拉普拉斯变换在电路中的应用(新)

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用林天军 5140309331 F1403014摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方程, 这样的电路称二阶电路。

用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s 数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。

这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。

一、前言拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。

他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s 域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。

1.拉氏变换设时域函数()f t 在区间[0，∞）内的定积分为()0st f t e dt ∞--⎰而式中，其复频率为s j σω=+。

若该积分在s 某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()st F s f t e dt ∞--=⎰则复频域函数()F s 定义为时域函数()f t 的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]F s f t ζ=，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()f t 中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。

2.拉普拉斯变换的基本性质（1）线性性质若11[()]()f t F s ξ=，22[()]()f t F s ξ=，则对任意常数1a 及2a （实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()a f t a f t a f t a f t a F s a F s ξξξ+=+=+（2）微分性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()(0)d f t sF s f dtξ-=- （3）积分性质若[()]()f t F s ξ=，则01[()]()t f d F s s ξττ-=⎰ （4）时移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()st f t e F s ξτ--=（5）频移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()t e f t F s a αξ=-3.拉普拉斯逆变换复频域的象函数()F s ,与因子st e 相乘,构成一个s 的新函数()st F s e ,再从()j σ-∞到()j σ+∞对s 求定积分, 将积分值除以2j π,即得原函数()f t 。

电路的拉普拉斯变换分析法

E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt

拉普拉斯变换在电路分析中的应用)

拉普拉斯变换在电路分析中的应用
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域的基础，对于设计和分析各种电路系统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。在拉普拉斯域中，独立电流源的阻抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方法，通过图形直观分析非线性电路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型，采用数值计算或符号计算等方法求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路进行建模和仿真分析，可以得到较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到电路的时域响应。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。

拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。

1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。

在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。

2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。

这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。

3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。

这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。

4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。

拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。

5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。

它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。

拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用

维普资讯
第７卷第６期
２００８年６月
南阳师范学院学报
ＪｕｎｌｏｎａｇＮｏｍａｉｅｓｔｏｒａｆＮａｙｎｒｌＵｎｖｒｉｙ
Ｖｏ．．１７Ｎｏ６
Ｊｎ．２０８ｕ０
微分方程研究电路，电路的网络结构复杂（路和节点当支较多）时利用微分方程显得相当繁琐．简化分析过程，为可
对以上两式两边进行拉普拉斯变换可得到其ｓ关系．域
Ｖ（）＝。ｓ。ｓ一ｉ（一］＋［ｌ（）一ｏ一］。ｓＬ［ｌ（）。０）Ｍｓｓｉ（），２（）＝ｓ（）一ｉ（一］＋［ｌ（）一。０一］（）ｓＬ［ｌｓ２ｏ）Ｍｓｓｉ（）．４。互感元件ｓ模型如图４所示．域
傅立叶变换都是积分变换，它比傅立叶变换有更广泛的但适应性，是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之
一
ｓＣ
尺
９Ｉ。。 ‘。。— —Ｉ。。。。
ＳＶ（ｃＯ）
— 卜ｅ．
（一Ｓ）一＋（一
定义式积分收敛．
Ｊ
Ｉ￡ｅｔｆ￡－＋）ｔ）ｄ＝）（ｊｄｅｅ￣ｗｔ
Ｊ
（）１
—— ｛＝】＿＝＿ —一
一
厶—— —
厶一（ＬＩ） —一
÷ＪＩ，ＵＪ

x(-t+3)的拉普拉斯变换

一、介绍拉普拉斯变换是一种用来分析和处理连续时间信号的数学工具。

它在控制理论、信号处理和电路分析等领域有着广泛的应用。

本文将围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，探讨其在实际问题中的应用。

二、x(-t+3)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种用于将连续时间信号转换为复频域的数学工具。

对于表达式x(-t+3)，它的拉普拉斯变换可以通过以下步骤来求解。

1. 根据拉普拉斯变换的定义，我们需要将表达式x(-t+3)乘以e^(-st)，其中s为复变量。

这样得到的新表达式为x(t)e^(-3s)e^(-st)。

2. 我们需要对新表达式进行积分运算。

将x(t)e^(-3s)e^(-st)关于t进行积分，得到积分表达式∫x(t)e^(-3s)e^(-st)dt。

3. 对积分表达式进行求解，得到x(-t+3)的拉普拉斯变换。

三、应用举例x(-t+3)的拉普拉斯变换在实际问题中有着重要的应用。

以下举例说明其在控制理论和信号处理中的应用。

1. 控制理论在控制系统中，经常需要对输入信号进行变换和处理。

对于一个以时间t为自变量的输入信号x(t)，我们希望将其延迟3个时间单位后输入系统中。

这时就需要用到x(-t+3)的拉普拉斯变换。

通过对输入信号进行拉普拉斯变换，可以方便地对系统的动态特性进行分析和控制。

2. 信号处理在信号处理中，经常需要对信号进行时移和频率变换。

对于表达式x(-t+3)，其拉普拉斯变换可以帮助我们分析信号在频域中的特性。

可以通过变换后的频域表达式来设计滤波器、降噪和提取信号特征等。

四、结论本文围绕着表达式x(-t+3)的拉普拉斯变换展开讨论，介绍了其求解步骤和在控制理论和信号处理中的应用。

拉普拉斯变换作为一种重要的数学工具，对于分析和处理连续时间信号有着重要的意义，希望本文的内容对读者有所启发和帮助。

一、引言拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域中被广泛应用的数学工具，它能够将时域中的函数变换到复频域中，为我们探索和分析系统的动态特性提供了有力的工具。

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用林天军 5140309331 F1403014摘要：在含有两个独立动态元件的电路中, 单网络变量的电路方程是二阶微分方程, 这样的电路称二阶电路。

用时域分析直接求解二阶微分方程时、费时、费力、难度较大, 须建立电路方程, 求特解、通解以及用初始条件确定积分常数等[1]普拉斯变换, 将时域函数转化为复频域函数（s 数）, 待确定响应后再用拉氏反变换得到时域响应即最后的解。

这种分析方法不用求特解, 通解及确定积分常数, 求解较为简单。

关键词：拉普拉斯变换，二阶电路，逆变换。

一、前言拉普拉斯变换法是研究线性非时变动态电路的基本工具。

他能将时域中的微分运算以及积分运算分别变换为复频域（s 域）中的乘法及除法，从而将时域中的积分，微分方程变换为复频域中的代数方程，而且在方程中自动计入电路的分析计算变的简单有效。

1.拉氏变换设时域函数()f t 在区间[0，∞）内的定积分为()0st f t e dt ∞--⎰而式中，其复频率为s j σω=+。

若该积分在s 某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为0()()st F s f t e dt ∞--=⎰则复频域函数()F s 定义为时域函数()f t 的拉普拉斯变换—（简称拉氏变换），简记为()[()]F s f t ζ=，在拉普拉斯变换式中取积分下限为0-，可以计及t=0时的()f t 中包含的冲激函数，从而给计算含冲激电压或冲激电流的电路带来方便[2]。

2.拉普拉斯变换的基本性质（1）线性性质若11[()]()f t F s ξ=，22[()]()f t F s ξ=，则对任意常数1a 及2a （实数或虚数）有112211221122[()()][()][()]()()a f t a f t a f t a f t a F s a F s ξξξ+=+=+（2）微分性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()(0)d f t sF s f dtξ-=- （3）积分性质若[()]()f t F s ξ=，则01[()]()t f d F s s ξττ-=⎰ （4）时移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()st f t e F s ξτ--=（5）频移性质若[()]()f t F s ξ=，则[()]()t e f t F s a αξ=-3.拉普拉斯逆变换复频域的象函数()F s ,与因子st e 相乘,构成一个s 的新函数()st F s e ,再从()j σ-∞到()j σ+∞对s 求定积分, 将积分值除以2j π,即得原函数()f t 。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。

它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。

本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。

一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。

拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。

拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。

二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。

通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。

然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。

最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。

2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。

拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。

通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。

然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。

3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。

通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。

这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。

4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。

通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。

根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。

拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在电路分析中有着广泛的应用。

通过将电路中的各个元件抽象成数学模型，我们可以利用拉普拉斯变换来分析电路的性质和行为。

本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念以及它在电路分析中的应用。

首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的定义和性质。

拉普拉斯变换是一种从时域到复频域的变换，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，e^(-st)是拉普拉斯变换的核函数，s是复变量，f(t)是待变换的函数。

拉普拉斯变换具有线性性质、时移性质、频移性质等基本性质，这些性质使得它在电路分析中具有很大的优势。

在电路分析中，我们常常需要求解电路中的电压和电流。

通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的RLC电路，我们可以利用拉普拉斯变换将电路的微分方程转化为代数方程，然后求解得到电路中的电流和电压。

另外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳态和暂态响应。

稳态响应是指电路在达到稳定状态后的响应，而暂态响应则是指电路在初始时刻的响应。

通过应用拉普拉斯变换，我们可以将电路中的微分方程转化为代数方程，并利用初始条件和边界条件求解得到电路的稳态和暂态响应。

此外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路中的频率响应。

频率响应描述了电路对不同频率信号的响应程度。

通过将输入信号和输出信号都进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数，从而分析电路在不同频率下的增益和相位特性。

这对于设计滤波器、放大器等电路非常重要。

除了以上应用之外，拉普拉斯变换还可以用来分析电路的稳定性和控制系统的性能。

通过将电路的传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到系统的极点和零点，从而判断系统的稳定性。

同时，拉普拉斯变换还可以用来分析控制系统的性能指标，如稳态误差、超调量和响应时间等。

拉普拉斯变换在电路分析中的应用

K1,K2¨¨Km的计算方法如下：
A( s) K k ( s sk ) B ( s ) s sk
则F(s)的拉氏反变换为：
L [ F ( s)] K k e
1 k 1
m
sk t
例1.
求 F ( s)
30( s 1)(s 2) s( s 3)(s 2 9s 20)
电感元件的VCR（积分形式）
1 t iL (t ) iL (0 ) u ( ) d L 0
, t 0
1 t [iL (t )] [iL (0 ) u ( ) d ] L 0 1 t [iL (0 )] [ u ( ) d ] L 0 iL (0 ) U ( s ) I (s) s sL
S域的零状态分析
零状态分析时的初始状态为零,所以电路的s域模型就简化了: sL R I(s) 1/sC I(s)
I(s)
+ U(s) -
+ U(s) -
+
U(s) -
U (s) Z (s) I (s) I (s) Y (s) U ( s)
Z(S)称为广义阻抗(拉普拉斯阻抗)
Y(S)称为广义导纳
积分性质用于电容元件和电感元件VCR的S域形式电容元件的VCR（积分形式）
1 t uc (t ) uc (0 ) i ( ) d , t 0 C 0 1 t L[uc (t )] L[uc (0 ) i ( ) d ] C 0 1 t L[uc (0 )] L[ i( ) d ] C 0 u c (0 ) I ( s ) U c (s) s sC
3. S域分析法的步骤（1）建立电路的S域模型求给定电源的拉氏变换，求C和L的初始值，画出电路的S域模型。（2）通过电路的S域模型，利用电阻电路的各种方法，定理求解电路的响应。（3）对在S域模型中求得的响应进行拉氏反变换，即可得到电路的时域响应。

拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法

一、基尔霍夫定律的s域变换
时域中有：i(t) 0, u(t) 0
如果I (s)、U (s)分别为i(t)、u(t)的Laplace变换，则由Laplace变换的线性性可得：
I (s) 0及U (s) 0。
5
电路的S域模型
二、元件VCR的s域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用（ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
运用拉普拉斯(Laplace)变换，简称拉氏变换进行动态电路的分析方法称为拉氏变换法或复频率域(S域)分析法。
2
3
Laplace变换的性质
4
§12-2 电路的S域模型
uR (t) RiR (t) U R (s) RI R (s)
iL (t)

1 L
t
0 uL ( )d

IL (s)

U (s) sL
uC
(t )

1 C
t
0 iC ( )d
UC (s)

I (s) sC
10
零状态分析
定义零状态元件两端电压与电流比值为广义
阻抗：
2)当u(t)
U se-t
(t)时，U(s)

Us
s
sC
i(t) (K1et K2et / RC ) (t)
I (s) H (s)U (s) U s s / R
s s 1/ RC
K1

USC , RC 1
K2

Us

第十三章拉普拉斯变换在电路分析中的应用

第十三章拉普拉斯变换在电路分析中的应用（289）
简述：一、拉普拉斯变换——一种积分变换法通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。
二、正弦稳态电路、一阶二阶动态电路均为时域电路用拉普拉斯变换法求解也是可行方法之一。三、拉普拉斯变换法分析时域电路——运算法 1、拉普拉斯变换将时域电路转化为运算电路（频域电路） 2、在运算电路中求频域响应U(S)、I(S) 3、拉普拉斯反变换将U(S)、I(S)转化为时域函数u(t)、i(t)
O j45
K 0.5 j0.5 0.5 2e
αt
f(t) 2 K e cos(ωtθ) 2e cos （2t 45 ）
t 0
14
S3 例：求F（s）的原函数f（t） 2 （s 1）(S 4S 8)
解：S2 4S 8 0有解 P1 ， 2 2 j2 K1 K2 K F（s） s 1 S 2 j2 S 2 j2
4
$13-2 拉氏变换的基本性质（291）
若L[f（t）] F（S），则拉氏变换有如下性质：
1、线性性质 L[Kf（t）]=K L[f（t）]=KF（s） L[f1（t）+ f2（t）]= F1（S）+ F2（S） L[K1f1(t)+K2 f2(t)]=K1 F1(S)+ K2 F2(S) 例13-2（291页）
解： S2 3S 2 0，有解 S 1， S 2 8S 2 k1 k2 F（ s）（ S 1）（ s 2）（ S 1）（ S 2）
求k1：等式二边同乘以（S 1）并令S 1 8S 2 有：k1 [(S 1)F(S)] 6 S 1 S 1 （s 2） 8S 2 同理：k2 [(S 2)F(S)] 14 S 2 S- 2 S 1 6 14

电路原理第九章拉普拉斯变换

稳定性分析方法
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$，有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。

李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】

第12章　拉普拉斯变换在电路分析中的应用
§12-1　拉普拉斯变换及其几个基本性质
12-1　RC 串联电路t ＝0时与10 V 电压源接通，已知R ＝2MΩ、C ＝1μF，试用拉氏变换法求电流i （t ）和电容电压M 。

（t ）， t≥0。

已知u C （0－）＝0。

解：电路如图
12-1（a ）所示，画出电路的
s 域模型如图
12-1（b
）所示，可得（s ）的反变换为
比较系数得
解得
所以
U （s ）的反变换为
图12-1
12-2　RL 并联电路如图
12-2所示，已知
试用拉氏变换法求u （t ），
t≥0。

图
12-2
图12-3
解：画出电路的s 域模型如图12-3所示。

列出方程
反变换得。

12-3　t≥0
时电路如图12-4所示，已知，试求
图
12-4
图12-5
解：方法一：画出电路的s域模型如图12-5所示。

列出方程
所以
解得反变换得
方法二：用戴维南定理。

在图12-5中，断开电容支路，得接上电容支路，得以下与方法一相同。

12-4　电路如图12-6所示，
t ＝0时开关打开，求。

图12-6
图12-7
解：画出电路的s 域模型如图12-7所示。

可列出方程
反变换得
§12-2　反拉普拉斯变换
——赫维赛德展开定理
12-5　求若F （s ）为：
解：
所以
F （s ）为假分式，不能直接使用赫维赛德定理。

用长除法，得对真分式部分有
所以。

拉普拉斯(Laplace)变换及其应用

2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s

t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0

【例2-1】求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s

1 sa

3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)

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拉普拉斯变换在电路分析中的应用电气13-3班周俊楠摘要:讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题,关键词:拉普拉斯变换;电路分析;应用在电路分析中，对于具有多个动态原件额复杂电路，用直接求解微分方程额方法比较困难。

此时可用积分变换法进行求解。

就是将时域函数变换为复频域函数，从而把时域的微分方程换为复频域的代数方程。

拉普拉斯变换就是一种重要的积分变换。

￡变换一直是分析这类系统极为有效的方法.而且,由于拉普拉斯变换与￡变换有着很多类似之处,能够让我们在对电路分析中更加便捷。

1拉普拉斯变换111变换的目的11853 来求解x是非常麻烦的. 但却可以通过某种改造使问题得到简化.现对方程两侧取对数,得:1185lg x= lg3lg x=lg3= 0õ25791õ 85x = lg- 1(012579) = 116991从此例可以总结出几个特点:(1) 在例1 中, 我们使用的变换, 实际上是函数y = lg x , 对于每一个x值都赋于一个y值,即lg(õ) ;(2) 反函数 lg- 1 (õ) 也是单值函数;(3) 在实数域里, lg x的定义域为x > 0;在解决和分析问题时,我们常常对问题的数学表达式进( )变换lg(õ)和反变换lg - 1 ( ) 都可双列成表册,以便查4 õ行某种改造,希望通过这种改造,能够用更简单、更通用的方用.法去解决较为复杂的问题.上述这种改造,在数学上就可以称之为变换(或映射).这种过程可以用图1的方框图来说明.原问题变换较易解决解在变换域反变换原问题的问题里求解的解图1变换方法原理图例1解方程x1185 = 3方程中的幂指数不是整数,要直接计算3的1185次方根1 2拉普拉斯变换õ(1) 设f(t) 为时间t的函数,且当t< 0时,f(t) = 0;S = T + j X 为复数则定义拉普拉斯变换e-st d tL [ f ( t) ] = F (s) =∫0∞f ( t)õ(2) 求函数拉普拉斯变换方法的总结.∞①直接利用定义式F(s) =∫f(t)õe-st d t求解②利用已知函数的拉普拉斯变换及拉普拉斯变换性质求F (s )③ 查表法113 拉普拉斯反变∞在数学上, 根据拉普拉斯变换定义F (s ) = ∫f ( t ) õ e - std t1c + j ∞st 可以得出拉普拉斯反变换的公式是f ( t )=2∫j c -j ∞F (s ) e d s ,式中C 是实常数, 为收敛横坐标, 它应比 F P一切奇点的实部都要大.直接用上述公式求拉普拉斯反变换是十分复杂的, 通常是将复杂的 F (s ) 展开成部分分式, 再利用拉普拉斯变换的线性性质和基本变换表来求 F (s ) 对应的 f ( t ).例已知函数F (s ) = S 2 + 29S + 30 的三个极点是S1 S 3 + 7S 2+ 10S= 0, S 2 = - 2 和S 3 =-5. 因此可以展开为下列形式: S 2 + 29S + 30 = A + B + CS 3 + 7S 2 + 10S S S + 2 S + 5将上式右边通分, 则其分母与原函数相同, 而等式两边的分子多项式为:S 2+ 29S + 30 = (A + B + C ) S 2+ (7A + 5B + 2C ) S+ 10A比较等号两边对应项的函数, 得: A + B + C = 1 7A + 5B + 2C = 29 10A = 30 解上面的线性方程组, 即可确定各函数为: A = 3, B = 4, C = - 6 从而, 有F (s ) =3+4 - 6和 f ( t ) = 3 + 4g - 3t -s2s + 5s +6e - 5t2 拉普拉斯变换的应用这里讨论的范围, 只限于线性定常系统. 所谓系统, 是用来处理各种输入信号的装置. 这种处理可以用硬件来实现, 如由各种电器元件组成的电路网络, 机械元件组成的运动系统,都统称为系统. 这些系统的规律也可以用某种数学方法来描述, 如电路方程, 微分方程, 硬件系统的传递函数(网络函数)等. 这时, 我们也称这些数学表达方式为系统. 也就是说, 系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律. 系统可以用软件表示, 因为只要把这些规律掌握了, 对实际系统的特性也就能充分地了解了.211 用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这里拉普拉斯变换的一个最基本的应用. 含有未知数f ( t ) 及其各阶导数方程称为微分方程. 如果 f ( t ) 及其各阶导数都是一次的, 则称之为线性微分方程. 线性微分方程常常被用来描述各种各样的动态系统.例解微分方程d 2f ( t )õ d f ( t ) õ ( t )2 + 3+ 6 f d t d tf(0) = 0, f (0) = 3微分方程的拉普拉斯变换是 S 2F (S ) - S f (0) - f ’ (0) + 3S F (S ) - 3f (0) + 6F (S ) = 0代入初始条件, 并求出 F (S )F (S ) = 3S 2+ 35 + 615 = 232515)2(S+ 1 5) 2 + (2 F (s ) 的反拉普拉斯变换就是原方程的解, 即2f ( t ) = L - 1 [ F (s ) ] =3e - 1. 5t Sin (15 t )从以上分析可知, 所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法,实质上就是把时间域里的问题变换到S 域去求解, 最后通过反变换再返回时间域. 上述拉普拉斯变换中的复数S (或S 域)常常称为复频率(或复频域).212 电路复频域分析方法例应用S 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应, 如图2 所示电路, 求阶跃响应 u ( t ) 和 i ( t ).图 2 二阶电路解: (解题思路) 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应, 即零状态响应. 作S 域模型时, 初始状态为零, 电感元件和电容元件S 域模型中没有附加电压源. S 域分析计算的步骤是, 首先作出时域电路的S 域模型, 然后应用节点分析法求解出待求量的象函数, 并将其展开为部分分式, 最后反变换为时域响应.关于信号, 在电路网络中就是指电压和电流, 一般通指系(解题方法)统中一些变量, 和机械系统的位置、速度、压力和流量等等. 设(1) 作出时域电路的S 域模型如图 3 所示. 其电压源的象一个系统, 在输入为 f 1 ( t ) 和f 2 ( t ) 时的输出为y 1 ( t ) 和y 2( t ) , 函数是 10 , 复频域感抗 Z L (S ) = S , 复频域容抗 Z c (s ) = 1.若输入为af 1 ( t ) + bf 2 ( t ) 时, 其输出为ay 1 ( t ) + by 2 ( t ) (a , b 为 S S常数) , 则这个系统为线性系统. 如果系统的参数(如电阻、电 (2) 求电压 u ( t ) , 应用节点分析法, 列出节点方程为10容值等) 是不随时间改变的, 则称该系统为定常系统或时不变 ( 1 + S + 1)U (S ) = S 系统. S + 1 S + 1(S 2+ 2S + 2)U (S ) =10SU (S ) =10S (S 2 + 2S + 2)= 10S (S + 1 - j ) (S + 1 + j )= K 1 + K 2 +K 3S S + 1 - j S + 1 + j计算待定常数k 1 = 3 õ U (s ) û s = 0 10 ûs = 0 = 5sS+ 2S +2k 2 = (s + 1 -j ) õU (s ) û s = - 1+ j =10 û= -s (s + 1 + j )5< -45°2k 3 = k 2 = -5< 45°2进行拉氏反变换得出( )- 1( )10- t() õ E ( )u t = L [U s ] = [ 5 - 2 co s t - 45°] t t V图 3 S 域模型(3) 求 i ( t )电路的S 域阻抗为 Z (s ) =(s + 1) + 1s + 1U s (S ) 10故 I (s ) = = s1Z (s )s +1 +s + 1=10 (S + 1)S (S 2 + 2S + 2)= 10 (s + 1)s (s + 1 - j ) (s + 1 + j )= K 1+ K 2 + K 3S s + 1 - j s + 1 + j计算待定常数k 1 = s I (s )s = 0= 10 (S + 1)s = 0= 5S + 2S + 2k 2 = (s + 1 - j ) õI (s ) û s = - 1+ j = 10 (s + 1)û s = - 1+ js (s + 1 + j ) = -5 < 45°5 õ û ] = [ 5 - 2 û °=k 3 = k 2 = - 5 < 45°55 5I (s ) = 5 - < 45° < - 45°2 5ss + 1 - j s + 1 + j进行反拉氏变换得出 10e - t co s ( t + 45 ) ]( t )Ai ( t )L- 1[ I (s )õ E213 频率特性及波特图系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应. 可以证明, 线性定常系统在正弦输入的激励下, 其输出为与输入同频率的正弦信号. 但其幅度及相位将发生一定的变化, 不过, 对于不同的频率, 输出信号的幅度及相位的变化是不同的. 以图 4 的R C 电路为例. 当u 1 ( t ) 的频率很低时, 电容C 相当于开路, R中无电流通过, 即u 2 ( t ) = u 1 ( t ) 而当u 1 ( t ) 为高频信号时, 电容C相当于短路, 则u 2 ( t ) = 0. 频率特性就是用来描述系统这种性能的.频率特性可以简单地用 jw 代替系统传递函数中的S 而获得.图 4R c 电路的电压传输函数是1G (s ) = U 2 (s )=sc = 1U 1 (s ) R +1 1 + R CSsc图 4 R C 电路在正弦稳态的情况下, 将S 变为 j X , 即得到它的频率特性(又称正弦传递函数).X U 2 ( j ) 1( j ) =1 + j R CG ( j ) = UXû X û ûX Xû X它的幅频特性(幅度随频率变化的函数)1G ( j ) ==1X+ j R C1 + ( R C ) 2相频特性(相位随频率变化的函数) 7 = - lg - 1 (X R C )如果以横坐标表示频率 X , 用纵坐标表示幅度或相位, 就可以分别画出它的幅频特性曲线和相频特性曲线. 频率特性的图标形式有很多种, 工程上用得最多的是对数坐标图, 即波特(Bode) 图.用波特图描述频率特性时, 采用的是半对数坐标, 频率采XX XXXX用对数分度, 即以 lg 2 - lg 1 = lg21当 2 = 10 1 , 其频率间隔就称为十倍频程, 这时 lg 2 =û X X û û ûX û X û X 1lg10 = 1. = X也就是说, 可以以十倍频程的频率点(如10 和 100, 100 和 1000, 25 和 250 等) 间的间隔长度是相等的.波特图的幅度用分贝(dB ) 作单位, 角度用度或弧度作单位. 表达式为 G ( j ) (dB ) = 20tg G ( j )采用这种记法的好处在于 G ( j ) 中相乘的项被化为相加, 这给作图提供了极大方便, 例如T2 220lg 1 + T = 20lg (T X - 20lg1 + T这样就可以只研究G ( j X ) 的各种典型因子(与拉普拉斯反变换时相类似) 的波特图, 然后再进行代数或图解加法得到© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. ûG ( j X ) û 的波特图.一般把任意正弦传输函数分解为几种典型因子乘积:(1) 比例系数 K ;X º º(2) 纯 j X+ 1因子(积分或微分因子)(3) 一阶因子(1 + j T ) 1; XöX(4) 二阶因子[ 1 + 2 N XöX+ ( j1.( jn)n ) ]用一阶因子为例说明波特图的画法, 图 4 中R C 网络的传输函数就属于这种形式.设G ( j X (1 + X - 1 , 则) = j T )û X ûûX û( j = 20tg (1 + = - 20tg 1 + T 2 û G ) û j T ) - 1 2Xn 1 ö 或 T X n X X m低频时, 即 T 1, 可以近似表示为:G ( j ) = - 20lg 1 + T 2 2 ≈ - 20lg1 = 0ö因此, 低频时对数幅值曲线是零分贝线. 高频时, 即或 3X1 T》1, 则û ( j X û= - 20lg 1 + T 2 X20lg T X G ) 2 ≈ -X在 X=1 öX=ö时为 - 20 分贝, T 时为零分贝; 在 10 T = 100 ö 时为 - 40 分贝. 即 X每增加十倍就减少 20 分贝. 这T 样(1 +T 2 X1 的幅频特性可以用两条渐近直线来近似: 当 02 ) < X< ö ö X< ∞ 时, 是斜率为1 T 时, 是 0dB 的直线; 当 1 T <- 20dB ö十倍频程的直线, 图 5 就是它的近似曲线和精确曲线. 两条直线的交点 X = ö称为转角频率. 采用近似线的最 1 T 大误差出现在转角频率处, 这时误差为: - 20lg 1 + 1 -(- 20lg1) =-º10lg2 = - 1 01 即最大误差约为 3dB.3图 5 幅频特性渐近线( )= ( 1 + j X T ) - 1 的幅角7 为7 = - lg - 1 ( X T ) 当频 G j X率为零时, 幅角为零; 当频率趋于无穷大时, 为 - 90°;在转角频率处, 为 7 = - lg - 1 TT = - 45°,由于 7 是反正切函数, 它对拐点 7 = - 45°是斜对称的.用渐近线(或加以修正) 来描绘波特图的方法在工程上应用很广. 绘制任意传输函数G ( j X ) 的波特图时, 一般可按下述步骤进行:(1) 将G ( j X ) 分解为基本因子的乘积;(2) 找出这些因子的转角频率; (3) 在转角频率之间以适当斜率(如 - 20 分贝 ö十倍频程) 画出对应的渐近对数幅值曲线;(4) 在渐近线基础上加以适当修正, 即得幅频曲线; (5) 将各因子的相角曲线相加, 即得相频曲线.除了本文所述内容之外, 拉普拉斯变换还有许多应用,例如数学上还可以用来解一类积分方程, 偏微分方程等等. 而传输函数的远不止子电气工程, 从一般工业过程控制, 能源工程控制, 乃至尖端的航天飞行器的设计上, 都应用到传输函数的概念.[ 参考文献][ 1 ]李瀚荪. 电路及磁路[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1998. [ 2 ]向国菊, 孙鲁扬. 电路典型题解[M ]. 北京: 清华大学出版社, 1998. [ 3 ]胡锡恒. 实用拉普拉斯变换和 Z 变换手册[M ]. 北京: 电子工业出版社, 1998.[ 4 ]邱关源. 电网络理论[M ]. 北京: 科学出版社, 1995.[5 ] 孙虎章. 自动控制原理[M ]. 北京: 中央广播电视大学出版社, 1987.[6 ]邱关源电路高等教育出版社 2006[7] 张鸿艳复变函数与积分变换化学工业出版社 2011。

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种常见的数学工具，广泛应用于电路分析和控制系统的研究中。

通过将电路方程转化为拉普拉斯域中的代数方程，可以更容易地进行电路分析和系统设计。

下面将介绍拉普拉斯变换在电路中的几个常见应用。

1.电路响应分析：通过拉普拉斯变换，可以将电路方程从时域转换为复频域，从而方便地计算电路的频率响应。

比如，对于一个电路系统，我们可以通过拉普拉斯变换将输入信号和系统响应变换到复频域，通过计算响应函数的数学表达式，可以得到输出信号的频率特性，如增益、相位等信息。

2.电路稳态分析：拉普拉斯变换在直流稳态分析中也具有重要的应用。

对于稳态分析，输入信号为常数或者正弦信号。

通过拉普拉斯变换，可以将稳态电路方程变换到复频域，从而更便捷地进行电压和电流的计算。

比如，拉普拉斯变换可以用来求解电阻、电容、电感等被嵌入电路的网络元件的电压和电流。

3.电路传递函数计算：传递函数是描述线性时不变电路性质的重要工具，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。

利用拉普拉斯变换，可以通过电路的输入和输出信号的拉普拉斯变换表达式，求解电路的传递函数。

传递函数可以提供电路的频率响应和系统稳定性等重要信息，对于电路设计和控制系统分析非常有用。

4.电路解析解的求解：通过将电路方程转换到拉普拉斯域中，可以很容易地求解电路的解析解。

这对于攻克复杂电路问题非常有帮助，因为在复频域中，许多电路元件的数学模型更简单，从而更容易得到电压和电流的解析表达式。

对于工程实践中的问题，例如滤波器设计和电路振荡等，利用拉普拉斯变换可以更高效地得到解析解。

5.电路平衡点分析：在拉普拉斯域中进行电路分析，可以方便地分析电路的稳定性。

通过计算拉普拉斯变换的极点和零点，可以判断电路的稳定性，并得到系统响应的特征。

这对于系统设计和控制电路很重要。

在实际应用中，拉普拉斯变换在电路分析中被广泛使用。

它能够帮助工程师更好地理解电路的频率特性、系统稳定性和响应，并且提供了设计更高性能电路和系统的有效工具。

Laplace变化在有源滤波器电路仿真中的应用与研究

Laplace变化在有源滤波器电路仿真中的应用与研究刘德全【摘要】拉氏变换(Laplace)是控制工程应用中的一种基本的数学方法,时间函数的导数或者微分运算经过Laplace变换后转换为复变量s域的代数运算.据此,在电路分析中,元器件的伏安特性关系可以在复频域中进行表示,即电阻元器件U(s)=RI(s)或者I(s)=GU(s).电感元器件U(s)=SLI(s)-Li(0_)或者I(s)=1/SLU(s)+1/Li(0_),电容元器件I(s)=SCU(s)-CU(0_)或者U(s)=1/SCI(s)+1/SU(0_),这样就可以利用Laplace变换分析电路了.但对于复杂运算放大器构成的电路求解的Laplace变换的分析还比较,提出基于Laplace变换的运算放大器分析方法.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)023【总页数】3页(P32-34)【关键词】Laplace;电路仿真;s域;运算放大器【作者】刘德全【作者单位】宁夏师范学院,固原756000【正文语种】中文Laplace变换在《电路》、《自动控制原理》、《信号与系统》等课程［1-8］以及实验中应用非常广泛，但其应用思路先给出电路图，按照电路模型将时域中的电路利用相关的复频域电路模型代替，利用一定的定理进行求解分析。

王瑜［9］浅谈了积分变换在电路分析中的应用，积分变换中的傅里叶变化和拉普拉斯变换在电路中应用非常广泛，对于直流电路中，在时域分析电路比较简单，但是如果在正弦稳态电路中，利用复阻抗求解电路非常的难，利用向量法求解应用而生，在复频域进行求解。

对于非正弦信号可由傅里叶变换转换成直流分量和有限项的正弦信号，这样就可以用相量法进行求解，但相量法求解也很麻烦，这时就将jω=s代替，形成拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换比相量法求解更简单。

蒋鹏、陈元莉［10］研究了拉普拉斯变换在线性动态电路分析的应用，拉普拉斯解线性动态电路优点很多，除了将时间函数的导数或者微分运算经过Laplace变换后转换为复变量s域的复频域响应，另外Laplace变换式中换包含了动态元器件的初始条件值，这样使动态电路的系统的全解一步求解，因此Laplace变化是分析复杂线性动态电路的有效工具。

13.5应用拉普拉斯变换法分析线性电路

-
- 1/sC Ib(s)= 1/s - uc(0-)/s
- 1/sC Ia(s) +(R2+1/sC) Ib(s)= uc(0-)/s 代入已知量，得
(1+s+1/s) Ia(s) - 1/s Ib(s)= 1/s - 1/s
- 1/s Ia(s) +(1+1/s) Ib(s)= 1/s
解得
I1(s)
可见:相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运算法。
例1：电路原处于稳态。t=0时开关S闭合，试用运算法求解电流i1(t)。
i1
1Ω + 1V -
1H 1F
S(t=0) 1Ω
i1
1Ω + 1V -
1H 1F
S(t=0) 电感U(s)= sLI(s) -Li(0-)
1Ω
电容
U (s) 1 I (s) u(0)
1Ω s
+
1/s
1/s Ia(s) -
S(t=0)
+
1Ω
1/sIb(s)
-
Ia
(s)
s(s2
1 2s
2)
I1(s)= Ia(s) 求其拉氏反变换， i1(t)=0.5(1-e-tcost-e-tsint)A
例2：电路原处于稳态，t=0时将开关S闭合，求t≥0时的uL(t)，已知uS1为指数电压， uS1=2e-2t V，
向量法运算法
正弦量向量（向量模型）
线性代数方程
正弦量向量
（以向量为变量）（ω一定可以直接写出）
时间函数像函数
线性代数方程时间函数像函数
（运算电路）（以像函数为变量）（拉氏反变换）

拉普拉斯变换在电路中的应用(新)

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

电路的拉普拉斯变换分析法

拉普拉斯变换在电路分析中的应用)

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在互感电路分析中的应用

x(-t+3)的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换在二阶电路求解的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换及其在电路分析中的应用

拉普拉斯变换在电路分析中的应用

拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法

第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

电路原理第九章拉普拉斯变换

李瀚荪《电路分析基础》(第4版)课后习题详解-第12章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用【圣才出品】

拉普拉斯(Laplace)变换及其应用

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Laplace变化在有源滤波器电路仿真中的应用与研究

13.5应用拉普拉斯变换法分析线性电路

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