奇异值分解降噪的改进方法-张磊彭伟才原春晖刘彦
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x ˉi = 1 ˉ i - j + 1 j A s - l + 1å j=1
s
研究， 发现一般由无噪声理想信号构造的 Hankel 矩阵的大部分奇异值为零。根据非零奇异值的数 目， 可以很容易地判断矩阵的有效阶次。因噪声 具有随机和不相关的特点， 因此， 由受随机噪声污 染 信 号 构 造 的 Hankel 矩 阵 呈 列 满 秩 或 行 满 秩 状 态 （取决于行和列哪个维数更小） 。 染信号进行仿真分析。无噪声理想信号 clean sig⁃ nal=sin （3× t） +sin （5× t） +sin （8× t） ， 单位为 V ， 其中 t 为时间间隔为 0.01 的从 0~2 变化的时间序列。在 （5） 计算得到） 的高斯白噪声， 得到了图 1 中的噪 声污染信号， 噪声干扰明显。
文献标志码： A 文章编号： 1673－ 3185（ 2012 ）05－ 83－ 06
An Improved Method for Noise Reduction Based on Singular Value Decomposition
Science and Technology on Ship Vibration and Noise Key Laboratory， China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China Abstract：Using Singular Value Decomposition（SVD） of constructed Hankel matrix by measured signal is an effective method for eliminating the random noise. The key is to choose the rank of the Hankel ma⁃ trix，but there is no mature and effective method now. An improved method was proposed according to the easy to choose the rank of the matrix which leads to the best noise elimination result. Simulation and experi⁃ fect as much as possible， and the analysis which depends on the signal is more reliable. relationship between the extremum points of the noise elimination signal and the rank of the matrix. It wass ment validated this method. The noise and vibration signal measured on ship and mechanical equipment could be refined through this method to improve the signal to noise ratio，optimize the noise elimination ef⁃ Key words： Singular Value Decomposition （SVD） ； noise elimination； extremum points ZHANG Lei PENG Wei-cai YUAN Chun-hui LIU Yan
刺的过程。经过对大量仿真结果的研究， 发现去 噪结果中剩余噪声对信号的干扰影响能够通过信 号中 “毛刺” 的数量及大小来判断， 这与实测经验
图 1 无噪声理想信号与噪声污染信号 Fig.1 Clean signal and noisy signal
第5期
张
磊等： 奇异值分解降噪的改进方法
80 70 60 奇异值数值 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Fig.4
对比图 2 中的两条奇异值曲线可知， 每个奇
奇异值序列号
奇异熵增量随奇异值数目变化的 曲线图 （噪声污染仿真信号） Increment of the singularity entropy versus the number of the singular values （noisy simulation signal）
4 3 2 幅值 /V 1 0 无噪声理想信号 噪声污染信号
（4）
现取如图 1 所示的无噪声理想信号和噪声污
l = max(1 i - m + 1) s = min(n i) 。 式中， ˉ ={x 由x ˉ1 x ˉ 2 x ˉ L} 即为降噪后的 ˉ i 构成的 X
离散信号。
无噪声理想信号中加入信噪比约为 6 dB （通过式
84
中
国
舰
船
研
究
第7卷
值数目变化时噪声对信号的干扰影响。
相吻合。当选取的奇异值数目较小时， 大部分噪 声都被剔除掉了， 但也损失了大量有用信号。随 着奇异值数目的逐渐增大， 有用信号信息趋于完 整， 但噪声的干扰也会逐渐增加。当奇异值数目 达到某一值时， 降噪后的信号既保留了大部分有 用信息， 也剔除掉了大部分噪声， 这就是要选取的 最佳奇异值数目。当奇异值数目再增加时， 基于 随机噪声对信号干扰的特点， 降噪后的信号中会 出现大量 “毛刺” ， 波动明显， 在数学意义上可表示 为有大量极值点出现。本文根据降噪后信号极值 点 （均指极大值点） 数量的变化， 找到了突变点， 可 （2） 清晰地判断应该选取的有效奇异值数目。 本文信噪比计算所用的公式为：
SNR = 10 lg x i2 å i=1
N
1
奇异值分解降噪基本原理
对于一个受噪声污染的离散信号 X = { x1 x 2
x L} ， 构造成 m ´ n(m n) 维的 Hankel 矩阵为：
m+n-1=L。
é x1 x 2 x n ù êx ú ê 2 x 3 x n + 1ú ú Am ´ n = ê （1） ê ú ê ú ê ú ëx m x m + 1 x L û m 为嵌入维数， 式中，A 为 Hankel 矩阵； 并且满足
对 Hankel 矩阵进行奇异值分解可得到：
A = U∑ V T
式中， U 为 m ´ m 维正交矩阵； V 为 n ´ n 维正交 异值， 并且从大到小排列。
矩阵； ∑ 为 m ´ n 维矩阵。主对角元素为矩阵的奇 kel 矩阵， 可以表示为未受噪声污染的信号子空间 和噪声子空间之和： 矩 阵 A 为 由 受 噪 声 污 染 的 信 号 构 成 的 Han⁃
第7卷 第5期 2012 年 10 月 第 5期
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal of Ship Research
doi： 10 . 3969 / j . issn . 1673－ 3185 . 2012 . 05 . 015
Vol.7 No.5 Oct.Leabharlann Baidu2012
奇异值分解降噪的改进方法
构造 Hankel 矩阵 （本文在此不讨论如何选取的维 得到奇异值序列图如图 2 所示 （只显示了 80 个奇 异值中的前 30 个） 。
80 70 60 奇异值数值 50 40 30 20 10 -10 0 0 5 10 奇异值序列号 15 20 25 30
对图 1 中的两个信号取维数 m = 80，n = 122
收稿日期： 2012－ 04－ 25 作者简介： 张 通信作者： 张
异值数目， 奇异值数目选择不当， 会极大地影响降
基金项目： 中国舰船研究设计中心研发基金 （VFA12-S14） 磊。
磊 （1987－）， 男， 硕士研究生。研究方向： 噪声振动控制研究。 E⁃mail： zhanglei_wh2010@126. com
85
数， 具体方法可参考文献 ［8］ ） ， 进行奇异值分解，
无噪声理想信号 噪声污染信号
奇异值序列号
图 3 奇异值序列图 （噪声污染仿真信号） Fig.3 Singular value curve （noisy simulation signal）
5 4 奇异熵增量 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ×105
3
3.1
仿真分析
噪声干扰对奇异值的影响
经过对无噪声理想信号和受噪声污染信号的
声子空间。对原始信号降噪就转化为已知的 A ， ˉ 的最佳逼近问题， 寻找 A 逼近程度越好， 降噪效 果便越明显［7］。 保留对角矩阵的前 k 个有效奇异值， 将其他 的奇异值设置为零， 利用奇异值分解的逆过程得 到重构矩阵。一般来说， 这时的重构矩阵不再是 Hankel 矩阵的形式。为了得到降噪后的信号， 需要 对重构矩阵中的反对角元素采用下式进行平均：
张 磊 彭伟才 原春晖 刘 彦
中国舰船研究设计中心 船舶振动噪声重点实验室， 湖北 武汉 430064
摘 要： 利用测试信号构造 Hankel 矩阵进行奇异值分解 （SVD） 是消除随机噪声干扰的有效方法， 其关键是奇异
值数目的选取， 但目前尚无成熟有效的确定方法。针对这一问题， 提出了一种奇异值分解降噪的改进方法， 该 方法依据去噪后信号极值点数量随奇异值数目变化的关系， 可以准确选取与最优降噪效果对应的奇异值数 目。仿真及实验结果表明， 该方法准确、 有效。利用该方法处理船舶和机械设备振动噪声测试信号， 可有效提 高其信噪比， 最大程度地优化信号去噪的效果， 提高分析的可靠性。 关键词： 奇异值分解； 去噪； 极值点 中图分类号： U661.44
2
改进方法
由实测经验可知， 当实际测量环境很好时， 测
量得到的信号一般为光滑曲线； 而当受到外界的 随机噪声干扰时， 测量得到的信号中就会含有大 量的 “毛刺” 。 异值分解降噪， 就是对含噪信号进行逼近、 剔除毛 利 用 噪 声 污 染 信 号 构 造 Hankel 矩 阵 进 行 奇
-1 -2 -3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 时间 /s 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
引
言
［1-4］
成 Hankel 矩 阵 ， 然后对其进行奇异值分解， 将包
含信号特征的矩阵分解到一系列奇异值和奇异值 ， 矢量对应的子空间中， 是对 Hankel 矩阵进行噪声 过滤的一种非线性滤波方法。从 SVD 降噪的基本 原理来看， 其关键就是确定 Hankel 矩阵的有效奇 噪效果。而目前用于确定奇异值数目的方法， 如 奇异值曲线、 奇异熵增量［5］、 信噪比经验［6］等， 都不 能明确地给出有效阶次， 往往只能依靠经验选取。 本文将通过仿真分析与实验测试来研究奇异
å ( x(i) - n(i))2
i=1
N
（5）
式 中 ，SNR 为 信 噪 比 ， dB ；n(i) 为 含 有 噪 声 的 信 号；x(i) 为真实信号；N 为信号长度。
0 öé V rTù æ∑ ˉ + N = [U r U 0]ç r A=A （3） ÷ê ê Tú ú V0 û è 0 ∑0 øë ˉ 为未受噪声污染的信号子空间；N 为噪 式中，A
图 2 无噪声理想信号和噪声污染信号的奇异值序列图 Fig.2 Singular value curves of clean signal and noisy signal
异值受到噪声干扰的程度不同： 较大的奇异值受 噪声干扰的影响较小， 而较小的奇异值受噪声干 扰的影响则较大。由于由受噪声污染信号构造的 “噪声信号” 两部分组成， 实际选取奇异值数目就 是一个对有用信号和噪声信号进行取舍的过程， 所以， 就要考虑在所选取的数目对应的那个奇异 值中， 有用信号和噪声信号的比例关系。 Hankel 矩 阵 的 每 个 奇 异 值 都 是 由 “有用信号” 和
在船舶振动噪声信号的测试过程中， 总存在 着由现场测试环境及仪器本身产生的误差源 其中一个不可避免的误差源就是随机噪声。测量 信号中的噪声水平直接决定了分析的可靠性， 为 此， 必须消除或者最小化信号中的噪声干扰。 作为信号降噪的有效方法之一， 奇异值分解 （SVD） 已被广泛应用于许多工程领域， 如信号滤 波和矩阵秩的估计。将受到噪声污染的信号构造
s
研究， 发现一般由无噪声理想信号构造的 Hankel 矩阵的大部分奇异值为零。根据非零奇异值的数 目， 可以很容易地判断矩阵的有效阶次。因噪声 具有随机和不相关的特点， 因此， 由受随机噪声污 染 信 号 构 造 的 Hankel 矩 阵 呈 列 满 秩 或 行 满 秩 状 态 （取决于行和列哪个维数更小） 。 染信号进行仿真分析。无噪声理想信号 clean sig⁃ nal=sin （3× t） +sin （5× t） +sin （8× t） ， 单位为 V ， 其中 t 为时间间隔为 0.01 的从 0~2 变化的时间序列。在 （5） 计算得到） 的高斯白噪声， 得到了图 1 中的噪 声污染信号， 噪声干扰明显。
文献标志码： A 文章编号： 1673－ 3185（ 2012 ）05－ 83－ 06
An Improved Method for Noise Reduction Based on Singular Value Decomposition
Science and Technology on Ship Vibration and Noise Key Laboratory， China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China Abstract：Using Singular Value Decomposition（SVD） of constructed Hankel matrix by measured signal is an effective method for eliminating the random noise. The key is to choose the rank of the Hankel ma⁃ trix，but there is no mature and effective method now. An improved method was proposed according to the easy to choose the rank of the matrix which leads to the best noise elimination result. Simulation and experi⁃ fect as much as possible， and the analysis which depends on the signal is more reliable. relationship between the extremum points of the noise elimination signal and the rank of the matrix. It wass ment validated this method. The noise and vibration signal measured on ship and mechanical equipment could be refined through this method to improve the signal to noise ratio，optimize the noise elimination ef⁃ Key words： Singular Value Decomposition （SVD） ； noise elimination； extremum points ZHANG Lei PENG Wei-cai YUAN Chun-hui LIU Yan
刺的过程。经过对大量仿真结果的研究， 发现去 噪结果中剩余噪声对信号的干扰影响能够通过信 号中 “毛刺” 的数量及大小来判断， 这与实测经验
图 1 无噪声理想信号与噪声污染信号 Fig.1 Clean signal and noisy signal
第5期
张
磊等： 奇异值分解降噪的改进方法
80 70 60 奇异值数值 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Fig.4
对比图 2 中的两条奇异值曲线可知， 每个奇
奇异值序列号
奇异熵增量随奇异值数目变化的 曲线图 （噪声污染仿真信号） Increment of the singularity entropy versus the number of the singular values （noisy simulation signal）
4 3 2 幅值 /V 1 0 无噪声理想信号 噪声污染信号
（4）
现取如图 1 所示的无噪声理想信号和噪声污
l = max(1 i - m + 1) s = min(n i) 。 式中， ˉ ={x 由x ˉ1 x ˉ 2 x ˉ L} 即为降噪后的 ˉ i 构成的 X
离散信号。
无噪声理想信号中加入信噪比约为 6 dB （通过式
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中
国
舰
船
研
究
第7卷
值数目变化时噪声对信号的干扰影响。
相吻合。当选取的奇异值数目较小时， 大部分噪 声都被剔除掉了， 但也损失了大量有用信号。随 着奇异值数目的逐渐增大， 有用信号信息趋于完 整， 但噪声的干扰也会逐渐增加。当奇异值数目 达到某一值时， 降噪后的信号既保留了大部分有 用信息， 也剔除掉了大部分噪声， 这就是要选取的 最佳奇异值数目。当奇异值数目再增加时， 基于 随机噪声对信号干扰的特点， 降噪后的信号中会 出现大量 “毛刺” ， 波动明显， 在数学意义上可表示 为有大量极值点出现。本文根据降噪后信号极值 点 （均指极大值点） 数量的变化， 找到了突变点， 可 （2） 清晰地判断应该选取的有效奇异值数目。 本文信噪比计算所用的公式为：
SNR = 10 lg x i2 å i=1
N
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奇异值分解降噪基本原理
对于一个受噪声污染的离散信号 X = { x1 x 2
x L} ， 构造成 m ´ n(m n) 维的 Hankel 矩阵为：
m+n-1=L。
é x1 x 2 x n ù êx ú ê 2 x 3 x n + 1ú ú Am ´ n = ê （1） ê ú ê ú ê ú ëx m x m + 1 x L û m 为嵌入维数， 式中，A 为 Hankel 矩阵； 并且满足
对 Hankel 矩阵进行奇异值分解可得到：
A = U∑ V T
式中， U 为 m ´ m 维正交矩阵； V 为 n ´ n 维正交 异值， 并且从大到小排列。
矩阵； ∑ 为 m ´ n 维矩阵。主对角元素为矩阵的奇 kel 矩阵， 可以表示为未受噪声污染的信号子空间 和噪声子空间之和： 矩 阵 A 为 由 受 噪 声 污 染 的 信 号 构 成 的 Han⁃
第7卷 第5期 2012 年 10 月 第 5期
中 国 舰 船 研 究 Chinese Journal of Ship Research
doi： 10 . 3969 / j . issn . 1673－ 3185 . 2012 . 05 . 015
Vol.7 No.5 Oct.Leabharlann Baidu2012
奇异值分解降噪的改进方法
构造 Hankel 矩阵 （本文在此不讨论如何选取的维 得到奇异值序列图如图 2 所示 （只显示了 80 个奇 异值中的前 30 个） 。
80 70 60 奇异值数值 50 40 30 20 10 -10 0 0 5 10 奇异值序列号 15 20 25 30
对图 1 中的两个信号取维数 m = 80，n = 122
收稿日期： 2012－ 04－ 25 作者简介： 张 通信作者： 张
异值数目， 奇异值数目选择不当， 会极大地影响降
基金项目： 中国舰船研究设计中心研发基金 （VFA12-S14） 磊。
磊 （1987－）， 男， 硕士研究生。研究方向： 噪声振动控制研究。 E⁃mail： zhanglei_wh2010@126. com
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数， 具体方法可参考文献 ［8］ ） ， 进行奇异值分解，
无噪声理想信号 噪声污染信号
奇异值序列号
图 3 奇异值序列图 （噪声污染仿真信号） Fig.3 Singular value curve （noisy simulation signal）
5 4 奇异熵增量 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 ×105
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3.1
仿真分析
噪声干扰对奇异值的影响
经过对无噪声理想信号和受噪声污染信号的
声子空间。对原始信号降噪就转化为已知的 A ， ˉ 的最佳逼近问题， 寻找 A 逼近程度越好， 降噪效 果便越明显［7］。 保留对角矩阵的前 k 个有效奇异值， 将其他 的奇异值设置为零， 利用奇异值分解的逆过程得 到重构矩阵。一般来说， 这时的重构矩阵不再是 Hankel 矩阵的形式。为了得到降噪后的信号， 需要 对重构矩阵中的反对角元素采用下式进行平均：
张 磊 彭伟才 原春晖 刘 彦
中国舰船研究设计中心 船舶振动噪声重点实验室， 湖北 武汉 430064
摘 要： 利用测试信号构造 Hankel 矩阵进行奇异值分解 （SVD） 是消除随机噪声干扰的有效方法， 其关键是奇异
值数目的选取， 但目前尚无成熟有效的确定方法。针对这一问题， 提出了一种奇异值分解降噪的改进方法， 该 方法依据去噪后信号极值点数量随奇异值数目变化的关系， 可以准确选取与最优降噪效果对应的奇异值数 目。仿真及实验结果表明， 该方法准确、 有效。利用该方法处理船舶和机械设备振动噪声测试信号， 可有效提 高其信噪比， 最大程度地优化信号去噪的效果， 提高分析的可靠性。 关键词： 奇异值分解； 去噪； 极值点 中图分类号： U661.44
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改进方法
由实测经验可知， 当实际测量环境很好时， 测
量得到的信号一般为光滑曲线； 而当受到外界的 随机噪声干扰时， 测量得到的信号中就会含有大 量的 “毛刺” 。 异值分解降噪， 就是对含噪信号进行逼近、 剔除毛 利 用 噪 声 污 染 信 号 构 造 Hankel 矩 阵 进 行 奇
-1 -2 -3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 时间 /s 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
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引
言
［1-4］
成 Hankel 矩 阵 ， 然后对其进行奇异值分解， 将包
含信号特征的矩阵分解到一系列奇异值和奇异值 ， 矢量对应的子空间中， 是对 Hankel 矩阵进行噪声 过滤的一种非线性滤波方法。从 SVD 降噪的基本 原理来看， 其关键就是确定 Hankel 矩阵的有效奇 噪效果。而目前用于确定奇异值数目的方法， 如 奇异值曲线、 奇异熵增量［5］、 信噪比经验［6］等， 都不 能明确地给出有效阶次， 往往只能依靠经验选取。 本文将通过仿真分析与实验测试来研究奇异
å ( x(i) - n(i))2
i=1
N
（5）
式 中 ，SNR 为 信 噪 比 ， dB ；n(i) 为 含 有 噪 声 的 信 号；x(i) 为真实信号；N 为信号长度。
0 öé V rTù æ∑ ˉ + N = [U r U 0]ç r A=A （3） ÷ê ê Tú ú V0 û è 0 ∑0 øë ˉ 为未受噪声污染的信号子空间；N 为噪 式中，A
图 2 无噪声理想信号和噪声污染信号的奇异值序列图 Fig.2 Singular value curves of clean signal and noisy signal
异值受到噪声干扰的程度不同： 较大的奇异值受 噪声干扰的影响较小， 而较小的奇异值受噪声干 扰的影响则较大。由于由受噪声污染信号构造的 “噪声信号” 两部分组成， 实际选取奇异值数目就 是一个对有用信号和噪声信号进行取舍的过程， 所以， 就要考虑在所选取的数目对应的那个奇异 值中， 有用信号和噪声信号的比例关系。 Hankel 矩 阵 的 每 个 奇 异 值 都 是 由 “有用信号” 和
在船舶振动噪声信号的测试过程中， 总存在 着由现场测试环境及仪器本身产生的误差源 其中一个不可避免的误差源就是随机噪声。测量 信号中的噪声水平直接决定了分析的可靠性， 为 此， 必须消除或者最小化信号中的噪声干扰。 作为信号降噪的有效方法之一， 奇异值分解 （SVD） 已被广泛应用于许多工程领域， 如信号滤 波和矩阵秩的估计。将受到噪声污染的信号构造