第四章 恒定电流场
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电磁学第四章恒定电流和电路
电磁学第四章恒定电流和电路前三章讨论了静电场，场源电荷相对于观察者是静止不动的。
从本章起讨论电荷运动时引起的有关现象。
若电荷作有规则的定向运动就会形成电流，要维持电流的存在，必须要有相应的电场，所以本章主要讨论恒定电流和电场，并引入许多重要的物理概念。
§ 4.1恒定电流一、电流、电流强度、电流密度导体放在静电场中时，导体中的自由电子在外电场作用下发生定向运动，当导体内部场强为零时，定向运动停止。
若能使内部场强不为零，定向运动就会持续下去，这时，在导体中就有电流产生。
1、电流（1）定义：带电粒子（在外电场作用下）作宏观的定向运动便形成电流（叫做电流）本章只讨论：导体内部的电流。
（2）载流子：导体中的能在电场力作用下发生定向运动的带电粒子叫做该导体的载流子，它们是形成电流的内在因素。
不同性质的导体有不同的载流子：金属导体的载流子是自由电子，酸、碱、盐的水溶液中的载流子：是正负离子等。
（3）电流的方向正电荷运动的方向为电流的方向。
结论:A :导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电势处指向低电势处；B :导体中的载流子为负电荷（自由电子），此时可以把电流等效为等量的正电荷沿负电荷的反方向运动形成。
2、电流强度描述，电流的大小（1）定义：单位时间内通过导体任一横截面的电荷量，叫做该截面的电流强度。
（这里的截面可以推广到任意曲面）Aq表示为：I 二lim t >0-△t（2）电流强度I是反映导体中某一截面整体特征的标量。
A qI就某S面：1=三：平均地反映了S面的电流特征。
3、电流密度J（1）定义：导体中每一点的J的方向是该点正电荷运动方向（电场方向），J的大小等于过该点并与电流方向（正电荷运动方向）垂直的单位面积上的电流强度，写为：(2) J与I有不同：I是一个标量，描写导体中的一个面;J是矢量点函数，描写导体中的一个点。
(3) J与I的普遍关系只反映了J与I的特殊关系（要求面元与J垂直），下面推dS_导J与I的一般关系nJ在导体中某点处取一任意面元dS （dS与J并非垂直），面元dS的法线方向n?与该点的J夹角为二，则dS在与J垂直的平面上的投影为：dS〕二dScos^而dl 二JdS = JdScos^ （标量）二J r?d^ = J dS（二矢量点乘仍为标量）所以通过导体中任意曲面S的电流强度I与J的关系为：I 二J dSS此式说明：一曲面上的I是J对该曲面的通量（J通量）。
第4章 恒定电流场(谭老师)
工程电磁场基础
第 4 章 恒定电场
主讲人：谭萍/陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2013年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。
• 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。 主角是 J 和 E 。
密度为描述电流各点在单位面积上的大小和方向
J (A / m 2 ):
⎪⎧大小： ⎨
J＝ lim ΔS →0
ΔI ΔS
⎪⎩方向：正电荷运动方向
∵ ΔI
=
Δq Δt
=
ρ v Δτ
Δt
=
ρ v ΔSΔl
Δt
=
ρ v ΔSV
V
Δl ΔS
∴面积元ΔS处的 J = ρvV
电流密度的定义与电荷分布及电荷运动速度的关系
3）J=γE 仅适用于传导电流，而J=ρV 均使用
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p = E ⋅J = γ E2
导体中消耗的总功率为
P = ∫V E ⋅JdV
P = UI = El ⋅ JS = EJ ⋅V = p ⋅V
§3-11 焦耳定律
¾ 导体有电流时，必伴随功率损耗
⇒ xdx = ydy ⇒ x 2 − y 2 = K
∫ ( ) ∴ I = n ⋅ dl × J s l ∫ [ ( )] = ez ⋅ exdx × ex y + e y x l ∫= ez ⋅ [ez xdx] l 5 ∫= xdx = 10.5A x=2
xy平面上的面电流
表面外法线方向 n = ez
第 4 章 恒定电场
主讲人：谭萍/陈德智
dzhchen@ 华中科技大学 电气与电子工程学院
2013年4月
0 引言
（1） 恒定电场(恒定电流场)
• 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。
• 恒定电场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。 主角是 J 和 E 。
密度为描述电流各点在单位面积上的大小和方向
J (A / m 2 ):
⎪⎧大小： ⎨
J＝ lim ΔS →0
ΔI ΔS
⎪⎩方向：正电荷运动方向
∵ ΔI
=
Δq Δt
=
ρ v Δτ
Δt
=
ρ v ΔSΔl
Δt
=
ρ v ΔSV
V
Δl ΔS
∴面积元ΔS处的 J = ρvV
电流密度的定义与电荷分布及电荷运动速度的关系
3）J=γE 仅适用于传导电流，而J=ρV 均使用
焦耳热效应： 电流流过导体，导体
要发热，称为焦耳热效应。单位体积 内的热功率为：
p = E ⋅J = γ E2
导体中消耗的总功率为
P = ∫V E ⋅JdV
P = UI = El ⋅ JS = EJ ⋅V = p ⋅V
§3-11 焦耳定律
¾ 导体有电流时，必伴随功率损耗
⇒ xdx = ydy ⇒ x 2 − y 2 = K
∫ ( ) ∴ I = n ⋅ dl × J s l ∫ [ ( )] = ez ⋅ exdx × ex y + e y x l ∫= ez ⋅ [ez xdx] l 5 ∫= xdx = 10.5A x=2
xy平面上的面电流
表面外法线方向 n = ez
第04章 恒定电流场(1)
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 媒 质 银 紫铜 电导率(S/m) 媒 质 海水 淡水 电导率(S/m) 4
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
10 3
10 5
金
铝 黄铜 铁
干土
变压器油 玻璃 橡胶
10 11
10 12
4-1 电流
一、基本概念
电流、传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形 成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。 各向同性导电媒质：导电特性不因电场方向而改变的媒质 线性导电媒质：σ不随 E 和 的量值而改变的媒质 J 均匀导电媒质：若媒质中σ处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀 导电媒质
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定 义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷移
向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正
极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场 E 的 方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断
地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了 在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部 保持E E '，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电 流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
6.17 107
5.80 107 4.10 107 3.54 107
10 3
10 5
金
铝 黄铜 铁
干土
变压器油 玻璃 橡胶
10 11
10 12
4-1 电流
一、基本概念
电流、传导电流与运流电流。
传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形 成的电流。 运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。 各向同性导电媒质：导电特性不因电场方向而改变的媒质 线性导电媒质：σ不随 E 和 的量值而改变的媒质 J 均匀导电媒质：若媒质中σ处处为常数（不随空间坐标变化），即为均匀 导电媒质
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定 义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷移
向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正
极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场 E 的 方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断
地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了 在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部 保持E E '，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电 流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
4恒定电流及其电场14
讨论:
J 1n
σ1
−ε2
J 2n
σ2
⎛ ε1 ε 2 ⎞ ⎛ σ1 ⎞ = J1n ⎜ ⎜σ − σ ⎟ ⎜ ε1 − ε 2 σ ⎟ ⎟ = E1n ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝
ρS = 0
ε1 σ 1 = ε 2 σ 2
σ 2 >> σ 1
ρ S = ε1 E1n = D1n
2014-10-21
b v v U 0 ab b dr U 0 ab ⎛ 1 1 ⎞ v ψ ( r ) = ∫ E ⋅ dr = = ⎜ − ⎟ 2 ∫ b−a r r b−a ⎝r b⎠ r
两球壳之间的电导为
G ab
4πσ ab I 1 = = = U0 b−a Rab
∑ V
v v ∂B ∇×E = − ∂t v v v ∂D ∇×H = J + ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
∫∫∫ ρdV
V
v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
考虑不随时间变化，可以推出恒定电场的基本方程。
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
v 微分形式： ∇ × E = 0 v ∇⋅ J = 0
Copy right By Dr. Fang
12
§4-2 恒定电场和静电场的相似性（续） 三、两种场的相似性 恒定电场基本方程与静电场基本方程具有相同的数学形式。 恒定电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
静电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
2014-10-21
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J 1n
σ1
−ε2
J 2n
σ2
⎛ ε1 ε 2 ⎞ ⎛ σ1 ⎞ = J1n ⎜ ⎜σ − σ ⎟ ⎜ ε1 − ε 2 σ ⎟ ⎟ = E1n ⎜ ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝
ρS = 0
ε1 σ 1 = ε 2 σ 2
σ 2 >> σ 1
ρ S = ε1 E1n = D1n
2014-10-21
b v v U 0 ab b dr U 0 ab ⎛ 1 1 ⎞ v ψ ( r ) = ∫ E ⋅ dr = = ⎜ − ⎟ 2 ∫ b−a r r b−a ⎝r b⎠ r
两球壳之间的电导为
G ab
4πσ ab I 1 = = = U0 b−a Rab
∑ V
v v ∂B ∇×E = − ∂t v v v ∂D ∇×H = J + ∂t v ∇⋅D = ρ v ∇⋅B = 0
∫∫∫ ρdV
V
v ∂ρ ∇⋅J = − ∂t
考虑不随时间变化，可以推出恒定电场的基本方程。
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
v 微分形式： ∇ × E = 0 v ∇⋅ J = 0
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12
§4-2 恒定电场和静电场的相似性（续） 三、两种场的相似性 恒定电场基本方程与静电场基本方程具有相同的数学形式。 恒定电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
静电场
v v 积分形式： ∫LE ⋅ dl = 0
∑
v v ∫∫ J ⋅ dS = 0
2014-10-21
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第四章-恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场§4.1 恒定电流的电场§4.2 恒定电场与静电场的比拟§4.3 恒定磁场的基本方程§4.4 恒定磁场的矢量磁位§4.5 介质中的磁场§4.6 恒定磁场的边界条件§4.7 电感的计算§4.8 恒定磁场的能量和力§4.1 恒定电流的电场图 4-1 导体中的恒定电流4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数学表示式为所以恒定电流的电流强度定义为上式中Q 是在时间t 内流过导体任一横截面的电荷, I 是常量。
电流强度的单位为(A =C/s )。
图 4-2 电流密度矢量dtdQ t Q i t =∆∆=→∆0lim tQ I =式中J 是体传导电流密度, 单位为A/m2。
如果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图4-2(b )所示, 则通过该面积的电流是所以通过导体中任意截面S 的电流强度与电流密度矢量的关系是1.欧姆定律的微分形式由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律式中R 称为导体的电阻, 单位为Ω, 表示式为或上式中, l 为导体长度; S 为导体横截面; σ称为导体的电导率, 它由导体的材料决定, 单位为1/Ω·m=S/m 。
表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率 dS dIS I J S =∆∆=→∆0lim θcos Jds s d J dI =⋅= ⎰⎰⋅=⋅=S S ds n J s d J I 0 0n RI U =S l R σ=Sdl R lσ⎰=图 4-3 推导欧姆定律微分形式所以J =σE 。
在各向同性媒质中, 电流密度矢量J 和电场强度E 方向一致, 都是正电荷运动方向, 故有运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。
第04章 恒定电流场(2)
那么由
I J d S e e r) td ( S S π r 2 U t bd r 2 U t b ln a π r π a
的端面流进该导电媒质的电流 I 为 2 2 U
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
p J l E
此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的 电场强度与电流密度的标积。 设圆柱体两端的电位差为U，则 E 单位体积中的功率损失可表示为
pl UI UI dSdl dV
P pd U I l V
U I ，又知 J ，那么 dl dS
可见，圆柱体中的总功率损失为
1 2 w E , e 1 1 1 2
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
U ， 当 1 时， 。 0 E 1， E2 ， 0 w pl 2 0 e2 0 d1 U 当 2 时， ， ， ， 。 0 w 0 E 0 p 0 E e1 1 l1 2 d2
4-5 导电介质的损耗
在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产 生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断
补给，以维持恒定的电流。
dl
设在恒定电流场中，沿电流方向取
J dS
U
一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体，
如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，dt 时间内 有 dq电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为
又知单位长度内同轴线的电容 C1
EM04恒定电流场概述
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
第四章 恒定电流场
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
1、电流
2、电动势
3、恒定电流场 4、恒定电流场的边界条件 5、导电介质的能量损耗 6、恒定电流场与静电场的比拟 7、恒定电流场的应用
2
1、电流 恒定电流场：导体中的电子维持连续不断的定 向移动，并具有恒定的电场强度。
J E
1、电流
有些金属具有很大的σ数值，导电性很好， 被称为良导体。在很多情况下良导体中的电场 强度非常小，可以近似被看作是理想导体。 某些绝缘体的σ数值非常小，它们的导电性 能非常差，有时候可以近似被看作是理想介质。
9
1、电流
运流电流的电流密度并不与电场强度成正比， 而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能 不同。可以证明运流电流的电流密度J与运动速 度v的关系为
b
b
U
0
R
I
2 L
13
2、电动势 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程。
在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极 板P，负电荷不断地移向负极板N。 极板上的电荷在外源中形成电场 E ，其方向由正极 板指向负极板。 极板上电荷产生的电场力阻止 电荷移动，一直到该电场力等于非 静电力时，电荷运动方才停止，极 板上的电荷也就保持恒定。 既然外源中的非静电力表现为 对于电荷的作用力，因此，这种非 静电力是由外电场产生的，以 E′ 当 E =-E′ 时 ， 表示。
恒定电流场中的电场强度由外加电压产生， 可以存在于导体中。
静电场中的电场强度由静止电荷产生，不可以 存在于导体中。
3
1、电流 电流的分类：
《电磁场理论》第四章 恒定电场1
I
u r r u r J (r ) d S
S
（4.4）
上述电流密度 J 用来描述电流在某体积内流动的情况，所以称为体电流密度。 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，如图4.1.2所示，则称为面电流。任意 一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位
u r
1
1 n 2
2
n
（4.21） （4.22）
u r
1 2
若界面为电介质和导体的交界面，因介质中各点 J ＝ 0 ，由 J n 的连续性，则在导体一 侧，有
Jn 0
（4.23） (4.24)
n
0
120
设分界面两侧的电场线与法线 n 的夹角分别为 1 , 2 ， 如图4.4.1， 由 （4.19） 和 （4.20） 可得
i ( t ) lim q t dq dt
（4.1）
t 0
电流的单位为 A （安培） 。若电荷流动的速度不随时间改变，则有
t 0
lim
q t
dq dt
I (恒 定 值 )
（4.2）
这种情况下的电流称为恒定电流。 电流在穿过任一截面时，在该截面上有确定的分布和方向，电流强度并不能描述电 流在电流场中的分布情况，而电流产生的场 与电流的分布有关。从场的观点来看，电流 是一个通量，它并没有说明电流在导体内某 一点的分布情况，为了研究导体内不同点的 电荷运动情况，需引入电流密度的概念。 如图4.1.4所示，在垂直于电荷流动的方 向取一个面积元 S ，若流过 S 的电流为
J 0
（4.11）
这表明从任意封闭面穿出的恒定电流为 0，或者说恒定电流场是一个无散场。
u r r u r J (r ) d S
S
（4.4）
上述电流密度 J 用来描述电流在某体积内流动的情况，所以称为体电流密度。 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，如图4.1.2所示，则称为面电流。任意 一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位
u r
1
1 n 2
2
n
（4.21） （4.22）
u r
1 2
若界面为电介质和导体的交界面，因介质中各点 J ＝ 0 ，由 J n 的连续性，则在导体一 侧，有
Jn 0
（4.23） (4.24)
n
0
120
设分界面两侧的电场线与法线 n 的夹角分别为 1 , 2 ， 如图4.4.1， 由 （4.19） 和 （4.20） 可得
i ( t ) lim q t dq dt
（4.1）
t 0
电流的单位为 A （安培） 。若电荷流动的速度不随时间改变，则有
t 0
lim
q t
dq dt
I (恒 定 值 )
（4.2）
这种情况下的电流称为恒定电流。 电流在穿过任一截面时，在该截面上有确定的分布和方向，电流强度并不能描述电 流在电流场中的分布情况，而电流产生的场 与电流的分布有关。从场的观点来看，电流 是一个通量，它并没有说明电流在导体内某 一点的分布情况，为了研究导体内不同点的 电荷运动情况，需引入电流密度的概念。 如图4.1.4所示，在垂直于电荷流动的方 向取一个面积元 S ，若流过 S 的电流为
J 0
（4.11）
这表明从任意封闭面穿出的恒定电流为 0，或者说恒定电流场是一个无散场。
第四章 恒定电流场
dI = J ⋅ dS
那么， 那么，穿过任一截面 S 的电流 I 为
I = ∫ J ⋅ dS
S
此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。 此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。 通量
在外源的作用下， 在外源的作用下，大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该 成正比， 点的电场强度 E 成正比，即
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失， 由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不 断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此， 断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为 了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。 当达到动态平衡 动态平衡时 极板上的电荷分布保持不变。这样， 当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极 恒定电场， 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场 板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部 保持 E = − E ′ 在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电 ， 流。 注意，极板上的电荷分布虽然不变， 注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此， 是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的， 种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外 驻立电荷 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。 源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
外 源
既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此， 既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认 为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的， 为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然 定义为对于单位正电荷的作用力， 表示。 定义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷 表示 移向正极板，负电荷移向负极板，因此， 移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指 向正极板。可见， 向正极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场 E 的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向 的方向恰好相反。 时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。 外源中合成电场为零，电荷运动停止。 若外源的极板之间接上导电媒质， 若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒 质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。 质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导 致极板上电荷减少， 小于外电场， 致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场， 外电场又使外源中的正负电荷再次移动， 外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新 的正电荷，向负极板补充新的负电荷。 的正电荷，向负极板补充新的负电荷。
第4章 恒定电流场
求得
E1
=
2γ γ1 +
2
γ
2
U d
E2
=
2γ 1 γ1 +γ
2
U d
交界面上面电荷密度为
σ
=
D2n
− D1n
= ε2E2
− ε1E1
=
2(ε2γ1 − ε1γ 2 ) U γ1 +γ2 d
只有当 ε2γ1 = ε1γ 2
，即
ε2 = γ2 ε1 γ1
时，媒质分解面上
无集聚电荷。
例2 设平行双输电线间距 d=50cm，电压U=100V，
折射定律
tanα1 = γ 1 tanα2 γ 2
电流线的折射
这一章介绍了太多的定律，如果感到增加了学习的难 度，就忘掉它们。物理本质才是最重要的东西！
基本方程
• 良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 γ1 远大
于 γ2，则
E1n
=
γ2 γ1
E2n
~
0
⇒
J1n
~
0
材料
γ/S·m-1
∫V
ρdV
或
v∫ S
J
⋅ dS
=
−
dq dt
物理意义：穿出闭合面的电流等于单位时间内该体
积中电荷的减少量。电荷守恒定律。
电荷守恒定律
v∫ S
J
⋅ dS
=
−
dq dt
当所有场量的分布都不随时间变化（即直流问题）， 有
v∫S J ⋅ dS = 0
或
∇⋅J ห้องสมุดไป่ตู้0
——恒定电场之散度方程，电流连续性原理。
第四章恒定电流
第四章
恒定电场
基本概念: 电介质中的静电场 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场 基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方 程 边值问题
E 的旋度边界条件电位一般解法电导与接地电阻
图 4.0.2
恒定电场的知识结构框图
特殊解(静电比拟 )
4.1 导电媒质中的电流 4.1.1电流强度
例4.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布.
γ 2 = γ = 10 2 s / m . 解:a ) 媒质1是良导体,γ 1 = 5 × 10 s / m ,媒质2是不良导体, 土壤
7
由折射定理得
tan α tan α
1 2
=
γ γ
1 2
→ ∞ ,则 α 2 ≈ 0
它表明,只要 α1 ≠
π
2
,电流线垂直于良导体表面穿出,良导体表面近似为等位面.
恒定电场是无源无旋场.
4.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ E dl = 0 ∫ J dS = 0
L S
E1t = E2t J1n = J2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的, 电流密度法向分量是连续的. 折射定律为
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图4.3.1
电流线的折射
1 2 = 2 2 =0 ρ φ
2
φ =0 = 0 , φ =θ = U0
方程通解为
= C1φ + C2 ,代入边界条件,可得
U0
电位函数 = (
图4.5.2 弧形导电片
θ
)φ ,
E = =
U eφ = 0 eφ ρφ ρθ
恒定电场
基本概念: 电介质中的静电场 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场 基本物理量
J
欧姆定律
J 的散度
基本方 程 边值问题
E 的旋度边界条件电位一般解法电导与接地电阻
图 4.0.2
恒定电场的知识结构框图
特殊解(静电比拟 )
4.1 导电媒质中的电流 4.1.1电流强度
例4.3.1 两种特殊情况分界面上的电场分布.
γ 2 = γ = 10 2 s / m . 解:a ) 媒质1是良导体,γ 1 = 5 × 10 s / m ,媒质2是不良导体, 土壤
7
由折射定理得
tan α tan α
1 2
=
γ γ
1 2
→ ∞ ,则 α 2 ≈ 0
它表明,只要 α1 ≠
π
2
,电流线垂直于良导体表面穿出,良导体表面近似为等位面.
恒定电场是无源无旋场.
4.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
∫ E dl = 0 ∫ J dS = 0
L S
E1t = E2t J1n = J2n
说明分界面上电场强度的切向分量是连续的, 电流密度法向分量是连续的. 折射定律为
tanα1 γ 1 = tanα2 γ 2
图4.3.1
电流线的折射
1 2 = 2 2 =0 ρ φ
2
φ =0 = 0 , φ =θ = U0
方程通解为
= C1φ + C2 ,代入边界条件,可得
U0
电位函数 = (
图4.5.2 弧形导电片
θ
)φ ,
E = =
U eφ = 0 eφ ρφ ρθ
恒定电流场
J = σE
恒定电场的两个基本量:E J
∫
e
E ⋅ dl = 0
• 恒定电场是无源无旋场。
静电场与恒定电场的对比： 恒定电场是在稳恒电流情况下，由分布不随时间变化但做恒定流动的电荷引起 的电场。 • 恒定电场中，导体内部场强不为零。不再是等位体，表面不是等位面，电 场强度不垂直于表面。这是与静电场的根本区别之一。 • 导体内电荷分布未知，不能用 ∇ ⋅ D = ρ 来求电场分布电流密度Ｊ容易确定， 故将Ｊ的散度方程和Ｅ的旋度方程作为恒定电场基本方程．金属的介电常数为 ε0。
② 媒质1是导体， (σ 1 ≠ 0) 媒质2是理想介质 (σ 2 = 0)
∵ σ2 = 0 J2 = 0 ∴ J2n = J1n = 0 ① 表明 1 导体表面是一条电流线,理想介质中无 传导电流。
②
图2.3.2 导体与理想介质分界面
∵ E 1n =
J 1n
σ1
= 0
E2n =
J 2n
σ2
≠0
∴ D 2n − D1n = ε 2 E 2 n= ρ s
欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明 (微分式)
J =σE
σ=
1
ρ
式中 σ 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。ρ的单位 ·m 恒定电流与恒定电场相互依存。电流J与电场E方向一致。 • 电路理论中的欧姆定律由它积分而得，即
(积分式) (微分式) (积分式)
U = IR
p =J⋅E
§4.3 分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件 推导方法与静电场相同
∫ E ⋅ dl = 0 ∫ J ⋅ dS = 0
L S
⇒ E1t = E2t ⇒ J1n = J2n
第四章 恒定电流场
dI = J ⋅ dS
3
电磁场与电磁波
恒定电流场
穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通 量， 即
I = ∫ J ⋅ dS
S
大多数导电介质中 某点的传导电流密度J 与该 大多数导电介质中，某点的传导电流密度 点的电场强度 E 成正比，即
J = σE
式中， σ 称为电导率，单位为 S/m 。 上式又称为欧姆定律 U = IR 的微分形式。
10
电磁场与电磁波
恒定电流场
注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的 电荷并不是静止的 它们是在不断地更替中保持分 电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分 布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。
11
电磁场与电磁波
恒定电流场
\ ⊕ E \ ⊕ ⊕ 导电介质 \ \ ⊕ \ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ \ \ \ E\ \ N
外 源
外电场由负极板 负极 N 到正极板 极 P 的线积分称为 分 外源的电动势，以e 表示，即
e=∫
P N
E ′ ⋅ dl
12
电磁场与电磁波
恒定电流场
达到动态平衡时，在外源内部 式又可写为
e = −∫
P N
， ′ 所以上 E = −E
E ⋅ dl
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的 静电场一样 也是一种保守场 因此 静电场一样，也是一种保守场。因此，
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
3
电磁场与电磁波
恒定电流场
穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通 量， 即
I = ∫ J ⋅ dS
S
大多数导电介质中 某点的传导电流密度J 与该 大多数导电介质中，某点的传导电流密度 点的电场强度 E 成正比，即
J = σE
式中， σ 称为电导率，单位为 S/m 。 上式又称为欧姆定律 U = IR 的微分形式。
10
电磁场与电磁波
恒定电流场
注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的 电荷并不是静止的 它们是在不断地更替中保持分 电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分 布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。
11
电磁场与电磁波
恒定电流场
\ ⊕ E \ ⊕ ⊕ 导电介质 \ \ ⊕ \ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ \ \ \ E\ \ N
外 源
外电场由负极板 负极 N 到正极板 极 P 的线积分称为 分 外源的电动势，以e 表示，即
e=∫
P N
E ′ ⋅ dl
12
电磁场与电磁波
恒定电流场
达到动态平衡时，在外源内部 式又可写为
e = −∫
P N
， ′ 所以上 E = −E
E ⋅ dl
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的 静电场一样 也是一种保守场 因此 静电场一样，也是一种保守场。因此，
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
电磁学第四章恒定电流和电路
dq en dS u dt
J enu
铜导线一般 n～1028m-3 ，u～0.15mm/sec 所以，电流密度大小为J～104 库/秒米2。
6
4. I 与 J 的关系：
通过导体中任意截面 S的电流 强度为：
I
导体中各点的 J 可以有不同的量值和方向，它是空
电流密度矢量的通量等于该面内 电荷量的减少率. 物理实质：电荷守恒定律. 3.恒定电流和恒定电场
S
要在导体中维持恒定电流，必须在导体内建立 dq 一个不随时间变化的恒定电场.这就要求激发 dt 0 电场的电荷分布不随时间变化，即
9
电流稳恒条件
J dS 0
S
上式表明，形成恒定电流时，在导体内从任一闭合 曲面流入的电荷量等于流出的电荷量. 恒定电场 激发电场的电荷分布不随时间变化，所建立 起的电场也不随时间变化，称为恒定电场. 讨论: ①稳恒的含义是指物理量不随时间改变. 稳恒条件可说成电荷分布不随时间变化，而并不意 味着电荷不能运动. 形成恒定电流的电荷处于宏观的定向运动状态之中.
电流线上每一点的切线方向就是 的方向，电流线的疏密表示它 J 的大小。 J 即| | 电流线的疏密度。
根据电荷守恒，在有电流分布的空间作一闭合 曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于 曲面内电量变化速率的负值。
8
2.电流连续性方程
dq J dS dt S
§4.4 电动势和全电路欧姆定律
4.4.1 非静电力
稳恒电流线必然是闭合的。然而仅有静电场不可能实现稳恒 电流。因为静电场的一个重要性质是
E dl 0
L
即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。若电场力将电 荷从一点移到另一点做正功，电势能减小，则从后一位置 回到原来位置电场力做负功，电势能增加。由于导体存在 电阻，电场移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热， 这就不可能使电荷再返回电势能较高的原来位置，即电流 线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
第4章恒定电流场
i lim
t 0
t
dt
V S l
流动方向
体电流密度
I dI J lim S 0 S dS
假定体电荷密度为 ρV 的电荷以速度 v 沿某方向运动， 如左图所示。设在 垂直于电荷流动的 方向上取一面积元 ΔS ， 若 流 过 ΔS 的 电流为ΔI，则定义 矢量 J的大小为
S
l
面电流密度
如果电流只分布于导 电媒质的表面，可以 用面电流密度来描述， 如右图所示。在垂直 于电荷流动的方向上 取 一 线 元 Δl ， 若 流 过 线 元 Δl 的 电 流 为 ΔI ， 则定义面电流密度矢 量 （ Current Areal Density Vector）JS的大 小为
I dI J S lim l 0 l dl
设在恒定电流场中，沿电
dl
U
J
流方向取一个长度为 dl，端面
dS
为 dS 的小圆柱体，如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用
下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
vv d W d q E d l E d q d l
电场损失的功率 P 为
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
当1 0 时， E1
U ，E2 0 ， we2 0，pl 2 0。 d1 U 。 当 2 0 时，E1 0 ， we1 0 ， pl1 0， E2 d2
方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2。 矢量J称为电流密度矢量(Current Density Vector)。 因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般 称之为体电流密度。显然，电荷流动的空间是一 个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流 量为 v v
t 0
t
dt
V S l
流动方向
体电流密度
I dI J lim S 0 S dS
假定体电荷密度为 ρV 的电荷以速度 v 沿某方向运动， 如左图所示。设在 垂直于电荷流动的 方向上取一面积元 ΔS ， 若 流 过 ΔS 的 电流为ΔI，则定义 矢量 J的大小为
S
l
面电流密度
如果电流只分布于导 电媒质的表面，可以 用面电流密度来描述， 如右图所示。在垂直 于电荷流动的方向上 取 一 线 元 Δl ， 若 流 过 线 元 Δl 的 电 流 为 ΔI ， 则定义面电流密度矢 量 （ Current Areal Density Vector）JS的大 小为
I dI J S lim l 0 l dl
设在恒定电流场中，沿电
dl
U
J
流方向取一个长度为 dl，端面
dS
为 dS 的小圆柱体，如图所示。
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用
下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面， 那么电场力作的功为
vv d W d q E d l E d q d l
电场损失的功率 P 为
2 p E , l 1 1 1
1 2 w E e 2 2 2 2
2 p E l 2 2 2
两种介质中单位体积的功率损耗分别为 两种特殊情况值得注意：
当1 0 时， E1
U ，E2 0 ， we2 0，pl 2 0。 d1 U 。 当 2 0 时，E1 0 ， we1 0 ， pl1 0， E2 d2
方向规定为正电荷的运动方向，单位为A/m2。 矢量J称为电流密度矢量(Current Density Vector)。 因为它描述电流在体积空间中流动的情况，一般 称之为体电流密度。显然，电荷流动的空间是一 个电流密度矢量场，场中任意面积上通过的电流 量为 v v
4 恒定电流场
恒定电场产生恒定磁场的源是恒定电流 而产生恒定电场的源只能是外加电源。
电流密度电流密度定义电流密度与电 荷密度及电荷 运动速度的关 系欧姆定律的微 分形式恒定电流场电流场方程电荷守恒定律 电流连续性 原理静电比拟 功率损耗 电阻计算 边界条件基本概念：• 电介质中的静电场• 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场• 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电 场• 恒定电流场与恒定电场相互依存，电流J与电场E方向一致恒定电 源恒定电 荷恒定电 场恒定电 流• 首先介绍维持恒定电场的电源及其局外场强； • 然后重点讨论电源外导电媒质中恒定电流场的基 本方程微分形式∇×E=0和∇⋅J=0； • 引入恒定电场电位及其拉普拉斯方程∇2ϕ=0； • 通过静电比拟的方法介绍镜像法、部分电导和接 地电阻。
4.1 导电媒质中的电流电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即i = lim (Δq Δt) = dq dt Δt → 0单位: A （安培） 电流方向: 正电荷的流动方向形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷 • 存在电场说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不 同的。
在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流 的分别状态。
1. 体电流(Volume Current)ΔS电荷在某一体积内定向运动所形en成的电流称为体电流，用电流密度矢量 J 来描述。
J=enΔi lim ΔS →0 ΔS=endi dSJ体电流密度矢量单位：A/m2 。
正电荷运动的方向流过任意曲面S 的电流为电流是积分量i = ∫S J ⋅ dS2. 面电流(Surface Current)电荷在一个厚度可以忽略的 薄层内定向运动所形成的电流称en et JS为面电流，用面电流密度矢量 JS来描述其分布JS=etlimΔl →0Δi Δl=etdi dlΔldh0→0面电流密度矢量单位：A/m。
第4章 恒定电流场(一)
J1n ~ 0 E2t E1t J1t / 1 ~ 0
良导体表面内侧，电流法 向分量很小，电流近似平 行于良导体表面流动。
E1t E1n E2t E2 n
良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导 体表面。 恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对 于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不 大，其表面可以近似视为等位面。
电位 的媒质交界面条件
E1t E2t
J1n J 2 n
1 2
1 2 1 2 n n
恒定电场中，电位函数 的边值问题与静电场中 的边值
问题完全相似，揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的
方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。
第 4 章 恒定电场
求得
2 2 U E1 1 2 d
2 1 U E2 1 2 d
交界面上面电荷密度为
2 2 只有当 2 1 1 2 ，即 时，媒质分解面上 1 1
无集聚电荷。
2( 2 1 1 2 ) U D2 n D1n 2 E2 1E1 1 2 d
E2t E1t
折射定律
J E
E /J tan 1 J1t / J1n 1 1t 1n 1 tan 2 J 2t / J 2n 2 E2t / J 2n 2
良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大 于 2，则
2 E1n E2 n ~ 0 J1n ~ 0 1
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场
•
恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟
良导体表面内侧，电流法 向分量很小，电流近似平 行于良导体表面流动。
E1t E1n E2t E2 n
良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导 体表面。 恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对 于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不 大，其表面可以近似视为等位面。
电位 的媒质交界面条件
E1t E2t
J1n J 2 n
1 2
1 2 1 2 n n
恒定电场中，电位函数 的边值问题与静电场中 的边值
问题完全相似，揭示了相同的物理规律,因此可以使用相同的
方法进行研究。这就是下节介绍的应用广泛的静电比拟。
第 4 章 恒定电场
求得
2 2 U E1 1 2 d
2 1 U E2 1 2 d
交界面上面电荷密度为
2 2 只有当 2 1 1 2 ，即 时，媒质分解面上 1 1
无集聚电荷。
2( 2 1 1 2 ) U D2 n D1n 2 E2 1E1 1 2 d
E2t E1t
折射定律
J E
E /J tan 1 J1t / J1n 1 1t 1n 1 tan 2 J 2t / J 2n 2 E2t / J 2n 2
良导体与不良导体的交界面
如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大 于 2，则
2 E1n E2 n ~ 0 J1n ~ 0 1
• 静电场便于计算—— 通过静电比拟计算恒定电场
•
恒定电场便于实验——某些静电场问题可用恒定电流场模拟
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电导率 (S/m) 4
10 3
10 5
10 11
10 12
1 . 57 × 10 7
10 7
10 15
在理想导电体中能够存在恒定电场? 在理想导电体中能够存在恒定电场?
5
电磁场与电磁波
恒定电流场
运流电流的电流密度不与电场强度成正比, 运流电流的电流密度不与电场强度成正比,而且电流 密度的方向与电场强度的方向也可能不同. 密度的方向与电场强度的方向也可能不同. 可以证明
14
电磁场与电磁波
恒定电流场
3.3. 恒定电流场
设驻立电荷的体密度为 ρ ,则
q = ∫ ρ dV
那么
∫
S
J dS =
q ρ = ∫ dV V t t
V
ρ =0 恒定电流场的电荷分布与时间无关, 恒定电流场的电荷分布与时间无关,即 t
∫
S
J dS = 0
电流密度通过任一闭合面的通量为零. 电流密度通过任一闭合面的通量为零. 可见电流线是连续闭合的, 可见电流线是连续闭合的,这一特性称为电流 连续性原理. 连续性原理.
8
电磁场与电磁波
恒定电流场
⊕ E ⊕ ⊕ 导电介质 ⊕ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ N E
若外源的极板之间接上导电介 质,正极板上的正电荷通过导 电介质移向负极板;负极板上 电介质移向负极板; 的负电荷通过导电介质移向正 极板. 极板.
外 源
因而导致 E < E ′ ,外电场又使外源中的电荷 再次移动,外源不断地向正极板补充新的正电荷, 再次移动,外源不断地向正极板补充新的正电荷, 向负极板补充新的负电荷. 向负极板补充新的负电荷.
J=ρv
介质的导电性能也有均匀与非均匀, 介质的导电性能也有均匀与非均匀,线性与非线性 以及各向同性与各同异性等特点, 以及各向同性与各同异性等特点,这些特性的含义 与前相同. 与前相同.
6
电磁场与电磁波
恒定电流场
3.2. 电动势
首先讨论开路情况下外源内部的作用过程. 首先讨论开路情况下外源内部的作用过程. 开路情况下外源内部的作用过程
10
电磁场与电磁波
恒定电流场
注意,极板上的电荷分布虽然不变, 注意,极板上的电荷分布虽然不变,但是极板上的 电荷并不是静止的. 电荷并不是静止的.它们是在不断地更替中保持分 布特性不变,因此,这种电荷称为驻立电荷. 布特性不变,因此,这种电荷称为驻立电荷. 驻立电荷
11
电磁场与电磁波
恒定电流场
⊕ E ⊕ ⊕ 导电介质 ⊕ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ N E
ε 1σ 1 ε 2σ 2
d1 d2
直,求得
σ 1E1 = σ 2 E2
又
E1d1 + E2 d 2 = U
求出两种介质中的电场强度分别为 σ2 σ1 E1 = U E2 = U d1σ 2 + d 2σ 1 d1σ 2 + d 2σ 1
22
电磁场与电磁波
恒定电流场
两种介质中电场储能密度分别为
1 we1 = ε 1 E12 , 2 1 2 we2 = ε 2 E2 2
4.5. 导电介质的损耗
在导电介质中, 在导电介质中,自由电子移动时要与原子晶 格发生碰撞,结果产生热耗. 格发生碰撞,结果产生热耗.
dl
沿电流方向取出一个圆柱体, 沿电流方向取出一个圆柱体,
dS
σ
J U
如图所示.令圆柱体的端面分 如图所示. 别为两个等位面. 别为两个等位面.
电荷自左端面移至右端面, 在d t 时间内有 d q电荷自左端面移至右端面, 那么电场力作的功为
电磁场与电磁波
恒定电流场
第四章 恒定电流场
主 要 内 容 电流,电动势,电流连续性原理, 电流,电动势,电流连续性原理,能量损耗 1. 电流 2. 电动势 3. 恒定电流场 4. 恒定电流场边界条件 5. 导电介质的损耗 6. 恒定电流场与静电场比拟
1
电磁场与电磁波
恒定电流场
4.1. 电流
分类:传导电流与运流电流. 分类:传导电流与运流电流. 传导电流是导体中的自由电子(或空穴) 传导电流是导体中的自由电子(或空穴)或 者是电解液中的离子运动形成的电流. 者是电解液中的离子运动形成的电流. 运流电流是电子,离子或其他带电粒子在真空 运流电流是电子, 或气体中运动形成的电流. 或气体中运动形成的电流.
⊕ E ⊕ ⊕ 导电媒质 ⊕ ⊕ P ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ N E
在外源中非静电力作用下, 在外源中非静电力作用下, 正电荷不断地移向正极板 P ,负电荷不断地移向负 极板 N. . 极板上的电荷在外源中形 成电场 E ,其方向由正极 板指向负极板. 板指向负极板.
外 源
7
电磁场与电磁波
恒定电流场
P
x
φ
a b 0
当 φ = 时,电位 2 = U .
π 2
有关, 由于电位 仅与角度φ 有关,因此电位满足的 方程式为 其通解为
24
d 2 =0 2 dφ
= C1φ + C 2
电磁场与电磁波
恒定电流场
利用边界条件, 利用边界条件,求得 电流密度 J 为
=
2U φ π
2σU J = σE = σ = eφσ = eφ rφ πr π 由 φ = 的端面流进的电流 I 为 2 2σ U t b 2σU ln I = ∫ J dS = ∫ eφ (eφ tdr ) = S S π πr a
dI = J dS
3
电磁场与电磁波
恒定电流场
穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通 量, 即
I = ∫ J dS
S
大多数导电介质中, 大多数导电介质中,某点的传导电流密度J 与该 成正比, 点的电场强度 E 成正比,即
J = σE
式中, 称为电导率, 式中, σ 称为电导率,单位为 S/m . 的微分形式. 上式又称为欧姆定律 U = IR 的微分形式.
2
J2
率损耗可以表示为
pl = E J
此式称为焦耳定律的微分形式 此式称为焦耳定律的微分形式
20
电磁场与电磁波 dl
恒定电流场
σ
J U
dS
设圆柱体两端的电位差为U,则 E = U .
dl
又知 J = I ,那么单位体积中的功率损失可表示为
dS
pl =
UI UI = dSdl dV
可见, 可见,圆柱体中的总功率损失为
2
电磁场与电磁波
恒定电流场
单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流, 单位时间内穿过某一截面的电荷量称为电流,以 I 表 电流 电流的单位为A(安培 . 安培). 示.电流的单位为 安培 因此, 因此,电流 I 与电荷 q 的关系为
I= dq dt
电流密度是一个矢量,以 J 表示.其方向为正电荷的 表示. 电流密度是一个矢量, 运动方向, 运动方向,大小为单位时间内垂直穿过单位面积的电 荷量. 荷量. 穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关 系为
已知恒定电流场方程的积分形式为
J
l
∫
量关系分别为
σ
dl = 0
∫
S
J dS = 0
由此导出边界两侧电流密度的切向和法向分
σ1
J1t
=
σ2
J 2t
J1n = J 2n
可见,电流密度的切向分量不连续, 可见,电流密度的切向分量不连续,但其法向 分量连续. 分量连续.
17
电磁场与电磁波
恒定电流场
σ1
15
电磁场与电磁波
恒定电流场
根据散度定理
∫
S
J dS = ∫
V
ρ dV t
J =
ρ t
上式为电荷守恒定律的微分形式. 上式为电荷守恒定律的微分形式. 对于恒定电流场
∫
S
J dS = 0
J =0
恒定电流场是无散的. 恒定电流场是无散的.
16
电磁场与电磁波
恒定电流场
4.4. 恒定电流场边界条件
dW = dq E d l = E dqd l
19
电磁场与电磁波
恒定电流场
电场损失的功率为
P= dW dq = E dl = EIdl = EJdSdl = EJdV dt dt
那么, 那么,单位体积中的功率损耗为
σ 的方向不同时, 当 J 和 E 的方向不同时,单位体积中的功
pl = EJ = σE =
∫
∫
13
l
E dl = 0
那么, 考虑到 J = σE ,那么,上式可写成
J
l
σ
dl = 0
电磁场与电磁波
恒定电流场
对于均匀导电介质, 对于均匀导电介质,上式变为
∫
根据旋度定理
J
l
l
J dl = 0
∫
∫
σ
dl = 0
J × = 0 σ
×J =0
l
J dl = 0
可见,均匀导电介质中,恒定电流场是无 Nhomakorabea的. 可见,均匀导电介质中,恒定电流场是无旋的.
若 σ 2 = 0, 则 E1 = 0
E2 = U / d 2 we1 = 0 pl1 = 0
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电磁场与电磁波
恒定电流场
设一段环形导电介质,其形状及尺寸如图所示. 例2 设一段环形导电介质,其形状及尺寸如图所示. 计算两个端面之间的电阻. 计算两个端面之间的电阻.
y U t (r,φ) O r
选用圆柱坐标系. 解 选用圆柱坐标系.设两个端 面之间的电位差为U,且令 当 φ = 0 时,电位 1 = 0 .
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕