碰撞过程中动能转化问题

碰撞过程中动能转化问题

作者：邓先君邓艾

来源：《中学物理·高中》2013年第04期

碰撞是自然界中的一种普遍现象，也是一种基本的相互作用形式，无论在宏观世界还是粒子物理领域都是一个极具应用价值、值得深究的问题.中学阶段，碰撞模型的建立是简单的系统概念的应用，是对相互作用矢量关系的深化.在生活上和教学工作过程中，我们把碰撞理解为物体之间由于内力作用导致系统内部物体运动状态发生变化或者能量形式发生转化的过程.粒子物理中这种相互作用过程中的能量转化还会导致粒子形态发生变化，形成新的粒子或者出现新的物质形态.在现代物理的前沿领域，粒子对撞在粒子物理或者高能物理领域应用颇多.故，在基础教育阶段，条件许可的话我们有必要对碰撞过程中物体之间的动能转化做细致深入的理解.这里重点从原理上建立碰撞模型来说明一些动能损失的相关问题，进而细致解释为什么碰撞过程中物体黏到一起时系统动能损失最大.

体系的动量关系

碰撞过程中内力在相当短的δt时间里迅速变化（见图1）.由于内力是一个巨大的冲击力，为物体（此概念包括微观包括粒子，后不多做说明）之间强烈的相互作用提供了可能.在这个过程中，相互作用时间δt极短，又相对于系统所受的内力而言，外力F只是一个小量，故系统所受外力的冲量∫t0Fdt可认为趋近近于零，系统动量守恒.这是处理碰撞问题的一个基本原则，即：碰撞系统在碰撞前后按动量守恒来处理.两个质量分别为m1、m2速度分别为v1、v2（v1>v2）的体系一维碰撞的动量方程为

体系的动能转化关系

人教版的高级中学物理教材选修3-5中定义“如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做弹性碰撞；如果机械能不守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞.”这是该版教材对碰撞从能量角度的定义.鉴于中学阶段势、场的概念并不清晰，保守力也未能多作介绍，所以对机械能的界定并不具体，况且机械能只是物理学中一个阶段性的过渡概念不宜深化也无从深化.我们不推荐过分从机械能角度去界定碰撞过程中系统的能量关系.而是从参与碰撞的物体动能变化角度来说明能量转化的问题，这样就会显得更直观更全面更具有优越性.

个人认为在碰撞问题处理时，把系统动能减少的情形称之为非弹性碰撞，并引入完全非弹性碰撞的概念来对称定义动能损失最大的碰撞形式，这样，在教学过程中更易于清晰科学的说明问题.对应于完全非弹性碰撞，把弹性碰撞称之为完全弹性碰撞.于是整个碰撞部分从动能角度来解释，在理论上全面而具备对称性.下面所有的讨论都将建立在上述理解上.

碰撞，是建立在动量守恒条件下的相互作用模型.从原理上看，内力的冲量矢量和为零，对系统的总动量不产生影响，但是物体之间的相互作用力可能会对系统做功.人们之所以对之多加讨论，是缘于内力做功对各部分运动状态的破坏性，或者内力作用下功能转化后新的能量形式对系统的影响.所以这里我们简化出一种宏观的物理模型结合功能转化关系来理解动能转化损失.

简单的碰撞形式

一个质量为m1速度为v1的物体与一个质量为m2速度为v2的物体在水平面上发生碰撞，如图2.

在此典型的碰撞模型下，我们经常强制的给出关于能量方面的界定.比如说认为两个小球为刚性小球能量没有损失，那么系统的动能保持不变，于是有能量方程

联立方程（1）和（2），注意到方程的一元二次形式可以在数学上得到两组解.一组为碰后系统各部分的运动状态，另一组即是给出的初始状态条件.

这样的模型很好理解，数学方程组和物理条件的交互处理可以轻松的处理完全弹性碰撞的问题，初态在方程中也有所体现.

碰撞的能量讨论

需要关注的问题是：非弹性碰撞在什么情形下系统动能损失最大？如果再强制性的说能量损失最大的时候是两个物体黏在一起，就显得缺乏理论支持.为了从原理上深入的说明这个问题.下面将建立一种特别的“广义碰撞模型” 来具体讨论.

如图3所示，通过这个模型来具体化碰撞能量关系.水平面光滑，保证系统动量守恒.m2后面赘一个轻质弹簧，通过弹簧的弹力作用将常规碰撞的短时冲击内力给缓释出来，在时间上做一些延长，以便于我们分析运动状态变化及能量形式的转化.当m1与m2接触时我们认为碰撞开始.从受力角度结合运动学延展到能量关系，分步骤分析：

（1）当m1追上m2与之接触，有弹力作用开始，m1在弹力作用下做减速运动，m2在弹力作用下做加速运动.但是只要m1的速度大于m2的速度，它们二者之间的距离就会继续靠近.弹簧的压缩，我们就可以看到能量转化了，弹簧压缩过程中储存了弹性势能.对于系统而言，可以清晰看到：m1的动能由于弹力做负功而减小，m2的动能由于弹力做正功而增加.尽管弹力大小对两个物体而言是相等的，但是由于二者的速度不同，位移情况也不一致，弹力在一端对m2做的正功比另一端对m1所做负功要少，二者之和为负值.这个负的差值表示系统有部分能量流出，转化为了弹性势能.这部分弹性势能就是m1与m2组成的系统的动能损失.当然，对大的包括弹簧在内的系统总的机械能保持不变，满足广义的能量守恒.

（2）m1与m2一个减速一个加速，二者最终会在某一个时刻达到共同速度v（根据（1）式v=SX（]m1AKv→D]1+m2AKv→D]2]m1+m2SX）]）如图4所示.从追及问题的角度看此时二者的距离达到最近，弹簧压缩得最厉害，弹簧储存最多的弹性势能.m1与m2组成的系统的动能损失达到最大，从能量转化角度看ΔEk=SX（]1]2SX）]kΔx2（k为弹簧的进度系数，Δx 为弹簧的形变量）；从动能变化角度看，

这里，弹簧压缩量最大，说明系统储存了最大的弹性势能，系统动能损失最大.从运动学角度看，即：碰撞的物体达到相同速度，动能损失最大！我们可以理解为相互作用的两个物体碰撞后具有了共同的速度，如果以后一起以整个速度共同运动，也就是黏在一起了，体现为一次完全非弹性碰撞.

（3）接下来，弹簧压缩最厉害，二者具有共同速度后.由于弹力作用，m1继续减速，m2继续加速，二者之间的距离由最小值开始变大.m1的动能由于弹力做负功继续减小，m2的动能由于弹力做正功而继续增加.m2位移比m1位移要大，总体而言，弹簧对系统作正功，弹簧弹性势能开始释放出来.当弹簧恢复到原长时，系统动能再次回到初值（如图5）.于是方程（1）和（2）成立，又回到完全弹性碰撞的情况下，此时得出的解v2′和v1′上文讨论过简单形式的碰撞一样.到此，可以认为是一次完全弹性碰撞就此完成，此时v2′>v1′.

（4）继续讨论，假定弹簧与m1接触后与弹簧连在一起不分开.当弹簧回到原长后，由于v2′>v1′，m1与m2距离开始拉大，弹簧伸长.m1在弹力作用下做加速运动，m2在弹力作用下做减速运动.但是只要m2的速度大于m1的速度，它们二者之间的距离就会继续拉大.当二者速度相等时，弹簧伸长量达到最大如图6.此时共同速度根据（1）式仍为v=SX

（]m1AKv→D]1+m2AKv→D]2]m1+m2SX）]，能量损失与第（3）式同.m1与m2组成的系统动能损失最大，损失的动能转化为弹性势能.也再次说明了碰撞过程中当两个物体具有共同速度时动能损失最大，又一次出现文讨论（2）中所说的完全非弹性碰撞情形.

此后m1与m2两物体在内力作用下，二者距离长短短长的变化，重复上面具体分析过的情形.通过上述四个过程的分阶段分析，在碰撞模型中通过引入一个轻弹簧将相互作用的内力具体展现，能量变化情况就非常直观明显.清晰的说明了一个常用的观点，为什么碰后黏到一起时动能损失最大，碰后黏在一起，在运动学上就是二者具有共同速度.

其它相关形式的类比分析

与上述分析类似的，关于碰撞过程中能量的变化还可以通过其它的物理模型来展示.上篇的内力是弹簧弹力，动能转化为弹性势能.在生活有的则是接触面上分子力导致分子热运动转化为内能，比如橡皮泥砸在墙上后黏住，动能完全损失掉.

比较直观的还有下面一些情况.