二次函数与几何图形综合教案
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】
二次函数图像和性质教学设计【优秀3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数与几何综合
二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：①研究函数表达式,二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②关键点坐标转线段长，找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1. 如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标．3.已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A (1，0)，C (0，-3). （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ），①如图1，当△PBC 的面积与△ABC 的面积相等时，求点P 的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA 时，求直线CP 的解析式．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x=-与抛物线214y x bx c=-++交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．5．已知，抛物线212y ax ax b=-+经过A(-1，0)，C(2，32)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ2y，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4，0)和B(m，0)，与直线y=-x+p 相交于点A和点C(2m-4，m-6).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．令x=0，则y=-3a，∴C（0，3-a），∴OC=3a∵D为抛物线223y ax ax a=--的顶点，∴D（1，-4a）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，则∠AOC =∠CMD =90°， 又∵∠ACD +∠MCD =∠AOC +∠1，∠ACD =∠AOC =90°∴∠MCD =∠1 ， ∴△AOC ∽△CMD ，∴OA OCCM DM=， ∵D （1，-4a ），∴DM =1，OM =4a ，∴CM =a ∴331a a =，∴21a =，∵a >0，∴a =1 ∴抛物线的解析式为：223y x x =-- （2）当AB 为平行四边形的边时， 则BA ∥EF ，并且EF = BA =4由于对称轴为直线x =1，∴点E 的横坐标为1 ∴点F 的横坐标为5或者-3 将x =5代入223y x x =--得y =12， ∴F （5，12）．将x =-3代入223y x x =--得y =12， ∴F （-3，12）．当AB 为平行四边形的对角线时，点F 即为点D ， ∴F （1，-4）．综上所述，点F 的坐标为（5，12），（-3，12）或（1，-4）． 3．解：（1）由题意，得0322a b c c ba⎧⎪++=⎪=-⎨⎪⎪-=⎩，解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为243y x x =-+-.（2）①令2430x x -+-=，解得1213x x ==， ∴B （3， 0）则直线BC 的解析式为3y x =- 当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于点P ， ∴设直线AP 的解析式为y x n =+， ∵直线AP 过点A （1，0），∴直线AP 的解析式为1y x =-，交y 轴于点(01)E -，. 解方程组2143y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得12121201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，∴点1(21)P ， 当点P 在x 轴下方时，如图1，根据点(01)E -，，可知需把直线BC 向下平移2个单位， 此时交抛物线于点23P P 、， 得直线23P P 的解析式为5y x =-，解方程组2543y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩，得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩∴23P P ， 综上所述，点P 的坐标为：1(21)P ，，23P P ， ②过点B 作AB 的垂线，交CP 于点F .如图2，∵(30)(03)B C -，，， ∴OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =45° ∴∠CBF =∠ABC =45° 又∵∠PCB =∠BCA ，BC =BC ∴△ACB ≌△FCB∴BF =BA =2，则点F （3，－2） 又∵CP 过点F ，点C ∴直线CP 的解析式为133y x =-.4．解：（1）对于3342y x =-，当y =0，x =2；当x =-8时，y =-152.∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为15(8)2--， 由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012151682b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩ 解得3452b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 2135.442y x x ∴=--+（2）设直线3342y x =-与y 轴交于点M 当x =0时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为（2，0），∴OA =2，∴AM 5.2=∴OM ：OA ：AM =3：4：5.由题意得，∠PDE =∠OMA ，∠AOM =∠PED =90°，∴△AOM ∽△PED . ∴DE ：PE ：PD =3：4：5∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴PD 213533()()44242x x x =--+--=213442x x --+∴21213(4)542l x x =--+231848555x x =--+23(3)155l x ∴=-++由题意知：82x -<<315.x l ∴=-=最大时，5．解：(1) ∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ，∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23（2）解法一：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N ，连接AM 由y 1= -21x 2+x +23可知顶点M (1，2) ，A (-1，0)，B (3，0)，N (1，0) ∴AB =4，MN =BN=AN =2，AM =MB =∴△AMN 和△BMN 为等腰直角三角形. ∵∠MP A +∠QPB =∠MP A +∠PMA =135° ∴∠QPB =∠PMA 又∵∠QBP =∠P AM =45° ∴△QPB ∽△PMA∴=AP BQAM BP将AM =AP =x +1，BP =3－x，BQ=22－y 代入，223y x=－－，即2215=+22y x x －. ∵点P 为线段OB 上一动点 （不与点B 重合） ∴0≤x ＜3则y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 解法二：过点M 作MN ⊥AB 交AB 于点N .由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)， ∴AB =4，MN =BN =2，MB =22，∠MBN =45︒. 根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM2-PN 2. ∴(()22222=1PM x ---…①，又∠MPQ =45︒=∠MBP ， ∴△MPQ ∽△MBP ， ∴2PM MQ MB =⨯=22y 2⨯22 由 、 得y 2=21x 2-x +25.∵0≤x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x <3) 6．解：（1）如图1，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 于点E . ∵点C (2m -4，m -6)，∴点E (2m -4，0) ∴EC =6-m ，AE =OE +EA =m 又∵直线AC ：y =-x +p ∴∠EAC =45°，AE =EC 即6－m =m ，m =3.∴A (-1，0)，B (3，0)，C (2，-3)可得抛物线解析式为y =x 2-2x-3，直线AC 解析式为y = -（2）如图2，AC =32，AC 所在直线的解析式为：y ∠BAC =45°∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为2312=22过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K ，DK = 22， 符合条件的点K 在直线AC 的两侧各有一个， ∴PQ 所在直线可能在直线AC 的两侧各有一条， 又∵∠OAD =45°，∴DN =4 ∴PQ 的解析式为y =-x +3或y =-x -5∴ 2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得1130x y =⎧⎨=⎩或2225x y =-⎧⎨=⎩2235y x x y x ⎧=--⎨=--⎩ 方程组无解. 即P 1(3，0)， P 2(-2，5)∵ACPQ 是平行四边形 ，A (-1，0) C (2，-3) ∴当P (3，0)时，Q (6，-3) 当P (-2，5)时，Q (1，2)∴满足条件的P ，Q 点是P 1(3，0)， Q 1(6，-3)或 P 2(-2，5)，Q 2(1，2) （3）如图3，作直线l 平行于PQ 所在的直线（即BN ）， 且使得l 与抛物线只有一个交点，这个交点即为M （此时以PQ 为底，高最大，面积最大） 设l 的表达式为y x b =-+，则223y x b y x x =-+⎧⎨=--⎩，得230x x b ---=，由△=0，得b =134-，∴213423y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，解得12154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴M （21，154-） 设l 与y 轴交点为点G ，过G 作GH ⊥BN 于点H ， 易得∠NGH =45°，则在Rt △NGH 中，GHNG 又∵N （0，3），G （0，134-），∴NG =254∴GHNG = ∵PQ =AC=∴S=11752288PQ GH =⨯=1，154），最大面积为857.∴M（2。
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
二次函数的图像教案
二次函数的图像教案教案标题：二次函数的图像教案教案目标：1. 了解二次函数的基本概念和性质。
2. 掌握二次函数的图像特征和变化规律。
3. 能够绘制和分析二次函数的图像。
4. 运用二次函数的图像解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾一次函数的图像特征和变化规律。
2. 提问学生是否了解二次函数，以及二次函数与一次函数的区别。
概念讲解（15分钟）：1. 解释二次函数的定义：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 介绍二次函数的顶点、对称轴和开口方向的概念。
3. 讲解二次函数的图像特征：顶点坐标、对称轴方程、开口方向等。
图像绘制（20分钟）：1. 指导学生通过变化a、b、c的值，绘制不同二次函数的图像。
2. 强调学生观察图像的变化规律，如a的正负值对开口方向的影响，a的绝对值对图像的瘦胖程度的影响等。
图像分析（15分钟）：1. 引导学生分析二次函数图像的对称性，即对称轴和顶点的关系。
2. 指导学生根据图像特征，判断二次函数的各项系数的正负情况。
实际问题应用（20分钟）：1. 提供一些实际问题，如抛物线运动、最值问题等，要求学生运用二次函数的图像解决问题。
2. 引导学生将问题转化为二次函数的形式，并绘制相应的图像进行分析。
总结与拓展（10分钟）：1. 总结二次函数的图像特征和变化规律。
2. 提出一些拓展问题，如图像的平移、伸缩等，鼓励学生进一步探究。
教案评估：1. 课堂练习：要求学生绘制指定二次函数的图像，并分析其特征。
2. 解决实际问题：要求学生运用二次函数的图像解决给定的实际问题。
教案延伸：1. 引导学生研究二次函数的标准形式和顶点形式，并比较它们在图像绘制和分析中的优劣。
2. 引导学生探究二次函数与其他函数的关系，如线性函数、指数函数等。
教案资源：1. 教材或教辅资料中有关二次函数图像的知识点和例题。
2. 计算器或电脑绘图软件，用于绘制二次函数的图像。
二次函数的几何应用教案道客巴巴
二次函数的几何应用教案道客巴巴
二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何中有着广泛
的应用。
下面我将从几何图形的性质、实际问题的建模等方面来详
细解释二次函数的几何应用。
首先，二次函数在几何中常常与抛物线相关联。
抛物线是二次
函数的图像，它的几何特征包括顶点、焦点、直径、对称轴等。
通
过学习二次函数，我们可以深入理解抛物线的性质，比如开口方向、开口大小、顶点坐标等。
这些性质在解决与抛物线相关的几何问题
时非常有用，比如确定抛物线的焦点和直径、求解抛物线与直线的
交点等。
其次，二次函数还可以用来建立实际问题的数学模型。
例如，
抛物线的形状可以用来描述抛射物的运动轨迹，这在物理学和工程
学中有着广泛的应用。
通过二次函数建立的模型，我们可以计算抛
射物的最大高度、飞行时间、落地点等信息，这对于设计弹道导弹、射击运动员的训练等具有重要意义。
此外，二次函数还可以用来解决与面积和体积相关的几何问题。
比如，通过二次函数的图像，我们可以求解封闭图形的面积，或者
利用二次函数建立立体图形的体积模型。
这些都是二次函数在几何中的重要应用之一。
总之，二次函数在几何中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解抛物线的性质，还可以用来解决实际问题并建立数学模型。
通过深入学习二次函数的几何应用，我们可以更好地理解数学与现实世界的联系，提高数学建模和解决实际问题的能力。
希望这些内容能够对你有所帮助。
二次函数的图象和性质课教案
二次函数的图象和性质优质课教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解二次函数的概念和重要性。
2. 引导学生通过实际问题情境，感受二次函数的应用。
教学内容：1. 引入二次函数的概念，给出一般形式的二次函数表达式：y = ax^2 + bx + c。
2. 通过实际问题情境，让学生观察二次函数的图象和性质。
教学活动：1. 引入二次函数的概念，引导学生理解二次函数的三个参数a、b、c的含义。
2. 通过实际问题情境，让学生观察二次函数的图象和性质，例如：抛物线的开口方向、顶点的坐标等。
教学评价：1. 检查学生对二次函数概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题情境中观察二次函数图象和性质的能力。
第二章：二次函数的图象教学目标：1. 让学生掌握二次函数图象的基本特征。
2. 培养学生通过图象分析二次函数性质的能力。
教学内容：1. 介绍二次函数图象的基本特征，包括开口方向、顶点、对称轴等。
2. 引导学生通过图象分析二次函数的增减性和最值问题。
教学活动：1. 利用多媒体展示不同a值的二次函数图象，引导学生观察开口方向的变化。
2. 让学生通过图象分析二次函数的增减性和最值问题，例如：找出函数的最大值或最小值。
教学评价：1. 检查学生对二次函数图象基本特征的掌握程度。
2. 评估学生在图象分析中解决问题的能力。
第三章：二次函数的性质教学目标：1. 让学生了解二次函数的顶点公式及其应用。
2. 培养学生通过二次函数性质解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍二次函数的顶点公式：顶点坐标为(-b/2a, c b^2/4a)。
2. 引导学生通过二次函数的性质解决实际问题，例如：求函数的最值、对称轴等。
教学活动：1. 让学生通过实际问题情境，应用顶点公式求解二次函数的最值、对称轴等问题。
2. 引导学生利用二次函数的性质解决实际问题，例如：求解抛物线与直线的交点等。
教学评价：1. 检查学生对二次函数顶点公式的掌握程度。
2. 评估学生在实际问题中应用二次函数性质解决问题的能力。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生了解二次函数的定义和标准形式；2. 理解二次函数的性质，包括顶点、开口、对称轴等；3. 掌握二次函数图像的特点，如开口方向、顶点位置等；4. 能够运用二次函数的性质和图像解决实际问题。
二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：顶点、开口、对称轴；3. 二次函数图像的特点：开口方向、顶点位置等；4. 实际问题举例。
三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像的特点；2. 难点：运用二次函数的性质和图像解决实际问题。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等教学方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像；3. 引导学生通过实际问题，探究二次函数的性质和图像特点。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考二次函数的存在；2. 讲解：讲解二次函数的定义和标准形式，阐述二次函数的性质，如顶点、开口、对称轴等；3. 演示：使用多媒体课件，展示二次函数的图像，让学生直观理解二次函数的性质和图像特点；4. 练习：布置练习题，让学生巩固二次函数的性质和图像知识；5. 讨论：组织学生分组讨论，分享解题心得和实际问题解决方法；6. 总结：总结二次函数的性质和图像特点，强调运用二次函数解决实际问题的重要性。
六、教学评估1. 课堂练习：设计一份包含不同难度的练习题，以评估学生对二次函数性质与图像的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，评估他们对知识点的掌握和运用能力。
3. 课后作业：布置一道综合性的课后作业，要求学生应用二次函数的性质与图像解决实际问题，以评估他们的应用能力。
七、教学资源1. 多媒体课件：制作详细的课件，包括二次函数的图像、性质解释和实际问题示例。
2. 练习题库：准备一份涵盖各种类型题目的题库，用于课堂练习和课后作业。
3. 实际问题案例：收集一些与二次函数相关的实际问题案例，用于教学中的实例分析。
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。
三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。
四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。
五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。
七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。
八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。
二次函数与几何图形的综合问题
一师一优课教学设计【教学目标】1．知识与能力：一要熟练掌握二次函数和平面几何的基础知识；二要利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，充分挖掘题目中的隐含条件，达到解题的目的。
2．过程与方法：一要通过综合题的训练要求学生熟练掌握待定系数法、分类讨论、数形结合的数学思想方法；二要经历探究利用函数的模型表示线段长或面积的过程。
3．情感态度与价值观：一要通过探究，互相讨论，发表意见等学习过程，培养合作精神和认真倾听的习惯，二要经历探究面积的最值问题体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。
【学情分析】二次函数综合题知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此在解决此类综合题时，要求学生，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的解题技能，三要掌握常用的解题策略。
【教学重点难点】二次函数与几何图形相结合的综合问题【教学过程】一：探究问题，交流讨论1：问题一：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点。
（1）求该抛物线的表达式;（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。
2：合作交流;分类讨论;情况一、二情况三二：师生互动：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，得a-b+c=0 a=1 39a+3b+c=0 解之，得 b=2 3 -c=-1 c=-1∴所求抛物线的表达式为y=13x²-23-x-1（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可。
又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2.而当x=4时，y=53；当x=-4时，y=7，此时P1（4，53）P2（-4,7）②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在Y轴上，且线段AB中点的横坐标为1∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3 而且当x=2时y=-1 ，此时P3（2，-1）综上，满足条件的P为P1（4，53）P2（-4,7）P3（2，-1）三：解决问题：问题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3） 若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．⑴设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则有16404420a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩．解得 a ＝12，b ＝1，c ＝－4． ∴ 抛物线的解析式为 y ＝12x 2＋x －4……3分 ⑵过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设点M 的坐标为(m ，n ) 则AD ＝m ＋4，MD ＝－n ，n ＝12m 2＋m －4 ∴S ＝S △AMD ＋S 梯形DMBO －S △ABO＝12(m ＋4)(－n )＋12(－n ＋4)(－m )－12×4×4＝―2n ―2m ―8＝―2×(12m 2＋m －4)―2m ―8 ＝―m 2―4m (－4＜m ＜0) ……6分 ∴S 最大值＝4……7分⑶ 满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是3(4,4)Q -，4(4,4)Q -，(1225,225Q --+，DABC M yxOABC xyOQ 4P 1Q 1Q 3Q 2P 2(22Q -+-……11分⑶的解答过程以OB 为平行四边形的一边时，由()21442x x x ⎛⎫+---= ⎪⎝⎭得24160x x +-=，12x =--，22x =-+，得(12Q --+，(22Q -+-；由()21442x x x ⎛⎫+---=- ⎪⎝⎭得240x x +=，34x =-，40x =（舍去），得3(4,4)Q -； 以OB 为平行四边形的对角线时，由图形的中心对称易得4(4,4)Q -．四：学法指导：本题主要考查了二次函数解析式的确定，图形面积的求法，二次函数最值的 应用，以及平行四边形的判定和性质。
二次函数的图像与性质教案
二次函数的图像与性质教案教案标题：二次函数的图像与性质教案教案目标：1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数图像的绘制方法；3. 能够分析二次函数的图像特征和性质。
教案步骤：步骤一：引入二次函数的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾一次函数的概念和性质，然后引入二次函数的概念，解释二次函数与一次函数的区别。
2. 介绍二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。
3. 解释二次函数的性质：对称性、开口方向、顶点、轴等。
步骤二：绘制二次函数的图像（20分钟）1. 通过给定不同的a、b、c值，绘制不同形态的二次函数图像。
2. 详细解释如何确定二次函数的顶点、轴和开口方向。
3. 引导学生观察图像的变化规律，总结二次函数图像与a、b、c值的关系。
步骤三：分析二次函数的图像特征和性质（15分钟）1. 引导学生观察不同形态的二次函数图像，分析其对称性、最值、零点等特征。
2. 引导学生发现二次函数图像的对称轴与一次函数图像的x轴有何关系。
3. 引导学生讨论二次函数图像的开口方向与a值的关系，并总结规律。
步骤四：应用二次函数的图像与性质（15分钟）1. 给定实际问题，引导学生建立与之对应的二次函数模型。
2. 利用二次函数图像的性质，解决实际问题，如求最值、零点等。
3. 引导学生讨论二次函数图像在不同场景中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛射问题等。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结二次函数的图像特征和性质，包括对称性、开口方向、顶点、轴等。
2. 引导学生思考二次函数的应用领域，并拓展到其他数学知识的应用，如函数的复合、函数的逆运算等。
教学资源：1. 教材：包含二次函数相关知识的教材或教学参考书。
2. 白板、彩色笔等教学工具。
3. 实际问题的案例素材。
评估方式：1. 课堂练习：通过绘制二次函数图像、分析图像特征等练习，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
二次函数图像分析教案
二次函数图像分析教案一、教学目标1.理解二次函数的概念和性质，掌握二次函数的标准式和顶点式以及它们之间的相互转化方法。
2.掌握二次函数的图像基本特征，如顶点、轴、对称轴、开口方向等，并能够应用这些特征作出二次函数的图像。
3.理解二次函数的应用，如关于汽车制造、弹道预测等方面的实际问题，掌握如何应用二次函数解决这些问题。
二、教学内容1.二次函数的基本概念和性质定义：二次函数为y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c为已知实数，a≠0，x为自变量，y为因变量。
性质：（1）二次函数的解析式中包含x的二次项。
（2）二次函数图像是否对称是由a的正负决定的，即当a＞0时，图像开口向上，称为“正二次函数”，对应的图像是单调上升的，并且含有最小值；当a＜0时，图像开口向下，称为“负二次函数”，对应的图像是单调下降的，并且含有最大值。
（3）若二次函数的标准式为y=ax^2+bx+c，则其顶点坐标是(-b/2a，c-b^2/4a)；若二次函数的顶点式为y=a(x-h)^2+k，则其顶点坐标是(h，k)。
（4）二次函数经过零点(也称为根)的情况要看它的判别式b^2-4ac的正负性：当b^2-4ac＞0时，函数经过两个零点；当b^2-4ac＝0时，函数经过一个零点；当b^2-4ac＜0时，函数不经过零点。
2.二次函数的图像为了更好地帮助学生理解二次函数的图像特征，可以采用以下授课方式：（1）演示绘制二次函数图像的步骤：找出顶点的坐标；在确定对称轴的位置并绘制对称轴；确定开口方向；根据对称轴和顶点的位置，画出整个图像。
（2）比较正二次函数和负二次函数的图像特征：在绘图中，让学生比较两种二次函数的图像，比较它们的顶点、轴、对称轴、开口方向、零点等方面的不同之处。
（3）引导学生通过观察图像来确定二次函数的解析式：出示一些已知的二次函数图像，让学生观察其特征，从中分析出相应的解析式。
3.应用实例（1）汽车制造：二次函数可用于描述汽车的制造和销售情况、成本和收益情况等方面。
二次函数综合复习课教案
二次函数综合复习课一、教学目标：（1）使学生进一步理解二次函数解析式的求法，通过例题讲解，使学生了解二次函数与已学过有关知识之间的联系（2）全面回顾平行四边形，相似形的判定，一元二次方程的解法。
二、重点、难点：几何图形在二次函数中综合运用。
三、教学过程：1、复习（1）、二次函数解析式的三种求法；（2）、平行四边形的判定、矩形的判定；（3）、一元二次方程的解法。
2、例题分析与讲解：﹣，点P，对称轴为直线x=），B（是抛物，）A如图，已知二次函数的图象过点（0，﹣3PC=MPPMON上分别截取，⊥y轴于点N，在四边形PM线上的一动点，过点P分别作⊥x轴于点M，PN NF=NP．，OE=ON，MD=OM（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；（2）证明△PCF≌△OED，得CF=DE；证明△CDM≌△FEN，得CD=EF．这样四边形CDEF 两1CDEF是平行四边形；组对边分别对应相等，所以四边PMO是正方形．这样∽MD，可以证明矩）根据已知条件，利用相似三角PC分别求的交点联立解析式解方程组与坐标象限角平分y=y就是抛物y=+的坐标．符合题意的有四个，在四个坐标象限内各一个P解答：2 +ky=a（x+），（1）解：设抛物线的解析式为：）在抛物线上，B（，∵点A（0，﹣3），，∴k=．解得：a=1，22 3．+xx+）=x﹣∴抛物线的解析式为：y=（FC．DE、EF、）证明：如右图，连接（2CD、，y轴于点N，∵PM⊥x轴于点MPN⊥∴四边形PMON为矩形，，PN=OM．∴PM=ON∵PC=MP，OE=ON，；∴PC=OE OMMD=，NF=NP，∵∴MD=NF，．∴PF=OD 中，PCF在△与△OED），SASOEDPCF∴△≌△（．∴CF=DE FEN≌△，CDM同理可证：△CD=EF∴．，CF=DE ∵CD=EF，∴四边形是平行四边形．CDEF2为矩形．，使四边形）解：假设存在这样的点PCDEF（3n，PF=n．，PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC=m，MC=mMD=设矩形△PCF，∽△MDC若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证22∴，即，化简得：m=n，为正方形．PMON ∴m=n，即矩形2 3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．﹣∴点P为抛物线y=x+x联立，，解得，（﹣；），﹣P∴（，P），21，联立，解得，1）．，P，P∴（﹣33），（﹣143为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐，使四边形CDEF∴抛物线上存在点P）．11（﹣，33（﹣，，﹣（﹣，，（标分别为：P）P）P，）P，4213相似三角形、全等三角形、待定系数法、考查了二次函数的图象与性质、点评：本题是二次函数综合题型，）问的要2解方程、矩形、正方形等知识点，所涉及的考点较多，但难度均匀，是一道好题．第（（第点是全等三角形的证明，PMON问的要点是判定四边形）3然后列方程组求解．必须是正方形，3：练习：课后作业：22+bx﹣，2），抛物线y=x，BAC=90°A（1，0），B（0如图，在坐标系xOy 中，△ABC是等腰直角三角形，∠C点．的图象过1）求抛物线的解析式；（的面积分为相等的两部分？．当ll移动到何处时，恰好将△ABC（2）平移该抛物线的对称轴所在直线点坐标；若不存P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出（3）点P 在，说明理由．二次函数综合题．如解答图所示：的坐标求出抛物线的解析，求出点C的坐标；然后利用点C△（1）首先构造全等三角形AOB≌△CDA 式；的表达式；根F，则可求出EF与BC、AC交于点E、AC（2）首先求出直线BC与的解析式，设直线l的解析式；=据SS，列出方程求出直线l ABC△△CEF P）首先作出?PACB，然后证明点在抛物线上即可．（3 ．ACD=90°DC作CD⊥x轴于点，则∠CAD+∠1解：（1）如答图所示，过点，CAD=90∠OAB=90°，∠OAB+∠°∵∠OBA+ ，∠ACDOBA=∠CAD．∴∠OAB=∠中，△CDAAOB∵在△与≌△CDA（．ASA）AOB∴△，，∴CD=OA=1AD=OB=2 ，∴OD=OA+AD=34）．（3，1∴C2﹣2上，3（，1）在抛物线y=x+bx∵点C．×9+3b﹣2，解得：b=﹣∴1=2．x﹣2∴抛物线的解析式为：y=x﹣，由勾股定理得：AB=．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=22 =．=∴SAB ABC△）（3，1，2BC设直线的解析式为y=kx+b，∵B（0，），C，∴k=﹣，b=2，解得．﹣x+2∴y=的解析式为：同理求得直线ACy=x﹣．如答图1所示，．）=﹣x）﹣（，则分别交于点与设直线lBC、ACE、FEF=（﹣x+2x﹣．x=3CE△CEF中，边上的高h=OD﹣﹣x=SS，由题意得：ABC△△CEF S，h=EF即：?ABC△（）﹣∴（x?3×）﹣x=，2）x=3，﹣3（整理得：x=3+﹣x=3解得或（不合题意，舍去），5 的面积分为相等的两部分．时，恰好将x=3﹣△ABC∴当直线l解析式为）存在．（3 如答图2所示，﹣OG=1．G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB⊥过点C作CGy轴于点PACB为平行四边形．BC，且AP=BC，连接BP，则四边形作过点AAP∥，，则易证△PAH≌△BCG⊥过点P作PHx轴于点H ，∴PH=BG=1，AH=CG=3 OH=AH﹣OA=2，∴1）．P∴（﹣2，2 P在抛物线上．y=1x=x 抛物线解析式为：y=x﹣﹣2，当﹣2时，，即点P，点的坐标为（﹣2，）．1P∴存在符合条件的点点评：是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．6。
九年级数学第3讲二次函数探究—二次函数与直角三角形的综合问题教案
二次函数综合；勾股定理；相似三角形的性质；熟练运用所学知识解决二次函数综合问题妙运用数形结合思想解决综合问题；知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a）．对于y=a （x －h ）2+k而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有： （1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a ，b ，c ，则有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边为c 。
（2）验证c 2和a 2+b 2是否具有相等的关系，若a 2+b 2=c 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形。
初三数学 二次函数与平行四边形的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与平行四边形的点存在性问题，主要考查了学生能否将平行四边形的性质与判定融入到二次函数，在函数图像中构造题意所需图形的能力。
二、复习预习平行四边形的判定与性质1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2. 性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形两组对边分别相等；③平行四边形两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分；3. 判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 探究平行四边形的一般思路在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制二次函数的图像，并分析图像的性质；4. 能够运用二次函数解决实际问题。
二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质；3. 二次函数的图像；4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像；2. 难点：二次函数图像的分析与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像；3. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 实物模型或图形软件。
教案内容请参考下述示例：一、二次函数的定义和标准形式1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数称为二次函数。
2. 二次函数的标准形式：y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）为顶点坐标。
二、二次函数的性质1. 对称轴：二次函数的对称轴为x=h。
2. 顶点：二次函数的顶点坐标为（h，k）。
3. 开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
三、二次函数的图像1. 绘制二次函数的图像：通过顶点、对称轴、关键点等方法绘制。
2. 分析二次函数的图像：观察开口方向、对称轴、顶点等。
四、实际问题中的应用1. 利用二次函数解决实际问题：如抛物线与坐标轴的交点、最值问题等。
2. 结合实际例子，让学生学会运用二次函数解决实际问题。
五、课堂练习1. 练习题：巩固二次函数的性质与图像知识。
2. 实物模型或图形软件：让学生直观地感受二次函数的图像。
六、教学过程1. 导入：通过回顾一次函数和线性函数的图像，引导学生思考二次函数图像的特点。
2. 新课：介绍二次函数的定义和标准形式，解释对称轴、顶点、开口方向等概念。
二次函数的性质与图像教案
二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 让学生理解二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式；2. 引导学生探究二次函数的性质，包括对称性、单调性等；3. 让学生学会绘制二次函数的图像，并能分析图像的特点；4. 培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：二次函数的定义、性质及图像特点；难点：二次函数图像的绘制及分析。
三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解二次函数的图像特点；3. 采用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，包括二次函数的定义、性质、图像等；2. 准备一些实际问题，用于巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的应用；2. 讲解：介绍二次函数的定义、一般形式，引导学生探究二次函数的性质；3. 演示：利用PPT展示二次函数的图像，让学生直观地理解二次函数的图像特点；4. 练习：让学生绘制一些二次函数的图像，并分析其性质；5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的性质及图像的特点；6. 作业：布置一些练习题，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生主动探究二次函数的性质，培养学生的动手能力。
通过实际问题的分析，让学生感受二次函数在生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
在讲解二次函数的图像时，要注重让学生理解顶点、对称轴等关键点的作用，以便能更好地分析二次函数的性质。
六、教学拓展：1. 引导学生探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线运动、最优化问题等；2. 介绍二次函数与其他数学知识的关系，如导数、积分等；3. 引导学生思考二次函数在自然界中的体现，如物体的自由落体运动等。
七、课堂小结：1. 回顾本节课所学内容，让学生总结二次函数的性质及图像特点；2. 强调二次函数在实际问题中的应用价值；3. 提醒学生注意在学习过程中积累经验，提高解决问题的能力。
二次函数及其图像教案
课堂练习
1、教师巡视，指导学生解 图像，并分别指出他
题，
们的开口方向和开口
10 分钟 5 分钟
2、评讲练习，反馈矫正。 大小，顶点以及对称
轴：y=1/2x²,y=-2x²，
y=2x²，y=2（x+1）²，
精 讲 点 拨
（2）
y=2（x+1）²
3、二 次 函 数 y=a （x+h）²+k 及图像的（抛物
（抛物线）开口 不同而变化。
值不同而变化。
方向，顶点，对 2、通过图形的对折确定图 2、思考 a 的值决定
称轴。
像的对称轴的位置。
二次函数哪些性质。
2、二 次 函 数 3、提问 a 的值决定二次函 3、认真听老师总结函
y=ax²的性质。 数哪些性质。
数的性质
4、总结函数 y=ax²的性质。
画出下列二次函数的
质。
a，h 和 k 分别决定图像哪些 结果。
性质。
3、认真听老师总结
布 1、思考二次函数 y=ax²+bx+c（a>0）的图像是怎样的，并写出抛物线的方向，顶
置 点以及对称轴
作 2、课本 12 页，第 1，3，5，9 题。
业
可修改
精选文档
板书设计 26．1 二次函数及其图像
1、二次函数的定义：..................................
精选文档
学院
数学与信息科学学院
年 级 三年级 学 科
数学
讲课人
授课时间
四十分钟
教材
义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级下册
课题
26．1 二次函数及其图像
1、认识理解二次函数的定义及其开口方向，顶点，对称轴。
二次函数图像教案5篇
二次函数图像教案5篇
二次函数图像教案篇一
二次函数的图像
略阳天津高级中学杨娜
课型：新授课课时安排： 1课时教学目标：
1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。
2、领悟二次函数图像平移的讨论方法，并能迁移到其他函数图像的讨论，而提高识图和用图力量。
3、培育学生数形结合的思想意识。
重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用
2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数．教学过程：
一、导入新课
在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步讨论一般的二次函数的性质。
二、讲授新课
提出问题1 二次函数y ax(a0)的图像与二次函数y x的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出y x 的图像，并在此根底上画出y
2x的图像。
学生阅读课本41页并在练习本上作图（教师用几何画板演示）2.学生阅读课本41页，并动手实践。
3、概括：二次函数y ax(a0)的图像可以由y x的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。
4.用几何画板演示a对开口大小得影响。
5.抽象概括
二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到。
a打算了图像的开口方向:a>o开口向上，a0 交点在y轴上半轴，c0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
人教版九年级数学上册第22章二次函数几何图形中的最值问题优秀教学案例
3.鼓励学生提问，培养学生的质疑精神。教师要积极回应学生的问题，引导学生通过探讨、交流，共同解决问题。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，鼓励学生分享解题心得和方法。如：在解决实际问题时，引导学生运用合作交流、讨论等方式，共同探讨最值问题的解法。
3.注重评价的激励作用，激发学生的学习兴趣和自信心。如：对学生在解决问题过程中的亮点进行表扬，鼓励学生克服困难、勇和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。如：设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题。
2.鼓励学生主动查找相关资料，拓宽知识面。如：让学生课后查阅有关二次函数在几何图形中最值问题的案例，了解更多的解题方法。
4.多元化的评价方式：本节课采用多元化的评价方式，关注学生在解决问题过程中的数学思维方法和解决问题的能力。通过学生互评、自评、教师评等方式，对学生的解题过程和结果进行评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.针对性的作业设计：本节课布置了具有针对性和拓展性的作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解决问题的能力。通过设计一些类似的实际问题，让学生运用所学方法求解最值问题，进一步培养学生的应用能力和创新精神。
3.教师要关注学生的作业完成情况，及时给予反馈和指导。如：对学生在作业中的优点进行表扬，对存在的问题进行耐心讲解，帮助学生提高解题水平。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本节课以生活实际为例，创设了富有情境的教学情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过设计“购物预算”、“最大利润”等问题，引出二次函数在几何图形中最值问题的学习，从而提高学生的学习兴趣和积极性。
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第三章 8 二次函数与几何图形综合题
一、教学目标
1、能利用二次函数的图像和性质解决综合数学问题。
2、经历探究利用函数式的模型表示线段长（或面积）等的过程，了解和体
验特殊与一般互相联系和转化以及数形结合等数学思想方法的具体体现和运用。
3、经历探究面积的最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。
二、教学过程
【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于
A，B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，
连接CB.
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△
ABP，求点P的坐标；
练习. (2016安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，
横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关
于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
师归纳
探究平面直角坐标系中图形的面积问题，主要有以两种考查方式：
1．图形的几个顶点都是定点，求图形的面积的方法：
(1)根据点的坐标求线段的长度；
(2)可利用割补法求不规则图形的面积．
2．图形的几个顶点中有一个顶点是动点，求在某一时刻时，该图形面积的最大值或最小值的方法：(1)设动点的坐标为(t，at2＋bt＋c)；(2)用含t的代数式表示出三角形的底和高；(3)用含未知数t的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．
【例2】(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛
物线上一动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若
存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
方法归纳
探究等腰三角形的存在性问题，具体方法与直角三角形的类似：
(1)假设结论成立；
(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，则满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，则满足条件的点不存在．以上方法即可找出所有符合条件的点；
③计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．
【练习2】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，
－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且
OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是
否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边
形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
分析
(2)设点M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，①以AB为边，AB∥MN，AB＝MN，如图
②，过M作ME⊥对称轴y于点E，AF⊥x轴于点F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，
5)．
②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图③，N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．
三、小结
本节课收获了什么？
你还有哪些疑问？
四、作业布置
二次函数与几何图形综合课时作业
五、板书设计
二次函数与几何图形综合
例一、
例二、。