5刚体力学基础习题思考题讲解

习题55-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2m r ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图，可建立方程：ma T mg 222=-┄①ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④βr a = ，2/2J mr =┄⑤联立，解得：g a 41=，mg T 811=。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：lm=λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦力：d f dmg gd x μμλ==，微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，考虑对称性，有摩擦力矩：20124l M g xd x mgl μλμ==⎰；（2）根据转动定律d M J Jdtωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=⎰⎰， 2011412mglt m l μω-=-，∴03l t gωμ=。

或利用：0Mt J J ωω-=-，考虑到0ω=，2112J ml =， 有：03lt gωμ=。

T5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。

假设定滑轮质量为M 、半径为R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

解：受力分析如图，可建立方程：m g T ma -=┄①βJ TR =┄②a R β= ，212J mR =┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2MmgT M m =+，考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+⎰⎰，有：22mg tv M m=+。

5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。

已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？ 解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程A Ma T Mg =-1人B a M g M T 442=-物 αJ R T R T =-21滑轮由约束方程: αR a a B A ==和4/2MR J =,解上述方程组 得到2ga =. 解二：选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重物上升的速度，注意到u 为匀速，0d udt=，系统对轴的角动量为：213()()442M L M v R M u v R R M v R M u B A Rω=--+=-()()体人(物物体)而力矩为：13M 44M g R M g R M g R =-+= ，根据角动量定理dt dL M =有：)23(43MuR MvR dt d MgR -=，∴2ga =。

5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。

解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度334mRρπ=， 考虑均质球体内一个微元：2sin dm r drd d ρθθϕ=， 由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ2(sin )J r d m θ=⎰，有：2220(sin )sin RJ r r drd d ππθρθθϕ=⋅⎰⎰⎰52012[(1cos )cos ]5R r d ππρθθ=⋅⨯--⎰225mR =。

5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从00~90θθ==时， 考虑机械能守恒，那么： 0θ=时的机械能为：22()(2)1123l mg ml ω⋅+（重力势能转动动能），090θ=时的机械能为：212k x有：2221112232l mg ml k x ω⋅+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：128.3-⋅=s rad ω5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。

若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有：221ωJ mgR =，而2221322J mR mR mR =+=∴R g 34=ω 34Rg R v c ==ω 2A v R ω== （2）273y F mg mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。

22002122()2()32333l lmv l m v l m m ωω⋅=-⋅⋅++⋅有：22004221()9933l l v l v l ω+=+∴032v lω=5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动。

开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。

) 解：（1）利用角动量守恒：ωω2221mR MR mvR +=得：2(2)mvm M Rω=+；（2）选微分dm rdrd σθ=，其中：面密度2MRσπ=， 2022π3R f M M grd m gr rdr M g R R μμμπ===⎰⎰∴由f M t J ω⋅∆=⋅∆有：2221()032M g R t M R mR μω⋅∆=+-，知：()224M m t R Mg ωμ+∆=将()22m M m Rω=+v 代入，即得：32mvt M g μ∆= 。

5-10．有一质量为1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。

另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。

已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v 和2v，如图所示。

求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O 点的转动惯量2131l m J =) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v 和2v方向相反，以逆时针为正向，有：22112213m v l m l m v l ω=-，得：lm v v m 1212)(3+=ω 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：11012lf m Mg x d x m gl l μμ==⎰，利用f d M J dt ω-=，有： 210011312t m l d dt m g l ωωμ=-⎰⎰，得：21212()23m v v l t g m g ωμμ+==。

5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2m kg 01.0⋅，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。

求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。

解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为max x 。

由机械能守恒：2max max 12k x mg x =，有： max 20.49mgx m k==； （2）当物体下落时，由机械能守恒：222111222k x mv J mg x ω++=， 考虑到v R ω=，有：2222111222k x m R J mg x ωω++=，欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令0d d xω=，有：21()22d k x m R J mg d x ωω++⋅=，将0d d xω=代入，有：)(245.0m k mg x ==， ∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：22max 2121()2mgx kx v J m r-=+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。

5-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。

（1）原来静止的电扇通电后t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）已知f M k ω=-，而动力矩ωP M =，通电时根据转动定律有：f d M M J dtω+= 代入两边积分有：ωωωωd k P J dt t⎰⎰-=02，可求得：)1(2t J ke k P--=ω；（2）见上式，当t →∞时，电扇稳定转动时的转速：ω=稳定（3）断开电源时，电扇的转速为0ω=，只有f M 作用，那么： d k J dt ωω-=，考虑到d d dt d ωωωθ=，有：000k d d J θωθω-=⎰⎰，绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，A Rmv J J +=ωω0，又R v A ω=，221mR J =031ωω=⇒（2）物体A 运动后，由牛顿定律：ma mg T =-μ （1）对转轮B ，由定轴转动定律： βJ TR =-，（2）约束关系：βR a =（3）可求出：13T mg μ=。

5-14. 质量为m 的小孩站在半径为R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。

平台和小孩开始时均静止。

当小孩突然一相对地面为v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度ω为多少？解：此过程角动量守恒：0m Rv J ω+=，有： mRvJω=-。

5-15．在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为R 21处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度ω0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为221MR ．求： (1) 圆盘对地的角速度．(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着R 21圆周对圆盘的速度v的大小及方向？解：(1) 设当人以速率v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对与地固联的转轴的角速度为 R R v v221-=-='ωωω ① 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为M ，则人的质量为M / 10，有：ωωω'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+22022211021211021R M MR R M MR ② 将①式代入②式得：R2120v+=ωω ③ (2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即 ω0 +2v / (21R )＝0 得： v ＝－21R ω0 / 2式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．ω答案：R2120v+=ωω；v ＝－21R ω0 / 2 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．思考题5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量1m 和2m 的物体 (1m <2m )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解：a m T g m111=- （1）a m g m T 222=- （2） βJ r T T =-)(21 （3） βr a = （4） 联立方程可得 1T 、2T ， 21T T > 。