多元函数微分学全章(高数课件)超经典
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数学分析课件PPT之十七章多元函数微分学
第十七章 多元函数微分学
§1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
§1 可微性
一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算法 三、可微的条件 四 可微性的几何意义与应用
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得f x ( x, y)x
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z
不存在.
y x0
y0
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT ( R为常
数),求证: p V
V T
T p
1.
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V
RT p
V T
R p
;
T
pV R
T p
V R
;
p V
V T
z x
,
f x
,
zx
或
fx(x, y).
同理可定义函数 z f ( x, y)对自变量 y 的偏导数,记作
z y
,
f y
,
z
y
或
fy(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如,u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处,
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) .
§1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题
§1 可微性
一、全微分的定义 二、偏导数的定义及其计算法 三、可微的条件 四 可微性的几何意义与应用
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得f x ( x, y)x
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z
不存在.
y x0
y0
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT ( R为常
数),求证: p V
V T
T p
1.
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V
RT p
V T
R p
;
T
pV R
T p
V R
;
p V
V T
z x
,
f x
,
zx
或
fx(x, y).
同理可定义函数 z f ( x, y)对自变量 y 的偏导数,记作
z y
,
f y
,
z
y
或
fy(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如,u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处,
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) .
数学分析多元函数微分学72页PPT
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远,吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应,言行相称。——韩非
数学分析多元函数微分学
41、俯仰终宇宙,不乐复何如。 42、夏日长抱饥,寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱,不汲汲于富贵。 44、欲言无予和,挥杯劝孤影。 45、盛年不重来,一日难再晨。及时 当勉励 ,岁月 不待人 。
谢谢你的阅读
多元函数微分法 PPT课件
x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中 的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不 看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微,则 复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而 , ,求
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点,δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域,记为U (P0, ),即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时,n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数,记作
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《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
邻域U(P, ), 使U(P, ) E为空集,则
称点P为E的 外点。
边界点的定义:
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义:
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义:
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点,
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义:
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义: 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下:
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
称点P为E的 外点。
边界点的定义:
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义:
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义:
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点,
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义:
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义: 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下:
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明,如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零, 并且这个点的海森矩阵(Hessian matrix)是正定的或负定的,那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域,对D 中的任意点P,若存在实数x、y、 z...与之对应,则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...),如果当 其他变量保持不变时,函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在,则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明,如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零, 并且这个点的海森矩阵(Hessian matrix)是正定的或负定的,那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域,对D 中的任意点P,若存在实数x、y、 z...与之对应,则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...),如果当 其他变量保持不变时,函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在,则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中,二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点:如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点:如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点:如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域: G G G
12
(3)Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域. x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1,是上一没条有曲定线义,. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ,使得 为最大 值而 为最小值,P 即1 对于一切P 2 P∈D,有f ( P1 )
•
P
于E的点,也有不属于E的点,
•
E
则称P为E的边界点(图8-2).
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点,都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ,再令 x 0而极限,就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ,x 偏0导数 z 存 在x,而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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3、 若 f ( y ) x 2 y 2 ( y 0),则 f ( x) ________.
x
y
4、
若
f
(x
y,
y )
x2
y2 ,则
f
( x,
y)
_________.
x
函数 z
4x ln(1 x 2
y2 y2
的定义域是__________. )
6、函数z x y 的定义域是______________.
引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
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定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
例如,
显然
lim lim f ( x, y) 0,
x0 y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
例3 目录 上页 下页 返回 结束
四、 多元函数的连续性
定义3 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚点P0 D,
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 n 元函数 f (P)在点P0 连续, 否则称为不连续, 此时
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3. n 维空间
n 元有序数组 记作 Rn,即
Rn R R R
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 R n中的零元,记作
O.
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Rn中的点x ( x1, x2,, xn ) 与点 y ( y1, y2,, yn )
lim
x0
f (x, y)
lim
x0
kx2 x2 k2x2
k 1 k2
ykx
k 值不同极限不同 !
故 f ( x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
解:
因
x2 y2
1 4
(
x
2
y2 )2,
令
r2
x2
y2,
则
4
(1
f
(
y
2
,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
1 4
.
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty) =____. y
2、 若 f ( x, y) x 2 y 2 ,则 f (2,3) __________; 2 xy
f (1, y ) ________________. x
。P0
平面上的方邻域为
U(P0,δ) ( x, y)
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
第九章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
第一、二节
多元函数的概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U( P0 , δ) ( x, y)
在空间中,
cos r6
r
2
)
而
lim
r 0
4(1
cos r6
r
2
)
lim
r 0
2r4 r6
故
1 cos r 2~ r 4
2
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• 二重极限 lim f ( x, y) 与累次极限 lim lim f ( x, y)
x x0
x x0 y y0
y y0
不同.
如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
y y0
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例1.
设
f (x, y) (x2
y
2
)
sin
x
2
1
y2
求证: lim f ( x, y) 0.
x0 y0
证:
( x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε , 当0 x2 y2 δ时, 总有
x2 y2
故
lim f ( x, y) 0
的距离记作
规定为
Rn中的点x ( x1, x2,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
当n 1,2,3 时, x 通常记作 x . Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
R n中点 a 的 邻域为
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二、多元函数的概念
( x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
闭区域
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域;
点集( x, y) x 1是开集,
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
三元函数
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3. 多元函数的极限
lim f (P) A
P P0
ε 0, δ 0, 当0 PP0 δ时, 有 f (P) A ε
4. 多元函数的连续性
1) 函数 f (P)在 P0 连续
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
2) 闭域上的多元连续函数的性质:
x0
y0
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• 若当点 P( x, y)以不同方式趋于 P0( x0, y0 ) 时, 函数 趋于不同值或有的极限不存在,则可以断定函数极限
不存在 .
例3. 讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
(证明略)
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例5.求 lim x y 1 1. x0 x y
y0
解: 原式
lim
1
1
x0 x y 1 1 2
y0
例6. 求函数 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的连续域.
x y2
解: 3 x2 y2 1
y
x y2 0
U( P0 ,) ( x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明:若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
( x , y )( x0 , y0 )
思考题解答
不能.
例
f
(
x,
y)
(
x3 y2 x2 y4
)2
,
( x, y) (0,0)
取 y kx,
f
(
x,
kx)
(
x3 k2x2 x2k4 x4 )2
x0 0
但是 lim f ( x, y) 不存在.
( x , y )(0,0)
原因为若取x y2,
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z 1 x2 y2
定义域为圆域 ( x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面. 又如, z sin( x y), ( x, y) R2 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
切 P D U (P0,δ), 都有
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A (也称为 n 重极限)
P P0
当 n =2 时, 记 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 二元函数的极限可写作:
lim f ( x, y) A lim f ( x, y) A
0
x x0
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ;
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集;
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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