机械制图的几种直纹曲面
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机械制图 第四章 常用曲线与曲面
面垂直线，这样在平行于轴线的投影面
上的投影，即为左右、前后中上下极限 位置素线的投影；在垂直于轴线投影面 上的投影为一个或多个同心圆，其中最 大的一个圆叫赤道圆，最小的一个圆叫
喉圆。
三、回转面上的点
作辅助线求回转面上的点。
a '•
(a1 ')
•
a''
a1 ' '
§4-4 螺旋线与螺旋面
一、螺旋线 螺旋线是空间曲线。以圆柱为导面时形成圆柱螺 旋线，以圆锥面或圆弧面为导面时形成圆锥螺旋线或 圆弧面螺线。
2、圆的投影一般为椭圆。当圆所在的平面为投 影面平行面时，它在该投影面的投影仍为圆。
O'
X
O
另外的投影为平行投影轴的 直线，长度等于圆的直径。
当圆垂直投影面时，它在该面的投影为倾斜于投影轴的直线， 长度等于圆的直径。另外的投影为椭圆，椭圆由它的长短轴决 定，长轴是投影面垂直线，短轴是投影面平行线，均过圆心。
时，对于某一投影来 说，圆上只有一对相 互垂直的直径投射后 为椭圆的一对相互垂 直的共轭直径：长、 短轴。
长轴平行投影面， 反映实长（等于圆的 直径），短轴与长轴 垂直（为最大斜度 线），实长等于圆的 直径，投影长由作图 来决定。
D
P
c
b
5、椭圆的投影一般还是椭圆，空间椭圆的长短轴在投射 后一般为投影椭圆的一对共轭轴。
O'
X
O
处于特殊位置时圆的投影与作图方法 c 1 a o d
铅垂面上圆的 b 投影可以利用换面 法求出圆实形。
2
X
Dcosβ1 a
β1
cd a1 o1 c1 源自11bd121
b1
机械制图的几种直纹曲面
直纹曲面具有丰富的几何特性和优美的造型，能够实现各种 不同的设计需求。通过合理地选择和设计直纹曲面，可以提 高零件的强度、刚度和稳定性，同时也可以提高产品的外观 品质和使用性能。
直纹曲面未来的发展趋势
随着计算机技术的发展，直纹曲面技术的应用范围将越来 越广泛。未来，直纹曲面技术将与计算机辅助设计、计算 机辅助制造等软件进行更深入的集成，实现更加高效、精 确的设计和制造。
详细描述
圆柱面是一种常见的直纹曲面，其特点是具有旋转对称性。在机械制图中，圆 柱面广泛应用于各种机械零件的绘制，如轴、轮毂、凸轮等。圆柱面的绘制关 键是确定圆柱面的半径和高度。
圆锥面
总结词
圆锥面是由一条直母线沿着两条固定的曲线（即导线和副导线）移动形成的曲面 。
详细描述
圆锥面也是一种常见的直纹曲面，其特点是具有轴对称性。在机械制图中，圆锥 面常用于表示钻头、车刀等机械零件的形状。绘制圆锥面时，需要确定圆锥面的 顶点和底面半径。
抛物面
总结词
抛物面是由一条直母线沿着一条曲线 （即导线）移动，同时母线本身还绕 着另一条直线（即副导线）旋转形成 的曲面。
详细描述
抛物面在机械制图中也有广泛应用， 如用于表示反射镜、天线等零件的形 状。抛物面的绘制需要确定导线的形 状和位置，以及母线旋转的轴线。
双曲面
总结词
双曲面是由两条交叉的固定曲线（即导线和副导线）形成的 曲面。
通过直纹曲面，可以精确地描 述建筑结构的几何特征，为结 构分析和优化提供基础数据。
在分析过程中，需要考虑建筑 结构的材料属性、受力情况和 稳定性等因素，选择合适的直 纹曲面进行分析。
航空航天领域的应用
直纹曲面在航空航天领域中应用 广泛，如飞机机翼、火箭发动机
直纹曲面未来的发展趋势
随着计算机技术的发展，直纹曲面技术的应用范围将越来 越广泛。未来，直纹曲面技术将与计算机辅助设计、计算 机辅助制造等软件进行更深入的集成，实现更加高效、精 确的设计和制造。
详细描述
圆柱面是一种常见的直纹曲面，其特点是具有旋转对称性。在机械制图中，圆 柱面广泛应用于各种机械零件的绘制，如轴、轮毂、凸轮等。圆柱面的绘制关 键是确定圆柱面的半径和高度。
圆锥面
总结词
圆锥面是由一条直母线沿着两条固定的曲线（即导线和副导线）移动形成的曲面 。
详细描述
圆锥面也是一种常见的直纹曲面，其特点是具有轴对称性。在机械制图中，圆锥 面常用于表示钻头、车刀等机械零件的形状。绘制圆锥面时，需要确定圆锥面的 顶点和底面半径。
抛物面
总结词
抛物面是由一条直母线沿着一条曲线 （即导线）移动，同时母线本身还绕 着另一条直线（即副导线）旋转形成 的曲面。
详细描述
抛物面在机械制图中也有广泛应用， 如用于表示反射镜、天线等零件的形 状。抛物面的绘制需要确定导线的形 状和位置，以及母线旋转的轴线。
双曲面
总结词
双曲面是由两条交叉的固定曲线（即导线和副导线）形成的 曲面。
通过直纹曲面，可以精确地描 述建筑结构的几何特征，为结 构分析和优化提供基础数据。
在分析过程中，需要考虑建筑 结构的材料属性、受力情况和 稳定性等因素，选择合适的直 纹曲面进行分析。
航空航天领域的应用
直纹曲面在航空航天领域中应用 广泛，如飞机机翼、火箭发动机
机械制图工程曲线与曲面讲解
一、正螺旋面及其应用
3.正螺旋面的应用： 图示为由正螺旋面构成的螺旋推进器
二、斜螺旋面及其应用
1.斜螺旋面的形成：
一直母线沿曲导 线为圆柱螺旋线及直 导线为圆柱轴线运动， 且始终与轴线成相同 倾斜角度而形成的曲 面。●●来自●●●
● A6
●
●
●A5
A0●
A1●
A● 2
● A4 ●A3
二、斜螺旋面及其应用
2.斜螺旋面的作图：
作图步骤：
（1）分别用粗、细实线画出 螺旋线及导锥面的投影；
（2）将螺旋线及导锥面的一 个导程等分成相同的若干份； （3）用细实线将螺旋线及轴 线上的对应等分点相连构成 斜螺旋面的素线； （4）用粗实线画出直素线 正面投影的包络线，完成作 图。
二、斜螺旋面及其应用
3. 斜螺旋面的作图：
2.曲线的性质： (1)对于平面曲线
当曲线所在平面倾斜于投影面时，该投影为同性质的曲线； 当曲线所在平面平行于投影面时投影反映实形，垂直于投影面 时投影为一直线。
(2)对于空间曲线
其投影永远是曲线
三、圆的投影作图
3.圆的投影
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为 直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为圆或椭圆。
三、圆柱螺旋线的作图
螺旋线展开及螺旋升角α
圆柱螺旋线展开成一条直线
arctan(Ph / d )
§4-3 工程曲面
一、曲面的分类
1.按母线的形状可分为： 直线面： 母线为直线 曲线面： 母线为曲线
2.按曲面是否能无变形 地展成一个平面分为：
可展曲面： 直线面 不可展曲面： 曲线面
二、常见曲面的投影
S
直纹曲面文档
直纹曲面1. 前言直纹曲面是一种几何学概念，它由一组直线构成的曲面。
在数学和工程学中，直纹曲面具有重要的应用价值。
本文将介绍直纹曲面的定义、性质以及一些具体的应用。
2. 定义直纹曲面是由一组直线构成的曲面。
在三维空间中，如果存在一族直线使得这些直线在满足一定条件下可以构成一个曲面，则称这个曲面为直纹曲面。
3. 性质直纹曲面具有以下几个重要的性质：3.1 直纹曲面的方程直纹曲面的方程可以通过直线的参数方程得到。
假设一条直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct则直纹曲面的方程可以表示为：F(x,y,z) = (x - x0 - at)^2 + (y - y0 - bt)^2 + (z - z0 - ct)^2 = 0其中(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量。
3.2 直纹曲面的几何性质直纹曲面是一种光滑的曲面，具有连续的法向量和曲率。
根据直线的性质，直纹曲面上的每个点都存在唯一的切线和法线，这使得直纹曲面具有很好的几何性质。
3.3 直纹曲面的分类根据直线的形状和方向，直纹曲面可以分为不同的类型，例如直纹圆柱面、直纹抛物面、直纹双曲面等。
每种类型的直纹曲面都具有自己独特的几何形状和性质。
4. 应用直纹曲面在数学和工程学中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：4.1 曲面建模直纹曲面可以用于建模复杂的曲面形状。
通过选择合适的直线组合，可以构建出各种复杂的几何形状，如车身曲面、船体曲面等。
直纹曲面的建模方法可以简化建模过程，提高建模效率。
4.2 光学设计在光学设计中，直纹曲面广泛用于透镜、反射镜等光学元件的设计和分析。
通过优化直线的位置和方向，可以实现各种光学特性的需求，如聚焦、成像等。
4.3 机器人路径规划直纹曲面可以用于机器人路径规划中的轨迹生成。
通过将机器人的轨迹定义为直纹曲面，可以实现流畅的运动轨迹，并避免障碍物的干扰。
3.5 直纹面
下证整条直线 L( , ) 都在单叶双曲面 S上。
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 是直线 L( , ) 上任意一点，则有
1 1
x1 z1 1 ( )+ 1 (1 a c (1 y1 ) ( x1 1 1 b a
y1 )0 b z1 ) 0. c
L'( , ) x z ( )+ (1 a c : (1 y ) ( x b a y )0 b z ) 0, c
其中 , 取所有不全为零的实数。
（2）用类似的方法可证明双曲抛物面是直纹面。设 双曲抛物面的方程为
x2 y 2 2z p q
3.二次曲面中哪些是直纹面？ 二次柱面和二次锥面都是直纹面. 平面也是直纹面.
椭球面, 双叶双曲面和椭圆抛物面都不是直纹面。
剩下两种二次曲面：单叶双曲面和双曲抛物 面，我们现在来说明它们都是直纹面.
4.定理3.5.1 单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面. 证明: （1）设单叶双曲面 S 的方程为
x2 a
（3.5.9)
其中 , 取所有不全为零的实数。
显然，在直线族（3.5.9)中，两直线 L( , ) L(
1 1
2 ) 2,
当且仅当 (1 ,1 ) 与 (2 , 2 ) 成比例。所以直线
族（3.5.9)实际上只依赖于一个参数： 与 的比值。
上面已经证明了单叶双曲面 S上任意一点 M 0 在
3.5 直纹面
1, 柱面和锥面都是由直线组成的，这样的曲面 称为直纹面 2. 一条直线沿一条曲线按一定的方式运动所产生 的曲面称为直纹面 . 直纹面上的直线称为直母线, 那条曲线称为准线; 或者说一曲面S称为直纹面， 如果存在一族直线使得这一族直线中的每一条直 线全在S上；并且S上的每个点都在这一族直线中 的某一条直线上. 这样的一族直线称为S的一族直 母线.
3.5 直纹面
x y a + b = 2λ x y λ − =z a b
λ∈R
(5.9)
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(5.8) 满足方程(5.8) ( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(5.9) 满足方程(5.9)
直线簇
( x0 , y0 , z0 ) 在直线簇(5.9)的某一直线上 在直线簇(5.9) (5.9)的某一直线上
族中过点M 的直母线. 为λ族中过点M 的直母线
x z a + c λ 1 = −2 λ 2 y x zλ 1 = − − λ 2 a c
2
x y a −c
z
存在不全为的 λ1 , λ2 使 不全为0 Q λ1 , λ2 不全为0 ∴ λ1 ≠ 0
x z λ2 + = 2 − a c λ1 即 λ2 x y − − = z λ1 a c
x z + = 2λ a c x y = z λ − a b
证 双曲抛物面方程: x2 − y2 = 2 z (a > 0, b > 0) (5.8) 双曲抛物面方程:
a b
2
2
x y x y a + b − = 2z a b
M ( x0 , y0 , z0 ) ∈双曲抛物面
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线簇(5.6)的某一直线上 在直线簇(5.6)
单叶双曲面(5.1) (5.1)由直线簇 构成. ∴单叶双曲面(5.1)由直线簇 (5.6) 构成.
x z x z + − = 1 + y 1 − y a c a c b b 以 µ1 , − µ 2 为未知量的方程组 x z y x z + 1 − y a c a + c µ 1+ 1 − ( − µ 2 ) = 0 b b =0 y x − z y x z 1+ 1 + b µ1 + a − c ( −µ2 ) = 0 a c b
【最新精选】解析几何之直纹面
解析几何之直纹面在我们学习解析几何的过程中，其中二次曲面一共17种，在这17种的二次曲面中有一部分曲线有一个共同的特征，那就是他们都是由直线组成的，我们也把这样的曲面称为直纹面。
下面介绍一下直纹面。
定义：一曲面S 称为直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在S 上；并且S 上的每一个点都在这一族的某条直线上。
这样一族直线称为S 的一族直母线。
简单的说：由一族直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。
种类：在二次曲面中，很显然二次柱面与二次锥面为直纹面，另外通过学习我们知道单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面（下面会证明），其他的二次曲面就不是直纹面了。
证明：○1、单叶双曲面是直纹面证：单叶双曲面方程为：()()22222222222212211211111121,0x y z x z y a b c a c bx z x z y y a c a c b b x z y a c b x z y a c b λλλλλλ+-=⇔-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩………………不全为。
()()()121212112111011010x z x z y y a c a c b b x z y a c b y x z b a c x z y a c b y x z b a c x z a c λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇔=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇔-⎨⎛⎫⎛⎫⎪-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛+ ⎝⇔以，为未知量的方程组：有非零解。
存在不全为零的，使得22111y b x z y a c b λλλ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩成立。
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
2-7 直纹二次曲面
§7 直纹二次曲面
7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性
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结束
§7 直纹二次曲面
定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面.
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7.1 双曲抛物面的直纹性
容易看出, 对任何实数c, x y 平面 c 与S 的交线是直线 a b x y a b c lc : ; x y c( ) 2 z a b x y 平面 c 与S 的交线是直线 a b x y c a b lc : . x y c( ) 2 z a b
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7.1 双曲抛物面的直纹性
得 c1 = 4, c2 = 2,
因此所求直母线为
x 2 y 16 0 和 x 2 y 2z 0
x 2 y 8 0 . x 2 y 4z 0
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结束
7.1 双曲抛物面的直纹性
双曲抛物面的两族直母线的性质
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结束
§7 直纹二次曲面
直纹曲面模型
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§7 直纹二次曲面
直纹曲面模型
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结束
§7 直纹二次曲面
已经知道非空二次曲面有下面这 14 种类型: (一) 椭球面 x2 y2 z 2 2 2 1; [1] 椭球面: 2 a b c 2 2 2 x y z 2 2 0; [2] 点: 2 a b c (二) 双曲面 2 2 2 x y z 2 2 1; [3] 单叶双曲面: 2 a2 b2 c2 x y z 2 2 1; [4] 双叶双曲面: 2 a b c
7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性
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§7 直纹二次曲面
定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面.
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7.1 双曲抛物面的直纹性
容易看出, 对任何实数c, x y 平面 c 与S 的交线是直线 a b x y a b c lc : ; x y c( ) 2 z a b x y 平面 c 与S 的交线是直线 a b x y c a b lc : . x y c( ) 2 z a b
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7.1 双曲抛物面的直纹性
得 c1 = 4, c2 = 2,
因此所求直母线为
x 2 y 16 0 和 x 2 y 2z 0
x 2 y 8 0 . x 2 y 4z 0
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7.1 双曲抛物面的直纹性
双曲抛物面的两族直母线的性质
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§7 直纹二次曲面
直纹曲面模型
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§7 直纹二次曲面
直纹曲面模型
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§7 直纹二次曲面
已经知道非空二次曲面有下面这 14 种类型: (一) 椭球面 x2 y2 z 2 2 2 1; [1] 椭球面: 2 a b c 2 2 2 x y z 2 2 0; [2] 点: 2 a b c (二) 双曲面 2 2 2 x y z 2 2 1; [3] 单叶双曲面: 2 a2 b2 c2 x y z 2 2 1; [4] 双叶双曲面: 2 a b c
4.7 直纹面
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(2)
的某一直线上 ∴单叶双曲面(1) 由直线族 (2) 构成
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线族(2)
x z x z 1 y 1 y a c a c b b x z a c
λ不同, 所表示的直线也不同. 当λ取遍一切实数时, 得到无数多条直线, 这些直线构成一直纹面. 求此直纹面
的方程.
2z x 2 y z 解 消去λ y 3 1 2 3 2 2z 2z z y x y 3 3 3 z 2 4 2 4 y z yz x 0 为所求直纹面方程. 3 9 3
1 a a 1 a k a 1 b b 1 b k b
L1 :
0 2 1 0
1 a a 1 b b
1 1 x y 2 b a x y z 0 a b
证明: 对于双曲抛物面, 属于同族的两条直母线 都是 异面的. x y 2 2 a b 2 y 证x 2 2 z x y x y 2 z λ族: 2 a b a b a b x y z 在其中任取两条 a b 1 1 1 1 x y 2k x y 2 b L1 : b a L2 : a k k k x y z 0 x y z 0
R
(5.9)
x y a b 2
R
(5.10)
x y z a b
例 求双曲抛物面 4x y z 过点 M (1, 1, 3) 的直母线方程.
2 2
解
2x y 2x y z 2x y 2x y z
机械制图的几种直纹曲面
s’
6’ o’
3’
5’
a’ b’
2’ (4’)
x
1’7’
(8’)
4
o
b
8
s
1
3
a
72
§6-6 几种直纹曲面
二、关于柱面的问题
1.柱面的形成和分类
形成：直母线沿曲导线滑动时，始终平行于定直线所形成。 分类：a )柱面无对称面时——一般柱面。
母线
X
O
直导线
§6-6 几种直纹曲面
曲导线 柱面
一般柱面的投影
圆锥面的投影
§6-6 几种直纹曲面
椭圆锥面的投影
一、关于锥面的问题
2.锥面的画法和锥面上的点
画法：作出定点、曲导线、轮廓线及适当数量素线的投影。 圆锥面和椭圆锥面的还要画出轴线的投影。
素
线
轴线
X
O 定点
轮廓线
曲导线
一般锥面的投影
§6-6 几种直纹曲面
对称线 有轴锥面的投影
一、关于锥面的问题
2.锥面的画法和锥面上的点
3.斜圆柱投影的画法
条件： 已知斜圆柱底的投影，斜圆柱轴线为正平线。
分析： 作图关键确定斜圆柱轴线的正面投影倾斜角度α。
α的确定方法：
画一直角三角
形，斜边为长半轴
αα
a α
b
长a ，一直角边为 短半轴长b ；另一
直角边与斜边的夹
角为所求α。
b
斜边方向为斜 圆柱轴线的正面投
a
影方向。
§6-6 几种直纹曲面
8’
97’ ’
61’0’ 51’1’
4’ a’
13’ ’ 2’
方法2作图原理：
根据形成特点作图，作出
第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面
反之，若 K=k1 k2=0，则两主曲率至少有一为0，设 k2=0，由于 为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这 个方向是渐近方向，所以这一族渐近线也是曲率线，由主方向判 r r r 别定理，dn = − k 2 dr = 0, n 为常向量。 这说明单位法向量沿渐近曲线保持不变，因此在所有渐近曲 线上曲面的法线都平行。又沿渐近曲线的切向量为dr，它垂直于 r r r r 法向量，所以 dr ⋅ n = 0, 积分有 r ⋅ n = 常量 r r r r 对于渐近曲线上任 一点成立。现设 为渐近曲线上某一点，有 r ⋅ n = r0 ⋅ n = 常量 得 ，因而必在M0的切平面上 ，即r对应的点 在M0的切平面上，但这些点为渐近曲线上的点，所以渐近曲线在 这个切平面上，因此对于同一条渐近曲线上的点，其切平面是同 一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络 面，因而是可展曲面。
(3)几种特殊的直纹面 r r
b (u ) = b0 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 r r a (u ) = a0 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 r r b (u ) = α 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面
3、直纹面的法向量与高斯曲率 r r r （1）由 r = a (u ) + vb (u ) r r r r r 得 ru = a ′(u ) + vb ′(u ) , rv = b (u )
由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 r r r r r 证明：对于可展曲面有 ( a ′, b , b ′) = 0 ，取腰曲线为导线， ′ ⋅ b ′ = 0 a
2-7直纹二次曲面
§7 直纹二次曲面
7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性
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§7 直纹二次曲面
定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面.
t(1 s(1
y) b y)
a c
b
a c
b
都在单叶双曲面S 上.
于是, 得到S 上的两族直母线
I = { ls:t |s, t不全为零} , I = {ls:t |s, t不全为零}.
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7.2 单叶双曲面的直纹性
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7.2 单叶双曲面的直纹性
单叶双曲面的两族直母线的性质 (1) 对S上任一点M0(x0, y0, z0), 每族直母线中 各有一条经过M0 . (2) S 上的所有直母线都在 I 或 I 中. (3) 同族的任何三条直母线都不会平行于同一 张平面, 同族的两条不同直母线一定异面. (4) 异族的直母线一定共面. (5) I 和 I 无公共直母线.
b,
c1 ),
u2
(1, a
1, b
0) (c2 a
, c2 b
, 2)
2 (a, ab
b,
c2 ),
因此直线 lc1 和 lc2 不平行, 从而异面.
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7.1 双曲抛物面的直纹性
(3) 任取两数 c1, c2 ,
则 lc1 :
x
a
c1
y b c1 (x y) ab
故它的左边是一次式, 即有 | t | = b/a .
7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性
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§7 直纹二次曲面
定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面.
t(1 s(1
y) b y)
a c
b
a c
b
都在单叶双曲面S 上.
于是, 得到S 上的两族直母线
I = { ls:t |s, t不全为零} , I = {ls:t |s, t不全为零}.
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7.2 单叶双曲面的直纹性
上页 下页 结束
7.2 单叶双曲面的直纹性
单叶双曲面的两族直母线的性质 (1) 对S上任一点M0(x0, y0, z0), 每族直母线中 各有一条经过M0 . (2) S 上的所有直母线都在 I 或 I 中. (3) 同族的任何三条直母线都不会平行于同一 张平面, 同族的两条不同直母线一定异面. (4) 异族的直母线一定共面. (5) I 和 I 无公共直母线.
b,
c1 ),
u2
(1, a
1, b
0) (c2 a
, c2 b
, 2)
2 (a, ab
b,
c2 ),
因此直线 lc1 和 lc2 不平行, 从而异面.
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7.1 双曲抛物面的直纹性
(3) 任取两数 c1, c2 ,
则 lc1 :
x
a
c1
y b c1 (x y) ab
故它的左边是一次式, 即有 | t | = b/a .
直纹曲面和可展曲面
直纹面和可展曲面一 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。
这些直线称为直纹面的直母线。
如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。
空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。
二 直纹面的参数表示在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为 ()a a u =，这样的曲线称为直纹面的导线。
设()b u 是过导线（C ）上()a u 点的直母线上的单位向量，导线（C ）上()a u 点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径OP r =可以表示为 : ()()r a u vb u =+。
这就是直纹面的参数方程。
直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。
三 直纹面的切平面对直纹面()()r a u vb u =+, ()()u r a u vb u ''=+, u v r r a b vb b ''⨯=⨯+⨯,()()(,,)a b b b b a b b ''''⨯⨯⨯=-，()a b '∴⨯‖()b b '⨯⇔(,,)0a b b ''= 。
（1）若()a b '⨯不平行于()b b '⨯，即(,,)0a b b ''≠，则当P 点在一条直母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n ()a u ()b u (,)r u v（或切平面）绕直母线而旋转。
（2）若()a b '⨯平行于()b b '⨯，即(,,)0a b b ''=，则当P 点在一条直母线上移动时，虽然v 变化了，但是 u v r r ⨯只改变长度，不改变方向。
也即 u v u vr r n r r ⨯=⨯ 保持不变。
这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。
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s’
6’ o’
3’
5’ a’ b’ 2’ (4’)
x
1’7’
(8’)
4
o
b
8
s
1
3
a
72
§6-6 几种直纹曲面
二、关于柱面的问题
1.柱面的形成和分类
形成：直母线沿曲导线滑动时，始终平行于定直线所形成。 分类：a )柱面无对称面时——一般柱面。
母线
X
O
直导线
§6-6 几种直纹曲面
曲导线 柱面
一般柱面的投影
面投影；
x
3.绘制直母线的两面投影;
直母线的H 投影与导平面的H
投影(积聚为直线)平行。
4.绘制若干素线的H 投影；
5.按投影关系，绘制若干素
线的V 投影。
§6-6 几种直纹曲面
PH
锥状面的两面投影
六、单叶双曲回转面
▪单叶双曲回转面的形成方法
一直母线绕和它交叉的轴线旋转所得的轨迹。 轴线
母线
单叶双曲回转面
8’
97’’
61’0’ 51’1’
4’ a’
13’ ’ 2’
方法2作图原理：
根据形成特点作图，作出若 干素线的投影，然后画出它们 的包络线。
X b’ 6 7
54
O
3
8 b
2
9
1
10 11 a
§6-6 几种直纹曲面
方法2作图过程：
六、单叶双曲回转面
▪单叶双曲回转面的投影作图
提示：
平行于回转轴线的平面
圆锥面的投影
§6-6 几种直纹曲面
椭圆锥面的投影
一、关于锥面的问题
2.锥面的画法和锥面上的点
画法：作出定点、曲导线、轮廓线及适当数量素线的投影。 圆锥面和椭圆锥面的还要画出轴线的投影。
素
线
轴线
X
O 定点
轮廓线
曲导线
一般锥面的投影
§6-6 几种直纹曲面
对称线 有轴锥面的投影
一、关于锥面的问题
2.锥面的画法和锥面上的点
面上定点：一般过锥顶取直素线。
例 已知一般锥面上点K 的水平投影,求其的正面投影。
k’Biblioteka XOk§6-6 几种直纹曲面
一般锥面上的点
一、关于锥面的问题
3.椭圆锥面的圆切口
在椭圆锥面上求圆切口的方法。
§6-6 几种直纹曲面
一、关于锥面的问题
4.斜放圆锥面轮廓线的画法
正圆锥面轴线为正平线时,锥面水平投影的精确画法。
X
定 直 线
素线
O
轮廓线
曲导线 一般柱面的投影
§6-6 几种直纹曲面
轴线 对称线
有轴柱面的投影
二、关于柱面的问题
2.柱面的画法和柱面上的点
面上定点： 一般取平行定直线的直素线作图。
例 已知一般柱面上点K 的水平投影,求其的正面投影。
k’
X
O
k
一般柱面上的点
§6-6 几种直纹曲面
二、关于柱面的问题
二、关于柱面的问题
1.柱面的形成和分类
分类： b )用垂直于柱面轴线的平面截柱面，所得切口为圆 时——圆柱面；所得切口为椭圆时——椭圆柱面。
直圆柱面
斜圆柱面
圆柱面的投影
§6-6 几种直纹曲面
直椭圆柱面 斜椭圆柱面
椭圆柱面的投影
二、关于柱面的问题
2.柱面的画法和柱面上的点
画法：作定直线、曲导线、轮廓线及适当数量素线的投影。 圆柱面和椭圆柱面要画出轴线的投影。
柱状面的两面投影
§6-6 几种直纹曲面
五、锥状面
▪锥状面的形成方法
锥状面是由一直母线沿一曲导线和一直导线滑动，并始 终平行一导平面时所得的轨迹。
V
直导线
导平面
X
锥状面
曲导线 母线
锥状面的投影
§6-6 几种直纹曲面
五、锥状面
▪锥状面的投影
绘图步骤：
1.绘制导平面两面投影；
2.绘制曲导线和直导线的两
几种直纹曲面
一、关于锥面的问题 二、关于柱面的问题 三、盘旋面 四、柱状面 五、锥状面 六、单叶双曲回转面
§6-6 几种直纹曲面
一、关于锥面的问题
1.锥面的形成和分类
形成：直母线通过定点，沿曲导线滑动时所形成。 分类：a )锥面无对称面时——一般锥面。
锥面
定点
X
O
曲导线
§6-6 几种直纹曲面
直母线
曲导线
导平面
母线
曲导线 柱状面
柱状面的投影
§6-6 几种直纹曲面
四、柱状面
▪柱状面的投影
X
绘图步骤：
1.绘制导平面的两面投影； 2.绘制曲导线的两面投影；
3.绘制直母线的两面投影;
直母线的H 投影与导平面 O 的H 投影平行。 PH 4.绘制若干素线的H 投影；
5.按投影关系，绘制若干素线
的V 投影。
与单叶双曲回转面的交线
一般为双曲线，但当平面
与喉圆相切时交线为两条
相交的直线。
X
O
§6-6 几种直纹曲面
本节结束
本节结束
§6-6 几种直纹曲面
3.斜圆柱投影的画法
条件：已知斜圆柱底的投影，斜圆柱轴线为正平线。
分析： 作图关键确定斜圆柱轴线的正面投影倾斜角度α。
α的确定方法：
画一直角三角
形，斜边为长半轴
αα
a α
b
长a ，一直角边为 短半轴长b ；另一
直角边与斜边的夹
角为所求α。
b
斜边方向为斜 圆柱轴线的正面投
a
影方向。
§6-6 几种直纹曲面
§6-6 几种直纹曲面
六、单叶双曲回转面
▪单叶双曲回转面的投影
方法1原理：根据直母线上任一点的轨迹为圆的特性作图。
母线
单叶双曲回转面
§6-6 几种直纹曲面
六、单叶双曲回转面
▪单叶双曲回转面的投影作图
a’
方法1作图过程：
X b’
O
b
a
§6-6 几种直纹曲面
六、单叶双曲回转面
▪单叶双曲回转面的投影作图
三、盘旋面
▪盘旋面的形成方法 方法一：是一直母线沿一曲导线滑动，并始终保持与之
相切时的轨迹。 方法二：是一平面沿两个不在同一平面内的曲导线滑动，
并始终保持与两曲导线相切时的轨迹。
盘旋面
如变形接头实例 直母线
曲导线
§6-6 几种直纹曲面
四、柱状面
▪柱状面的形成方法
柱状面是由一直母线沿两曲导线滑动，并始终平行一导 平面时所得的轨迹。
一般锥面的投影
一、关于锥面的问题
1.锥面的形成和分类
分类： b ) 有两个以上的对称面——有轴锥面。 轴线与锥底面垂直——正锥面。 轴线与锥底面倾斜——斜锥面。
正锥面的投影
§6-6 几种直纹曲面
斜锥面的投影
一、关于锥面的问题
1.锥面的形成和分类
分类：c )用垂直于锥面轴线的平面截锥面，所得切口为圆 时——圆锥面；所得切口为椭圆时——椭圆锥面。