气体动力学基础2 (7)

代入(a)式得：
u 1 y ub 1 ln ln u* k u* k
u 1 y ln C2 u* k
尼古拉兹由水力粗糙实验得出k=0.40，C1=8.48，代入
上式，并把自然对数换成常用对数，
得：
u y 5.75 lg 8.48 u*
湍流的指数方程
流看成是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动，这些漩涡的
大小及旋转轴的方向分布是随机的。
湍流（紊流）
流体内部多尺度涡旋的随机运动构成了湍流的一个重要特点： 物理量的脉动。 要注意的是，湍流运动尽管是流体微团的运动，但远未达 到分子水平。无论湍流运动多么复杂，非稳态的N—S方程对于 湍流的瞬时运动仍然是适用的。
脉动运动，流体中含有大量不同尺度的涡旋 。
脉动现象与时均值 紊流中由于流体质点的相互掺混、碰撞、交换并形成漩涡，因而
在紊流中，对任何一空间点来说，不同时刻通过的不同质点，其
流速、压力等运动参数都在无规则变化，并围绕某一个平均值上 下跳动。运动参数的这种跳动称为紊流的脉动。
u
' ux
用热线风速仪测出的管道中 某点瞬时轴向速度ui随时间 T 的变化如图所示。
du ~ u ~ l dy
∴
du 2 t l ( ) dy
2
普朗特把这样定义的长度 l 称为混合长。由此可得
du t l dy
2
2．湍流流动时的速度分布
（1）湍流流过光滑平壁面 u y≤δ 层流底层 y u 或 y u* ------切向应力速度 令

d dr
式中的负号表示流速沿半径增加的方向而减小。
作用于流体圆柱体周围表面2πrl上的内摩擦力为
F A (2rl )
即
d dr
由于流体作等速流动，根据牛顿第二定律，这些力的合力等于零。
FP 1P 2
d dr
故

p 2 l
r
式中 Δp —— 两端的压力差(p2－p1)。
圆管层流的沿程阻力系数或水力摩阻系数（摩擦系数），
64 Re
说明：沿程阻力系数λ仅与雷诺数有关，而与管道壁面粗糙
与否无关。这也是被实验所证实了的。
【例1】圆管的直径d 0.02m, 流速 0.12m / s, 水温t 10℃。 试求： 20m管长上的沿程水头损失。 【分析】 l 2 hf d 2g 64 Re d Re
d
p 2 l
rdr
积分

p 4 l
r c
2
利用管壁处的边界条件，r＝R时，v＝0 。可得
c
p 4 l
R
2
2

p 4 l
(R r )
2
（6-11）

布为抛物线形状。 当r =0 时，有
p 4 l
(R r )
2 2
式中为速度分布微分方程式。由此式可知，速度分
( R r )dr
2
2
p 4 Q D 128 l
哈根-泊谡叶定律
表示层流时管中流量与管径的四次方成正比。
3 平均流速

Q
R
2

R 4 p 8 l
R
2

R p 8 l
2

D p 32l
2
1 2 max
4 切应力 牛顿流体内摩擦定律
du du d p pr pr 2 2 ( R r ) dy dr dr 4 l 2 l 2l pR 管壁r R处粘性应力： 0 2l
图1-16
实验证明，层流速度的抛物线分布规律要流过一段 距离后才能充分发展成抛物线的形状。
滞流边界层
X0 当液体深入到一定距离之后，管中心的速度等于平均速度 的两倍时，层流速度分布的抛物线规律才算完全形成。尚未形 成层流抛物线规律的这一段，称为层流起始段。
X0＝0.05dRe
1 速度分布方程式 如图所示，流体在半径为R 的水平管中作稳定流动。在
34.2d 0.875 Re
或
mm

30d Re
mm

可见，管壁粗糙对流动能量损失的影响只有在流动处于水
力粗糙状态时才会显现出来。
四、紊流附加应力（雷诺应力）和混合长度理论（普朗特混合长） 1．紊流切应力分布 附加切应力：由湍流脉动速度而引起的作用力通常称之为附加切
应力。
紊流中总的切应力应由粘性切应力和附加切应力两部分组成。即

查手册。
第五节 紊流的理论分析
河水的湍流现象
大气的湍流现象
本节内容
（1）紊流的产生；
（2）紊流的脉动现象； （3）流体力学中处理紊流脉动的时均法；
（4 ）管内紊流的特点
一、紊流的产生和脉动性 湍流(紊流)是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流 动。在湍流中的流体的各种物理参数，如速度、压力、温度等 都随时间与空间发生随机的变化。从物理结构上说，可以把湍
2．层流底层
紧贴固体壁面有一层很薄的流
体, 受壁面限制, 脉动运动完全
消失, 保持着层流状态, 这一保 持层流的薄层称为层流底层。
三．水力光滑与水力粗糙
1．水力光滑与水力粗糙
若把层流底层厚度用δ表示，把管壁的粗糙凸出部分的平均高
度△叫做管壁的绝对粗糙度，而把绝对粗糙度△与管径d的比值
总结：（1）混合长度理论给出了紊流附加应力和流速分布规律 ，同时也应看到这一理论还不够完善。 （2）公式中的系数必须由实验确定，还在于它包含若干 缺乏充分根据的假设。 （3）至今工程上应用最为广泛的紊流阻力理论。
1.4.3.边界层及边界层脱离 一. 边界层： 1. 定义：
通常定义：流速降为未受边壁影响流速 uo 的 99% 以
ub u* u*
同时由上式解得： C ub 1 ln u* k 将C和δ 代入(a)式，得
ub ub yu* u 1 1 ln ln u* k u* k u*
(b) 式就是湍流流过光滑平壁的速度分布。
u 1 yu* ln C1 u* k
du dy
紊流的总切应力
粘性切应力
附加切应力
2．普朗特混合长 将湍流中的切向应力τ表示成
y
u ( y l)
du t ( t ) dy
即雷诺应力
A l A y x
u ( y)
du t t u v dy
湍流的定义 1. Van.Kavman和I.G Taylor对湍流的定义为： 湍流是流体和气体中出现的一种无规则流动现象，当流体 流过固体边界或相固流体相互流过时会产生湍流。
2. Hinze对湍流的定义为：
湍流是时间和空间上的一种不规则的随机变化，可利用不 同的统计平均值来统计。 3. Bradshan对湍流的定义为： 湍流是宽范围尺度的涡旋组成的。 概括为：在一定雷诺数下，流体表现在时间和空间上的随机
一、流体在圆管内的速度分布 速度分布：流体流动时，管截面上质点的轴向速度沿半径的
变化。流动类型不同，速度分布规律亦不同。
一、流体在圆管中层流时的速度分布
由实验可以测得层流流动时的速度分布，如图所示。 速度分布为抛物线形状。 管中心的流速最大； 速度向管壁的方向渐减；
靠管壁的流速为零；
平均速度为最大速度的一半。
0

0
R
R
r
o

r
切应力分布
表明：在圆管有效断面上粘性切应力与r成正比。
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二、沿程水头损失计算
p 32 l g gD 2 p 2 D 32 l hf 表明：层流时，管路沿程水头损失与平均流速成正比。 上式变形为达西公式形式有： 64 l 2 l 2 hf hf D D 2 g D 2g
r 速度分布 u u 1 max R 著名的卡门七分之一次方定律
1 n
d
r
ur umax
湍流时的速度分布
它以管轴处的最大流速umax为基准，n随Re变化。 其中n = 6~10与流体的流动状态有关，Re越大，n 也越大 。
4 104 Re 1.1 105 时 ，n 6 1.1 105 Re 3.2 106 时 ，n 7 Re 3.2 106 时 ，n 10

代入上式得
yu* u u*
2
y
du 2 ) y>δ 湍流部分： l ( dy du 1 dy 假设 l=ky 代入上式得： u k y *
积分得： 令y=δ，u=ub
u 1 ln y C u* k
yu* u 代入 得 u*
(a)
题将极其繁杂。
（3）通常情况下，都用流动参数的时均值( 如 u, p等 )去描
述和研究流体的湍流流动。
（4）空间各点的时均速度不随时间改变的湍流流动，也称为定 常流动。
二、圆管中湍流流动的速度分布
1．速度分布

由于湍流中横向脉动所进行的流层之间的动量交换，使得 管流中心部分的速度分布比较均匀；而在靠近固体壁面的地方， 由于脉动运动受到壁面的限制，粘性的阻滞作用使流速急剧下降。 由下图可见，在湍流中，具有中心部分较平坦而近壁面处速度梯 度较大的速度剖面。
式中μt为湍流粘性系数。 如图：y处u(y)移动 l 后，到达 y+l，变为 u(y+l)
2 u u 2 u( y l ) u( y ) l l ...... 2 y y du u( y l ) u( y ) l ~ u ...... dy

根据连续性要求，横向脉动速度 v′的大小应当与 u′相 当，即
流体中取一段长为 l，半径为r的流体圆柱体。在水平方向作 用于此圆柱体的力有两端的总压力(P1-P2)及圆柱体周围表面 上的内摩擦力F。
1
R
u
2
P2 r
F P1 u
l
1
2
作用于圆柱体两端的总压力分别为
P1＝πr2p1
P2＝πr2p2
式中的p1、p2分别为左、右端面上的压强，N/m2。 流体作层流流动时内摩擦力服从牛顿粘性定律，即
O T 点A处流体质点的速度脉动曲线示意图
ux
t
紊流脉动 不稳定流动
在某一瞬时，紊流的运动规律仍然服从于粘性流体运动规律
脉动现象存在
直接解这些方程不可能
采用运动参数时均化的方法
所谓运动参数时均化，即是用一定时间间隔内流体运动参数的平 均值代替瞬时值。 在时间间隔T内该速度的平
u
' ux
均值，则有：
ux
O T 点A处流体质点的速度脉动曲线示意图 t
1 u x u x dt T 0
T
表示T内的平均速度称为时均速度。
瞬时速度= 时均速度+ 脉动速度
' ux ux ux
说明： （1）流速的脉动必然导致密度、切应力和压强等其他的流动参 数产生变化。 （2）用湍流的瞬时速度和瞬时压力等参数去研究湍流运动，问
第六章 粘性流体动力学基础
第一节 管路中流动阻力的成因及分类 第二节 两种流动状态及判别标准 第三节 粘性流体的运动方程 第四节 圆管中的层流流动 第五节 紊流的理论分析 第六节 圆管紊流的沿程水头损失 第七节 局部水头损失
第四节 圆管中的层流流动
本节着重从理论上分析圆管中层流的几
个特点以及沿程水头损失的计算方法。
(b)
（2）湍流流过圆管

尼古拉兹由水力光滑管实验得出k=0.40，C1=5.5，代入(b) 式，并把自然对数换成常用对数，得：
ub 1 C ln u* k
对水力粗糙管, 假定y=φ△ 处，u=ub （φ <1） 由(a)式得：
yu* u 5.57 lg 5 .5 u*
max
p 4 l
R
2
2 流量
1
R v F P1 P2 r v
dr
2
R
r
l 1 2
Q A

p 4 l
(R r )
2
2
dQ dA (2r )dr 2r
p 4 l
( R r ) dr
R p 8 l
4
2
2
Q dQ
0
Q
R 2rp 0 4 l
△/d称为管壁的相对粗糙度。
δ>△称为水力光滑. 这种管道称为光滑管。(如图) δ<△称为水力粗糙. 这种管道称为粗糙管。(如图) 实验证明, 层流底层的厚度△随着Re 的变化而变化 。
同样一根管在不同的雷诺数下既有可能是“水力光滑” ，也有可能“水力粗糙”。

计算层流底层厚度δ的半径经验公式有：