(整理)正余弦定理综合应用
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正、余弦定理及三角函数的综合应用
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求得其他边、角；
(3)已知三边，求三个角；
(4)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
考点一：利用正、余弦定理解三角形
8．(2010?宝鸡质检一)如右图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参数数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．
针对性练习：
已知△ABC中，sinC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，试判断△ABC的形状．考点三：三角形面积公式的应用
典型例题
已知△ABC中，cosA＝63，a，b，c分别是角A、B、C的对边．
(1)求tan2A； (2)若sin(π2＋B)＝223，c＝22，求△ABC的面积．知识概括、方法总结与易错点分析
(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用．
(2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理．
针对性练习：
1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，AB→?AC→＝3.
(1)求△ABC的面积； (2)若b＋c＝6，求a的值．
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.
正弦定理、余弦定理总结和应用
§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R 是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝，c＝；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.3．解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式或变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝________.tan A＋tan B＋tan C＝__________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.【自查自纠】1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解(3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C 2sin(B ＋C ) －cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2.所以三角形为直角三角形．故选B .(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解：∵sin B ＋cos B ＝2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1. 又∵B ∈(0，π)，∴B ＋π4＝π2，B ＝π4.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝a sin B b ＝12.∵a ＜b ，∴A ＜B .∴A ＝π6.故填π6.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )， 即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°. 【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)证明：对b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， 即sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －sin C cos B ＝1，即sin ()B －C ＝1.由于B ，C ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴B －C ＝π2. (2)∵B ＋C ＝π－A ＝3π4，又由(1)知B －C ＝π2，∴B ＝5π8，C ＝π8.∵a ＝2，A ＝π4，∴由正弦定理知b ＝a sin B sin A ＝2sin5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2sin 5π8×2sin π8×22＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝22sin π4＝12.类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A .类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【评析】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2013·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2， cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223.因为a ＝c ，所以A 为锐角， 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2Asin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B ，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22acb 2＋c 2－a22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C .类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300， 故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23. 据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中， CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ. 由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°. 由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．(2012·武汉5月模拟)如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，在△ABC 中，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，BC ＝28.所以渔船甲的速度为v ＝282＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理得AB sin α＝BC sin ∠BAC ，即12sin α＝28sin120°，从而sin α＝12sin120°28＝3314.1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sinA2＝cosB ＋C2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．。
正余弦定理的综合应用
题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中，
AD∥BC，AB＝5，AC＝9， ∠BCA＝30°，∠ADB＝45°， 求 BD 的长． 思维启迪 由于 AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求 BD， 可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠ACB＝30°， 因此可用正弦定理求出 sin∠ABC，再依据∠ABC 与 ∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可．
又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)． 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
题型二 测量高度问题 例 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后，望
见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°，求 塔高． 思维启迪 依题意画图，某人在 C 处， AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD＝40 米， 此时∠DBF＝45°，从 C 到 D 沿途测塔的 仰角，只有 B 到测试点的距离最短时，仰 角才最大，这是因为 tan∠AEB＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出 塔高 AB，必须先求 BE，而要求 BE，需 先求 BD(或 BC)．
解 在△ADC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得 cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2 ＝1002＋ ×3160－ ×1696＝－12，∴∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝60°.在△ABD 中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得sin∠ABADB＝sAinDB，
解 在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理，得sin∠ABBCA＝sin∠ACABC， sin∠ABC＝AC·sinA∠B BCA＝9sin530°＝190.
高中数学正余弦定理综合应用
a a b b 4c c ∴ a2 b2 4c2
2R 2R
2R
又∵ cos A 1 , 及余弦定理，得：a2
4
∴ 4c2 c2 1 bc b 6c
2
b2
b c
c2
2bc ( 1) 4
6 故选A.
分析： 已知 sin C
15 , 4
b2 32 c2 2 3 c ( 1)
又∵ b=c+2
2
∴ (c 2)2 32 c2 2 3 c ( 1)
∴ c2 4c 4 9 c2 3c
2
∴ c5
∴ b=5+2=7
练习 1.【2019年高考天津卷文科】在△ABC中， 内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a, 3csinB=4asinc,求cosB的值.
解：由 a sin B 3b cos A 及正弦定理，得：
sin Asin B 3 sin B cos A
又 sin B 0 sin A 3 cos A tan A 3 A 600
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 得： ( 7)2 22 c2 2 2 c 1 c2 2c 3 0
解：由3csinB=4asinc 3c×b=4a×c
及正弦定理，得：
∴3b=4a
∴b=
4 3
a
又∵b+c=2a ∴ 4 a +c=2a ∴c= 2 a
3
3
由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cosB 得：
( 4 a)2 a2 ( 2 a)2 2 a ( 2 a) cosB
正余弦定理应用(2019年11月整理)
8 5
它的内切圆半径是r= 2 3
求a,b,c
5、在△ABC中， 若a2+c2-b2 =ac又
lgsinA+lgsinC=-2lg2. 且S = △ABC 3 解此三角形
6、在四边形ABCD （如图）CD= 3
∠ ACB=750 ∠ BCD=450 ∠ ADC=300 ∠ADB=450 求AB的长
1、在△ABC中
（1）A=600,a=1,b+c=2,解三角形。
（2）ab=60,sinA=cosB,S △ABC=15.
求△ABC的三个内角。
2、在△ABC中，若
sin A sin B sin C cosB cosC
判断三角形的形状
3、在△ABC中，已知sinA:sinB:sinC
=4:5:6。求cosA:cosB:cosC
正弦定理、余弦定理的 正余弦定理的应用 综合应用
1、(1)在△ABC中，已知a,b,c分别 为内角A,B,C的对边，若 b=2a,B=A+600,则A=______
(2)在△ABC中，若B=300，
AB=2 3 ,AC=2，则△ABC
的面积是_________
2、已知△ABC中，a︰b︰c =2︰ 6 ︰( 3 1 ) 则△ABC的面积______
3、在△ABC中，根据下列条件 分别判定△ABC的形状。
cos A
（1） cos B
b a
（2）a2tanB=b2tanA
(3)(a+b+c)(b+c-a)=bc且
sinA=2sinBcosC
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正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
正余弦定理的综合运用
正余弦定理的综合运用一、教材分析1．教学容：必修5第11.节正弦定理和余弦定理，根据课标要求本书该节共3课时，这是第3课时，其主要容是正余弦定理的综合运用。
2．地位作用：①高考考纲要求：掌握正余弦定理，并能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
②高考考察趋势：斜三角形的边角关系以选择题或填空题给出一小题或难度较小的解答题。
二、学生学习情况分析学生在学习本节之前已经分别学习过正弦定理和余弦定理，但学生只是停留在对正弦定理和余弦定理的初步认知阶段，对什么情况下用正弦定理、什么情况下用正弦定理未作进一步的研究，对三角形的边角互换未作进一步的探索。
另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习奠定了一定的根底。
三、教学过程〔一〕课前预习导学1．学习目标〔1〕、进一步熟悉正余弦定理容，并能运用定理解决一些简单的实际问题。
〔2〕、通过正余弦定理综合运用的学习，提高解决实际问题的能力，进一步体会转化化归的数学思想。
〔3〕、通过一题多解、一题多变的训练，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功。
2．教学重点和难点：〔1〕教学重点：利用正余弦定理进展边角互换。
〔2〕教学难点：利用正余弦定理进展边角互换时的转化方向。
3．教学方法：探析归纳，讲练结合 4．自主预习〔1〕知识梳理：正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===〔R 为ABC ∆的外接圆半经〕 正弦定理常见变形公式：①边化角：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === ②角化边：sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===③比例：::sin :sin :sin a b c A B C = 余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 余弦定理常见变形公式：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2c a b B ca +-=，222cos 2a b c C ab+-=求角、判别角、边角互化 〔2〕预习检测：1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =2．【2012文】在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的长分别为,,a b c ，假设2a = ，6B π=，c =，那么________b =3．在ABC ∆中，假设7a =，3b =，5c =，那么_________A = 4．在△ABC 中，cos cos b A a B =,那么三角形为〔 〕A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形〔二〕预习检测反缋1．在△ABC 中，30,120c B C ===，那么______b =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 小结：两角及其中一个角的对边，选用正弦定理.变式1：在△ABC 中，1,30c b B ===，那么_________A =解：由正弦定理sin sin =b cB C得 ∵>c b ，∴>C B ，∴=C 60或120=C . ∴90=A 或30=A .小结：两边和一边对角，用正弦定理求另一个角，但需要进展讨论，有两解的可能。
正弦定理、余弦定理的综合应用
解题小结：
判断三角形形状时，一般考虑两种变形方向： 一个是化角为边，再进行代数恒等变换求出三条 边之间的关系式。另一个方向是化边为角，再进 行三角恒等变换求出三个角之间的关系式。 两种转化主要应用正弦定理和余弦定理。
练习一
A B C ，则 ABC 是( D ) cos cos cos 2 2 2 A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2R sin A 2R sin B 2R sin C 略解：由正弦定理得： A B C cos cos cos 2 2 2 A A B B C C 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 2
a 2 R sin A, b 2 R sin B, c 2 R sin C ,
余 弦 定 理 的 变 式
a sin A , 2R b sin B , 2R c sin C . 2R
2 2 2
b c a cos A , 2bc a2 c2 b2 cos B , 2ac a2 b2 c2 cosC . 2ab
2R sin(B C )
2R sin( A) a sin A a2 sin A
射影定理： a= bcosC＋ccosB,
b=ccosA+acosC,
c=acosB+bcosA
a、b、c, 例3：ABC中，A、B、C所对的边分别为
cos B b 且 , 求B的大小。 cos C 2a c
a、b、c, 练习二 ABC中，A、B、C所对的边分别为 c 1 2 2 2 若b c bc a , 且 3, 求A和 tan B的大小。 b 2 2 b c2 a2 1 解：由余弦定理知：cos A ， （ 化 2bc 2 0 A 180, A 60, 边 c 1 为 3 且由正弦定理知 c sin C , b 2 角 b sin B sin C 1 3 又C 180 ( A B) 120 B, ） sin B 2
正弦定理和余弦定理的综合应用
cos C＝ 2ab .
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A.
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定理
正弦定理
解决的 问题
①已知两角和任一边，求另一 角和其他两条边；“AAS、ASA” ②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.“ASS”
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感谢您的观看。
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•
(1)已知两边和一边的对角解三角形时，可能出现两解、一
解、无解三种情况，解题时应根据已知条件具体判断解的情况，常用方法是根据图形
或由“大边对大角”作出判断或用余弦定理列方程求解．
• (2)三角形中常见的结论
• ①A＋B＋C＝π.
• ②三角形中大边对大角，反之亦然．
• ③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
题型一：利用正弦、余弦定理解三角形 题型二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
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利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
正余弦定理的综合应用
正余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用知识梳理1.正弦定理：，其中为外接圆的半径。
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：(1)余弦定理：；；.在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.（2）余弦定理的推论：；；.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.三角形面积公式：= =4.三角形的性质：①.A+B+C= ,,,②.在中, ＞c , ＜c ; A＞B ＞,A＞B cosA＜cosB, a ＞b A＞B③.若为锐角，则＞,B+C ＞,A+C ＞;＞，＞，＋＞5.(1)若给出那么解的个数为：(A为锐角)，几何作图时，存在多种情况．如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角一解两解一解若，则无解；（2）当A≥90若a>b,则一解若a≤b，则无解典例剖析题型一三角形多解情况的判断例 1.根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．解：（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。
这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
题型二正、余弦定理在函数中的应用例2在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为x2 ，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC ＝x2 ，在△ADB中，cos ADB＝AD2＋BD2－AB22AD•BD ＝42＋（x2 ）2－522×4×x2在△ADC中，cos ADC＝AD2＋DC2－AC22AD•DC ＝42＋（x2 ）2－322×4×x2又∠ADB＋∠ADC＝180°∴cos ADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cos ADC.∴42＋（x2 ）2－522×4×x2 ＝－42＋（x2 ）2－322×4×x2 解得，x＝2所以，BC边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.备选题正、余弦定理的综合应用例3在△ABC中，已知，求△ABC的面积.解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，.故所求面积解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.点击双基一. 选择题：1. 在中，，则A为（）解：答案：A2. 在（）解：由题意及正弦定理可得答案：B3. 以4、5、6为边长的三角形一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形解：：长为6的边所对角最大，设它为则答案A4. 在中，化简___________解：利用余弦定理，得原式答案：a5. 在中，，则_______，________解：又答案：课外作业一、选择1. 在中，，则A等于（）解：由余弦定理及已知可得答案：C2.在△ABC中，已知b=40,c=20,C=60 ,则此三角形的解的情况是（）A.有一解B. 有两解C.无解D.有解但解的个数不确定解：bsinC=20 >c,无解答案：C3. 在中，，则三角形为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形。
(完整版)正弦、余弦定理在三角形中的应用
正弦、余弦定理在三角形中的应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 掌握正、余弦定理，并能综合运用正、余弦定理解斜三角形，判定三角形的形状.重点难点：● 重点：综合运用正弦定理与余弦定理解斜三角形；● 难点：判定三角形的形状.学习策略：● 正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；● 判定三角形的形状时，需要把已知条件化简成能判断的单纯的角或边的形式.二、学习与应用（一）三角形中的三角函数值的关系在ABC ∆中：....................A B C ++=，.. (2)A B C ++= （1）互补关系：......................................................sin(A+B)==，......................................................cos(A+B) ==，......................................................tan(A+B) ==；（2）互余关系：......................................................sin 2A B +==， ......................................................cos2A B +==， tan A B +==. “凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx6#208609；#tbjx7#208609；（二）正弦定理和余弦定理（1）正弦定理公式：（2）余弦定理公式：第一形式：第二形式：（三）三角形的面积公式（1）（2）知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。
正余弦定理的综合应用
06
正余弦定理在其他数学分支中的 应用
在微积分中的应用
01
解决极值问题
利用正余弦定理，可以推导出极 值条件，进而解决一些微积分中 的极值问题。
02
求解面积和体积
03
求解微分方程
正余弦定理可以用于计算一些与 三角函数相关的图形的面积和体 积。
通过正余弦定理，可以建立一些 微分方程的解与三角函数之间的 关系，从而求解微分方程。
详细描述
在三角函数中，正余弦定理可以表示为：对于任意三角 形ABC，有c^2=a^2+b^2-2abcosC， a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=a^2+c^2-2accosB。 利用这三个公式，我们可以求出三角形的边长和角度， 进一步解决与三角形的边和角相关的问题。
正余弦定理与三角恒等式的关系
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中， 边长a、b、c与对应的角A、B、C的正 弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是另一个重要的三角形定理，它通过三角形的边长来计算角的余弦值。
详细描述
在线性代数中的应用
矩阵运算
正余弦定理可以用于计算一些特殊矩阵的行列式和特 征值。
向量分析
在向量分析中，正余弦定理可以用于计算向量的模长、 向量的点积和向量的叉积。
线性变换
利用正余弦定理，可以研究线性变换的性质和特征。
在概率论和统计学中的应用
概率分布
正余弦定理可以用于推导一些与 三角函数相关的概率分布的性质 和特征。
余弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c与角A、B、C的余弦值之间有 关系式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。
(整编)正余弦定理综合应用
正余弦定理综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知ΔABC的内切圆面积为π，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(2b−c)cosA= acosC.（1）求角A；（2）当AB⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC⃑⃑⃑⃑⃑ 的值最小时，求ΔABC的面积.2．设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=3b−2c.（1）求sinA的值；（2）若b=3√2sinB，求a的值；（3）若a=√6，求ΔABC面积的最大值.3．在平面四边形ABCD中，AD=7，BD=8，∠ABC=π2，cos∠BAD=−17.（1）求∠ABD；（2）若BC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =24，求CD.4．已知向量m⃑⃑ =(2,−1)，n⃑=(sin A2,cos(B+C))，角A，B，C为ΔABC的内角，其所对的边分别为a，b，c.（1）当m⃑⃑ ⋅n⃑取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a=√3时，求b2+c2的取值范围.5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB−bcosC=ccosB．（1）判断△ABC的形状；（2）若f(x)=12cos2x−23cosx+12，求f(A)的取值范围．6．如图：在ΔABC中，b2=a2+c2−23ac，点D在线段AC上，且AD=2DC.（Ⅰ）若AB=2，BD=4√33．求BC的长；（Ⅱ）若AC=2，求△DBC的面积最大值．7．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinCcosC =sinA+sinBcosA+cosB.（1）求角C的大小；（2）若ΔABC的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围.8．在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(a−c)(sinA+sinC)= b(sinA−sinB).（1）求角C的大小；（2）求cos2A+cos2B的取值范围。
正余弦定理的综合运用详解
a，b，C) 正弦定理 ＋B＋C＝180°求出另一角．在
有解时只有一解
由余弦定理求出角 A、B；再利
三边(a，b，c) 余弦定理 用 A＋B＋C＝180°，求出角 C.
在有解时只有一解
两边和其中一
由正弦定理求出角 B；由 A＋B
边的对角(如 正弦定理 ＋C＝180°，求出角 C；再利用
a，b，A) 余弦定理 正弦定理或余弦定理求 c. 可有
6
A）
=cosA+ 1 cosA+ 2
3 2 sin A
3 sin（A ）
3
A为锐角三角形的内角知
2
B
A
2
,
2
B
2
6
3
2
3
A
3
5
6
1 2
sin(
A
3
)
3 2
3 2
3
sin(
A
3
)
3 2
cosA+sinC的取值范围是(
3 2,
3)
练习：
1、（07年全国卷）
若三角形中顶点坐标为A(3, 4), B(0,0),C(c,0)
两解，一解或无解
题型一:判断三角形形状
例1： 在 ABC 中，bcosA acosB ，试判
断三角形的形状
C
b
a
A
c
B
练习：1 .在 ABC 中，已
知 a 2bcosC ，判断三角形的形状
2.在ABC中, a b c cos B c cos A, 判断ABC的形状.
小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
b2
解：由余弦定理知：cos A b2 c2 a2 1 ，
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1，即
a2
1，当 b
c
1时
a
取最小值
1．,
考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理；4．基本不等式．
10．（1） c 7 （2） 2 3
【解析】试题分析：(1)由等差数列定义可得 a c 4,b c 2 ，再根据余弦定理得
方程 c 42 c 22 c2 1 ，解方程可得 c 的值；(2)先根据正弦定理用 表示
sin
BC
3
sin
3 2 3
2，
AC
2sin
,
BC
2sin
3
.
ABC
的
周
长
f
AC
BC
AB
2sin
2sin
3
3
2
1 2
sin
3 2
cos
3
2sin
3
3
，
又
0,
3
,
3
3
2 3
，
当 即 时， f 取得最大值 2 3 .
32
6
精品
.
正余弦定理综合应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题
1．已知 的内切圆面积为 ，角 所对的边分别为 ，若
.
（1）求角 ；
（2）当
的值最小时，求 的面积.
2．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
（1）求 的值；
【 解 析 】 试 题 分 析 ：（ 1 ） 先 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 和 二 倍 角 公 式 将 f x 化 为
，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）
以及角 A 的范围解得角 A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．
试
题
解
析
：
（
1
）
f
x
cos
（2）求
的取值范围。
所对的边分别为
，已知
精品
.
9．设函数
f
x
cos
2x
4 3
2cos2 x .
（1）求 f x 的最大值，并写出使 f x 取最大值时 x 的集合； （2）已知 ABC 中,角 A, B,C 的边分别为 a,b, c ，若 f B C 3 ,b c 2 ，求
2 a 的最小值.
2x
4 3
2cos2
x
cos2
xcos
4 3
sin2xsin
4 3
1
cos2x
1 cos2x 2
3 2
sin2x
1
cos
2x
3
1
f x 的最大值为 2．
精品
.
要使 f x 取最大值，
cos
2x
3
1,
2
x
3
2k k Z ，
故 x 的集合为{x | x k , k Z} 6
2c 4c 2
2
表示边
AC
2sin
,
BC
2sin
3
，再利用两角差正弦公式及配角公式将周长函数转
化为基本三角函数
2sin
3
3 ，最后根据 范围及正弦函数性质求最大值.
试 题 解 析 ： (1) a,b, c 成 等 差 数 列 ， 且 公 差 为 2,a c 4,b c 2 ， 又
3．（1） ；（2） . 【解析】分析：（1）由正弦定理即可；
（2）由已知可得
，从而可得
，再利用余弦定理即可.
详解：（1）在 中，∵
，∴
，
∴
.
精品
.
由正弦定理得
，∴
.
∵
，∴
，∴
.
（2）∵
，∴
，
又∵
，
∴
，∴
，
在中
∵
，
∴
.
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思 想，属于中档题.
（2）
f
B
C
cos
2 B
C
3
1
3 2
，即
cos
2
2A
3
1 2
．
化简得
cos
2
A
3
1 2
A 0,
,2A
3
3
,
5 3
，只有
2A
3
3
,
A
3
．
在 ABC 中，由余弦定理， a2 b2 c2 2bccos b c2 3bc ．
3
由
b
c
2
知 bc
b
2
c
2
可得结果. 详解：（1）
， 中，
由正弦定理得：
∴
∴
，由三角形面积公式可得
，从而
∵
，∴
∵
，∴
精品
.
（2）由
，得
∴
，∴
（3）由（1）知
由余弦定理得：
，
∴
∴
（当且仅当 时取“=”号）
即 面积的最大值为 点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及 解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答 这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用， 特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
（2）若
，求 的值；
（3）若
，求 面积的最大值.
精品
.
3．在平面四边形 中，
，
，
，
.
（1）求 （2）若
； ，求 .
4．已知向量
，
，角 ， ， 为
的边分别为 ， ， .
（1）当 取得最大值时，求角 的大小；
（2）在（1）成立的条件下，当
时，求
的取值范围.
的内角，其所对
精品
.
5．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且
则
所以
，
所以
即
的取值范围为
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问 题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形 面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写 出角的大小.
9．（1）2， {x | x k , k Z}；（2）1． 6
，
又
，所以
，即
，
当且仅当 时，
的最小值为 6，
此时三角形 的面积
.
点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.
2．（1）
（2） （3）
【 解 析 】 分 析 ：（ 1 ） 由
利用正弦定理得：
，
，利用两角和的正弦公式化简可得
，从而可得结果；
（ 2 ） 直 接 利 用 正 弦 定 理 可 得 结 果 ；（ 3 ） 由 余 弦 定 理 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 得
BCA
2 ,cosC 3
1 , a2 2
b2 c2 2ab
1 2
,
c
42 2c
c 4c
22 2
c2
1 2
，恒
等变形得
c2 9c 14 0，解得 c 7 或 c 2 ，又 c 4,c 7 .
(2)
在
ABC
中
，
精品
.
AC sinABC
BC sinBAC
AB , AC sinACB sin
10．在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 ACB 2 . 3
（1）若 a,b, c 依次成等差数列，且公差为 2 ，求 c 的值；
（2）若 c 3, ABC ，试用 表示 ABC 的周长，并求周长的最大值.
精品
1．(1) ;(2) .
. 参考答案
【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得
表示出的 代入
中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦
精品
.
函数公式化为一个角的正弦函数，由 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性
质求出此时正弦函数的值域，即可确定出 详解：
的取值范围．
（1）
，令
，
，
原式
，当 ，即
，
时， 取得最大值.
（2）当
时，
的外接圆半径）
于是
，
.由正弦定理得：
4．（1）
（2）
【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公
式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于 的二次函数，由 的范围求出 的范
围，利用正弦函数的图象与性质得出此时 的范围，利用二次函数的性质即可求出 取 得最大值时 的度数； （2）由 及 的值，利用正弦定理表示出 ，再利用三角形的内角和定理用 表示出 ，将
6．(1)3(2)
精品
.
【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得
，设
,
由余弦定理可得： 角互补，得到
，应用余弦定理，写出
的值，根据两
，得到 所满足的等量关系式，求得结果；
（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得
得到
，利用三角形面积公式求得结果.
，根据余弦定理以及重要不等式
详解：（Ⅰ）∵
【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可； （2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数 的取值范围.