中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第9~10章【圣才出品】
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12．平稳 AR（1）模型 A．
的方差为（ ）。
B．
C．
D．
E． 【答案】A 【解析】把平稳 AR（1）模型转化为传递形式：
格林函数为： 所以平稳 AR（1）模型的方差为：
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自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关；③常数方差。
8．下列关于自相关系数的说法中不正确的是（ ）。
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A．
B．
C．
D．一个自相关函数一定唯一对应着一个平稳时间序列
E．当
，说明相隔 k 期的两个序列值之间具有正相关关系
【解析】根据格林函数的递推公式计算得：
4．已知时序模型
， ， 独立同分布服从N（0，1），则
Fra Baidu bibliotek
等于（ ）。[2008年真题]
A．0
B．－1
C．－1/2
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D．1
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E．1/2
【答案】A
【解析】
,
,故
5．对 AR（2）模型 A．0.617 B．0.657 C．0.697 D．0.737 E．0.777 【答案】B 【解析】 记 AR（2）为
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A． B． C． D． E． 【答案】D 【解析】平稳 AR（2）模型的递推公式为：
特别的，当 时有
即
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则平稳 AR（2）模型的自相关系数的递推公式为：
15．已知平稳 AR（1）模型
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
11．某一 AR 模型为
，则
（ ）。
A．0
B．0.3
C．0.5
D．0.7
E．1
【答案】E
【解析】根据平稳域判别法，AR（1）模型平稳的充要条件是
，由
可知该
AR（1）模型平稳。
对于平稳 AR（p）模型
，其均值为：
故题中所要求的均值为：
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13．平稳 AR（1）模型的自协方差函数为（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】A 【解析】平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式为：
由
可得平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式如下：
14．平稳 AR（2）模型的自相关系数递推式为（ ）。
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， 独立同分布服从于 N（0,1），
其一阶偏自相关函数为 0.5，则 （ ）。
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D．自相关系数ρk=1／（
）
E．Xt 是平稳的
【答案】D
【解析】①
可见 Xt 的期望和方差均与时间 t 无关。
可见 Xt 的协方差也与时间 t 无关，结合①知 Xt 是平稳的。 ③Xt 的自相关系数为：
10．设
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E．任意有限阶模型都是平稳的 【答案】C 【解析】ARMA（p,q）模型偏相关函数与自相关函数均拖尾
3．已知序列 ,，若对
A．0.4
，独立同分布服从 N（0,1）,观察到 进行预测，其预测方差为（ ）。[2011 年真题]
B．0.46
C．1.16
D．32
E．32.5
【答案】C
【解析】
，则原式等价于
得原式为 1
，其中
，
，则计算
2．下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．AR（p）模型偏相关函数步截尾 B．MA（q）模型自相关函数步截尾 C．ARMA（p,q）模型偏相关函数 p 步截尾 D．AR（p）的一阶偏自相关函数等于一阶自相关函数
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
，则有
，其自相关函数ρ2＝（ ）。[样题] 。
6．对 MA（2）模型 题]
A．－0.28
，则其偏自相关函数φ 22＝（ ）。[样
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B．－0.31
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C．－0.34
D．－0.37
E．－0.40
【答案】B
【解析】先求自相关：
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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【答案】D
【解析】对于平稳时间序列
，任取
，定义 为时间序列 的
延迟 自协方差函数
由延迟 自协方差函数的概念可以等价得到延迟 自相关系数的概念：
自相关系数有四个性质：①规范性
且
②对称性
③非负定性
④非唯一性，即一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必
唯一对应着一个平稳的时间序列。故可知选项 D 的说法不正确。
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
12．平稳 AR（1）模型 A．
的方差为（ ）。
B．
C．
D．
E． 【答案】A 【解析】把平稳 AR（1）模型转化为传递形式：
格林函数为： 所以平稳 AR（1）模型的方差为：
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自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关；③常数方差。
8．下列关于自相关系数的说法中不正确的是（ ）。
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A．
B．
C．
D．一个自相关函数一定唯一对应着一个平稳时间序列
E．当
，说明相隔 k 期的两个序列值之间具有正相关关系
【解析】根据格林函数的递推公式计算得：
4．已知时序模型
， ， 独立同分布服从N（0，1），则
Fra Baidu bibliotek
等于（ ）。[2008年真题]
A．0
B．－1
C．－1/2
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D．1
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E．1/2
【答案】A
【解析】
,
,故
5．对 AR（2）模型 A．0.617 B．0.657 C．0.697 D．0.737 E．0.777 【答案】B 【解析】 记 AR（2）为
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A． B． C． D． E． 【答案】D 【解析】平稳 AR（2）模型的递推公式为：
特别的，当 时有
即
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则平稳 AR（2）模型的自相关系数的递推公式为：
15．已知平稳 AR（1）模型
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
11．某一 AR 模型为
，则
（ ）。
A．0
B．0.3
C．0.5
D．0.7
E．1
【答案】E
【解析】根据平稳域判别法，AR（1）模型平稳的充要条件是
，由
可知该
AR（1）模型平稳。
对于平稳 AR（p）模型
，其均值为：
故题中所要求的均值为：
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13．平稳 AR（1）模型的自协方差函数为（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】A 【解析】平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式为：
由
可得平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式如下：
14．平稳 AR（2）模型的自相关系数递推式为（ ）。
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， 独立同分布服从于 N（0,1），
其一阶偏自相关函数为 0.5，则 （ ）。
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D．自相关系数ρk=1／（
）
E．Xt 是平稳的
【答案】D
【解析】①
可见 Xt 的期望和方差均与时间 t 无关。
可见 Xt 的协方差也与时间 t 无关，结合①知 Xt 是平稳的。 ③Xt 的自相关系数为：
10．设
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E．任意有限阶模型都是平稳的 【答案】C 【解析】ARMA（p,q）模型偏相关函数与自相关函数均拖尾
3．已知序列 ,，若对
A．0.4
，独立同分布服从 N（0,1）,观察到 进行预测，其预测方差为（ ）。[2011 年真题]
B．0.46
C．1.16
D．32
E．32.5
【答案】C
【解析】
，则原式等价于
得原式为 1
，其中
，
，则计算
2．下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．AR（p）模型偏相关函数步截尾 B．MA（q）模型自相关函数步截尾 C．ARMA（p,q）模型偏相关函数 p 步截尾 D．AR（p）的一阶偏自相关函数等于一阶自相关函数
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
，则有
，其自相关函数ρ2＝（ ）。[样题] 。
6．对 MA（2）模型 题]
A．－0.28
，则其偏自相关函数φ 22＝（ ）。[样
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C．－0.34
D．－0.37
E．－0.40
【答案】B
【解析】先求自相关：
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【答案】D
【解析】对于平稳时间序列
，任取
，定义 为时间序列 的
延迟 自协方差函数
由延迟 自协方差函数的概念可以等价得到延迟 自相关系数的概念：
自相关系数有四个性质：①规范性
且
②对称性
③非负定性
④非唯一性，即一个平稳时间序列一定唯一决定了它的自相关函数，但一个自相关函数未必
唯一对应着一个平稳的时间序列。故可知选项 D 的说法不正确。
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]