2021届内蒙古赤峰市松山区高三普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学试题
内蒙古赤峰市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析
内蒙古赤峰市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值【答案】C【解析】【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【详解】A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC所以1B M AE ⊥，所以存在C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离，所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离，所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.2．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】【分析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于B 选项，20002004-投资总额为1119253537127++++=亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到374148⨯=，故描述正确.对于D 选项，令10t =代入回归直线方程得9917.510274+⨯=亿元，故D 选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.3．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r ，则3m =是//a b r r 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 【答案】A【解析】【分析】向量1a m =r （，），32b m =-r （，），//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =r （，），32b m =-（,）r， //a b r r ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.4．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则A B =I（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-【答案】A【解析】【分析】 解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．105 【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d a a a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =. 在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 6．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．1 【答案】D【解析】【分析】推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可.【详解】由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=， ()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由于当10x -≤≤时，()21f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2-- 【答案】C【解析】【分析】 对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.8．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．534【答案】B【解析】【分析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC === 由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin APC ∠= 所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B【点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.10．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 【答案】A【解析】【分析】对复数z 进行乘法运算，并计算得到42z i =+，从而得到虚部为2.【详解】因为(1)(3)42z i i i =+-=+，所以z 的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意21i =-.11．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】 根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】 根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题含解析
内蒙古2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共12题）1、已知，集合，则（）A ．B ．C ．D ．2、设复数满足，则（）A ．B ．C ．D ． 13、函数在其定义域上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4、某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t （单位：天）的模型：. 已知甲传染源感染后至隔离前时长为 5 天，与之相关确诊病例人数为8 ；乙传染源感染后至隔离前时长为8 天，与之相关确诊病例人数为20. 若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）A ．44B ．48C ．80D ．1255、“ ” 是“ 函数在上单调递增” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、设为定义在上的奇函数，且满足，，则（）A ．B ．C ．0D ． 17、已知，，，则（）A ．B ．C ．D ．8、若，则的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．9、设函数在上存在导函数，都有，且在上，若，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．10、已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．11、设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（）A ．B ． 1C ．D ．12、已知定义在的函数对任意的满足，当，，函数，若函数在上有 6 个零点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共4题）1、若命题“ ” 是真命题，则实数的取值范围是 ____________2、已知函数的定义域为，则函数的定义域为 _______3、高中生必读名著有《西游记》､《红楼梦》､《三国演义》､《水浒传》､《复活》､《老人与海》，后两本为外国名著，甲读了其中的两本，乙读了其中的 1 本，则甲､乙看同一本外国名著的概率为___________.4、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：① 当时，；② 函数有个零点；③ ，，都有；④的解集为．其中正确的命题是 ____________三、解答题（共7题）1、已知集合．（ 1 ）当时，求；（ 2 ）若是成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．2、已知函数是定义在上的奇函数 .（ 1 ）求实数m 的值；（ 2 ）如果对任意，不等式恒成立，求实数k 的取值范围 .3、设函数．（ 1 ）求函数的单调区间和极值；（ 2 ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．4、已知，设：复数( 是虚数单位 ) 在复平面内对应的点在第二象限，：复数的模不超过．（ 1 ）当为真命题时，求的取值范围；（ 2 ）若命题“ 且” 为假命题，“ 或” 为真命题，求的取值范围．5、已知函数的极大值为，其中为常数，为自然对数的底数 .（ 1 ）求的值；（ 2 ）若函数，对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围 .6、在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（ 1 ）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；（ 2 ）过点，倾斜角为的直线与曲线交于，两点，求的值．7、设函数．（ 1 ）求不等式的解集；（ 2 ）若不等式在区间上恒成立，求a 的取值范围．============参考答案============一、选择题1、 D【分析】解对数不等式求出集合 B ，再与集合 A 求交集即可.【详解】因为，集合，则,故选： D.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题 .2、 B【分析】由条件得，取模可得结果 .【详解】由得，所以.故选： B.3、 D【分析】求函数的定义域 , 判断函数的奇偶性和对称性, 利用排除法, 进行判断即可【详解】函数的定义域为.因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除 A,B ；当，，排除 C.故选 :D.4、 D【分析】根据求得，由此求得的值 .【详解】依题意得，，，所以. 故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选： D5、 B【分析】根据函数的单调性，由在区间，上单调递增可求得的范围，然后根据充要条件求得结果 .【详解】解：由在递减，在上递增，又函数在区间，上单调递增，得：，即，又“ ” 是“ ” 的必要不充分条件，若，则“ ” 是“ 函数在区间，上单调递增” 的必要不充分条件．故选： B ．6、 B【分析】先利用奇偶性和周期性求出和，即得结果 .【详解】解：是定义在上的奇函数，，满足，，又，.故选： B.【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题 .7、 C【分析】根据指数函数的性质，求得，根据对数函数的性质，求得，即可求解 . 【详解】由指数函数的性质，可得，且又由，即，所以.故选： C.8、 B【分析】根据微积分基本定理进行求解即可 .【详解】因为，，，所以，故选： B9、 A【分析】令，依题意，可得为奇函数，且在上单调递增；（a ），即（a ），根据函数的单调性即可得出答案．【详解】解：令，都有，为奇函数，，即为奇函数，又在上，当时，，在上单调递增，为奇函数，在上单调递增；（a ），即（a ），即（a ），，.故选： A ．10、 B【分析】根据可知在上单调递增，再将不等式转化为，最后利用在上单调递增列不等式求解 ..【详解】由得，.令，则在上单调递增，因为的定义域为，所以不等式满足，，不等式两边同时乘以得，，即，又因为在上单调递增，所以，解得，故选： B.11、 C【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出、的值，再利用构造函数利用导数求的最大值即可 .【详解】解：由题得，设切点，，则，；则切线方程为：，即，又因为，所以，，则，令，则，则有，；，，即在上递增，在上递减，所以时，取最大值，即的最大值为.故选： C.【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题 .12、 C【分析】由题意首先确定函数的周期，然后绘制的图象，再画出的图象，由函数在上有个零点，得到与在上有且仅有个交点，从而得到的不等式，解出的范围．【详解】因为函数对任意的满足，所以得到为周期函数，周期为，因为当，画出的图象，在同一坐标系下画出的图象，因为函数在上有个零点，所以与在上要有且仅有个交点，由图象可得，在轴左侧有个交点，只要在轴右侧有且仅有个交点，则，即有，所以或.故选： C ．二、填空题1、【分析】根据不等式恒成立，转化为求的最小值，求实数的取值范围 . 【详解】由命题“ ” 是真命题，可知，的最小值是 2 ，所以，即实数的取值范围是.故答案为：2、【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解 .【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：，所以函数的定义域是.故答案为：3、【分析】设甲､乙看同一本外国名著为事件A ，根据题意，求得满足事件A 的可能性，再求得总可能性，代入公式，即可得答案 .【详解】设甲､乙看同一本外国名著为事件A ，事件A 包含的情况有：① 甲看了两本外国名著，乙任选，有种可能，② 甲看了一本外国名著，一本中国名著，共有种可能，总可能性有种可能，所以.故答案为：4、①③【分析】直接利用函数的图象和性质的应用，不等式的解法，函数的零点和方程的根的关系，函数的定义域和值域的求法判断① 、②、③、④的结论．【详解】对于① ，当时，则，所以，整理得，故① 正确；对于② ，当时，由可得，即，故，又函数在处有定义，故，故函数有 3 个零点，故②错误；对于③ ，当时，，所以时，有，时，有，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时取得极小值，且时，，时，所以，即，可作大致图象如下，再根据对称性作时的大致图象，综上时，值域为，当时，值域为，而所以的值域为．故，，都有，，即，，故，即③ 正确．对于④ ，当时，则的解集为，；当时，的解集为，；当时，成立．故的解集为，，，故④ 错误；故答案为：①③ ．【点睛】本题主要考查了函数性质的综合运用，包括奇偶性、利用奇偶性求解函数解析式的问题，同时也考查了数形结合解决零点和不等式范围的问题，属于难题三、解答题1、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）当时，首先求出集合、，再根据交集、并集的定义计算可得；（ 2 ）依题意可得是B 的真子集，再对与分两种情况讨论，得到不等式组，解得即可；【详解】（ 1 ）当时，，；（ 2 ）若是成立的充分不必要条件，则是B 的真子集，所以当时，，即，因为，所以原不等式无解，解集为；当时，解得，因为时，则是的充要条件，不合题意，所以2、（ 1 ）（ 2 ）【分析】（ 1 ）由求得参数值，再检验函数是奇函数．（ 2 ）先证明函数是增函数，则可把不等式化为，即对任意恒成立，移项为，由得范围．【详解】解：（ 1 ）因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，检验符合要求 .（ 2 ），任取，则，因为，所以，所以，所以函数在上是增函数 .因为，且是奇函数所以，因为在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意的恒成立∴ ，∴ 实数k 的取值范围为.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，注意函数不等式利用函数性质变形转化的一般步骤．3、（ 1 ）单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值，极小值 0 ；（2 ）.【分析】（ 1 ）先对原函数求导，根据求出单调递增区间，根据求得单调递减区间，根据导数与极值知识求得函数极值即可；（ 2 ）将恒成立问题转化为求函数最小值问题，结合（ 1 ）中函数单调性求解即可.【详解】（ 1 ），由，得或，由，得，∴ 的单调递增区间为和，单调递减区间为.极大值为，极小值为（ 2 ）由（1 ）知，在单调递减，在单调递增，所以当时，.因为当时，不等式恒成立所以，即，故实数的取值范围为.4、（ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）根据复数的几何意义可得：实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解；（ 2 ）根据模长公式列不等式可求出是真命题时的取值范围，根据题意可知、一真一假，再讨论真假、假真所满足的条件，即可求解 .【详解】（ 1 ）当为真命题时，复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解得：，所以的取值范围为，（ 2 ）若：复数的模不超过是真命题，则，即，解得：，由（ 1 ）知：当为真命题时，，因为命题“ 且” 为假命题，“ 或” 为真命题，所以、一真一假，当真假时，解得：，当假真时，解得：，综上所述：的取值范围为.5、（ 1 ） 1 ；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可.（ 2 ）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可. 【详解】（ 1 ）的定义域为，，令，解得：，令，解得：，所以当，为增函数，当，为减函数，所以时，有极大值，所以；（ 2 ）由（1 ）知，，则，即对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立设，则对恒成立，设，，原问题转化为：对恒成立，① 若，当时，，则，不合题意；② 若，则对恒成立，符合题意③ 若，则，令，，令，，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以，即，即；综上.【点睛】本题考查导函数研究函数单调性，极值，最值以及不等式恒成立问题，过程中使用了转化与化归的数学思想和分类讨论的数学思想，属于压轴题 .6、（ 1 ）；；（ 2 ）．【分析】（ 1 ）分别运用公式和消参变形化简即可；（ 2 ）直线与曲线联立，再根据的几何意义求解 . 【详解】（ 1 ）曲线的参数方程为（为参数），转化为直角坐标方程为，即，将代入得化简得.将的方程消去“ ” 得.（ 2 ）由题知，点在直线上 , 在曲线内 . 将的参数方程代入，得，设对应的参数分别为∴ ，，∴ ．7、（ 1 ）；（ 2 ）【分析】（ 1 ）利用绝对值不等式的性质直接求解即可；（ 2 ）根据题意，得到，然后根据，化简得到，进而根据不等式恒成立的性质得到或恒成立，进而求出的取值范围【详解】（ 1 ）由得，，整理得，，解得，，则原不等式解集为：（ 2 ）在区间上恒成立，即为，即，可得，，，所以，或，解得或恒成立，化简得或恒成立，由，可得，所以，或，即的取值范围是：【点睛】关键点睛：解题关键在于根据，进而化简绝对值不等式，得到，最后利用绝对不等式的性质以及不等式的恒成立关系转化为求或成立的问题，进而求解，属于中档题。
内蒙古赤峰市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
内蒙古赤峰市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<，∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 2．已知集合{}{}2340,13A x x x B x x =-->=-≤≤，则R ()A B =I ð( ) A ．()1,3- B ．[]1,3- C ．[]1,4- D ．()1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先由2340x x -->得4x >或1x <-，再计算R ()ðA B I 即可. 【详解】由2340x x -->得4x >或1x <-，()(),14,A ∴=-∞-⋃+∞，[]R 1,4ðA =-,又{}13B x x =-≤≤，[]R ()1,3A B ∴=-I ð. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.3．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．28358【答案】D 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22rr rr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.4．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．12i + C ．12-D ．12i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r绕原点O 逆时针旋转6π得到OB uuu r ， 设OB uuu r＝(a ，b)，0,0a b <>，则cos 6OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2b =， 又221a b +=，解得：1,22a b =-=，∴12OB ⎛=- ⎝⎭u u u r ，对应复数为12-+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.5．若平面向量,,a b c r r r，满足||2,||4,4,||a b a b c a b ==⋅=-+=r r r r r r r ，则||c b -r r 的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】 【分析】可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【详解】 由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-r r r r r r r，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=r r r rr r r r Q|2|a b ∴-=r r2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-r r r r r r r r r r r r r r22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>r r r r r r r r r r r r r r r3522cos ,2c a b a b =++<-++>r r r r r55cos ,2c a b a b =+<-++>r r r r r55+…2555223+=+⨯=Q ，故选：C 【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.6．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.7．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.8．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0； ∴m ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．9．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题 10．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =【答案】C【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合. C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.11．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）A．3B．3C．2D．3【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以1a =1a b == ，2224c a b =+= ，即2c =，c e a == D. 12．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】 【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项.由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018， 又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，L ，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=，所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，L ，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古自治区赤峰市市松山区老府中学2021年高三数学理测试题含解析
内蒙古自治区赤峰市市松山区老府中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则的值为（）A.2B.3C.4D.6参考答案：D略2. 已知函数,则（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 下列函数图象中，正确的是参考答案：CA中幂函数中而直线中截距，不对应。
B中幂函数中而直线中截距，不对应。
D 中对数函数中，而直线中截距，不对应，选C.5. 锥体中，平行于底面的两个平面把锥体的体积三等分，这时高被分成三段的长自上而下的比为（）A．1：： B．1：2：3C．1：（﹣1）：（﹣）D．1：（﹣1）：（﹣）参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】锥体被平行于底面的两平面截得三部分的体积的比自上至下依次是1：2：3，则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比，从而求出相似比为1：：，得到这三部分的相应的高的比．【解答】解：由题意，以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体，根据相似的性质三个锥体的体积比为1：2：3，相似比为1：：，则h1：h2：h3=1：（﹣1）：（﹣），故选D．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，其中利用相似的性质，线之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方，体积之比等于相似比的立方，求出三个锥体的体积之比是解答本题的关键．6. 已知，且，则等于（）A. B. C. D.参考答案：B略7. 已知正项等比数列{a n}的前n项和S n，满足则的最小值为（）A. B.3 C.4 D.12参考答案：D由题意可知的公比，，则，则有，所以.试题立意：本小题考查等比数列、二次函数等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，化归与转化思想.8. 下列命题：（1）若“，则”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若，则的解集为R”的逆否命题；（4）“若为有理数，则为无理数”。
赤峰高三2021.1.30理数答案
P 93 20 8
3
1
20 40
∴
E(Y
)
50
9 20
100
3 8
150
3 20
200
1 40
87.5
.…………………12
分
20.(12 分)
（1）解：函数 f (x) 的定义域为 (0,)
由
f
(x)
x
2 2
1
x ln
x
，得
f
( x)
x
ln
x
1
………………………………2 分
令
g(x)
x
ln
则设点 A 的极坐标为 (1, ) ，点 B 的极坐标为 (2 , ) ， OA 1, OB 2
1
3 sin
1 cos
, 2
2 cos
…………………… 7 分
OB OA
(
3 sin cos ) 2 cos 2(
3 sin cos cos2 )
2(
3 2
sin 2
17.(12 分)
解：（1）由题设及正弦定理得 a2 b2 c2 bc ………………………2 分
由余弦定理得, cos
A
b2
c2 a2 2bc
1 2
…………………4 分
A
0,
2
,
A
3
……………………………………6 分
（2） cos
A cos B cos C
cos
3
cos
B
cos
y1 )
，则
y1 y0
16
y1
16 y0
B
32 y02
内蒙古2021年高考数学一模试卷(理科)C卷
内蒙古2021年高考数学一模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·大同期末) 已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣23. （2分） (2018高三上·湖北月考) 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·攀枝花模拟) 2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·临泽期末) 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）已知（x2﹣）9（a∈R）的展开式中x6的系数为﹣，则（1+sinx）dx的值等于（）A . 4﹣2cos2B . 4+2cos2C . ﹣4+2cos2D . 48. （2分）定义：符合的x称为的一阶不动点，符合的x称为的二阶不动点。
设函数若函数没有一阶不动点，则函数二阶不动点的个数为（）A . 四个B . 两个C . 一个D . 零个9. （2分） (2019高三上·天津期末) 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A . 1B . 2C . 7D . 810. （2分）(2017高二下·沈阳期末) 若，则的值为（）A . 2B . 0C . －1D . －211. （2分） (2015高三上·唐山期末) 下列命题中的假命题是（）A . ∀x∈R，2﹣x+1＞1B . ∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0C . ∃x∈R，sinx+cosx=D . ∃x∈R，x2+ ≤112. （2分） (2018高三上·重庆月考) 若且，则下列不等式中一定成立的是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·北京月考) 如图所示的数阵，第n行最右边的数是________．14. （1分）(2020·泉州模拟) 中，角所对的边分别为，．若点D在边上，且，则AD的最大值是________．15. （1分） (2016高一下·珠海期末) 设 =（sinx，sinx）， =（﹣sinx，m+1），若• =m在区间（，）上有三个根，则m的范围为________．16. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 已知，若方程f（x）=kx有且仅有一个实数解，则实数k的取值范围为________．三、解答题： (共8题；共80分)17. （10分） (2019高三上·杭州月考) 已知正项数列满足， .（1）证明：数列是等比数列；（2）证明： .18. （10分） (2020高三上·南昌月考) 已知向量其中分别是的三边所对的角.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.19. （15分） (2015高三下·湖北期中) 已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1） a= 时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1 ， x2 ，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．20. （5分） (2017高一上·嘉峪关期末) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC= ．（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A﹣l﹣B的大小．21. （10分）(2016·运城模拟) 设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．22. （5分） (2019高一上·长沙月考) 已知 ,设命题函数在R上单调递减，不等式的解集为R,若和中有且只有一个命题为真命题，求的取值范围.23. （10分）(2012·辽宁理) 选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1 ， C2的极坐标方程，并求出圆C1 ，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．24. （15分）如图,已知点P在☉O外,PC是☉O的切线,切点为C,直线PO与☉O相交于点A,B.（1）试探索∠BCP与∠P的数量关系;（2）若∠A=30°,则PB与PA有什么关系?（3）∠A可能等于45°吗?为什么?参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共8题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、。
内蒙古赤峰市2021届新高考数学一模考试卷含解析
内蒙古赤峰市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2x π=对称，得到223ππϕ⨯+-2k ππ=+，由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ2φk π232⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3y x πϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( )A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩＜， ∴f （5）＝f[f （1）] ＝f （9）＝f[f （15）] ＝f （13）＝1． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题． 3．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27 C ．81D ．83【答案】A 【解析】 【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q.由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()4141340133a S -==-，解得113a =，故341393a =⨯=. 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.6．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30°的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=【答案】A 【解析】 【分析】直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得3y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，得y =.b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.故选：A 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.7．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.5C ．0.4D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为510.5102==. 故选：B 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.8．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.9．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．1【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数表达式，先求得()1f -的值，然后结合()f x 的奇偶性，求得((1))g f -的值. 【详解】因为函数3,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，所以(1)(1)2f f -=-=-，((1))(2)(2)(2)10g f g f f -=-=-=-=-.故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．11．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值. 【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n mm n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 12．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：化简集合故选C ．考点：集合的运算．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(理科)
2021年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|1<x <3}，B ={x|x 2−5x −6>0}，则A ∩B =( )A. (1,3)B. (1,6)C. (−1,3)D. ⌀2. 若x1+i =2−yi(x,y ∈R,i 为虚数单位)，则|x +yi|=( )A. √5B. 5C. 2√5D. 203. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y ≤4x ≥1，则z =2x −y 的最小值为( )A. −2B. −1C. 0D. 14. 新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠(yuè)、合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则这4个数据的平均数与极差分别为( )A. 3.1767，0.0615B. 3.1767，0.0533C. 3.1745，0.0484D. 3.1547，0.05335. 已知⊙O 的圆心是坐标原点O ，且被直线2x −y +5=0截得的弦长为4，则⊙O 的方程为( )A. x 2+y 2=4B. x 2+y 2=9C. x 2+y 2=8D. x 2+y 2=66. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a +c =2b ，且sin 2A +sin 2B −sin 2C =−sinAsinB ，则cosB =( )A. 1314B. 12C. 1114D. −127. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S n =S n−1+3a n−1(n >1,n ∈N ∗)，则S 4=( )A. 80B. 86C. 240D. 2438. 已知α∈(−π2,π2)，cos(α+π6)=15，则sin(2α+π3)=( )A. √65B. 2√65C. 4√625D. −4√6259. 已知直线l 1过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 在第一象限的交点为A ，点B 在抛物线C 的准线l 2上，且AB ⊥l 2.若点A 到直线BF 的距离是2√3，则直线l 1的斜率是( )A. √3B. √33C. −√3D. −√3310. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，且f(x)的图象关于点(x 0,0)对称，则|x 0|的最小值为( )A. 2π3 B. π6 C. π3 D. 5π611. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[0,2]时，f(x)=x 2−3，若方程f(x)=log a x(a >0，且a ≠1)在区间(0,10)上有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A. (0,18]∪[8,10)B. (0,12]∪[6,10)C. (0,18)∪(6,10]D. (0,12)∪(6,10]12. 在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2，AD =√3，∠CAB =π3，点F是线段AB 上的一点，M 为直线BC 上的动点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−174，则MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A. 14B. −6364C. −11D. −2364二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2x −1x )5的展开式中x 与x −1的系数之比为______ ．14. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v =12log 3O100，单位是m/s ，其中O 表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是______m/s ．15. 已知圆锥的体积为2√23π，其底面半径和母线长的比为1：3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______ ．16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(O 为坐标原点)，若线段MF 1交双曲线于点P ，且|PF 2|+|PF 1|=3a ，则双曲线的离心率为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2=5，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{1S n}的前n 项和T n <34．18. 如图所示的几何体中，△ABE ，△BCE ，△DCE 都是等腰直角三角形，AB =AE =DE =DC ，且BE ⊥DC ，CE ⊥AB ．(1)求证：BE ⊥平面DCE ；(2)若F 为线段BC 的中点，求二面角F −AD −E 的余弦值．19. 甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89．(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高单位：cm)的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率p，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X，求X的分布列及其数学期望(用(1)中的回归方程估测这10位男生的体重)．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，且过点(√3,1)(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E右焦点的直线l1，l2互相垂直，且分别交椭圆E于A，B和C，D四点，求|AB|+|CD|的最小值．21.设函数f(x)=x2−a(x+alnx)(a≠0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，若f(x)的最小值为0，证明：212+322+⋯+n+1n2>ln(n+1)(n∈N∗)．22. 在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =t +1y =t +5(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=32+cos2θ．(1)求直线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 2上的动点到直线C 1距离的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −1|+2|x +1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤5的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x −m 的解集为R ，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|1<x <3}， B ={x|x 2−5x −6>0}={x|x <−1或x >6}， ∴A ∩B =⌀． 故选：D ．求出集合B ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵x1+i =2−yi(x,y ∈R,i 为虚数单位)， ∴x =(1+i)(2−yi)=2+y +(2−y)i ， ∴x =2+y ，2−y =0， 解得y =2，x =4．则|x +yi|=√22+42=2√5， 故选：C ．利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =1x +y =4，解得A(1,3)，由z=2x−y，得y=2x−z，由图可知，当直线y=2x−z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为−1．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】B【解析】解：由题意，这4个数据分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，×(3.1547+3.1992+3.1498+3.2031)=3.1767，这4个数据的平均数为144个数据中最大的时3.2031，最小的为3.1498，极差为3.2031−3.1498=0.0533．故选：B．根据题意，计算这4个数据的平均数以及极差即可．本题考查了特征数的求解，解题的关键是掌握极差的定义以及平均数的计算公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：∵⊙O的圆心是坐标原点O，且被直线2x−y+5=0截得的弦长为4，设⊙O的方程为x2+y2=r2，=√5，则弦心距为d=√22+12∴(√5)2+(2)2=r2，解得r2=9，可得圆的标准方程为x2+y2=9，故选：B．设⊙O的方程为x2+y2=r2，求出点到直线的距离公式，再根据弦心距、半弦长、半径间的关系，求得r2的值，可得要求圆的标准方程．本题主要考查点到直线的距离公式，弦心距、半弦长、半径间的关系，求圆的标准方程，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：因为sin2A+sin2B−sin2C=−sinAsinB，所以a2+b2−c2=−ab，所以(a−c)(a+c)+ab=−b2，因为a+c=2b，所以2b(a−c)+ab=−b2，即b(3a−2c)=−b2，因为b≠0，所以3a−2c=−b，即b=2c−3a，故c=73a，b=53a，cosB=a2+c2−b22ac =a2+49a29−25a292a×7a3=1114．故选：C．由已知结合正弦定理先进行化简，然后结合已知可得a，b，c的关系，再由余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：a1=2，S n=S n−1+3a n−1，当n=2时，S2=S1+3a1=4a1=8，∴a2=S2−S1=8−2=6，∴a2a1=3，∴S n−S n−1=3a n−1，∴a n=3a n−1，∴数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴S4=2(1−34)1−3=80．故选：A．根据递推公式求出a2=6，即可得到数列{a n}是以2为首项，以3为公比的等比数列，根据求和公式即可求出．本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为α∈(−π2,π2 )，所以α+π6∈(−π3,2π3)，又cos(α+π6)=15<cos(−π3)=12，所以α+π6是第一象限角，α+π6∈(0,π2)，所以sin(α+π6)=√1−(15)2=2√65，所以sin(2α+π3)=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×2√65×15=4√625．故选：C．由题意根据cos(α+π6)=15<cos(−π3)=12，可得α+π6是第一象限角，利用同角三角函数基本关系式可求sin(α+π6)的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意可知，F(1,0)，设A(x0,y0)，则B(−1,y0)，直线NF的方程为y=−y02(x−1)，即y0x+2y−y0=0．∵点A在抛物线C上，∴y02=4x0，∵点M到直线NF的距离是2√3，∴0000√y0+4=2√3，∴整理得y04+4y02=192，解得y02=12(负值舍)，∴x0=3，即A(3,2√3)，故直线l的斜率是：2√3−02−1=√3．故选：A．设A(x0,y0)，则B(−1,y0)，利用点斜式写出直线NF的方程，结合点到直线的距离公式求出A到直线BF的距离，于是建立x0和y0的方程，再把y02=4x0，代入上述方程中化简整理后可解y0和x0的值，也就得到了点M的坐标，最后利用M和F两点的坐标即可求得直线l的斜率．本题考查解析几何中直线与抛物线的简单计算，灵活运用直线方程的表达形式、点到直线的距离公式等是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象，可得A=2，3 4⋅2πω=11π6−π3，∴ω=1．集合五点法作图，1×π3+φ=π2，∴φ=π6，f(x)=2sin(x+π6).根据f(x)的图象关于点(x0,0)对称，可得x0+π6=kπ，k∈Z，则|x0|的最小值为π6，此时，k=0，故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，结合在正弦函数的零点，求得|x0|的最小值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的零点，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴x∈[−2,0]时，f(x)=x2−3，∵f(x+4)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，f(x)的图像与函数y=log a x的图像，情况当a>1时，根据在区间(0,10)上有5个不同的实数根，即有5个不同交点，则y=log a x的图像高于点(10,1)，低于点(6,1)可得6<a≤10，当0<a<1时，则y=log a x的图像高于点(8,−3)，可得a <12，综上可得0<a <12或6<a ≤10， 故选：D ．利用题中的条件，分别作出函数f(x)和函数y =log a x 的图像，对a 进行讨论，即可解出．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，注意端点是否取等问题，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ， 则以A 点为原点AB 为x 轴，AD 为y 轴建立如图所示的直角坐标系，因为AB =2，AD =√3，∠CAB =π3，所以A(0,0)，B(2,0)，C(1,√3)，D(0,√3)，因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设E(m,n)， 则(−1,√3)=2(m −1,n −√3)，所以m =12，n =3√32，所以E(12,3√32)，因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以F(2λ,0)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,3√32)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,−√3)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ−92=−174，解得λ=14.所以F(12,0)， 因为M 为直线BC 上的动点，设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x +2,√3x −√3)， MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32+x,−√3x)， 所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x +2)(−32+x)+(√3x −√3)(−√3x)=−4x 2+132x −3， 当x =1316时，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为−2364．故选：D．根据条件建立直角坐标系利用坐标运算，进行求解即可．本题考查了平面向量的数量积运算问题，根据条件建立直角坐标系，利用坐标运算是解决本题的关键，属于中档题．13.【答案】−2【解析】解：(2x−1x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r，令5−2r=1，求得r=2，可得展开式中x的系数为C52⋅8=80，令5−2r=−1，求得r=3，可得展开式中x−1的系数为−C53⋅4=−40，故x与x−1的系数之比为80−40=−2，故答案为：−2．由题意利用二项展开式的通项公式，求出展开式中x的系数、展开式中x−1的系数，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．14.【答案】32【解析】解：将O=2700代入可得v=12log32700100=12log327=32，故答案为：32．将数据代入函数v=12log3O100进行计算．本题考查对数函数的应用，属于基础题目．15.【答案】2π【解析】解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得12×2×√9−1=12×(3+3+2)r，∴r=√22，∴该圆锥内切球的表面积为4πr2=4π×12=2π，故答案为：2π．设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得r，即可求出该圆锥内切球的表面积．本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，是基础题．16.【答案】√2【解析】解：由已知可得点M 所在的渐近线方程为：y =−ba x ，又MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MF 1⊥OM ，所以点F 1(−c,0)到渐近线y =−ba x 的距离为： |MF 1|=|−bc a|√1+2a2=b ，所以在直角三角形OMF 1中，cos∠MF 1O =|MF 1||OF 1|=b c，因为|PF 2|+|PF 1|=3a ，且|PF 2|−|PF 1|=2a ， 所以|PF 2|=5a2，|PF 1|=a2， 则在三角形PF 1F 2中，由余弦定理可得： cos∠PF 1O =|PF 1|2+|F 1F 2|2−|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|，即bc=(a 2)2+4c 2−(5a 2)22×a 2×2c，化简可得：a 2+ab −2b 2=0，解得a =b 或−2b(舍去)， 所以a =b ，则双曲线的离心率为e =c a=√1+b 2a 2=√2，故答案为：√2．利用已知关系求出点F 1到渐近线的距离，由此求出角MF 1O 的余弦值，然后利用双曲线的定义以及已知关系式求出|PF 1|，|PF 2|，在三角形PF 1F 2中利用余弦定理即可求解． 本题考查了双曲线的性质与定义，涉及到点到直线的距离公式以及直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a 1、a 4、a 13成等比数列，∴a 42=a 1a 13，∴(5+2d)2=(5−d)(5+11d)， 化为d 2−2d =0，d ≠0， 解得d =2，∴a n =5+2(n −2)=2n +1． 证明：(2)S n =n(3+2n+1)2=n(n +2)，∴1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴T n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n +2)=12(1+12−1n +1−1n +2)=34−12(1n +1+1n +2)<34【解析】(1)a 1、a 4、a 13成等比数列．可得a 42=a 1a 13，利用等差数列的通项公式可得(5+2d)2=(5−d)(5+11d)，解出即可．(2)由(1)可得：S n =n(n +2)，可得1S n=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为△ABE ，△DCE 是等腰直角三角形，AB =AE =DE =DC ，所以∠BAE =∠CDE =90°，所以△ABE≌△DCE ，所以BE =CE ，又因为△BCE 是等腰直角三角形，所以∠BEC =90°，所以BE ⊥CE ，因为BE ⊥DC ，且DC ∩CE =C ，DC ，CE ⊂平面DCE ，所以BE ⊥平面DCE ； (2)解：由(1)同理可证，CE ⊥平面ABE ，过点F 作FO//CE 交BD 于点O ，则FO ⊥平面ABE ，连结AO ，因为F 为BC 的中点，所以FO 为△BCE 的中位线，所以O 为BE 的中点， 因为△ABE 为等腰直角三角形，所以AO ⊥BE ， 因为PO ⊥平面ABE ，所以FO ⊥AO ，又FO ∩BE =O ，FO ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以AO ⊥平面BCE ， 建立空间直角坐标系如图所示， 设AB =AE =DE =DC =2，则F(0,√2,0),A(0,0,√2),D(−√2,√2,√2),E(−√2,0,0)， 所以FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,√2)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,√2)， 设平面FAD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2y +√2z =0−√2x +√2z =0，令x =1，则y =1，z =1，故n⃗ =(1,1,1)， 同理可求出平面EAD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3×√3=13，所以二面角F −AD −E 的余弦值为13．【解析】(1)利用等腰直角三角，证明△ABE≌△DCE ，进一步证明BE ⊥CE ，结合BE ⊥DC ，由线面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面FAD 和平面EAD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意可知b ̂=0.89，∵x −=171，y −=54，∴a ̂=y −−b ̂x −=54−0.89×171=−98.19， 故y 关于x 的线性回归方程为y ̂=0.89x −98.19． (2)令y ̂=0.89x −98.19=60，得x ≈177.74， 故这10位男生的体重有3位体重超过60kg ， X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=C 72C 102=715，P(X =1)=C 71C 31C 102=715，P(X =2)=C 32C 102=115，则X 的分布列为：∴E(X)=0×715+1×715+2×115=35．【解析】(1)分别求出x ，y 的平均数，求出回归方程的系数，求出回归方程即可； (2)计算可得这10位男生的体重有3位体重超过60kg ，X 的可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求出分布列和数学期望．本题考查了线性回归方程以及分布列和数学期望问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知可得：{ca =√633 a2+1b2=1a2=b2+c2，解得a=√6,b=√2，c=2，所以椭圆的标准方程为x26+y22=1；(2)由(1)知椭圆的右焦点坐标为(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，当直线l1的斜率为0时，|AB|=2a=2√6，直线l2：x=2，此时|CD|=2√63，所以|AB|+|CD|=8√63；当直线l1的斜率存在且不为0，直线l1的方程可设为x=my+2(m≠0)，则直线l2的方程为：x=−1my+2，联立方程{x=my+2x26+y22=1，消去x整理可得：(3+m2)y2+4my−2=0，△=16m2+8(3+m2)>0恒成立，则y1+y2=−4m3+m2,y1y2=−23+m2，所以|AB|=√1+m2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√16m2(3+m2)2+83+m2=2√6(1+m2)3+m2，同理可得|CD|=2√6[1+(−1m)2]3+(−1m)2=2√6(1+m2)1+3m2，则|AB|+|CD|=2√6(1+m23+m2+1+m21+3m2)=8√6(1+m2)23m4+10m2+3，令1+m2=t>1，则|AB|+|CD|=8√6t 23t2+4t−4=8√6−4t2+4t+3=8√6−(2t−1)2+4，当t>1时，−(2t −1)2+4∈(3,4]，则|AB|+|CD|∈[2√6,8√63),所以|AB|+|CD|的最小值为2√6．【解析】(1)由已知建立方程组，联立即可求解；(2)分别对直线的斜率存在与不存在讨论，当直线的斜率存在且不为0时，设出直线l1的方程，由此可得直线l2的方程，联立直线l1与椭圆的方程，利用韦达定理以及弦长公式求出|AB|，同理求出|CD|，然后利用函数的性质即可求出|AB|+|CD|的最小值．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到弦长公式的应用以及线段的最值问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：函数f(x)=x2−a(x+alnx)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−a−a2x =2x⋅(x+a2)⋅( x−a)，①当a<0时，当x∈(0,−a2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,−a2)上单调递减，当x ∈(−a 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(−a2,+∞)上单调递增； ②当a >0时，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)在(0,a)上单调递减， 当x ∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a,+∞)上单调递增；故当a <0时，f(x)在(0,−a2)上单调递减，在(−a2,+∞)上单调递增； 当a >0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；(2)证明：由(1)知，f(x)的最小值为f(a)=−a 2⋅lna =0，解得a =1， 于是当x >0且x ≠1时，f(x)=x(x −1)−lnx >f(1)=0， 下面用数学归纳法证明212+322+⋯+n+1n 2>ln(n +1)(n ∈N ∗)，①当n =1时，212>ln(1+1)⇔e 2>2，不等式成立； ②假设n =k(k ∈N ∗)时，不等式成立，即212+322+⋯+k+1k 2>ln(k +1)，当n =k +1时，212+322+⋯+k+1k 2+k+2(k+1)2>ln(k +1)+k+2(k+1)2=ln(k +2)−lnk +2k +1+k +2(k +1)2=ln(k +2)+(k +2(k +1)2((k +2)−(k +1))−ln k +2k +1)=ln(k +2)+((k+2 k+1)2−k+2k+1−lnk+2k+1)>ln(k +2)，不等式成立．由①②得212+322+⋯+n+1n 2>ln(n +1)(n ∈N ∗)．【解析】(1)利用导数的正负判断函数的单调性；(2)先利用导数求最小值，从而得不等式，再用数学归纳法证明不等式．本题考查了利用层数研究函数的单调性，考查了利用导数求最值问题，属于中档题． 22.【答案】解：(1)直线C 1的参数方程为{x =t +1y =t +5(t 为参数)，转换为普通方程为x −y +4=0．曲线C 2的极坐标方程为ρ2=32+cos2θ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 23=1；(2)设曲线x 2+y 23=1上的点(cosθ,√3sinθ)，利用点到直线的距离得d =√3sinθ+4|2=|2cos(θ+π3)+4|2，当cos(θ+π3)=1时，d max =√2=3√2．【解析】(1)把直线参数方程中的参数消去，可得直线C 1的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线C 2的直角坐标方程；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换，即可求得曲线C 2上的动点到直线C 1距离的最大值．本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(Ⅰ)由已知得f(x)={3x +1,x >1x +3,−1≤x ≤1−3x −1,x <−1.①{x >13x +1≤5⇒{x >1x ≤43⇒1<x ≤43；②{−1≤x ≤1x +3≤5⇒{−1≤x ≤1x ≤2⇒−1≤x ≤1；③{x <−1−3x −1≤5⇒{x <−1x ≥−2⇒−2≤x <−1；∵{x|1<x ≤43}∪{x|−1≤x ≤1}∪{x|−2≤x <−1}={x|−2≤x ≤43}， ∴不等式f(x)≤5的解集为{x|−2≤x ≤43}．(Ⅱ)不等式f(x)≥x −m 解集为R ⇔−m ≤f(x)−x 恒成立， 设g(x)=f(x)−x ，则g(x)={2x +1,x >13,−1≤x ≤1−4x −1,x <−1.，①当x >1时，g(x)=2x +1>3； ②当−1≤x ≤1时，g(x)=3； ③当x <−1时，g(x)=−4x −1>3． ∴g(x)min =3．∵−m ≤g(x)恒成立⇔−m ≤g(x)min ， 由−m ≤3，得m ≥−3． ∴m 的取值范围是[−3,+∞)．【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；(Ⅱ)由−m ≤f(x)−x 恒成立，设g(x)=f(x)−x ，通过讨论x 的范围求出g(x)的最小值，从而求出m 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
内蒙古2021届高考数学一模试题 理(含解析).doc
内蒙古2021届高考数学一模试题 理（含解析）一、选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1.若复数z 满足()112i z i -=-+,则||Z =( )A.2B.32D.12【答案】C 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由()112i z i -=-+，得()()()()121123111122i i i z i i i i -++-+===-+--+，∴z z ===故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( )A. 11B. 9C. 6D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．【详解】解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法；2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法；∴C 中元素有11个．【点睛】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.3.已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，则n =( ) A. 2- B. 2C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量a ，b 的夹角为34π，可得22a b ⋅=-．由向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，可得()·2?40m n a a b λ=-=，解得λ的值．进而得解．【详解】解：单位向量a ，b 的夹角为34π，∴32cos 42a b π⋅==-． ∵向量2m a =，4n a b λ=-，且m n ⊥，∴()2·2?4820m n a a b a a b λλ=-=-⋅=， ∴28202λ⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得42λ=-．则2216323224n a b a b =++⋅=． 故选：C ．【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( )C. 4D. 2【答案】D【分析】设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据123PA PA k k =可得2220033y x a =-①，再根据又2200221x y a b-=②，由①②可得()()222222033b a x a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．【详解】解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，∴0000·3y y x a x a=+-，即2220033y x a =-，① 又2200221x y a b-=，②， 由①②可得()()222222033b a xa b a -=-，∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．5.在ABC △中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A.π3B.π6C.π2D.π4【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知等式可得sin tan 2sin sin A B B A =，结合sin 0A >，可得tan 2sin B B =，结合范围()0,B π∈，可得sin 0B >，可得1cos 2B =，即可得解B 的值． 【详解】解：∵()tan 2sin 2sin a B b B C b A =+=， ∴由正弦定理可得：sin tan 2sin sin A B B A =， ∵sin 0A >， ∴tan 2sin B B =， ∵()0,B π∈，sin 0B >， ∴1cos 2B =， ∴3B π=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A. 38m =，12n =B. 26m =，12n =C. 12m =，12n =D. 24m =，10n =【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于和成绩不小于且小于的人数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个，故，．考点：程序框图、茎叶图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求个成绩中成绩不小于和成绩不小于且小于的个数，由茎叶图可知，成绩不小于的有个，成绩不小于且小于的有个．7.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m >石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m 的值分别为（ ） A. 20% 369B. 80% 369C. 40% 360D. 60%365【答案】A 【解析】 【分析】设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意列出方程组,由此能求出结果． 【详解】解：设“衰分比”为a ,甲衰分得b 石,由题意得23(1)80(1)(1)16480164b a b a b a b m ⎧-=⎪-+-=⎨⎪++=⎩,解得125b =,20%a =,369m =． 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．8.函数cos ()xx y x eππ=-≤≤的大致图象为( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 令，则，即函数的图像关于原点对称，排除选项C,D;当时，，排除选项B ；所以选A.考点：函数的图像与性质.9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是 （ ）A. AC BE ⊥B. //EF ABCD 平面C. 三棱锥A BEF -的体积为定值D. 异面直线,AE BF 所成的角为定值 【答案】D 【解析】试题分析：∵AC⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ， ∴AC⊥BE．故A 正确． ∵EF 垂直于直线1AB ，1AD ， ∴1A C ⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线11BD 的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故VA-BEF 为定值．C 正确 当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1， 当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1 显然两个角不相等，D 不正确考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角 【此处有视频，请去附件查看】10.经过对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+，若某中学牛的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ） A. 7 B. 9.5C. 11.1D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据数据求出样本中心(),x y ，代入求出a ＝﹣0.1，然后令x ＝14进行求解即可． 【详解】解：x 的平均数()12846810744x =+++==， y 的平均数()1223568 5.544y =+++==， 回归方程过点(),x y ，即过（7，5.5） 则5.5＝0.8×7+a 得a ＝﹣0.1， 则y ＝0.8x ﹣0.1，则当x ＝14时，y ＝0.8×14﹣0.1＝11.2﹣0.1＝11.1， 即该中学生的识图能力为11.1， 故选：C ．【点睛】本题主要考查回归方程必过样本中心(),x y 的性质，求出样本中心(),x y 是解决本题的关键，属于基础题.11.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为( )- 1C.2D.2【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点,设122F F c =,则1DF c =,2DF =．由椭圆的定义知122||||a DF DF c =+=+,根据离心率公式求得答案．【详解】解：设椭圆的两个焦点为1F ,2F ,圆与椭圆交于A ,B ,C ,D 四个不同的点,设122F F c =,则1DF c =,2DF =．椭圆定义,得122||||a DF DF c =++,所以1c e a ===, 故选：B ．【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.12.已知函数1ln(1)()(2)2x f x x x +-=>-,若()1kf x x >-恒成立,则整数k 的最大值为( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由题得h （x ）=()()1112x ln x x ⎡⎤-+-⎣⎦-＞k 即h （x ）的最小值大于k ，h′（x ）=()()2312x ln x x ----，记g （x ）=x ﹣3﹣ln （x-1），（x ＞2），通过g(x)找到函数h(x)的单调性和最小值即得解. 【详解】f （x ）＞1k x -恒成立，即h （x ）=()()1112x ln x x ⎡⎤-+-⎣⎦-＞k 即h （x ）的最小值大于k ． 而h′（x ）=()()2312x ln x x ----，记g （x ）=x ﹣3﹣ln （x-1），（x ＞2），则g′（x ）=21x x --＞0，∴g （x ）（2，+∞）上单调递增， 又g （4）=1﹣ln3＜0，g （5）=2﹣2ln2＞0，∴g （x ）=0存在唯一实根a ，且满足a ∈（4，5），a-3=ln （a-1）， 当x ＞a 时，g （x ）＞0，h′（x ）＞0， 当2＜x ＜a 时，g （x ）＜0，h′（x ）＜0， ∴h （x ）min=h （a ）=()()1112a ln a a ⎡⎤-+-⎣⎦-=a-1∈（3，4），故正整数k 的最大值是3． 故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数的零点，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是找到函数的单调性和a 的取值范围.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13.已知α的终边过点(3,2)m -，若()1tan 3πα+=，则m =__________． 【答案】2- 【解析】 【分析】】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．【详解】∵α的终边过点()3,2m -，若()1tan 3πα+=， ()21tan , 2.33tan m m παα-+===∴=-． 即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.14.设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】 【分析】先根据条件画出可行域,设z ax by =+,再利用几何意义求最值,将最大值转化为y 轴上的截距,只需求出直线z ax by =+,过可行域内的点(4,6)时取得最大值,从而得到一个关于a ,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭． 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题．15.“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的4个热点,则“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为______． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意,分2步进行分析：①,由题目的限制条件分析易得“量子卫星”有3种安排方法,②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,即可得出结果. 【详解】解：根据题意,分2步进行分析：①,小王准备把“量子卫星”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点, 则“量子卫星”可以安排在后面的三个位置,有3种安排方法,②,在剩下的4个热点中任选3个,安排在剩下的3个位置,有3424A =种安排方法,则有32472⨯=种不同的安排方法； 故答案为：72【点睛】本题考查排列、组合的应用,注意优先分析受到限制的元素,属于基础题．16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，PB =则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC-体积为__________．【答案】4 【解析】设x BC =，则222PB BC 24PC x -=-，222PA PC AC 28x =+-，2AB 4x =+()()222228422848PA AB x x x x ⎡⎤+=-+≤-++=⎣⎦，当且仅当22284x x -=+，即x 23=.11112232343232P ABC V AC BC PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,故答案为：4三、解答题(本大题共7小题,共70.0分)17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中，13b =，且{}n b 的前n 项和为n S ，3327a S +=，22S q a =. （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足32n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）13n n a -=，3n b n =，（2）1nn + 【解析】试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式；（2）表示出n c ，利用裂项求和，求解即可.r 试题解析：()1设数列{}n b 的公差为d ，332222273318{{{3.6a Sqq dSq dd qa+==+=⇒⇒==+=13nna-∴=，3nb n=，()2由题意得：()332nn nS+=，()992111322311nncS n n n n⎛⎫⎛⎫==⋅=-⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭1111133122311nnTn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.点睛：本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n nc a b=+，其中{}n a和{}n b分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11nan n=+，错位相减法类似于n n nc a b=⋅，其中{}n a为等差数列，{}n b为等比数列等.18.在某外国语学校举行的HIMCM(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为1:3,且成绩分布在[40,100],分数在80以上(含80)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)求a的值,并计算所抽取样本的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)填写下面的22⨯列联表,并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计附表及公式：其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++．【答案】（Ⅰ）0.025a =，69x =；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,从而可得22⨯列联表,再计算出2K ,与临界值比较可得． 详解】解：(Ⅰ)110a =⨯[1(0.010.0150.03-+++0.0150.005)10]0.025+⨯=, 450.1550.1565x =⨯+⨯+0.25750.3850.15950.0569⨯+⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40,不获奖的人数为160,22⨯列联表如下：因为22200(51153545)40160150K ⨯⨯-⨯=⨯⨯ 4.167 3.841≈>,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”【点睛】本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.19.已知点(0,2)B -和椭圆22:142x y M +=. 直线:1l y kx =+与椭圆M 交于不同的两点,P Q .(Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅱ) 当12k =时，求PBQ ∆的面积； （Ⅲ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【答案】4（Ⅲ）k =【解析】 分析】（Ⅰ）直接求出a 和c,求出离心率；（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），利用韦达定理求出12x x +，再求△PBQ 的面积；（Ⅲ）设点C （x 3，y3），由题得1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，再求出1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即得k 的值.【详解】解：（Ⅰ）因为a 2=4，b 2=2，所以2a b c ===，所以离心率c e a ==． （Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 若12k =，则直线l 的方程为112y x =+， 由22142112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得3x 2+4x -4=0， 解得 12223x x =-=，， 设A （0，1），则 ()12112324223PBQSAB x x ⎛⎫=+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭． （Ⅲ）设点C （x 3，y 3），因为P （x 1，y 1），B （0，-2），所以1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，又点P （x 1，y 1），C （x 3，y 3）都在椭圆上，所以221122111422()()22142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩，解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以14k =-或14k =． 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当二面角C BF D --的平面角的余弦值为63,求这个六面体ABCDEF 的体积.【答案】（1）见解析（2）12【解析】 【分析】（1）由//B CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，可得1203090ACB ∠=-=，BC AC ⊥，由面面垂直的性质可得结果；（2）以,,CA CB CF 为x 轴, y 轴, z 轴建立平面直角坐标系,设CF h =,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面BFD 的一个法向量与平面C BF 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式，列方程可求得1h =，由棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴60ABC ∠=,∴,∵.∴,∴,∴. ∵平面ACFE ⊥平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴.分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系, 设,则,,,,,则,,易知平面的一个法向量为,设∵平面的法向量为,∴即令,则,,∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,∴,解得,即.所以六面体的体积为：.【点睛】本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知函数21()()2ln f x ax bx x a R =+--∈． (Ⅰ)当0b =时,讨论函数()f x 单调区间；(Ⅱ)当1x y e >>-时,求证：ln(1)ln(1)x ye y e x +>+．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)求函数的导数,结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．(Ⅱ)将不等式进行等价转化为ln(1)ln(1)x y e e x y >++,构造函数()ln(1)xe g x x =+,求函数的导数,研究函数的单调性,利用函数的单调性证明()()g x g y >即可． 【详解】解：(Ⅰ)当0b =时,2()2f x a x '=-=2(1)ax x-,(0)x >, 当0a ≤时,()0f x '<在(0,)+∞上恒成立．∴函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当0a >时,由()0f x '<得10x a <<,由()0f x '>得1x a>, ()f x ∴的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,综上,当0a ≤时,()f x 的单调递减区间为(0,)+∞,无单调递增区间, 当0a >时,()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．(II)证明：1x y e >>-,11x y e ∴+>+>,即ln 1l ()(1)n 1x y +>+>,欲证ln(1)ln(1)xye y e x +>+．即证明ln(1)ln(1)x ye e x y >++,令()ln(1)xe g x x =+,则21ln(1)1()ln (1)x e x x g x x '⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=+,显然函数1()ln(1)1h x x x =+-+在(1,)e -+∞上单调递增,1()10h x e ∴>->,即()0g x '>,()g x ∴在(1,)e -+∞上单调递增,1x y e ∴>>-时,()()g x g y >,即ln(1)ln(1)x ye e x y >++, ∴当1x y e >>-时,ln(1)ln(1)x y e y e x +>+成立．【点睛】本题主要考查导数的综合应用,结合函数的单调性和导数之间的关系,以及利用构造函数,将不等式进行转化是解决本题的关键．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ （α为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 124πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.【答案】（1）2213x y +=，20x y -+=；（2）1. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的关系写出曲线C 和直线l 的方程即可；（2）将直线l 的代数方程代入椭圆C 的直角坐标方程，整理成一个关于t 的方程，然后利用韦达定理找到12•t t 的值，因为12MA MB t t ⋅=即可得到最后结果。
内蒙古自治区赤峰市市松山区安庆沟中学2021年高三数学理模拟试题含解析
内蒙古自治区赤峰市市松山区安庆沟中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为-1，则判断框内，对于下列四个关于n的条件的选项，不能填入的是（）A．n＞3? B．n＞5?C. n＞32? D．n＞203?参考答案：C周期为6，由周期性可知，填入 C 选项的条件时,输出的是0.【命题意图】本题考查了直到型循环结构，三角函数周期性，周期数列求和.此题在判断框处出题，答案具有多样性和挑战性.2. 已知函教的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，则的单调递增区间是（）A． B．C． D．参考答案：C3. 已知，若函数在上单调递增，则对于任意,，且，使恒成立的函数可以是（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知函数f（x）=sinπx和函数g（x）=cosπx在区间[0，2]上的图象交于A，B两点，则△OAB面积是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】由sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，可解得πx=+2kπ，k∈Z，可解得坐标：A（，），B（，﹣），求得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得OC=，即可求得△OAB面积．【解答】解：如图所示：∵sinπx=cosπx=sin（），x∈[0，2]，∴可解得：πx=π﹣（）+2kπ，k∈Z（无解），或πx=+2kπ，k∈Z∴可解得：x=+k，k∈Z，且x∈[0，2]，∴x=，或，∴解得坐标：A（，），B（，﹣）．∴解得直线AB所在的方程为：y﹣=﹣（x﹣），联立方程y=0，可解得：x=，及OC=．∴S△OAB=S△OAC+S△COB==．故选：A．5. 已知函数，将图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原的2倍,然后把所得到的图象沿轴向左平移个单位,这样得到的曲线与的图象相同, 那么的解析式为（）A． B．C． D．参考答案：D略6. 已知函数在处取得最大值，则函数的图象（）A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于直线对称参考答案：C7. 设是等差数列的前项和，，则的值为A. B. C. D.参考答案：D8.过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：答案：A9. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1 D．2参考答案：C考点：抛物线的简单性质．专题：不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选C．点评：本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．10. 已知向量，，那么= （）A． B． C．D．1参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数,满足(a,b为实数),则▲ .参考答案：212. 设满足则的最小值为 _______参考答案：【答案解析】2 解析：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，有最小值2．故答案为：2．【思路点拨】先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入中，求出的最小值．13. 已知各顶点都在同一个球面上的正三棱柱的高为4,体积为12,则这个球的表面积为.参考答案：先求出正三棱柱底面等边三角形边长为，则底面等边三角形高为3，所以,故.14. 已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是.参考答案：略15. 如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为_______.参考答案：【分析】由已知求出直三棱柱截球所得圆的半径，再求出球心到截面的距离，利用勾股定理求得半径，代入球的体积公式得答案．【详解】解：直三棱柱的底面边长分别是5，12，13，底面为直角三角形，设其内切圆的半径为，则，解得．又直三棱柱的高为4，且球心到下底面距离为8，则球心到截面的距离为4．如图，，，则球的半径．球的体积为故答案为：．【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16. 设△ABC的内角为A，B，C，所对的边分别是，，.若，则角C=__________.参考答案：由，得，，所以，C＝17.已知抛物线上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程（q为常数）的两个根，则直线AB的斜率是 .参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021届内蒙古赤峰市高三模拟考试数学(理)试卷及答案
绝密★启用前2021届内蒙古赤峰市高三模拟考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=（ ）A B ．2C ．12D ．2答案：B由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．解：由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=． 故选：B ．2．已知集合{(2)(5)0}A xx x =-+<∣，{31,}B x x k k ==-∈Z ∣，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2,5}-C ．{4,1}--D ．{5,4,2}--答案：C解不等式确定集合A ，由交集定义求解． 解：由题意{|52}A x x =-<<，∴{4,1}A B =--．故选：C ．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“120S >，130S <”是“n S 的最大值为6S ”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B利用等差数列的性质化简1123,S S ，得出670,0a a ><，从而判断出n S 何时取最值. 解：若“120S >，130S <”，则()()1126712606S a a a a =+=>+()131137131302S a a a =+=< 故670,0a a ><{}n a 为递减数列，故n S 的最大值为6S .若“n S 的最大值为6S ”，比如7n a n =-，故70a =，67S S =，67,S S 均为n S 的最大值，但是()131137131302S a a a =+== 故则“120S >，130S <”是“n S 的最大值为6S ”的充分不必要条件. 故选：B点评：利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”. 4．已知,a b ∈R ，且0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A ．11a b< B ．sin sin a b <C ．22a b >D ．22ln ln b a <答案：D根据不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质判断各选项． 解：0a b <<时，a b ab ab <，即11b a<，A 错； 2π,a b π=-=-时，sin sin a b =，B 错；a b <，2x y =是增函数，∴22a b <，C 错； 0a b <<，则220a b >>，∴22ln ln a b >，D 正确．故选：D ．点评：本题考查判断命题的真假．解题关键是掌握不等式的性质，正弦函数、指数函数、对数函数的性质，利用这些性质可判断证明．实际上对于这些错误的不等式还可以通过反例判断它是错误的．5．下图是某统计部门网站发布的《某市2020年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI ）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比） 2020年居民消费价格月度涨跌幅度下列说法错误的是（ ）①2020年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨2.0% ②2020年6月CPI 环比上升0.1%，同比无变化 ③2020年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2% ④2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7% A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③答案：D根据拆线图中数据判断．解：观看拆线图，2020年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨2.0%，①正确，②错误，2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7%，④正确，③错误，故选：D ．6．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，2，若经过F 和(0,2)M 两点的直线垂直于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．22144x y -=C ．22124x y -=D ．22142x y -=答案：A根据斜率公式求出直线MF 的斜率为2c-，再根据两直线垂直斜率之积为1-，可得21b c a ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭，然后结合222c a b =+，2c e a==,a b ，从而得到双曲线的方程． 解：因为2020MF k c c -==--，所以21b c a⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭，即2ac b =，又222c a b =+，2ce a==，解得2a b ==，所以该双曲线的方程为22122x y -=． 故选：A ．点评：本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，以及斜率存在的两条直线垂直等价条件的应用，属于基础题．7．一只昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率为（ ） A ．3πB ．3π C ．543π- D ．543π- 答案：D利用几何概型的概率公式可求昆虫到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率，从而可得正确的选项． 解：如图，昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，其到三角形任意一个顶点的距离不小于12231619322ππ-⨯⨯=， 93293543ππ=-，故选：D ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ）A ．202021-B ．1010323⨯-C ．1010321⨯-D ．1010322⨯-答案：B 由()*12nn n a a n N +⋅=∈可知，数列{}na 隔项成等比数列，从而得到结果.解：由()*12nn n a a n N +⋅=∈可知：当n≥2时，112n n n a a --⋅=，两式作商可得：()112n 2n n a a +-=≥ ∴奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列， 偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列， ∴()1011010101020200212121223132S-⨯-+=---= 故选B点评：本题考查数列的递推关系，考查隔项成等比，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，具有以下性质：（1）对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π； （2）6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；（3）任取12,0,4x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当12x x ≠时，都有()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+． 同时满足上述性质的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭答案：B根据题设的条件可得正弦型函数的周期、对称中心以及函数在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调性，再逐项检验各选项中的函数是否满足即可得到正确的选项．解：因为对任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π， 故()f x 的半周期为2π即周期为π，此时A B C D 各选项中的函数均满足． 因为6f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，故()f x 图象的对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭， 对于D 中的函数，因为sin 2166ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的对称中心，故排除D ． 因为()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+等价于()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 故()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452336x πππ-≤-≤-，而sin y u =在45,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为减函数， 故4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2336x πππ-≤-≤，而sin y u =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数， 故sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为增函数，符合；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2272336x πππ≤+≤，而sin y u =在27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数， 故2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π为减函数，不合题意，舍；故选：B ．点评：方法点睛：已知检验给定的点是否正弦型函数的对称中心，可以用代入检验法，而单调性的研究则需结合“同增异减”的原则来判断．10．设函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有(1)(3)f x f x +=-，且在(2,)+∞上单调递增，(4)0f =，2()g x x =，则函数(2)()y f x g x =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先根据题设可得()2y f x =+的图象和性质，再结合2()g x x =的性质可得(2)()y f x g x =+的图象性质，从而可得正确的选项.解：令()()2h x f x =+，()()()()2F x h x g x x h x ==，因为(1)(3)f x f x +=-，故()y f x =的图象关于直线2x =对称， 故()()2h x f x =+的图象关于y 轴对称，即()()h x h x -=，故()()()2F x x h x F x -=-=，故()F x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除BD.因为()y f x =在(2,)+∞上单调递增，故()h x 在()0,∞+为增函数， 因为()40f =，故()20h =，故02x <<时，()0h x <，故()0F x <，故排除C ， 故选：A ．点评：方法点睛：函数图象的识别问题，注意根据已有函数的性质去探寻目标函数的性质，从而从函数的奇偶性、单调性、特殊点处的函数值的符号去研究．11．（chuhong ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍甍者，下有褒有广，而上有褒无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍字面意思为茅草屋顶”，如图为一“刍甍”的五面体，其中ABCD 为矩形，ADE 和BCF △都是等腰三角形，2AE ED BF CF ====，//EF AB ，若3AB EF =，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：C作平行四边形AGFE ，得到//AE GF ，异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，求出GFC 的边长求角即可.解：设1EF =，在AB 上取点G 满足1AG EF ==，故//AG EF 且AG EF =，故四边形AGFE 是平行四边形，故//AE GF异面直线AE 与CF 所成角为GFC ∠，22GF CF ==22222222CG GB BC =+=+=故GFC 为等边三角形 故3GFC π∠=故选：C点评：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 12．已知函数()22sin x m f x e x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭B．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦C．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D．,24ππ⎛⎫--⎪⎝⎭答案：A()0f x=有两解变形为2sinmxxee=有两解，设2sin()xxg xe=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x的大致图象可得结论．解：由()22sinx mf x e x+=-得2sinmxxee=，设2sin()xxg xe=，则2(cos sin)()x xg x-'=，易知当04xπ<<时，()0g x'>，()g x递增，当344xππ<<时，()0g x'<，()g x递减，(0)0g=，414geππ⎛⎫=⎪⎝⎭，34314geππ⎛⎫=⎪⎝⎭，如图是()g x的大致图象，由2sinmxxee=有两解得34411mee eππ≤<，所以344mππ-≤<-．故选：A．点评：关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2mxxee=，问题转化为2()xxg xe=的图象与直线my e=有两个交点，利用导数研究函数()g x的单调性、极值后可得．二、填空题13．边长为1的等边ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则AB EB⋅=__________．答案：58选,AB AC 当作基底，表示出EB ，利用数量积的运算律计算即可. 解：由已知易得()1124AE AD AB AC ==+ ()131444EB AB AB AC AB AC =-+=-313115·444428AB EB AB AB AC ⎛⎫⋅=-=-⋅= ⎪⎝⎭故答案为：5814．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，离心率为12e =，点P 在椭圆C 上，且1230F PF ∠=，则12F PF △的面积为__________．答案：24-由椭圆定义得128F P PF +=，由余弦定理得22212121212cos 2F P PF F F F PF F P PF +-∠=⨯，结合可得12F P PF ⨯的值，从而得答案. 解：由已知得12,2c e ==，所以4a =， 由椭圆定义得12248F P PF +=⨯=， 由余弦定理得222121212123cos cos3022F P PF F F F PF F P PF +-∠===⨯， 即()2121212216F PPF F P PF P PF +-⨯-=⨯，12F P PF⨯=则12F PF △的面积为12111sin 3024222S F P PF =⨯⨯=⨯=-故答案为：24-点评：本题考查了椭圆的简单的性质，关键点是利用余弦定理和三角形的面积公式解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.15．如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供5种不同的颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使B 、E 区域同色的涂法有__________种．答案：180选1种颜色涂,B E 区，然后在剩下的4种中选3种（三区不同色）或选2种（,A C 同色）涂色即得．解：,B E 涂色后，按,A C 同色和不同色分类计算．所以总方法为5(43432)180⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：180．16．在如图棱长为2的正方体中，点M 、N 在棱AB 、BC 上，且1AM BN ==，P 在棱1AA 上，α为过M 、N 、P 三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点P ，使面α与正方体的截面为五边形；②当11A P =时，面α与正方体的截面面积为33③只有一个点P ，使面α与正方体的截面为四边形；④当面α交棱1CC 于点H ，则PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点．答案：①②④让P 从A 开始逐渐向1A 运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项． 解：由题设可得,M N 为所在棱的中点.当203AP <<时，如图（1），直线MN 分别交,AD DC 与,T S ，连接TP 并延长1DD 于G ， 连接GS 交1CC 于H ，则α与正方体的截面为五边形，故①正确.当11A P =，如图（2），此时α2， 其面积为2362=334⨯⨯B 正确.当,A P 重合或1,A P 重合时，如图（3），α与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面α内，设PM HN S ⋂=，则S PM ∈，而PM ⊂平面11A B BA ，故S ∈平面11A B BA ，同理S ∈平面11C B BC ，故S ∈平面11A B BA ⋂平面111C B BC BB =即PM 、HN 、1BB 三条直线交于一点. 故答案为：①②④.点评：思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.三、解答题17．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin A B C B C =+-．（1）求角A ；（2）求cos cos cos A B C ++的取值范围．答案：（1）3A π=；（2）32⎤⎥⎝⎦. （1）利用正弦定理边角互化为222a b c bc =+-，再利用余弦定理求角A ；（2）利用（1）的结果，转化2cos cos cos cos cos cos 33A B C B B ππ⎫⎛++=++- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变形，原式转化为1sin 26B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据B 的范围求值域. 解：（1）由题设及正弦定理得222a b c bc =+- 由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-== 0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3A π∴= （2）2cos cos cos cos cos cos 33A B C B B ππ⎫⎛++=++- ⎪⎝⎭122cos cos cos sin sin 233B B B ππ=+++111cos sin 2226B B B π⎫⎛=++=++ ⎪⎝⎭ ABC 为锐角三角形，02B π∴<<，02C <<π 232C B ππ=-<，62B ππ∴<<，2363B πππ∴<+<sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，113sin 2262B π+⎫⎛∴<++≤ ⎪⎝⎭cos cos cos A B C ∴++的取值范围为32⎤⎥⎝⎦. 点评：方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．18．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）证明：当2MA EM =时，直线//CE 平面BDM ；（2）当AE ⊥平面MBC 时，求二面角E BD M --的余弦值．答案：（1）证明见解析；（2）3105. （1）连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，证明//MN EC 后可得线面平行；（2）取AB 的中点为O ，以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，用空间向量法求二面角的余弦值．解：（1）证明：连结BD 与AC 交于点N ，连结MN ，//AB CD ，24AB CD == CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴== 12EM MA =，EM CN MA AN∴=，MN //EC ∴ 又MN ⊂面BDM ，CE ⊂面BDM ，//CE ∴平面BDM ．（2）解：AE 平面MBC ，AE BM ∴⊥，M ∴是AE 的中点，取AB 的中点为O ， OE ∴⊥平面ABCD以OD ，OA ，OE 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则 (0,2,0)B -，(0,0,23)E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，3)M设平面EBD 的法向量为()1111,,x n y z =，则1111112200020x y n BD n BE y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 令11z =，则1y =1x =1(3,3,1)n ∴=-设平面BDM 的法向量为()2222,,n x yz =，则2222222200030x y n BD n BM y ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ 令2z =21y =-，21x =，1(1,13)n ∴=-1212123105cos ,35||n n n n n n ⋅∴<>===⋅∴二面角E BD M -- 点评：方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．19．疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”．（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．答案：（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.（1）计算出()22P X μσμσ-<<+和()33P X μσμσ-<<+，结合已知条件判断可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有50、100、150、200，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得随机变量Y 的数学期望值.解：（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下： 21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=， 365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>． ∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200， ()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 点评：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．已知函数21()ln 2x f x x x -=-． （1）求()f x 的单调区间；（2）设()*ln 1,1,2,k k a n k n n ⎫⎛=+∈=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭N ，在（1）的条件下，求证：123214n n a a a a ++++⋅⋅⋅+<()*n ∈N ． 答案：（1）()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区；（2）证明见解析.（1）求导数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得1x >时，()0f x >，即11ln ()2x x x <-，令1,1,2,,k x k n n =+=，代入后得n 个不等式，相加后可得证明题设结论．解：（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 由21()ln 2x f x x x -=-，得()ln 1f x x x '=-- 令1()ln 1()1g x x x g x x'=--⇒=- ()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>⇒∈+∞<⇒∈即()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f x f '''≥=，于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区（2）证明：由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，又(1)0f =，∴当1x >时，()0f x >，11ln 2x x x ⎫⎛∴<- ⎪⎝⎭ 1ln 112k k k n k k a n n n k +-⎫⎫⎛⎛∴=+<+- ⎪ ⎪+⎝⎝⎭⎭1(1,2,)2k k k n n n k ⎫⎛=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭ 123112122111n n n a a a a n n n n n n ⎫⎛∴+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭ 1121221n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎫⎛=+ ⎪+⎝⎭(1)(1)12122214n n n n n n n ++⎫⎛⎪ +=+=⎪ +⎪ ⎝⎭ 于是()*123214n n a a a a n ++++⋅⋅⋅+<∈N 得证． 点评：关键点点睛：本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式11ln ()2x x x <-，只要在此不等式中对x 赋值1,1,2,,k x k n n=+=，n 个不等式相加即可． 21．已知点M 是圆222:(2)(2)C x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点，过点M 作圆C的弦MN ，并使弦MN 的中点恰好落在y 轴上．（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，延长NO 交直线2x =-于点A ，延长NC 交曲线E 于点B ，曲线E 在点B 处的切线交y 轴于点D ，求证：AD BD ⊥．答案：（1）28(0)y x x =>；（2）证明见解析.（1）设(,)N x y ，利用N 在圆上及弦MN 的中点在y 轴上可得点N 的轨迹方程，也可以利用垂径定理得到点N 的轨迹方程，注意范围．（2）设()11N x y ,，()22,B x y ，直线NB 的方程为2x my =+，点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，联立切线方程和抛物线方程，利用判别式为0可求切线方程，从而得到D 的坐标，求出直线ON 的方程后可得A 的坐标，再联立直线NB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理化简可得1AD BD k k ⋅=-，从而得到要求证的垂直关系．我们也可以设()()000,0N x y x ≠，利用导数和韦达定理可求D 的坐标，同样可得1AD BD k k ⋅=-．解：（1）解法一：由题意知(2,0)C ，(2,0)M r -，设(,)N x y 是222:(2)(2)C x y r r -+=>上的任意点， 弦MN 的中点2,22r x y -+⎫⎛ ⎪⎝⎭恰好落在y 轴上， 202r x -+∴=，2r x ∴=+，222(2)(2)x y x ∴-+=+， 整理得28y x =，2r >，0x ∴>，∴点N 的轨迹方程为28(0)y x x =>．解法二：设(,)N x y ，弦MN 的中点为0,2y Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(,0)M x -， 因为M 在x 轴的负半轴上，故0x >．()2,,2,2y CQ MN x y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由垂径定理得CQ MN ⊥，故22220,8(0)2y x y x x -⨯+=∴=>． （2）证法一：设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>． 设()11N x y ,，()22,B x y ，则128y y m +=，1216y y =-，11ON y k x ∴=，∴直线ON 的方程为11y y x x =， ∴令2x =-，则112y y x -=，1122,y A x ⎫⎛-∴-⎪ ⎝⎭． 设点B 的处的切线方程为()22y y k x x -=-，与28y x =相切，由()2228y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x ，整理得()222880ky y y kx -+-=，22220k x ky ∴∆=-+=，()22222220408y k ky y k -+=⇒-=，24BD k y ∴=， ∴直线()2224:BD y y x x y -=-，令0x =，则 222222244x x y y y y y --+=+=22222484x x x y y -+==，2240,x D y ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭， 21212212111422824AD x y x y y k y x y x y ⎫⎛∴=+=+=+⎪ ⎝⎭12113244y y y y +==， 121244161AD BD k k y y y y ∴⋅=⋅==-，AD BD ∴⊥． 证法二：设()()000,0N x y x >，则直线ON 的方程为00y y x x =，0022,y A x ⎫⎛∴--⎪ ⎝⎭， 设直线NB 的方程为2x my =+，则由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，整理得28160y my --=，264640m ∆=+>， 设()11,B x y ，则101200016321616,y y y B y y y ⎫⎛=-⇒=-⇒-⎪ ⎝⎭， 由抛物线的对称性，不妨设B 在x 轴下方，则由曲线28y x =，得y y '=-=-=，切线的斜率为04y k ===-， 切线方程为020016324y y x y y ⎫⎛+=--⎪ ⎝⎭，则080,D y ⎫⎛⎪ ⎝⎭， 020000283282,,y AD BD x y y y ⎫⎫⎛⎛⋅=-⋅-⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭ 22000000641664641664088AD BD y x y x x x =-+-=-+-=⇒⊥． 点评：思路点睛：（1）求动点的轨迹方程，几何法、动点转移法、参数法等．（2）直线与抛物线的位置关系中的定值问题，一般联立直线方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简目标代数式，涉及到切线范围，可借助导数来求切线的斜率．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>，且曲线C 与直线l 有且只有一个交点．（1）求a ；（2）过点O 且倾斜角为β的直线交直线l 于点A ，交曲线C 异于原点的一点B ，,43ππβ⎫⎡∈⎪⎢⎣⎭，求||||OB OA 的取值范围． 答案：（1）1a =；（2）1,1)-.（1）求出直线的普通方程和圆的直角坐标方程，利用相切可求a 的值.（2）求出直线的极坐标方程，设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，利用三角变换可得||2sin 21||6OB OA πβ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，从而可求其取值范围. 解：解：（1）消去参数t 可得直线l的普通方程为10x -+=，由2cos a ρθ=可得22cos a ρρθ=，故222x y ax +=，故曲线C 的普通方程为222()x a y a -+=.因为曲线C 与直线l 有且只有一个交点，所以直线l 与曲线C 相切，所以圆心(,0)C a 到直线l 的距离为a 到直线，a =，解得1a =或13a =-（舍去）. （2）直线l的极坐标方程为cos sin 10ρθθ-+=，曲线C 极坐标方程为2cos (0)a a ρθ=>，则设点A 的极坐标为()1,ρβ，点B 的极坐标为()2,ρβ，1||OA ρ=，2||OB ρ=，1ρ∴=，22cos ρβ=，)2||cos )2cos 2cos cos ||OB OA ββββββ∴=-⋅=-1cos2222cos212sin 21226βπββββ⎫⎛+⎫⎛=-=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ,43ππβ⎫⎡∈⎪⎢⎣⎭，2,632πππβ⎫⎡∴-∈⎪⎢⎣⎭， 2sin 211,1)6πβ⎫⎛∴--∈ ⎪⎝⎭， ||1,1)||OB OA ∴∈. 点评：方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩．参数方程化为直角方法，关键是消去参数，消参的方法有反解消参、平方消参、交轨法等．23．设函数()|1|f x x =-．（1）求(2)(1)f x f x ++的最小值m ；（2）在（1）的件下，证明()221cos sin 2f f m αα⎫⎛-+≤ ⎪⎝⎭． 答案：（1）12m =；（2）证明见解析. （1）先求出函数(2)(1)f x f x ++的解析式，再根据函数的单调性即可求出最小值；（2）因为()221cos sin 2f f αα⎫⎛-+ ⎪⎝⎭221sin sin 2αα=--，根据定义去绝对值或者使用绝对值三角不等式即可证出．解：(1)131,21(2)(1)211,0213,0x x f x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪++=-+=-<<⎨⎪-≤⎪⎪⎩()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增， ∴当12x =时，(2)(1)f x f x ++的最小值为12m = (2)证明：()221cos sin 2f f αα⎫⎛-+⎪⎝⎭221sin sin 2αα=-- 当21sin 02α-≤时，原式222111sin sin 2sin 222ααα=+-=-≤ 当21sin 2α>时，原式2211sin sin 22αα=-+= 12m =，()221cos sin 2f f m αα⎫⎛∴-+≤ ⎪⎝⎭ 或用如下方法：()221cos sin 2f f αα⎫⎛-+ ⎪⎝⎭2222111sin sin sin sin 222αααα⎫⎛=--≤-+= ⎪⎝⎭．。
2021年内蒙古自治区赤峰市松山第二中学高三数学理月考试卷含解析
2021年内蒙古自治区赤峰市松山第二中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 函数在（0，1）内的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D3. 等比数列中，“”是“”的A.充而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：D4. 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x＞0得x＞0或x＜﹣1，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．5. 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17 B．14 C．5 D．3参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，z有最小值为2×1+3×1=5．故选：C．【点评】本题考查了线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，过点P（0，t）的直线交圆于不同的两点A，B，且|PA|=|AB|，则实数t的取值范围是( )A．[﹣1，7] B．（3，7]C．[3﹣2，3）∪（3，3+2] D．[3﹣4，3）∪（3，3+4]参考答案：D考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|?|PB|=（|PM|+r）（|PM|﹣r）=|PM|2﹣4，再利用|PA|=|AB|≤2r，|PM|2=22+（3﹣t）2，即可得出．解答：解：由圆M：（x﹣2）2+（y﹣3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|?|PB|=（|PM|+r）（|PM|﹣r）=|PM|2﹣4，∵|PA|=|AB|，|PM|2=22+（3﹣t）2，∴2|AB|2=22+（3﹣t）2﹣4，化为（3﹣t）2=2|AB|2，∵|AB|≤2r=4，∴（3﹣t）2≤2×42=32，解得3﹣4≤t≤3+4，又t≠3，∴3﹣4≤t≤3+4且t≠3．故选D．点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、切割线定理、不等式的解法等基础知识与基本方法，属于难题．7. 若a、b为非零向量，则“”是“函数为一次函数”的A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充必条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B8. 已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,参考答案：C9. 函数在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 ( )A． B．C． D．参考答案： A 略10. 已知平面向量，且，则实数m 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设集合A={（x 1，x 2，x 3，…，x 10）|x i ∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，…，10}，则集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|≤9”的元素个数为 ．参考答案：310﹣210﹣1考点：集合的表示法；元素与集合关系的判断． 专题：计算题；集合；排列组合．分析：由排列组合的知识知，集合A 中共有310个元素，其中|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=0的只有一个元素，|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=10的有210个元素；从而求得． 解答： 解：集合A 中共有310个元素；其中|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=0的只有一个元素，|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|=10的有210个元素；故满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+…+|x 10|≤9”的元素个数为310﹣210﹣1． 故答案为：310﹣210﹣1．点评：本题考查了排列组合的应用及集合中元素的特征应用，属于中档题．12. 圆的圆心到直线的距离;参考答案：13. 由曲线y ＝｜x ｜，y ＝－｜x ｜，x ＝2，x ＝－2同成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V ＝____________．参考答案：略14. 甲、乙两名同学从三门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为 。
2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第一次质量普查调研试卷(理科)(一模)
2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第一次质量普查调研试卷（理科）（一模）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|1＜x＜3}R B＝（）A．{1，3，4}B．{1，4}C．{3，4}D．{4}2．（5分）下面是关于复数z＝的四个命题：P1：z的实部为﹣1；P2：z的虚部为1；P3：z的共轭复数为1+i；P4：|z|＝．其中真命题为（）A．P1∨P3B．￢P2∨P3C．P3∧P4D．P2∧P43．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线），其俯视图为（）A．B．C．D．4．（5分）已知角α的终边在直线上，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时，措施得当（单位：%）的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月．2代表2020年9月……＝0.042x+．若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势（精确到月）（）A．2021年5月B．2021年6月C．2021年7月D．2021年8月6．（5分）的展开式中x2的系数为（）A．﹣2B．2C．﹣10D．107．（5分）希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用平行于母线P A且过母线PB的中点M的平面去截圆锥，所得截线为如图所示的抛物线．若该圆锥的高PO＝1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．3C．D．8．（5分）关于函数，下面4个判断错误的有（）①函数f（x）的图像是中心对称图形；②函数f（x）；③函数f（x）在x∈（1，+∞）单调递增（x）在x∈（﹣1，0）单调递减．A．①③B．②③C．②④D．③④9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移，得到的函数的图象关于点对称（x）＝cos（x+φ）在上的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）若数列{a n}满足a1＝2，，则该数列的前2021项的乘积是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．111．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线，B两点，F是该双曲线的焦点，若△ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O上，且AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝4，AD＝2（）A．B．C．30πD．40π二、填空题（本大题共四小题，每小题五分，共20分。
内蒙古2021年高考数学全真模拟试卷(理科)(I)卷
内蒙古2021年高考数学全真模拟试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·临沂模拟) 己知i是虚数单位，是z的共轭复数，，则z的虚部为（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i2. （2分）若角的终边经过点，则的值是（）A . 1B . 2C .D .3. （2分） (2018高一上·浏阳期中) 已知函数，则A . 30B . 6C . 20D . 194. （2分）设x,y满足则z=x+y（）A . 有最小值2，最大值3B . 有最小值2，无最大值C . 有最大值3，无最小值D . 既无最小值，也无最大值5. （2分） (2018高二上·宾县期中) 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）已知f(x)为一次函数，且，则（）A . -2B . -1C . 1D . 27. （2分）（x2+x+1）5展开式中，x5的系数为（）A . 51B . 8C . 9D . 108. （2分） (2015高三上·包头期末) 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A . ﹣1B . -C .D . 29. （2分）(2018·河北模拟) 若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A .B .D .10. （2分）已知球的体积与其表面积的数值相等，则此球的半径为（）A . 4B . 3C . 2D . 111. （2分）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P（x，y），若初如位置为，秒针从P0（注：此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为（）A . y=sinB . y=sinC . y=sinD . y=sin12. （2分） (2019高二上·田东期中) 某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（）A .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=________．14. （1分） (2020高二上·吉林期末) 双曲线的渐近线方程是________.（一般式）15. （1分）已知实数x∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________16. （1分）某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为2的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为________．三、解答题： (共7题；共45分)17. （5分） (2017高三上·韶关期末) 设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn ．18. （5分） (2017高三上·沈阳开学考) 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程R（公里）80≤R＜150150≤R＜250R≥250纯电动乘用车 3.5万元/辆5万元/辆6万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数频率80≤R＜15020.2150≤R＜2505xR≥250y z合计M1（Ⅰ）求x，y，z，M的值；（Ⅱ）若从这M辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率；（Ⅲ）若以频率作为概率，设X为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X的分布列和数学期望EX．19. （10分） (2020高三上·深圳月考) 如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且 .（1）求与平面所成的角；（2）求二面角的正弦值.20. （5分）(2018·永春模拟) 已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为 .若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.21. （5分） (2015高二下·定兴期中) 证明：1﹣≤ln（x+1）≤x，其中x＞﹣1．22. （5分）(2017·成都模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠ ）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．23. （10分）(2017·柳州模拟) 已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： + ≥1．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
内蒙古赤峰市2021届高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
内蒙古赤峰市2021届高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合，A ={1,2，3，5}，B ={2,3，4}，则A ∩B =( )A. {1,2，3，4，5}B. {2,3，5}C. {3}D. {2,3}2.已知复数．z =2i1−i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 2D. −23.变量x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥1x ≤2，则z =2x −y 的最大值为( )A. 5B. 4C. 3D. 14.湖北省第十四届运动会即将于2014年8月在荆州市举行，某参赛队准备在甲、乙两名篮球运动员中选一人参加比赛。
已知在某一段时间内的训练中，甲、乙的得分成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙小组的平均成绩分别是，则下列结论正确的是( )甲 乙0 8 6 5 2 1 3 4 6 5 42 3 3 6 9 7 6 6 1 1 3 3 8 9 4 4 051A. ，选甲参加更合适B. ，选乙参加更合适C.，选甲参加更合适D.，选乙参加更合适5.与圆相切，且在两坐标上的截距相等的直线有( )A. 1条B. 2条C. 4条D. 6条6.已知中，，BC =4，则的面积为( )A. 6B. 12C. 5D. 107.若数列{a n }满足1an+1−1a n=d(n ∈N ∗,d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知正项数列{1b n}为调和数列，且b 1+b 2+b 3+⋯+b 9=90，则b 4+b 6的值是( )A. 10B. 20C. 30D. 408.已知α,β∈(0,π,2)，下列不等式中不成立的是( )A. sinα+cosα>1B. sinα−cosα<1C. cos(α+β)>cos(α−β)D. sin(α+β)>sin(α−β)9.过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=4，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( )A. 1B. 2C. 4D. 810. 将函数y =cos2x 的图象向左平移π3个单位长度，所得图象的函数解析式为( )A. y =cos(2x −2π3) B. y =cos(2x +π3) C. y =cos(2x +2π3)D. y =cos(2x −π3)11. 方程lnx +2x =6的解一定位于区间( )A. .(1,2)B. (2,3)C. .(3,4)D. (4,5)12. 如图，等边△ABC 的边长为2，△ADE 也是等边三角形且边长为1，M 为DE的中心，在△ABC 所在平面内，△ADE 绕A 逆时针旋转一周，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 34 B. 34+√3C. 3+√34D. 34+2√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(2−x)6(x +1)展开式中，含x 4的项的系数是______．14. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)满足R(x)={80000,x >400400x−12x 2,0≤x≤400其中x(单位：台)是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？(总收益=总成本+利润)15.三棱柱ABC−A 1B 1C 1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=，AA 1=4，则这个球的表面积为_________．16.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交曲线C右支于P、Q两点，且PQ⊥PF1，若3|PQ|=4|PF1|，则C的离心率等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列的前项和为，公差，，且成等比数列．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和公式．18.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；(Ⅱ)求二面角A−BF−D的余弦值；(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．19.2015年3月22日，长沙某协会在“保护湘江，爱我母亲河”活动中共计放生了青鱼、草鱼、鲫鱼数百万尾．若这些鱼中三种鱼所占比例一样，现从中抽取5尾检查鱼的健康状况，求其中青鱼的尾数X的分布列及其数学期望．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点A(−2,0)，离心率e=12，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两个不同的点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)当|PQ|=247时，求直线PQ 的方程；(Ⅲ)设线段PQ 的中点在直线x +y =0上，求直线PQ 的方程．21. 已知函数f(x)=x 2lnx ，g(x)=−x 2+ax −3(a ∈R) (1)试确定t 的取值范围，使得函数f(x)在(0,t]上为单调函数；(2)若存在两个不等实数x 1，x 2∈(1e ,e)，其中e 为自然对数的底数，使得方程g(x)=2f(x)x成立，求实数a 的取值范围．22. 求出直线{x =2+t y =−1−t (t 为参数)与曲线{x =3cosαy =3sinα(α为参数)的交点坐标．23. 16、(本题满分10分)已知函数f (x )=x +，且f (1)=2(1)判断f (x )的奇偶性；(2)函数f (x )在(1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A ={1,2，3，5}，B ={2,3，4}， ∴A ∩B ={2,3}． 故选：D ．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：本题主要考查复数的运算，属基础题.将z 的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，按多项式展开，将i 2用−1代替，再利用复数模的公式求出z 的模． 解：z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i 2=−1+i ，所以|z|=√2， 故选B ．3.答案：A解析：解：由z =2x −y 得y =2x −z作出约束条件{y ≤xx +y ≥1x ≤2对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y =2x −z由图象可知当直线y =2x −z 过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 最大，由{x =2x +y =1，解得A(2,−1)． 代入目标函数z =2x −y ， 得z =2×2+1=5，∴目标函数z =2x −y 的最大值是5． 故选：A ．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4.答案：A解析：试题分析：由茎叶图，直接可算出甲、乙小组的平均成绩分别是，，而由茎叶图直观的可看到，甲的成绩更加集中，乙的成绩比较分散，所以甲的发挥更稳定(可计算其方差，利用方差的大小来比较稳定性)，所以甲参加更合适，故选A．考点：本题考查的知识点是茎叶图以及平均数和方差这两个数字特征，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度，用样本的数字特征可估计总体的数字特征．5.答案：C解析：截距不为0时，设直线方程为，即，由，得，截距为0时，设直线方程为，即，由，得，因此截距相等的切线有4条．故选C．考点：直线与圆的位置关系．6.答案：A解析：∵，∴为锐角，则，∴，角C为直角，∵，∴的面积.故选：A．考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理的应用．7.答案：B}为调和数列，可得b n+1−b n=d(d为常数)，解析：解：由已知数列{1bn∴{b n}为等差数列，由b1+b2+⋯+b9=90，结合等差数列的性质可得9b5=90，∴b4+b6=2b5=20，故选：B．由已知数列{1bn}为调和数列可得{b n}为等差数列，由等差数列的性质及已知b1+b2+b3+⋯+b9= 90，可求b4+b6的值．本题考查数列递推式，考查等差数列的性质，是基础的计算题．8.答案：C解析：解：∵α、β∈(0,π2)，则sinα、cosα、sinβ、cosβ>0．对于A：(sinα+cosα)2=1+sin2α，∵sin2α>0，∴sinα+cosα>1.∴A对对于B：(sinα+cosα)2=1−sin2α，∵sin2α>0，∴sinα+cosα<1.∴B对．对于C：cos(α+β)−cos(α−β)=cosαcosβ−sinβsinα−cosαcosβ−sinβsinα=−2sinβsinα< 0，即cos(α+β)<cos(α−β)，∴C不对．对于D：sin(α+β)−sin(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβ−sinαcosβ+cosαsinβ=2cosαsinβ>0，即sin(α+β)>sin(α−β)，∴D对．故选：C．根据各象限值的正负和和与差的公式判断即可．本题考查了三角函数的倍角和和与差的公式运用，各象限值的正负的判断，基本知识的考查．9.答案：C解析：解：设抛物线的解析式y2=2px(p>0)，则焦点为F(p2,0)，对称轴为x轴，准线为x=−p2，∵直线l经过抛物线的焦点，A，B是l与C的交点，又AB⊥x轴，∴可设A点坐标为(p2,2)，代入y2=2px，解得p=2，又∵点P在准线上，设过点P的垂线与AB交于点D，|DP|=p2+|−p2|=p=2，∴S△ABP=12|DP|⋅|AB|=12×2×4=4．故选：C．设出抛物线方程，求出焦点坐标，准线方程，然后转化求解三角形的面积，即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：直接利用三角函数的平移变换的法则写出结果即可． 本题考查三角函数的图象变换，属于对基本知识的考查．解：将函数y =cos2x 的图象向左平移π3个单位长度，所得图象的函数解析式为y =cos [2(x +π3)]=cos(2x +2π3)．故选：C ．11.答案：B解析：解：方程lnx +2x =6的根即函数f(x)=lnx +2x −6的零点， 函数f(x)=lnx +2x −6在定义域上单调连续； 且f(2)=ln2+4−6<0； f(3)=ln3+6−6>0；故方程lnx +2x =6的根属于区间(2,3) 故选B ．方程lnx +2x =6的根即函数f(x)=lnx +2x −6的零点，而函数f(x)=lnx +2x −6在定义域上单调连续；从而求零点的区间即可．本题考查了方程的根与函数的零点的应用，属于基础题．12.答案：B解析：解：设∠BAD =θ，(0≤θ≤2π)，则∠CAE =θ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12+14−12×2×1×cos(θ+π3) =34−cosθ−cosθcos π3+sinθsin π3=34−32cosθ+√32sinθ =√3sin(θ−π6)+34． ∴当θ=2π3时，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为√3+34． 故选：B ．设∠BAD =θ，(0≤θ≤2π)，则∠CAE =θ，把BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．13.答案：−100解析：解：由于(2−x)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r⋅26−r ⋅(−1)r ⋅x r ，分别令r =3、r =4，可得(2−x)6(x +1)展开式中，含x 4的项的系数为−C 63×23+C 64×22=−160+60=−100，故答案为：−100．由题意利用(2−x)6 的二项展开式的通项公式，求得在(2−x)6(x +1)展开式中，含x 4的项的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：解：(1)由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而利润f(x)={60000−100x,x >400300x−12x 2−20000,0≤x≤400；(2)当0≤x ≤400时，f(x)=−12(x −300)2+25000， 所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数， 所以f(x)=60000−100×400<25000． 所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．解析：(1)利润=收益−成本，由已知分两段当0≤x ≤400时，和当x >400时，求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．15.答案：64π解析：解：在△ABC 中，∠ACB =120°，CA =CB =，由余弦定理可得，则AB =6，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径，故此球的表面积为4πR2=64π．16.答案：√102解析：解：可设P，Q为双曲线右支上一点，由PQ⊥PF1，|PQ|=43|PF1|，在直角三角形PF1Q中，|QF1|=√|PF1|2+|PQ|2=53|PF1|，由双曲线的定义可得：2a=|PF1|−|PF2|=|QF1|−|QF2|，由|PQ|=43|PF1|，即有|PF2|+|QF2|=43|PF1|，即为|PF1|−2a+53|PF1|−2a=43|PF1|，∴(1−43+53)|PF1|=4a解得|PF1|=3a．|PF2|=|PF1|−2a=3a−2a=a，由勾股定理可得：(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，即4c2=9a2+a2，可得e=√102．故答案为：√102．由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a=|PF1|−|PF2|=|QF1|−|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．本题考查了双曲线的定义、方程及其性质，考查勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)；解析：试题分析：(Ⅰ)本小题主要通过等差数列的通项公式和前项和公式化基本量，然后根据成等比数列转化为基本量，二者联立可求解，于是；(Ⅱ)本小题首先得出新数列的通项，然后通过裂项求和可得数列的前项和为．试题解析：(Ⅰ)因为所以，2分又因为成等比数列，所以，即因为，所以4分从而即数列的通项公式为：.6分(Ⅱ)由，可知8分所以，10分所以所以数列的前项和为.13分考点：1.等差数列；2.裂项求和．18.答案：(本小题14分)(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，因为 正方形ABCD ，所以O 为AC 中点 又 矩形ACEF ，M 为EF 的中点所以 EM//OA ，且EM =OA ……………………………..(2分) 所以OAME 为平行四边形所以 AM//OE ……………………………..(4分) 又 AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE所以 AM//平面BDE ……………………………(5分)(Ⅱ)解：以C 为原点，分别以CD ，CB ，CE 为x ，y ，z 轴建立坐标系C −xyz则A(2,2，0)，B(0,2，0)，D(2,0，0)，F(2,2，1)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1) 设平面BDF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 由{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0得{−2x +2y =02y +z =0 则n⃗ =(1,1,−2)……………(7分) 易知 平面ABF 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)……………(8分)cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6=√66由图可知 二面角A −BF −D 为锐角所以 二面角A −BF −D 的余弦值为√66……………(10分)(Ⅲ)解：设M(x 0,x 0,1)，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−2,x 0−2,1)若AM ⊥平面BDF 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //n ⃗ ，即(x 0−2,x 0−2,1)//(1,1，−2)……………(12分) 所以x 0−2=1−2解得x 0=32所以M(32,32,1)， 所以EM EF=32√222=34……………(14分) 解析：(Ⅰ)证明：设AC ∩BD =O ，连结OE ，证明OAME 为平行四边形，推出AM//OE ，即可证明 AM//平面BDE ．(Ⅱ)以C 为原点，分别以CD ，CB ，CE 为x ，y ，z 轴建立坐标系C −xyz ，求出平面BDF 的法向量平面ABF 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A −BF −D 的余弦值．(Ⅲ)设M(x 0,x 0,1)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−2,x 0−2,1)，通过AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求出M ，然后求解比值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：由题意可得：X ～B(5,13)．∴P(X =k)=∁5k (13)k (23)5−k． 的分布列为：EX =5×13=53．解析：由题意可得：X ～B(5,13).可得P(X =k)=∁5k (13)k (23)5−k ，进而得出分布列与数学期望． 本题考查了二项分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)由已知得{a =2c a =12a 2=b 2+c 2，解得c =1，b 2=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，椭圆的右焦点F(1,0)，设直线PQ 的方程为x =my +1，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{x =my +1x 24+y 23=1得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，所以y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 所以|PQ|=√(m 2+1)(y 1−y 2)2=√(m 2+1)(36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4)=12√(m +1)(3m 2+4)2=12×m 2+13m 2+4， 因为|PQ|=247，所以12×m 2+13m 2+4=247，解得m =±1，所以直线PQ 的方程为x =±y +1，即x +y −1=0或x −y −1=0． (Ⅲ)设PQ 中点为(x 0,y 0)， 所以x 0=x 1+x 22=m(y 1+y 2)+22=m⋅(−6m3m 2+4)+22=43m 2+4，y 0=y 1+y 22=−3m3m 2+4，又因为线段PQ 的中点在直线x +y =0上，所以x 0+y 0=0，即43m 2+4+−3m3m 2+4=0，解得m =43， 所以直线PQ 的方程为x =43y +1，即3x −4y −3=0． 解析：(Ⅰ)由已知得{a =2c a =12a 2=b 2+c 2，解得c ，b 2，进而得椭圆的方程．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，椭圆的右焦点F(1,0)，设直线PQ 的方程为x =my +1，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立直线PQ 与椭圆的方程，可得y 1+y 2，y 1y 2，由弦长公式可得|PQ|=12×m 2+13m 2+4=247，解得m =±1，进而可得直线PQ 的方程．(Ⅲ)设PQ 中点为(x 0,y 0)，由中点坐标公式可得x 0=43m 2+4，y 0=−3m3m 2+4，代入直线x +y =0，解得m ，进而可得直线PQ 的方程．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)由f′(x)=x(2lnx +1)得x =√ee， 可得f(x)在区间(0,√e e)为减函数，在区间(√ee,+∞)为增函数，使得函数f(x)在(0,t]上为单调函数，则有(0,t]⊆(0，√ee ]，故0<t ≤√ee ；(2)由g(x)=2f(x)x，得−x 2+ax −3=2xlnx ，整理得a =x +2lnx +3x ， 令ℎ(x)=x +2lnx +3x ，ℎ′(x)=(x+3)(x−1)x 2，所以ℎ(x)在(1e ,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增， ℎ(1e )=1e +3e −2，ℎ(1)=4，ℎ(e)=3e +e +2， ℎ(e)−ℎ(1e )=4−2e +2e <0， 所以a 的取值范围为(4,3e +e +2).解析：(1)由导数可求函数的单调区间，进而可求得t 的取值范围；(2)利用分离变量，数形结合即可求得a 的取值范围．本题主要考查利用导数求函数的单调性，极值和最值，属于中档题．22.答案：解：∵{x =2+ty =−1−t (t 为参数)∴{t =x −2t =−y −1 ∴x −2=−y −1∴直线的普通方程为x +y −1=0； ∵曲线的参数方程为{x =3cosαy =3sinα(α为参数)，∴化成普通方程为x 2+y 2=9， 把y =1−x 代入圆的方程x 2+y 2=9， 整理，可得x 2−x −4=0， 解得x =1+√172，此时y =1−√172；或x =1−√172，此时y =1+√172， 所以直线和圆有2个交点，坐标为(1+√172,1−√172),(1−√172,1+√172)．解析：首先把直线、曲线的参数方程化成普通方程，然后根据直线的普通方程，用x 表示出y ，代入曲线的方程，求出它们的交点的坐标即可．本题主要考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程之间的相互转化，考查了求两个曲线的交点的方法，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．23.答案：(1)∵f(1)=2，∴1+m =2，m =1.因为函数f(x)=x + ，f(−x)=−x − =−f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)函数f(x)=1x +x 在(1,+∞)上为增函数，证明如下： 设x 1、x 2是(1,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−(x 2+1x 2)=x 1−x 2+(1x 1−1x 2) =x 1−x 2−x 1−x 2x 1x 2=(x 1−x 2)x 1x 2−1x 1x 2．当1<x 1<x 2时，x 1x 2>1，x 1x 2−1>0，从而f(x 1)−f(x 2)<0， 即f(x 1)<f(x 2).∴函数f(x)=1x +x 在(1,+∞)上为增函数．解析：(1)∵f(1)=2，∴1+m=2，m=1.因为函数f(x)=x+，f(−x)=−x−=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)函数f(x)=1x+x在(1,+∞)上为增函数，证明如下：设x 1、x 2是(1,+∞)上的任意两个实数，且x1<x 2，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=x1−x2+(1x1−1x2)=x1−x2−x1−x2x1x2=(x1−x2)x1x2−1x1x2．当1<x1<x 2时，x 1x2>1，x 1x2−1>0，从而f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)=1x+x在(1,+∞)上为增函数．分析：(1)函数f(x)=x+mx，且f(1)=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．(2)由(1)知f(x)=x+1x，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．(3)本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．。
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f(x) = ex - xlnx - px2 在（ 1，4)上 为 “ 凸 函 数 ” ，则 实 数 p 的 取 值 范 围 是
(A)
(-¥,2e
-
1 ]
2
(B) [e 1,) (C) [e4 - 1 ,+¥) (D) (e,) 28
12.已 知 数 列 an (nN*) 的 首 项 a1＝ 3，前 n 项 和 为 Sn．设 λ与 k 是 常 数 ，若
A(1, a),
B(2, b), 且
cos 2
2
则
ab
3
1
(A)
5
(B) 5 5
(C) 2 5 5
(D) 1
3.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹 ．田忌的上 等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下
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等马， 劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方 的
世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先
进 的 电 子 计 算 机 ， 验 算 到 700 亿 以 内 的 自 然 数 上 述 结 论 均 为 正 确 的 ， 但 却
给 不 出 一 般 性 的 证 明 ， 如 果 取 m=11， 则 要 想 算 出 结 果 1， 共 需 要 经 过 的 运
(A) 289
(B) 1024
(C) 1225
(D) 1378
5. 已 知 半 径 为 1 的 圆 经 过 点 (3, 4) ，则 其 圆 心 到 点 M(6, 0) 的 距 离 的 最 小 值 为
（A）7
（B）6
（C）5
（D）4
6.已知 an 为等比数列， Sn 是它的前 n 项和.若 a3a4 = 8a22 ，且 a7 -a1 = 189 ，
点 B,C, E, F 可能共面 ；③若 EF CF ，则平面 ADEF 平面 ABCD ；④平面 BCE 与平
面 BEF 可能垂直 . 其中正确的是．
E
E
D
C
F
A
B
图①
F
D A
图②
C B
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（A） ① ④ （B） ① ③
（C）② ③ ④
（D）① ② ④
11 . 丹 麦 数 学 家 琴 生 (Jensen) 是 19 世 纪 对 数 学 分 析 做 出 卓 越 贡 献 的 巨 人 ，
马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马
获胜的概率为
4
(A)
9
5
(B)
9
2
(C)
3
7
(D)
9
4. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 , 例如 :他们研究 过 图 (1)中 的 1,3,6,10,· · · ,由 于 这 些 数 能 表 示 成 三 角 形 ,将 其 称 为 三 角 形 数 ;类 似 地 ,称 图 (2)中 的 1,4,9,16,···这 样 的 数 称 为 正 方 形 数 .下 列 数 中既是三角形数又是正方形数的是
特 别 是 在 函 数 的 凹 凸 性 与 不 等 式 方 面 留 下 了 很 多 宝 贵 的 成 果 .设 函 数 f (x)
在 (a，b)上 的 导 函 数 为 f '(x) ， f '(x) 在 (a，b)上 的 导 函 数 为 f ''(x) ，若 在 (a，b)
上 f ''(x) < 0 恒 成 立 ， 则 称 函 数 f (x) 在 (a ， b) 上 为 “ 凸 函 数 ” . 已 知
则 S5
(A) 33
(B) 93
(C) － 33
(D) － 93
7.已 知 球 O 的 半 径 为 8， 矩 形 ABCD 的 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， 球 心 O 到 平
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面 ABCD 的 距 离 为 4， 则 此 矩 形 的 最 大 面 积 为
5+1
（A）
2
5-1
（B）
2
（C） 5+1
（D） 5-1
9.大 约 在 20 世 纪 30 年 代 ， 世 界 上 许 多 国 家 都 流 传 着 这 样 一 个 题 目 ： 任 取
一个正整数 m，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加
ห้องสมุดไป่ตู้
1， 这 样 反 复 运 算 ， 最 后 结 果 必 然 是 1 ， 这 个 题 目 在 东 方 称 为 “ 角 谷 猜 想 ”，
按秘密级事项管理★启用前
2021 年普通高等学校招生第一次统一模拟考试
理科数学
2020.10
本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字
(A) 96
(B) 48
(C) 32
(D) 24
x2 y2 8.已 知 F1 ,F2 为 双 曲 线 C : a2 b2 1(a 0,b 0) 的 左 右 焦 点 ，B 为 C 上 位 于 第
1
一 象 限 的 点 ， 且 BF2 垂 直 于 x 轴 .
若 F1
B 的斜率为 ，则 C 的离心率为 2
笔书写，字迹工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答
案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用图改液、修正带、
刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
{ } 1.已 知 集 合 A = x y = 6 - x ， B {x | x 3n 1,n N} ， 则 A B
(A) {2,5}
(B) {2,5,6}
(C) {－ 1,2,5}
(D) {－ 1,2,5,8}
2.已知角 的 顶点为坐标原点 ,始边与 x轴的非负半轴重合 ,终边上有两点
算步数是
(A) 12
(B) 13
(C) 14
(D) 15
10．如图所示，在直角梯形 BCEF 中， CBF BCE 90 ， A , D 分别是 BF , CE 上的 点， AD//BC ，且 AB DE 2BC 2AF （如图①）.将四边形 ADEF 沿 AD 折起，连接
BE ， BF ， CE （如图②）.在折起的过程中，则下列表述： ① AC// 平面 BEF ；②四