算符 这是因为
pˆr
i r
1 r
p ˆr22r1 r r r2 2 r 2 r21 r r1 r r r2
2
2
r2
2 r
r
2
r2
r
r2
r
2
1 r
2 r2
(r
)
几个重要算符在球坐标系中的表示
1.算符的共轭
数： caib
cc*aib
矩阵： F ij
Fij Fj*i （即转置后取复共轭）
算符： 对任意的波函数 和1 ，2 的Aˆ 共轭 满足Aˆ
1 *A ˆ 2 d 2(A ˆ1 )*d
如 Aˆ c（复数），则
1 * c 2 d ( c1 ) *2 d1 * c *2 d
sinsin cossin
cosi sinj
e sin cos
0 k
3. 的Lˆ 本z 征解
Lˆz
i
d d
m
Aeim
由周期性条件
()(2) eim2 1 m 0 , 1 , 2 ,
本征值
m ( m 0 , 1 , 2 , )
新编文档-222- 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系-精品文档
1.坐标算符之间的对易关系
x ˆ,y ˆ y ˆ,z ˆ z ˆ,x ˆ 0 x ˆ,x ˆ y ˆ,y ˆ z ˆ,z ˆ 0
结论：坐标分量算符之间是对易的——,0
2. 动量各分量之间的对易关系
p ˆx,p ˆyp ˆxp ˆyp ˆyp ˆx 2 x 2y 2 y 2x0
y ˆ p ˆ z , z ˆ p ˆ x y ˆ p ˆ z , x ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , z ˆ p ˆ x z ˆ p y , x ˆ p ˆ z
y ˆ p ˆ z ,z ˆ p ˆ x 0 0 z ˆ p y ,x ˆ p ˆ z
3.7 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
一. 量子力学的算符基本对易关系
记 A ˆ,B ˆA ˆB ˆ B ˆA ˆ ，如两算符 Aˆ, Bˆ ,满足 A ˆ,B ˆ 0.
称 Aˆ , Bˆ 对易
常用的对易关系式
A ˆ,B ˆB ˆ,A ˆ
A ˆ,A ˆ 0
设 ——任意态函数
xˆpˆxixx
p ˆxx ˆ ih xx ih ih x x
x ˆp ˆxp ˆxx ˆ i
为任意波函数, 所以
x ˆ,p ˆx x ˆp ˆx p ˆx x ˆ ih
同理 y ˆ,p ˆy z ˆ,p ˆz i
① 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系
L ˆ x , x ˆ y ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , x ˆ y ˆ p ˆ z , x ˆ z ˆ p ˆ y , x ˆ
（ A ˆ ,B ˆ C ˆ A ˆ ,B ˆ A ˆ ,C ˆ
x ˆ,y ˆ y ˆ,z ˆ z ˆ,x ˆ 0 x ˆ,x ˆ y ˆ,y ˆ z ˆ,z ˆ 0
结论：坐标分量算符之间是对易的——,0
2. 动量各分量之间的对易关系
p ˆx,p ˆyp ˆxp ˆyp ˆyp ˆx 2 x 2y 2 y 2x0
y ˆ p ˆ z , z ˆ p ˆ x y ˆ p ˆ z , x ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , z ˆ p ˆ x z ˆ p y , x ˆ p ˆ z
y ˆ p ˆ z ,z ˆ p ˆ x 0 0 z ˆ p y ,x ˆ p ˆ z
3.7 算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
一. 量子力学的算符基本对易关系
记 A ˆ,B ˆA ˆB ˆ B ˆA ˆ ，如两算符 Aˆ, Bˆ ,满足 A ˆ,B ˆ 0.
称 Aˆ , Bˆ 对易
常用的对易关系式
A ˆ,B ˆB ˆ,A ˆ
A ˆ,A ˆ 0
设 ——任意态函数
xˆpˆxixx
p ˆxx ˆ ih xx ih ih x x
x ˆp ˆxp ˆxx ˆ i
为任意波函数, 所以
x ˆ,p ˆx x ˆp ˆx p ˆx x ˆ ih
同理 y ˆ,p ˆy z ˆ,p ˆz i
① 角动量分量和它所对应的坐标之间的对易关系
L ˆ x , x ˆ y ˆ p ˆ z z ˆ p ˆ y , x ˆ y ˆ p ˆ z , x ˆ z ˆ p ˆ y , x ˆ
（ A ˆ ,B ˆ C ˆ A ˆ ,B ˆ A ˆ ,C ˆ
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符之阿布丰王创作3.1 算符概述设某种运算把函数u 变成函数v ，用算符暗示为：ˆFuv =（3.1-1） ˆF称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能分歧。
例如，11du v dx=，22xu v =，3v =，(,)x t ϕ∞-∞⎰，(,)x i p x hx edx C p t -=，则d dx，x ，dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFuMu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆI u=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆGF -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并不是所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可暗示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==，从而由ˆFv af =得：1ˆF af υ-=。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
算符的对易关系
(36)
1.两个算符对易的条件即两个算符所表示的力学量同 时有确定值的条件。 ˆ 有一组共同本征函数 n ，而 ˆ和G 如果两个算符 F ˆ 对易。 ˆ 和 G 且 n 组成完全系，则算符 F
证明：
Fn nn , Gn nn , 而 ann
n n
n 由于 为任一波函数，所以
=1,2,3,
(11)
2.其它力学量之间的对易关系
1）量子力学中算符的一般性质： （a）线性算符：满足
A C1 1 C2 2 C1 A 1 C2 A 2 (12)
描写客观测量的都是线性算符，这是态迭加原理的反 映。 单位算符 I ：满足
I
(13)
(b)算符之和，满足
所以
2
ˆ d F
而
2
ˆ G ˆ F ˆ d ˆ G ˆ d G i F
2
ˆ G ˆ F ˆ G G ˆ G F ˆ G ˆ F ˆ F G ˆ F F ˆ ˆ ik ˆ ˆ GF =FG
(19)
2）角动量算符之间的对易关系
力学量都是坐标和动量的函数，由基本对易关系 量之间的对易关系。
x , p i 和恒等式(19)之一，可以导出其它力学
角动量算符定义： l r p
(20)
分量式： lx , x 0, lx , y i z, lx , z i y i z, l y , y 0, l y , z i x l y , x lz , x i y, lz , y i x, lz , z 0 (22)式合并写为 l , x i x
第三章量子力学中的力学量5
H , L2 , Lz
两两对易
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ) 同时具有确定值
En , l (l + 1) 2 , m
例 3:
L2 = z ,L 定轴转子: 定轴转子: H z 2I
两两对易
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: 同时具有确定值 例 4:
*
(
*
2*Βιβλιοθήκη ***都是厄密算符, 根据 F 和 G 都是厄密算符,我们有
= ξ 2 ∫ψ *F Fψ dτ + ∫ψ *GGψ dτ + iξ ∫ψ *GFψ dτ iξ ∫ψ *F Gψ dτ
=ξ
2
=ξ
2
=ξ
2
( ) ∫ψ ( ) iξ ∫ψ ( F G GF )ψ dτ ψ ( F ) ψ dτ + ∫ψ ( G ) ψ dτ ∫ iξ ∫ψ [F , G ]ψ dτ ψ ( F ) ψ dτ + ∫ψ ( G ) ψ dτ ∫ iξ ∫ψ [ F F , G G ]ψ dτ
m22 Em = , m, ( m = 0, ±1,) 2I
两两对易
1 im Φ m ( ) = e 2π
L2 2 空间转子: 空间转子: H = , L , Lz 2I
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: 同时具有确定值
l (l + 1) 2 El = , l (l + 1) 2 , m. 2I
算符对易关系, §3.7 算符对易关系,两算符同时具有确定值的 条件, 条件,测不准关系
(一)两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系,这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系,这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义? 到底有什么物理意义?这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系. 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系.这些对易关 系需要牢记并能够证明. 系需要牢记并能够证明.
第三章 算符之间的对易关系
p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
L Ylm ( , ) l (l 1) Ylm ( , ) L z Ylm ( , ) mYlm ( , )
2
2
c
2
2
Y3,1
Y2, 2
L 12
2
2
Lz
Lz 2
c3,1 4 / 9
c 2, 2
2
L2 6 2
4/9
Y1, 1
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
x , p x i
但是
（14a） （14b）
x, p y 0
算符对易关系_第三章教材
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F
* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
算符对易关系第三章
ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F
ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）
算符对易关系_第三章
们最多相差一个常数因子n ，即
可见，
n
Gˆn nn
也是 Gˆ 的本征方程的解。因此，n
是
Gˆ 的本征函数完全系
8
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）
注
★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简 并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立 （这里就不再证明了）
★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个 算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数 所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时 有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量 同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
2
* (Fˆ
2
)
d
i
*[FˆGˆ GˆFˆ ]d
*(Gˆ )2 d
2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件 是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 （称为测不准关系）
4
如果 k 不等于零，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能 同时测定。
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）
Ex.1 动量算符 pˆx, pˆ y , pˆz彼此对易，它们有共同的
本征函数完备系
p(r)
(2)
3
2
e
i
pr
在 pv (rv) 描述的状态中，px , py , pz 同时有确定值。
4．测不准关系
量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0
ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 有确定值 n ， G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H I， F
代表的力学量可同时取确定值。
结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如：
ˆ y， ˆ x， ˆ z 对易，则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，
ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于 ， ˆ 是关于 的微分算符， 的微分算符， L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以： [H z
ˆB ˆ B ˆA ˆ ，等式成立。 ˆC ˆC 等式左边= A
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
ˆ ,L ˆ ] =[ z ˆx x ˆz,x ˆy y ˆx] ˆp ˆp ˆp ˆp [L y z
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p j ( j 1,2,3) ( p x , p y , p z ) 其中 xi (i 1,2,3) ( x, y, z ) ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系 x , x ] 0, [ L x , y ] iz , [ L x , z ] iy [ L [ L y , x] iz , [ L y , y ] 0, [ L y , z ] ix [ L z , x] iy, [ Lz , y ] ix, [ L z , z ] 0 • 只证明其中一个，请注意证明方法
[ Lx , y ] [ y p z z p y , y] [ y p z , y ] [ z p y , y ] y[ p z , y ] [ y, y ] p z z[ p y , y ] [ z, y ] p y
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x y z x 依次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
（6）
• 称算符 F 与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G G F • 若 （7）
• 称算符 F 与 G 是对易的 即 F G G F • 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
, G ] [G, F ] [F [ F , G M ] [ F , G] [ F , M ] [ F , G M ] G[ F , M ] [ F , G ] M [ F G, M ] F [G, M ] [ F , M ] G
2 d d 例如 F 则 F2 2 dx dx
n d Fn n dx
为了运算上的方便，引入量子括号
F , G F G G F
（5）
• 若
F , G 0
F , G 0
pz, px 0
（13）
坐标算符与动量算符：设 为任意函数
x p x ix x p x x i ( x ) i ix x x
• 比较后可得
x p x p x x i
x , p x i
但是
（14a）
（14b）
x, p y 0
x, p z 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 (14c) xi , p j i ij
为任意函数 一般 F G G F ，例如粒子的哈
（2）算符之积：算符 F 与 G 之积定义为
( F G) F (G )
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G G F 0
（3）
n 个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
x, y 0
动量算符是微分算符
[ y, z] 0
[ z, x] 0
（12）
2 2 因为 则 xy yx
px , p y 0
py, pz 0
z[ p y , y ] iz
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[ Lx , p x ] 0, [ L x , p y ] i p z , [ Lx , p z ] i p y [ L y , p x ] i p z , [ L y , p y ] 0, [ L y , p z ] i p x [ Lz , p x ] i p y , [ Lz , p y ] i p x , [ Lz , p z ] 0
（16）
另外有
[ Lx , Ly ] i Lz
[ L y , L z ] i L x
[ L z , L x ] i L y （17）
（18）
L L i L
• 1.4 几个重要的推论 2 2 2 2 • (1) [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] [ L , L ] 0 z x z y z z z
力学量算符之间的对易关系
• 讨论微观态 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 F , G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 三个定理: 力学量守恒定理
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F G 定义为
( F G) F G
（1）
密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U (r )之和
p H U (r ) T U (r ) 2 2