勾股定理最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好
中考复习之——蚂蚁爬行的最短路径问题
蚂蚁爬行的最短路径问题I•专题精讲：当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题n.典型例题剖析：一•两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物•请你想一想，这只蚂蚁从的最短距离_____________2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ .3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？B点, 最短线路是1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到A圆柱（锥）问题第1题4.如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 ______________ .5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示•若沿0A 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ .3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( )(长)方体问题如图，边长为 1. 距离是1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥A 出发，经过3个面爬到点B •如果它运动R第5题A.B.C. D.第2题4.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C i处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为_____________ .5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______________ .变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm .如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 _________ cm .6. （1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC = 3cm、AB = 4cm、AA i = 5cm，盒子的内部顶点C i处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）•假设昆虫甲在顶点C i处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C i处的最短路程•并画出其最短路径，简要说明画法.（2）如果（i）问中的长方体的棱长分别为AB = BC = 6cm, AA i= i4cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C i以i厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C i C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为A6= .AC2+CC I2= 102+52= 5：...；5cm .这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题.研究实践：(1)如图2,正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到 6处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为_______________________ .(2)如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且/ AOA1=120°, 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长.(3)如图5,没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm.-只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处.请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.。
专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附附答案解析)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短第6题路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB = ()1012122=++．故选C ．6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面，∵BC 的中点为M ，所以MC = 21BC =1， 在直角三角形中AM = = ．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
解：将盒子展开，如图所示：AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D 1，根据两点之间线段最短，MD =MC +CD =1+2=3，MD 1=132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB = =5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
勾股定理应用长方体最短路径
勾股定理的应用之最短距离问题1．如图，是一个棱长为8cm的正方体盒子，在顶点A处有一只蚂蚁，它想沿正方体表面爬行到达顶点C处，则蚂蚁爬行的最短路程是cm．2．如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．3．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．4．如图，有一棱长为2dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为dm．5．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．6．有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标．一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m．7．如图，一长方体底面宽AN=5cm，长BN=10cm，高BC=16cm．D为BC的中点，一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是．8．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从点C 爬到点A，然后在沿另一面爬回点C，则小虫爬行的最短路程为．9．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？10．如图是一个长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？答案解析1．如图，是一个棱长为8cm的正方体盒子，在顶点A处有一只蚂蚁，它想沿正方体表面爬行到达顶点C处，则蚂蚁爬行的最短路程是8cm．【分析】根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：需要爬行的最短距离是AC的长，即AC=．故答案为：8．【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键．2．如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10cm．【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AB，利用勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：如图所示：连接AB，∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，∴AC=×12=6cm，在Rt△ABC中，AB==10cm．故答案为：10【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．3．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为20．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．4．如图，有一棱长为2dm的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点A到点D拉一条捆绑线绳，使线绳经过ABFE、BCGF、EFGH、CDHG四个面，则所需捆绑线绳的长至少为2dm．【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和D点间的线段长，即可得到捆绑线绳的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于两个棱长，另一条直角边长等于3个棱长，利用勾股定理可求得．【解答】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．展开后由勾股定理得：AD2=42+62=2，故AD=2dm．故答案为2．【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．5．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．6．有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标．一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是2m．【分析】根据题意作出图形，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，∵AC=1+2+1=4m，BC=10m，∴AB==2，∴最短的路径长是2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路程问题，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．如图，一长方体底面宽AN=5cm，长BN=10cm，高BC=16cm．D为BC的中点，一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是cm．【分析】将图形展开，可得到AD较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．【解答】解：（1）如图1，BD=BC=8cm，AB=5+10=15cm，在Rt△ADB中，AD= =cm；（2）如图2，AN=5cm，ND=8+10=18cm，Rt△ADN中，AD===cm．（3）如图3，AD==，综上，动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是cm．故答案为：cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．8．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从点C 爬到点A，然后在沿另一面爬回点C，则小虫爬行的最短路程为6．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，故答案为：6，【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．9．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．10．如图是一个长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接AC，AD，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，则AC===4，在Rt△ACD中，AD2=AC2+DC2，则AD==13，答：能放入的细木条的最大长度是13cm．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．。
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
专题训练-蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．答复以下问题：〔1〕蚂蚁最后是否回到出发点0；〔2〕在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，那么蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：〔1〕否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；〔2〕〔|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|〕×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外外表爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短〞知，线段AB即为最短路线．AB= 51222=+．3．〔2006•茂名〕如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其外表爬到点B的最短路程是cm第6题．解：由题意得，从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．AB4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着外表爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是〔 〕A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 应选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是〔 〕解：如图，AB =()1012122=++．应选C ．AB1216．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为〔〕解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=21BC=1，在直角三角形中AM= = ．7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子外表由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。
解：将盒子展开，如下图：AB=CD=DF+FC=21EF+21GF=21×20+21×20=20cm．应选C．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为.解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短， MD =MC +CD =1+2=3， MD 1= 132322212=+=+DD MD ．9．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿外表爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比拟，再从各个路线中确定最短的路线．〔1〕展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ；〔2〕展开底面右面由勾股定理得AB ==5cm ；第7题1A BA1B1D CD1C124所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．10．〔2021•恩施州〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
解决蚂蚁爬行问题的小技巧
解决蚂蚁爬行问题的小技巧关于蚂蚁爬行的最短距离问题，我们通常是通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用“两点之间，线段最短”解决问题。
下面笔者总结了一些解这类题型的小技巧，方便解题。
求一只蚂蚁从顶点A出发，求沿立体图形的表面爬到对角顶点B处的最短距离。
（1）蚂蚁在正方体表面爬行。
设正方体的边长为a，则三种展开方式距离一样，为■＝■a.应用：如下图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.答案：2■.（2）蚂蚁在长方体表面爬行。
设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则最短路线应为下列展开图中的线段l1、l2或者l3。
第一种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形l1＝■＝■.第二种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面l2＝■＝■.第三种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形l3＝■＝■.所以只需要比较ab、bc、ac的大小，就可以知道哪条线路最短。
应用：如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为。
解：最短距离＝■＝■.（3）蚂蚁在圆柱表面爬行。
当题目没有强调蚂蚁沿圆柱侧面爬行时，应分两种情况讨论。
在一般情况下，当圆柱的底面周长为C，高为h时，路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图所示：距离为l1＝AC＝■＝■，路线2：高线AB+底面直径BC．如下图（1）所示：距离为l2＝AB ＋BC＝h＋■，分别计算，比较大小即可。
应用：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约（）.A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm解：将圆柱体展开，连接DC，圆柱体的底面周长为24cm，则BC＝12cm，根据两点之间线段最短，CD＝■＝4■≈13cm．而走B-D-C的距离更短，∵BD＝4，BC＝■，∴BD+BC≈11.64≈12．故选B．（4）蚂蚁在圆锥的侧面爬行。
勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径
1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
1514 16 17 第2题 第3题 ABCD.1283016．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．17．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。
中考数学 蚂蚁爬行的最短路径试题(带解析)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB= 51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒B D．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB=()1012122=++．故选C ．6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面，∵BC 的中点为M ， 所以MC=21BC=1， 在直角三角形中AM==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
解：将盒子展开，如图所示： AB=CD=DF+FC= 21EF+ 21GF=21×20+21×20=20cm． 故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，MD 1= 132322212=+=+DD MD ．第7题A B A 1B 1D CD 1C 12149．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ?P ?B B ．A ?Q ?BC ．A ?R ?BD ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 第6题解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径
一．正方体
1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体
的外表面爬到顶点B
的最短距离是 .
2. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为 .
3．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．
二．长方体
4．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。
1
A B
A
1
B
1
D C
D
1
C
1
2
4
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .
18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm．
三．圆柱
21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
第2题
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .
第3题
23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，
6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为
若圆柱底面半径为
．。
(完整版)勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径好
第1页 共2页 1A B A 1B 1DCD 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径正方体1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是A ．A ⇒P ⇒BB ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是5．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
10题 11 12 1311. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .12．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题，那就是勾股定理和蚂蚁的最短路径问题。
听起来可能有点儿复杂，但其实这就像是咱们日常生活中的那些小烦恼——你在找东西的时候，总是希望能走最短的路，是吧？所以，咱们先来看看勾股定理是个什么玩意儿。
1.1 勾股定理简介首先，勾股定理可不是老古董，它可是几千年来数学界的经典！简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角两边的平方和等于斜边的平方。
用公式表达就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。
你想，假如你是一只蚂蚁，正在两棵树之间穿梭，勾股定理就能帮你找到最省力的路径。
1.2 蚂蚁的烦恼说到蚂蚁，它们可是小小的工作狂。
想象一下，蚂蚁小明今天有任务，它得从一块糖走到它的家。
可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。
小明希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。
谁不想走得快点儿呢？2. 应用场景2.1 实际问题中的应用假设咱们有两棵树，它们之间的距离是一个直角三角形的直角边。
小明想直接往家走，但前面有个石头挡住了路。
通过勾股定理，他可以算出如果绕过去，究竟要走多远。
比如，直角边长是3米和4米，按照勾股定理算一算，斜边就是5米。
这说明如果小明选择直接走，节省的可不仅仅是时间，还有力气呢！2.2 找到最优路径想象一下，小明的朋友小红也是一只勤劳的蚂蚁。
她从另一棵树出发，也想回家。
小红可聪明了，直接用勾股定理计算出最短路径，这样她就能比小明早到家，甚至还有时间享受一下美味的糖果。
这时，咱们就能发现，应用勾股定理不仅能帮蚂蚁找到最短路径，还能让它们在生活中游刃有余。
3. 结尾3.1 数学的美数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。
无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径之巴公井开创作时间：二O 二一年七月二十九日1．一只蚂蚁从原点0动身来回爬行,爬行的各段路程依次为：+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10．回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到动身点0； （2）在爬行过程中,如果每爬一个单元长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共获得几多粒芝麻．解：（1）否,0+5-3+10-8-9+12-10=-3,故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从极点A 动身沿着正方体的外概况爬到极点B 的最短距离是.解：如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段AB 即为最短路线．AB = 51222=+．3．（2006•茂名）如图,点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两正面的中心,一蚂蚁从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得,从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是两个棱长的第6题长,即2+2=4．4．如图,一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着概况爬行到点上面的B 点处,它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒BB ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ．故选A ．5．如图,点A 的正方体左正面的中心,点B 是正方体的一个极点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A 沿其概况爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图,AB =()1012122=++．故选C ．6．正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面,∵BC 的中点为M , 所以MC =21BC =1,在直角三角形中AM ==．7．如图,点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心,一只蚂蚁在盒子概况由A 处向B 处爬行,所走最短路程是cm .解：将盒子展开,如图所示：AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+21×20=20cm ．故选C ．8. 正方体盒子的棱长为2,BC 的中点为M ,一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为.解：将正方体展开,连接M 、D 1, 根据两点之间线段最短,MD =MC +CD =1+2=3, MD 1=132322212=+=+DD MD ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下底面点A 沿概况爬行至正面的B 点,最少要用秒钟．解：因为爬行路径不惟一,故分情况分别计算,进行年夜、小比力,再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB = =cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB = =5cm ；所以最短路径长为5cm ,用时最少：5÷2=2.5秒．10．（2009•恩施州）如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的概况从点A 爬到点B ,需要爬行的最短距离是. 解：将长方体展开,连接A 、B ,第7题1AB A 1B 1D CD 1C 124根据两点之间线段最短,AB = =25．11. 如图,一只蚂蚁从实心长方体的极点A 动身,沿长方体的概况爬到对角极点C 1处（三条棱长如图所示）,问怎样走路线最短？最短路线长为.解：正面和上面沿A 1B 1展开如图,连接AC 1,△ABC 1是直角三角形,∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB12．如图所示：有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A 点爬到B 点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米. 解：由题意得, 路径一：AB ==； 路径二：AB = =5； 路径三：AB == ； ∵＞5,∴5米为最短路径．13．如图,直四棱柱侧棱长为4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从极点A 动身沿棱柱的概况爬到极点B ．求： （1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 解：（1）AB的长就为最短路线．然后根据 若蚂蚁沿正面爬行,则经过的路程为 （cm ）；若蚂蚁沿正面和底面爬行,则经过的路程为（cm）, 或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm．（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm, 最长路程是30cm．14．如图,在一个长为50cm,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的极点A处有一只蚂蚁,它要爬到极点B处去觅食,最短的路程是几多？解：图1中, cm．图2中, cm．图3中, cm．∴采纳图3的爬法路程最短,为cm15．如图,长方体的长、宽、高分别为6cm,8cm,4cm．一只蚂蚁沿着长方体的概况从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是.解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm, 则所走的最短线段是=6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm, 所以走的最短线段是= cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm, 所以走的最短线段是=2 cm；三种情况比力而言,第二种情况最短．16．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形,长为20cm,宽为（2+3）×3cm, 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm, 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252, 解得x=25．故谜底为25．17．如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别即是5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点动身,沿着台阶面爬到B点,最短线路是cm.解：将台阶展开,如下图,因为AC=3×3+1×3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169,所以AB=13（cm）,所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．18．（2011•荆州）如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个正面爬行一圈达到Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm．解：∵PA=2×（4+2）=12,QA=5 ∴PQ=13．故谜底为：13．19．如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距空中的高BD=8cm,空中上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是几多？解：如图1,在砖的正面展开图2上,连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短路程．解：在Rt△ABD中, 因为AD=AN+ND=5+10=15,BD=8, 所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．所以AB=17cm．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．20．（2009•佛山）如图,一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和空中均没有缝隙）,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜概况爬到柜角C1处．（1）请你画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点B1到最短路径的距离．解：（1）如图, 木柜的概况展开图是两个矩形ABC'1D1和ACC1A1．故蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径有如图的A1C'1和AC1．（2分）（2）蚂蚁沿着木柜概况经线段A1B1到C1,爬过的路径的长是．（3分）蚂蚁沿着木柜概况经线段BB 1到C 1,爬过的路径的长是．（4分） l 1＞l 2,故最短路径的长是．（5分）（3）作B 1E ⊥AC 1于E ,则••为所求．（8分）21．有一圆柱体如图,高4cm ,底面半径5cm ,A 处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C 处,求蚂蚁爬行的最短距离.解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ,D 分别是BE ,AF 的中点．AF =2π•5=10π．AD =5π． AC =22CD AD +≈16cm ．故谜底为：16cm ．22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ,高为6m ,一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物,它爬行的最短路线长为.解：AB =1312522=+m23．如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 达到A 1,若圆柱底面半径为π6,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为．第2题第3题6=12,高为5, 解：因为圆柱底面圆的周长为2π×所以将正面展开为一长为12,宽为5的矩形, 根据勾股定理,对角线长为=13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．24．如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆柱的正面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm,1=12cm．则AD=24×2又因为CD=AB=9cm, 所以AC= =15cm．故蚂蚁从点A动身沿着圆柱体的概况爬行到点C的最短路程是15cm．故谜底为：15．25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体正面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子暗示）解：QA=3,PB1=2, 即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中, 根据勾股定理得：QP=26．同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从A处爬行到对面的中点B处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．问题：某正方体盒子,如图左边下方A处有一只蚂蚁,从A处爬行到侧棱GF上的中点M点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图．解：如图,将圆柱的正面展开成一个长方形,如图示,则A、B分别位于如图所示的位置,连接AB,即是这条最短路线图．如图,将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形,如图示,则A、M分别位于如图所示的位置,连接AM,即是这条最短路线图．27．如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的概况爬行,它要想吃到母线AC的中点P处的食物,那么它爬行的最短路程是.解：∵圆锥的底面周长是4π,则4π=1804⨯πn ,∴n=180°即圆锥正面展开图的圆心角是180°,∴在圆锥正面展开图中AP=2,AB=4,∠BAP=90°,∴在圆锥正面展开图中BP =5220=,∴这只蚂蚁爬行的最短距离是52cm ．故谜底是：52cm．28．如图,圆锥的底面半径R=3dm,母线l=5dm,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,∠COB=150°,D为VB上一点,VD= ．现有一只蚂蚁,沿圆锥概况从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是（）解：= = , ∴设弧BC所对的圆心角的度数为n, ∴ =解得n=90, ∴∠CVD=90°,∴CD= =4 ,第5题29．已知圆锥的母线长为5cm ,圆锥的正面展开图如图所示,且∠AOA 1=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 动身,沿圆锥正面爬行一周回到点A ．则蚂蚁爬行的最短路程长为. 解：连接AA ′,作OC ⊥AA ′于C , ∵圆锥的母线长为5cm ,∠AOA 1=120°, ∴AA ′=2AC =53．30．如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A 点动身,绕正面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长是.解：由题意知,底面圆的直径为2, 故底面周长即是2π．设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n °, 根据底面周长即是展开后扇形的弧长得,18042nππ=, 解得n =90°,所以展开图中圆心角为90°,根据勾股定理求获得点A 的最短的路线长是：24321616==+． 31．（2006•南充）如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A 点动身,绕正面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长是. 解：由题意知底面圆的直径=2, 故底面周长即是2π．第4题设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长即是展开后扇形的弧长得2π=1804πn, 解得n=90°,所以展开图中的圆心角为90°,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为24．32．（2009•乐山）如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点．一只蚂蚁从点A动身,沿着圆锥的正面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为.解：由题意知,底面圆的直径AB=4, 故底面周长即是4π．设圆锥的正面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长即是展开后扇形的弧长得4π=36062⨯πn, 解得n=120°,所以展开图中∠APD=120°÷2=60°,根据勾股定理求得AD=33, 所以蚂蚁爬行的最短距离为33．33．如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点,它从A点动身沿圆锥面爬行一周后又回到原动身点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径．解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形, 则蚂蚁运动的最短路程为AA′（线段）．由此知：OA =OA ′=3r , 的长为2πr ． ∴2πr =1803r n ⨯π,n =120°,即∠AOA ′=120°,∠OAC =30°．∴OC =21OA =r 23 ∴AC =r OC OA 32322=- ∴AA ′=2AC =33r ,即蚂蚁运动的最短路程是33r ．34．如图①,一只蚂蚁从圆锥底面的A 点动身,沿正面绕行一周后达到母线SA 的中点M ．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究． （1）善于暗示的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r =10cm ,母线SA 长为40cm ,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程；（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角即是60°（如图②）,请问：蚂蚁如何行走最合算？ （3）通过（1）、（2）的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,①请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周？②结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法．解：（1）2π•10=nπ•40÷180°n=90°,AM= =20 ．（2）∵锥角为60°,∴底面半径的长和母线的长相等, 但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据分歧理,因为慧慧缺少条件．②（1）展成平面图形．（2）知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及M 是SA的中点,根据三角函数或者构造直角三角形来求解时间：二O二一年七月二十九日。
专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)
蚂蚁爬行的最短路径1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB =51222=+．3．（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm．解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．A B4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）第6题A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB =()1012122=++．故选C ．AB1216． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =21BC =1， 在直角三角形中AM ==．7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
(完整版)专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附含答案解析)
蚂蚁爬行的最短路径1•一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 , -10 •I ■I ■ I ■I ■ I T『鼻-109^-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 € 7 T 9W回答下列问题：(1)蚂蚁最后是否回到出发点0 ；(2)在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10| )X 2=114粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是_____________ .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.AB= . 22 12 5 •3 • ( 2006?茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm解：根据两点之间线段最短可知选 A .故选A .5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 2,解：如图，AB = , 1 2 2 12 ,10 .故选 C .2+2=4 .4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短路线是（ ）D . A ? S ? B解：由题意得，从点蚂蚁从点A 沿其表面爬到点6.正方体盒子的棱长为 2 , BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为Array解：展开正方体的点M所在的面，•/ BC的中点为M ,1所以MC= BC=1 ,2在直角三角形中AM= __： - = '...■.7•如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是___________ cm。
蚂蚁爬行问题
蚂蚁爬行的最短路径问题当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题．Ⅱ．典型例题剖析:一．两点之间，线段最短与勾股定理相结合台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是________________.圆柱(锥)问题1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离 ________________.2.有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为________________.3.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？4. 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .5. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是 _________. 6. 已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）正（长）方体问题1. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 ____________.2. 如图，一只小虫沿边长为1的正方体的表面从点A出发，经过3个面爬到点B．如果它运动的路径是最短的，则AC的长为________________.3. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 ________________5. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________________.变式：如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．6.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC＝3cm、AB＝4cm、AA1＝5cm，盒子的内部顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，请计算A处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法．（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？研究课题：蚂蚁怎样爬最近？研究方法：如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处，要求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长，可将该正方体右侧面展开，由勾股定理得最短路程的长为AC1＝AC2+CC12＝102+52＝55cm．这里，我们将空间两点间最短路程问题转化为平面内两点间距离最短问题．研究实践：（1）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处，蚂蚁需要爬行的最短路程的长为 ________________（2）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．求该蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（3）如图5，没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面圆的周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．请求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．。
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C. A? R? B
D.
A? S? B
1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离
3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ .
4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其
5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁
每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟.
长方体
10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点
问怎样走路线最短？最短路线长为
12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和
4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4
个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm.
13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到
B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.
（1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？
15•如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂
蚁爬行的最短路径为____________ 米。
S
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勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径
正方体
1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B
是 ____________
A? Q? B
第3题
O
A爬到点B，需要爬行的最短距离是
15 16
14 17
16. 如图，直四棱柱侧棱长为 面爬到顶点B .求： （1 ）蚂蚁经过的最短路程；
（2 ）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程. 17. 如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm , 8cm , 4cm .一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点B .则蚂 蚁爬行的最短路径的长是 ___________ 。
18. 圆柱形坡璃容器，高 18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形 容器的上
口外侧距开口处 1cm 的点F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
第2题
3.有一圆形油罐底面圆的周长为 爬行的最短路线长为
23. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高
AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为 ，高为5,则蚂 蚁爬行的最短距离为 24. 如图，一圆柱体的底面周长为 24cm ，高AB 为
9cm , BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从点
A 出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点 C ,则蚂蚁爬行的最短路程是
25. （2006?荆州）有一圆柱体高为 10cm ，底面圆的半径为 4cm , AA 1, BB 1为相对的两条母线.在 AA 1上有 一个蜘蛛Q , QA=3cm ;在BB 1上有一只苍蝇 P , PB 1=2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径 是
cm
.（结果用带 n 和根号的式子表示）
学习好资料 欢迎下载 4cm ,底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形.一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表 19
19. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物, cm
20. 如图，是一
个相对的端点， 面爬到B 点，最短线路是 2.有一圆柱体如图，高 离
20cm 、3cm 、2cm . A 和B 是这个台阶上两个相 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为
旦一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物 ______ cm 。
圆柱
底面半径5cm , A 处有一蚂蚁, 5cm , 3cm 和1cm , A 和B 是这个台阶的两 •请你想一想，这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶
4cm ,
若蚂蚁欲爬行到
C 处，求蚂蚁爬行的最短距
24m ，高为6m , —只老鼠从距底面 1m 的A 处爬行到对角 B 处吃食物，它
B
n A
p
B。