极限的性质及运算法则
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第3节_极限的四则运算法则及函数极限的基本性质
解
令 x + 1 = t6 , x → 0 , ⇒ t → 1 ,
3
t2 −1 t +1 2 = lim 原式 = . = lim 2 t →1 t 3 − 1 t →0 t + t + 1 3
例 6 求 lim (
n→∞
1 2 n + 2 +Λ + 2 ). 2 n n n
和式中的每一项都有极限, ,且极限为0. 且极限为0. 分析 和式中的每一项都有极限 但求极限时, 但求极限时,里面有无穷多项, 里面有无穷多项,极限四则运算 法则不再适用. 法则不再适用. 解
推论二 推论二 如果 lim f ( x ) 存在, 存在,而 n 是正整数, 是正整数,则
lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n .
求极限方法举例: 求极限方法举例:
x3 − 1 例 1 求 lim 2 . x→2 x − 3x + 5
解
3 −1 7 2 x→2 x→2 = . = 原式 = 2 3 3 lim x − lim 3 x + lim 5
存在,而 lim g ( x ) 不存在, 不存在, 一个结论: 若 lim f ( x ) 存在, 则 lim[ f ( x ) + g ( x )] 一定不存在. 一定不存在.
证 (反证法) 反证法) 假设 lim[ f ( x ) + g ( x )] 存在, 存在,则
lim g ( x ) = lim{[ f ( x ) + g ( x )] − f ( x )} = lim[ f ( x ) + g ( x )] − lim f ( x )
o
u → u0
令 x + 1 = t6 , x → 0 , ⇒ t → 1 ,
3
t2 −1 t +1 2 = lim 原式 = . = lim 2 t →1 t 3 − 1 t →0 t + t + 1 3
例 6 求 lim (
n→∞
1 2 n + 2 +Λ + 2 ). 2 n n n
和式中的每一项都有极限, ,且极限为0. 且极限为0. 分析 和式中的每一项都有极限 但求极限时, 但求极限时,里面有无穷多项, 里面有无穷多项,极限四则运算 法则不再适用. 法则不再适用. 解
推论二 推论二 如果 lim f ( x ) 存在, 存在,而 n 是正整数, 是正整数,则
lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n .
求极限方法举例: 求极限方法举例:
x3 − 1 例 1 求 lim 2 . x→2 x − 3x + 5
解
3 −1 7 2 x→2 x→2 = . = 原式 = 2 3 3 lim x − lim 3 x + lim 5
存在,而 lim g ( x ) 不存在, 不存在, 一个结论: 若 lim f ( x ) 存在, 则 lim[ f ( x ) + g ( x )] 一定不存在. 一定不存在.
证 (反证法) 反证法) 假设 lim[ f ( x ) + g ( x )] 存在, 存在,则
lim g ( x ) = lim{[ f ( x ) + g ( x )] − f ( x )} = lim[ f ( x ) + g ( x )] − lim f ( x )
o
u → u0
极限性质与运算法则
a0 0,
,
b0 ,当n m, 当n m, 当n m.
14
例8 求 lim x 1 . x1 x 1
共扼因子法
解 原式 lim ( x 1)( x 1) lim( x 1) 2 . x1 ( x 1)( x 1) x1
例9 求 lim 3 1 x 1 . x0 1 x 1
2
性质3 有极限函数的局部保号性
定理 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), 则 0, x x0 当0 x x0 时, f ( x) 0 (或f ( x) 0) .
推论1 若 0, 当0 x x0 时, f ( x) 0
(或 f ( x) 0), 且 lim f ( x) A,则 A 0 (或 A 0) . x x0
(3) lim u lim u A (B 0) v lim v B
证略
4
说明：
1. lim( u v) lim u lim v 有两层意思:
(1) 在lim u和lim v都存在的前提下，lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v.
2. lim (u+v)存在, 不能倒推出lim u和lim v 都存在. 3. 若lim u存在,而 lim v不存在,则lim (u+v)必不存在.
lim un (lim u)n .
前已证
lim
x x0
x
x0
,
所以
lim
x x0
xn
x0n
.
例1 lim( x2 3x 1) lim x2 lim 3x 1
x2
x2
x2
(2)2 3 (2) 1 1 .
2.5极限运算法则
(3) lim[Cf ( x)] C lim f ( x) CA ( C 是与x 无关的常数);
xX
xX
lim
f (x)
lim
xX
f (x)
A
(这里要求 B 0).
xX g( x) lim g( x) B
xX
注意： 利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件： 参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须 存在，在考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。
例1、求极限 lim(3x2 2x 1) x1
解: lim(3x2 2x 1) lim 3x2 lim 2x lim 1
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2lim x lim 1
x1
x1
x1
31 21 1 2
例2、求极限 lim 2x2 x 5 x2 3x 1
xX
x X
lim[ f ( x) g( x)] 是否存在 ? 为什么 ?
xX
答: 不存在 . 否则由
g(x) [ f (x) g(x)] f (x)
利用极限四则运算法则可知 lim g( x) 存在 , 与已知条件 x X
矛盾.
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2. 试确定常数 k 使
lim x
8x2
7x
总结例4可得：
a0
lim
x
a0 xn b0 xm
a1 x n1 b1 x m1
an bm
b0 0
03极限的运算法则与性质
解
x2
x 2 x 2
lim
lim
x2 x 2 x2 x 2 x 2
x 2 x 2
lim
2 2.
x2
x2
上例给出了无理函数求极限的一般方法: 有理化.
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例8 求 lim 4x 1 3. x2 x 2 2
解
lim
4x 1 3
x2 x 2 2
4x 1 3 4x 1 3 x 2 2 lim
x2 x 2 2 x 2 2 4x 1 3
4 x 2
lim
x 2 2 8.
x2 x 2 4x 1 3 3
14
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二、极限的性质
1. 收敛数列的有界性
定理 收敛数列必有界.
x1 x3
【
M1
(
xN+1 xN+3
xN+2
)
a
xN
a 1
a 1
推论: 无界数列必发散.
x2 】 M2 x
注意, 该定理不是充分必要条件.
例如数列 xn 1 n1 是有界数列但是发散的.
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铃பைடு நூலகம்
与数列的有界性定理平行的是:
定理 （局部有界性）如果极限 lim f (x)存在 , 那么
x2
x2
x2
2 22 4 2 31 13.
3
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由上例得到多项式函数在有限点的极限的一般公式:
1-5 极限的运算法则
则
x x0
0
0
lim f ( x ) lim g( x ) .
x x0
例1
则
对于有理函数
只要
就有
例2 计算下列极限
2x 3 (1) lim 3 x 1 x x 2 x 2
2
lim( 2 x 2 3) lim( x x 2 x 2)
x 1 x 1 3
x 1
解 先通分得 原式=
原式=
说明：分母有理化或通分后，不一定都是约去零因子法
如
x
lim ( x 1 x) lim
2
1 x2 1 x
x
0
例3 计算下列极限
3x 2 x 7 (1) lim 2 x 2 x x 4 x5 2 x 1 (3) lim x x3 1
lim2 x 3
2 x 1
limx limx limx 2
3 2 x 1 x 1 x 1
2 3 111 2
5 5
1.
1 1 2 2 2 2x x 1 x x lim (2) lim 2 x x 3 x 5 x 2 5 2 3 2 x x 1 1 1 1 lim( 2 2 ) lim2 lim lim 2 x x x x x x x x 5 2 5 2 lim( 3 2 ) lim3 lim lim 2 x x x x x x lim g( x ) A B ;
x x0
( 2) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B ;
x x0 x x0 x x0
x x0
0
0
lim f ( x ) lim g( x ) .
x x0
例1
则
对于有理函数
只要
就有
例2 计算下列极限
2x 3 (1) lim 3 x 1 x x 2 x 2
2
lim( 2 x 2 3) lim( x x 2 x 2)
x 1 x 1 3
x 1
解 先通分得 原式=
原式=
说明：分母有理化或通分后，不一定都是约去零因子法
如
x
lim ( x 1 x) lim
2
1 x2 1 x
x
0
例3 计算下列极限
3x 2 x 7 (1) lim 2 x 2 x x 4 x5 2 x 1 (3) lim x x3 1
lim2 x 3
2 x 1
limx limx limx 2
3 2 x 1 x 1 x 1
2 3 111 2
5 5
1.
1 1 2 2 2 2x x 1 x x lim (2) lim 2 x x 3 x 5 x 2 5 2 3 2 x x 1 1 1 1 lim( 2 2 ) lim2 lim lim 2 x x x x x x x x 5 2 5 2 lim( 3 2 ) lim3 lim lim 2 x x x x x x lim g( x ) A B ;
x x0
( 2) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B ;
x x0 x x0 x x0
2.3极限性质、法则
x →0
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
04极限的运算法则与性质综述
第一章
第四节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
内容回顾
xn 1. 数列极限 lim x
；
2.
lim （ f x）； x x0 自变量趋向有限值时函数的极限 （ f x）； xlim x0 f x）； lim （ x x 函数极限 0 lim （ f x）； x 自变量趋向无穷大时函数的极限 lim （ x f x）； lim （ f x）. x
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.
第四节
函数与极限
极限的运算法则与性质
主要内容：
一、极限的运算法则
二、极限的性质
内容回顾
xn 1. 数列极限 lim x
；
2.
lim （ f x）； x x0 自变量趋向有限值时函数的极限 （ f x）； xlim x0 f x）； lim （ x x 函数极限 0 lim （ f x）； x 自变量趋向无穷大时函数的极限 lim （ x f x）； lim （ f x）. x
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
y
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1,
2 x 0
1
左右极限存在且相等,
o
x
故 lim f ( x ) 1.
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限的运算法则与性质
解
( 型 ) x 时 , 分子 , 分母 .
3
先用 x 去除分 , 再求 .
3 5 2 3 3 2 2 x 3 x 5 2 x x . lim 3 lim 2 x 7 4 1 7 x 4 x 1 x 7 3 x x
7
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小结:当 a 0 , b 0 , m 和 n 为非 0 0
解
n 时 , 是无限 ．
先变形再求极限.
12 n 1 2 n lim ( ) lim 2 2 2 2 n nn nn n
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
2 2 (x h ) x ( 5 ) lim ; h 0 h
1 1 1 ( 6 )lim . n 1 22 3 n n 1
23
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4 、 计 算 下 列 极 限
( 1 ) lim e x 1 ;
3. 函数极限的唯一性
定理 若 lim f ( x )存在, 则极限唯一.
17
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4. 函数极限的局部保号性
x x 0
如 果 lim f( x ) A ,且 A 0 ( 或 A 0 ), 那 么 f( x ) 0 ( 或 f( x ) 0 ).
存 在 常 数 0 ,使 得 0 当 x x 时 ， 有 0
n n 1 lim f ( x ) a ( lim x ) a ( lim x ) a 0 1 n x x 0 x x 0
1.3极限的性质与运算法则
ESC
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
一.一. 极限的四则运算法则 极限的性质与四则运算法则
例1 求 lim(5 x 2 + 3 x − 1) .
x →1
解 由极限的四则运算法则 原式 = lim 5 x
x →1 2
+ lim 3x − lim1
x →1 x →1
和的极限 = 5 lim x 2 + 3 lim x − 1 = 5(lim x) 2 + 3 × 1 − 1 =极限的和 极限的和 x →1 x →1 x →1 常数因子可提到 极限符号之前
ESC
课堂练习
1.求下列函数的极限 . (1) xlim sin x (2) xlim arctan x x →∞ x →∞
(3) lim(x2 + x)cos 1 x
设 lim f (x) = A ,
lim g ( x) = B , 则
f (x) (3) 若 limg( x) = B ≠ 0 ,商的极限 lim 存在, 商的极限 存在 且 g(x)
f (x) lim f (x) A lim = = . g(x) lim g(x) B
要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！ 法则使用的前提条件！
= 5 × 12 + 3 × 1 − 1 = 7.
由该题计算结果知， 由该题计算结果知，对多项式
有
Pn(x) = a0 xn + a1xn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1x + an (a0 ≠ 0) ,
x → x0
lim P (x) = a0 x0 + a1 x0 n
n
n−1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + an−1 x0 + an
23性质与极限运算法则-精品文档
说明:
sin x 必须在 x 0 的过程中才 1 、使用公式 lim 1 时， x 0 x 2 sin x sin x lim ? 0 例如： lim ? x x x x 2
sin x ( 例如是 x 的函数 ) ， 2 、在 lim 中， 若 x 是一个其他的变量， x 0 x sin* 则 lim 1 仍成立 记作 * 那么如果满足下列两点 ， * 0 * (1)三个 *处是相同的；
x X
性质2.10 若 lim g ( x ) A （这里 A 可以是无穷
x X
且 g ( x ) A ， lim f( x ) B ,则 lim f[ g ( x )] B .
x A x X
这一性质是用变量替换求极限的理论基础，
x X
lim f [ g ( x ) ] lim f ( y ) B .
(2)*表示的变量必须是趋于 0 的。
sin 2 x 例 2 、求 lim x 0 sin 3 x
解:
0 0
sin2x 2x 2 sin 2 x 3 x 2 x lim lim lim ( ) x0 0 sin3x x 2 x sin 3 x3 x x0 3x 3
性质2.9
x X
若 lim f ( x ) A , lim g ( x ) B ，则
x X x X
x X
lim [ Cf ( x )] C lim f ( x ) CA ( C 是与 x 无关 ) ;
x X
lim [ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B ;
x X
极限过程 x X 所允许的某一邻域内有 界 . lim f(x )A , lim g (x ) 性质2.6 （局部保号性）若 x X x X
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
极限的运算法则(教育知识)
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
x2 lim
9
lim( x
3)(x
3)
lim(
x
3)
6
x3 x 3 x3 ( x 3)
x3
目录
2. 型有理式及无理式
方法：分子分母同时除以x的最高次方幂
约最高次幂法
目录
2x2
l
x
im
2
x
1)
0 0
lim
x1
x2 x2 x
1
1
目录
求
1
l i m(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和．
先变形再求极限.
说明:无穷多个 无穷小量之 和不一定是 无穷小
1
lim(
n
n2
2 n2
n n2
)
lim1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1)
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
(型)
lim
1 x
极限的性质与四则运算法则
例
求 极li限 m2x53x21。 x4x5 x3 7
计算过程
练习 求 极ln i限 m3n4n57n132。 答案 0 很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数 以及(次数相等时)最高次项的系数有关。
例4 求xl i m27xx3334xx2215.
解 xl im 27xx3334xx2215xl im 72xx43xx1533
limf1(x)limf2(x)limfn(x)
推论4 如果 limf(x)存在 ,而k是正整 ,则数 limf[(x)]k [limf(x)]k.
推论5 如果 limf(x)存在且,不 而 k是 为正 零,整 则数 limf([x) ]k [lim f(x) ]k.
注 ⑴应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为 零、偶次根号下非负等；
答案 a b
当x→-∞时结果为-(a+b)，故x→∞ 时极限不存在
例7 求limx2 2x. x2 x2
解 原 l式 im x 2 2 xx 2 2 x x 2 x 2 x 2 2 x
lim x22x x 2x2 x2 2x
23 1 3
7. 3
x2
例2 求xl im 1x24x2x13.
解 lim (x22x3) 0, x 1
又 lim (4x1) 30,
x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得 xl im 1x24x2x13.
0
lx i m b am nxxm n a bm n 1 1xxn m 11 a b00
a b
n m
极限的性质与运算法则
限;
b.分解因子法求极限;
c.函数倒数求极限;
d.利用最高次幂求分段函数极限.
x 1
4x 3 x2 3x 2
解 因为分母的极限为0，不能直接使用运算法则。所以求极限的
方法取决于分子极限的状况。本题分子极限不等于零，这时我们 先来考虑原来函数倒数的极限。 2 2 lim ( x 3 x 2) x 3 x 2 x 1 0 lim 0 x 1 4x 3 lim(4 x 3) 43 x 1 即
项
§1.4 极限的性质与四则运算法则
• 一般地，当 x 时，有理分式（ a0 0,b0 0 ） • 的极限有以下结果：
0, n m ， a x n a1 x n1 an a0 ＝ , n m ， lim m m 1 x b x b x bm b0 1 , n m． • 练习：求下列极限
§1.4 极限的性质与四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1 极限的性质
1.4.2极限四则运算法则
§1.4 极限的性质与四则运算法则
1.4.1极限的性质
性质1.5（唯一性）若极限 lim f (x) 存在，则极限值唯一。
f ( x) 存在，则函数 f (x） 性质1.6（有界性）若极限 xlim x
x2 3x 2 是x 1 4x 3
时的无穷小，由无穷小与无穷大的
倒数关系，得到
4x 3 lim 2 x3 x 3 x 2
§1.4 极限的性质与四则运算法则
例4
2 x 9 求 lim . 2 x3 x 2 x 3
解 显然, 分子与分母的极限都是0.
(x 3)( x 3) 原式 lim x 3 (x 3)( x 1)
高等数学极限运算法则与性质
2.设 f(x)Q P((x x)),且 Q (x0)0, 则有
limP(x)
limf(x) xx0
xx0
limQ(x)
xx0
P(x0) Q ( x0 )
f(x0).
若Q(x0)0, 则商的法则不 . 能应用
5
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铃
例2 求lxim 1x2x22x13.
解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0是 型 )零 0
2
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推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim cf([x)]clim f(x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果 lim f(x)存,在 而 n是正整 ,则数 limf([x)n ][lim f(x)n ].
3
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二、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
解 li(m x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2232530,
lxim 2 x2x33x15
lim(
x2
lim(x2
x3 1) 3x
5)
23 1 3
7 3
先用 x3去除分子,再 分求 母极 . 限
35
lx im 27xx33
3x2 4x2
5lim2xx3
1
x 4 1 7xx3
2 7
.
极限的性质及运算法则
若在极限过程x X所允许的某一邻域内,
g(x) f (x) h(x),且lim g(x) limh(x) A,
xX
xX
则limf (x) A xX
说明: 在x的某一邻域内有
g(x) A f (x) A h(x) A
利用夹逼定理可证重要极限
C
(2) lim sin x 1 x0 x
性质2.7 若limf (x) A,lim g(x) B,且在x X
xX
xX
过程下有f (x) g(x)(或f (x) g(x)),则A B
特别地
若
lim
xx0
f
(x)
A,且
0,当x
O (x0
)
\
{x0
}时,
f (x) 0(或f (x) 0),则A 0(或A 0).
性质2.8(函数极限的夹逼定理)
xX
xX
xX
(2) lim cf (x) clim f (x)
xX
xX
(3) lim[f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B;
xX
xX
xX
(4)
lim
f (x)
lim f (x)
xX
A
,
其中B 0.
xX g(x) lim g(x) B
xX
结论 : 如果lim f (x)存在,而n是正整数,则 xX
二函数极限的性质及运算法则
(一)极限的性 质 def 2.3 f(x)在x x0时有界 : 若M 0,当x yO (x0 ) \ {x0 }时有f (x) M
y f (x)
M
o
x0
x0
x0
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= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2
2 x→2
= ( lim x ) 2 −Байду номын сангаас3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
x→2
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
练习题答案
一 、 1、 -5； 5、 0； 二 、 1、 2； 1 5、 ； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；
1 7、 ； 2 3、 -1； 1 4、 ； 5 3 30 8、 ( ) . 2 4、 -2；
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
a n x n + La 1 x + a 0 (an , bm ≠ 0) ∴ lim m x → ∞ b x + Lb x + b m 1 0
x→X x→X x→X
lim f (x) x→X f (x) A (3) lim = = , 其 B ≠ 0. 中 x→X g(x) lim g(x) B
x→X
, 结论: 如果limf (x)存在 而n是正整数,则
x→X n
lim[f (x)] = [limf (x)] .
n x→X x→X
例1 求下列极限 x3 − 1 (1) lim 2 . x→ 2 x − 3x + 5
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
an b m = ∞ 0 n=m n>m n<m
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 极限的四则运算法则及其推论 2.极限求法 极限求法; 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
2 x→2
= ( lim x ) 2 −Байду номын сангаас3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
3
x→2
lim x 3 − lim 1
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小 因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
极限的运算法则
设 lim f (x) = A, lim g(x) = B,则
x→X x→X
(1) lim[ f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x) = A± B;
x→X x→X x→X
(2) lim[ f (x) ⋅ g(x)] = lim f (x) ⋅ lim g(x) = A⋅ B;
练习题答案
一 、 1、 -5； 5、 0； 二 、 1、 2； 1 5、 ； 2 2 、 3； 6、 0； 2、 2 x ； 6、 0 . 3、 2；
1 7、 ； 2 3、 -1； 1 4、 ； 5 3 30 8、 ( ) . 2 4、 -2；
练 习 题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
(无穷小因子分出法 无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
a n x n + La 1 x + a 0 (an , bm ≠ 0) ∴ lim m x → ∞ b x + Lb x + b m 1 0
x→X x→X x→X
lim f (x) x→X f (x) A (3) lim = = , 其 B ≠ 0. 中 x→X g(x) lim g(x) B
x→X
, 结论: 如果limf (x)存在 而n是正整数,则
x→X n
lim[f (x)] = [limf (x)] .
n x→X x→X
例1 求下列极限 x3 − 1 (1) lim 2 . x→ 2 x − 3x + 5
思考题
在某个过程中， 有极限， 在某个过程中，若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 是否有极限？ 无极限，那么 f ( x ) + g ( x ) 是否有极限？为 什么？ 什么？
思考题解答
没有极限． 没有极限． 有极限， 有极限， 假设 f ( x ) + g ( x ) 有极限， Q f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知： 由极限运算法则可知： 必有极限， g ( x ) = [ f ( x ) + g ( x )] − f ( x ) 必有极限， 与已知矛盾， 与已知矛盾， 故假设错误． 故假设错误．
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
an b m = ∞ 0 n=m n>m n<m
小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 极限的四则运算法则及其推论 2.极限求法 极限求法; 极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限 多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限 消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限 无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限 利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限 利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
x → +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1