高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议

高中数学必修2《立体几何初步》教材分析和教学建议

2016/10/23

一、立体几何在近几年高考中分布

近几年客观题重点在于三视图面积或体积计算及简单判断，一般有2小题，难度中等稍多（如2016等出在第6题），但有时也比较靠后（如2014出在第12题），解答题位居第2,3题的位置，包含推理证明及计算，证明主要是平行和垂直关系，利用平行证明共面（2008四川）、证异面直线（2009辽宁）比较少，全国1卷近几年还没出过，理科计算以求角居多，文科计算比较多考体积或点面距离。

注意，现在文科也考求角了，今年第11题

2016：6三视图，体积面积，11，异面直线所成角，（理）18证面面垂直，计算二面角，五面体，（文）18证中点，体积，三棱锥

2015：6体积，11三视图，面积，（理）18证面面垂直，计算异面直线所成角，线面（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥

2014：12三视图，棱长，（理）19证相等，计算二面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算棱柱高，三棱柱

2013：6体积，相接，8三视图，体积，（理）18证线线垂直，计算线面角，三棱柱（文）19证线线垂直，计算体积，三棱柱

2012：7三视图，体积，11与球相接，体积，（理）19证线线垂直，计算二面角，三棱柱（文）19证面面垂直，计算体积，三棱柱

2011：6三视图，判断，15与球相接，体积，（理）18证线线垂直，计算二面角，四棱锥（文）18证线线垂直，计算棱锥高，四棱锥

2010：10与球相接，面积，14三视图，判断，（理）18证线线垂直，计算线面角，四棱锥（文）18证面面垂直，计算体积，四棱锥

二、对教材重点内容的处理建议

1.对三视图的教学建议

三视图是年年都考的内容，由三视图还原直观图是解题的第一步，也是很关键的一步，有些年份容易有些年份难，这部分内容初中也学过一下，不要以为学生都会，掉以轻心。

三视图还原直观图，可以考虑以一些简单的几何体为原形，从三个方向切割的方法确定，三个图形从简到繁构图。如

（2016广州二测）

(10)如图，网格纸上的小正方形的边长为1

体的体积是

(A) 4 + 6π

(B) 8 + 6π

(C) 4 + 12π

(D) 8 + 12π

【答案】B

我们按正视图→侧视图→

（2014全国1理）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 (A) 6 2 (B) 4 2 (C) 6 (D) 4 【答案】C

【解析】如图所示，原几何体为三棱锥 D －ABC ，

其中 AB = BC = 4，AC = 4 2 ，DB = DC = 2 5 ，DA =

(42) 2 + 4 = 6，故最长的棱的长度为 DA = 6，选C

我们按俯视图 → 侧视图 → 正视图的顺序切割

切割是红色部分，切割后的几何体是蓝色部分，分别是从上到下切，从左到右切，从前到后切（两次，有一次是斜切，先切大的三角形，再修整出小三角形）

（2016广州一测）

(11)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为

(A) 8 + 8 2 + 4 6 (B) 8 + 8 2 + 2 6 (C) 2 + 2 2 + 6

(D) 12 + 22 + 64

【答案】A

我们按侧视图 → 俯视图 → 正视图的顺序切割

切割是红色部分，切割后的几何体是蓝色部分，分别是从左到右切，从上到下切，从前到后切（两次，有一次是斜切，先切大的三角形，再修整出小三角形）

2. 对平行、垂直关系的教学建议

(1) 平行关系

证明平行关系，线线平行是基础，要熟悉平面几何证明两线平行的相关定理，如中位线定理，平行四边形性质定理，对于立体几何的相关性质，也要熟悉。

利用中位线寻找平行关系

课本55页例1是思维比较简单，证明中点的连线就是该三角形中位线

例1．求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。

已知：空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。 求证：EF ∥平面 BCD

思维层次提高，需要构造三角形，确定其中位线，如课本55页练习2，这是比较典型的证明平行的例子。

练习2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1 的中点，试判断 BD 1 与平面 AEC 的位置关系，并说明理由.

注意中位线的找法，要证明或判断线面平行的线段为三角形底边（BD 1），条件中存在中点的线段为三角形的另一条边（DD 1），由刚才两条边可构成三角形（△BD 1D ），就可看到要寻找的平行线（恰为要证明的平面外线段BD 1的中位线EF ）

课本的例题练习还缺其它一些题型，需要补充

构造平行四边形寻找平行关系 例题：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和 A 1B 1的

中点，求证：MN ∥平面 AA 1C 1C

分析：这里的中点恰好是要证明的平行线端点，所以不能用上一题目找中位线的做法，

这里，要以中点所在线段的一半（一端点在所证平行平面上）（如MC ，也可以NA 1）与要证平行线段（MN ）为邻边构造平行四边形，第四个顶点为中位线的另一端点（R ）。

证明构成的四边形为平行四边形要用第三条线段传递平行相等关系（如这里是B 1C 1） 本题型与上一题型的主要区别是中点是否是要证明的平行线段的端点。 【解析】分别取 B 1C 1、A 1C 1中点 P 、R ，连 NP 、NR 、CR 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和 A 1B 1的中点， ∴ NR ∥ PC 1 ∥ MC ∴ 四边形 MNRC 为 □ ∴ MN ∥CR

∵ MN ⊄ 平面 AA 1C 1C ，CR ⊂ 平面 AA 1C 1C ∴ MN ∥平面 AA 1C 1C

B

C

N

A 1

B 1

C 1

M

A P

R B

C

N A 1

B 1

C 1

M

A C A 1

C 1 D

C

A 1

C 1 D