极限的性质及运算法则
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an b m = ∞ 0 n=m n>m n<m
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 极限的四则运算法则及其推论 2.极限求法 极限求法; 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
x→X x→X x→X
lim f (x) x→X f (x) A (3) lim = = , 其 B ≠ 0. 中 x→X g(x) lim g(x) B
x→X
, 结论: 如果limf (x)存在 而n是正整数,则
x→X n
lim[f (x)] = [limf (x)] .
n x→X x→X
例1 求下列极限 x3 − 1 (1) lim 2 . x→ 2 x − 3x + 5
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
a n x n + La 1 x + a 0 (an , bm ≠ 0) ∴ lim m x → ∞ b x + Lb x + b m 1 0
3
x→2
ห้องสมุดไป่ตู้
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
练习题答案
一 、 1、 -5； 5、 0； 二 、 1、 2； 1 5、 ； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；
1 7、 ； 2 3、 -1； 1 4、 ； 5 3 30 8、 ( ) . 2 4、 -2；
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= ( lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 极限的四则运算法则及其推论 2.极限求法 极限求法; 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
x→X x→X x→X
lim f (x) x→X f (x) A (3) lim = = , 其 B ≠ 0. 中 x→X g(x) lim g(x) B
x→X
, 结论: 如果limf (x)存在 而n是正整数,则
x→X n
lim[f (x)] = [limf (x)] .
n x→X x→X
例1 求下列极限 x3 − 1 (1) lim 2 . x→ 2 x − 3x + 5
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
a n x n + La 1 x + a 0 (an , bm ≠ 0) ∴ lim m x → ∞ b x + Lb x + b m 1 0
3
x→2
ห้องสมุดไป่ตู้
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
练习题答案
一 、 1、 -5； 5、 0； 二 、 1、 2； 1 5、 ； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；
1 7、 ； 2 3、 -1； 1 4、 ； 5 3 30 8、 ( ) . 2 4、 -2；
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= ( lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1