两级库存供应系统的需求随机型EOQ模型研究
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Keywords: equipment supply; supply system with two- echelon inventory; EOQ; stochastic demand
1 引言
军队器材供应链运行过程中，存在着很多不确定的情况， 使得整个供应系统变得非常复杂，例如，面对各地区仓库的器 材随机消耗，总部很难找到一种对供应链进行整体优化的方 法。针对这一现状，本文构建了一种需求随机型的两级库存供 应系统 EOQ 模型，然后运用实例验证的方法分析了该两级库 存系统器材供应中的一些规律，为优化军事器材的供应决策 提供了解决思路。
（6） 所以，在一个检查周期 T 内，总部的库存费用为式（7）：
（7） （2）总部仓库的订货费用。在订货费用与订货的数量无关 的前提下，CD 为每次订货的基本费用。由于总部同样采取定期 订货的策略，所以总部的订货费用表示为式（8）：
（8） （3）总部仓库的总体费用
（9）
所以，在此期间，地区仓库的总体库存费用为：
ÂÁÁIi(t)的申请配送数量。一个年度内，地区仓库所消耗的费用主要
包括以下几个组成部分。 （1）地区仓库的申请配送费用。由于各地区仓库器材的消
耗是连续随机的，所以，每一次检查，都会向总部仓库提出一 定的配送需求。该需求中，申请配送费用由两个部分组成。器 材运输费用由两部分组成。首先，每一次申请和运输器材，都 有一个基础费用，用 AD 表示。另外，当请领器材超过一定数量 时，运输成本还与器材数量有关系。这里，把与器材数量有关 系的费用折算为单位器材的运输费用，用 CY 表示。由于地区 仓库最大的库存数量为 Qi，则地区仓库每月盘点后申请器材 所需要的配送费用可以表示为式(1)：
个时间周期 T 以后，进行盘点，按照缺货要求向总部仓库申请 划期内的总费用模型可以表示为式（4）。
配送，保证地区仓库的最大库存量为 Qi，为了简化问题的研
（4）
究，假设地区仓库每月盘点 1 次，每年盘点 12 次；
3.2 总部仓库的费用模型
（4）地区仓库的器材消耗规律为连续随机型，并且不考虑
当各地区仓库的器材消耗模型为连续随机变量时，总部
（1） （2）地区仓库的库存费用。当地区仓库的器材消耗为随机 变量时，如果不知道需求变化的规律，即使定期检验订货，也 无法估算在一个检查周期内库存器材的平均数量，因此无法 计算在此期间平均的库存费用。所以，很多需求随机型的库存 控制模型中，都需要对器材的需求情况做出一定的假设，通过 对随机过程的统计方法来描述一个检查周期内库存器材的变 化规律。 这里，对地区仓库器材的消耗规律描述如下[3]：令 τ 时间 段内，器材的需求记为 Dτ，均值记为 E(Dτ)，其年期望需求比 率为 λ。则在定期盘点和瞬时到货的前提下，每个检查周期 内，地区仓库的平均库存数量为：
3.0 390.11 490.11 590.04 318.75 1 789.0
- 144-
4.2 算例结果分析
表 2 中，斜体并加注“*”的数据表明了在所选择的检查周 期中wk.baidu.com级仓库运行费用最低的一组数据。从表 2 中可以看出 当器材需求为随机型，地区仓库和总部仓库都采用（T,Q）策略 进行申请或者订货时，各个仓库的运行费用、总部仓库的运行 费用和系统的运行费用之间，存在着如下几个特点：
T
1
446.3 517.6 589.48 330.50 1 883.9
1.5 383.2 457.87 533.00 285.56 1 659.6
1.6 377.99 453.92 530.27 282.88 1 645.04
1.7 374.21 451.51 529.20* 281.42 1 636.35
C ? C ?Q ? (Q − T? ) 2
（3）
3.3 系统的总体费用
在已知地区仓库配送费用、库存费用和总部仓库订货费 用、库存费用的前提下，系统的总体运行费用可以表示为：
- 143-
军事物流
物流技术 2012 年第 31 卷第 3 期（总第 258 期）
(10)
4 基于算例的模型分析
对于器材需求为随机型的各种库存控制模型和配送模 型，很难有严格的求解过程，只能定性研究该模型中的部分参 数对系统整体运行费用的影响。即使本文采用了经济批量订 购模型的思路来表示各级仓库的运行费用结构，但是却不能 用求导方法来求解其最佳费用和订货量。因为求导过程中，随 着器材需求随机分布函数的不同，模型的优化结果也会不一 样。为了降低模型的求解难度，本文采用实例验证的方法来定 性探讨本文所构建的随机型需求的两级库存 - 运输 EOQ 模 型的一些特点。
示。
（1）总部仓库的库存费用模型。当总部仓库采取和地区仓
3 模型的建立过程
库同样的检查订货周期时，由于每个地区仓库的订货数量分 别为 Qi- Ii(t)，并且各仓库按照时间均匀分布的情况在此周期内
按照经济批量订购模型（Economic Order Quantity, EOQ）[2],
向总部申请配送，所以在地区仓库数量一定的前提条件下本 文假设为 m，总部仓库在一个盘点周期内的库存变化规律如
表 1 地区仓库运行参数
AD
CY
C2
M1
10
15
3
M2
11
16
4
M3
12
17
5
依据上述初始假设，可以计算求得当总部仓库和地区仓
库的检查周期相同，从 T=1 个月到 T=3 个月期间的各个地区
仓库的总费用、总部仓库的总费用和系统运行的总费用，结果
见表 2。
表 2 不同订货周期时系统费用比较
M1
M2
M3
LI Hong- guang, WANG Sheng- de, LIU Yi- le (Department of Technical Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)
Abstract: In viewof the supply mode for military equipment that involves inventory and transportation at the two echelons of headquarters and regional branches as well as the randomness of its rate of consumption, the paper analyzes the cost structure of inventory at each echelon using the EOQ model and explores the optimization of the order and distribution circle of supply systems with two- echelon inventory structure and stochastic demand in an empirical study.
2 器材两级库存 - 运输系统描述
本文所研究的两级库存 - 运输系统由一个总部仓库和 m 个地区仓库组成，如图 1 所示。系统运行过程中，各个地区仓 库负责统计所属分队的器材消耗需求，并通过自己的库存来 满足这种需求。当库存量不能满足器材消耗需求时，地区仓库 负责向总部仓库提出器材申请要求，并自己负责国家仓库
地区仓库器材消耗数量超过仓库库存的情况； （5）总部仓库同样实行（T,Q）的补货策略。即总部仓库根
据自己的检查时机提出订货申请，总部最大库存量用 QD 表
仓库的器材消耗需求将转变为各地区申请配送数量之和。即 总部仓库实际上面对的是一种离散批量需求。为了简化问题 的求解，再次对总部仓库的各种条件进行假设：
[收稿日期]2012- 01- 06 [作者简介]李洪广(1969- ),男,副教授，研究方向:装备管理、军事物流。
- 142-
李洪广，等：两级库存供应系统的需求随机型 EOQ 模型研究
军事物流
仓库的订货要求；
(3)地区仓库的总体运行费用。一个计划期内，已知各地区
（3）地区仓库均采用（T，Q）策略供货[1]，即地区仓库经过一 申请配送的次数 12，即每月配送一次，则各地区仓库在一个计
包括地区仓库的费用模型和总部仓库的费用模型两个组成部 分。
图 2 所示。
3.1 地区仓库的 EOQ 模型
假定地区仓库在 t 时刻的实际库存量为 Ii(t)，最大库存量
为 Qi，各仓库按照给定的检查周期 T(每月)进行检查。检查时，
当实际库存量 Ii(t)小于最大库存量 Qi 时，向总部仓库提出 Qi-
（1）当检查周期 T 变化量不大时，同一个仓库的运行费用 变化也不大。基于这一思想，如果需要制定统一的检查周期， 可以要求各个地区仓库在各自的最佳检查周期附近进行调 整，不会对系统的运行费用造成太大影响。
（2）当总部仓库的运行费用和整个系统的运行费用都取 最小值时，三个地区仓库的运行费用都已经偏离了各自的最 优点（实际上，总部仓库的费用最优和系统费用的最优点重合 只是一种数据取值上的巧合）。说明在各个地区仓库和总部仓 库运行费用各不相同的情况下，系统的最优点与各个仓库的 最优点并不完全一致。
到本仓库之间的配送费用。国家仓库根据各个地区仓库的器 材申请要求订货，并通过国家仓库的库存来保证每次地区仓 库申请器材时得到实时满足。
系统运行过程中，进行如下假定： （1）每个地区仓库的器材消耗速率 Ri 为一连续随机变量； （2）总部仓库的订货前置期时间为 0（瞬时到货），且在订 货时，生产厂家拥有足够大的生产能力或者库存来满足总部
1.8 371.64 450.40 529.52 281.00* 1 632.5*
1.9 370.07 450.38 531.00 281.44 1 632.89
2.0 369.36* 451.27 533.46 282.63 1 636.72
2.1 369.37 452.95 536.76 284.44 1 643.5
军事物流
doi:10.3969/j.issn.1005-152X.2012.03.045
物流技术 2012 年第 31 卷第 3 期（总第 258 期）
两级库存供应系统的需求随机型 EOQ 模型研究
李洪广,王胜德,刘义乐
(装甲兵工程学院 技术保障工程系，北京 100072)
[摘 要]结合军事器材总部 - 地区两级库存 - 运输的供应模式以及消耗速率的随机性，基于 EOQ 模型分析了各级库存的
费用结构，采用实例验证的方法探讨了随机需求型两级库存供应系统的订货配送周期优化途径。
[ 关 键 词 ]器材供应;两级库存供应系统;EOQ;需求随机
[ 中 图 分 类 号 ]F224；E243
[ 文 献 标 识 码 ]A
[文章编号]1005- 152X（2012）03- 0142- 03
Study on EOQ Model for Supply Systems with Two-echelon Inventory and Stochastic Demand
4.1 算例初始条件
以总部仓库保证 3 个地区仓库 M1、M2、M3 的多级库存供 应体制为例，已知某器材（传动箱中间齿轮）的年度需求期望 比率 λ=500，为了说明问题，假设到各个地区仓库的配送费用 以及各个仓库单件器材单位时间内的库存费用均不同，参数 见表 1。并假设总部仓库每次的订货费为 9，单件器材的库存 费用为 1。
（2）
图 2 总部仓库库存变化规律 在图 2 所示的库存变化规律情况下，库存费用的计算只 能采取逐步推导的方法。在各地区申请配送的周期平均分布 的情况下，总部仓库各阶段的库存数量 I(t)Z 可表示为式（5）：
（5）
依据式（5）可利用统计的结果来描述总部仓库的库存数 量，可知，在一个检查周期内，总部仓库的库存期望数值为式 （6）：
（3）当系统的运行费用达到最优时，地区仓库 M1 的运行 费用损失约为 6.2%，而 M2、M3 的费用损失分别为 0.004%和 0.06%。由此说明，当强制性要求各个地区仓库按照给定周期 检查并申请器材时，基础运行数据与其他仓库差距越大的地 区仓库，其经济损失可能越大。此时，如果以运行效益来评价 各个仓库的运行情况，运行费用损失大的地区仓库就有可能 按照自己的最佳检查周期运行，从而造成整个系统最优费用 的偏离。这种情况下，总部机关必须通过必要的协商机制或者 让利机制保证那些运行费用损失大的地区仓库的利益，才能 保证系统按照最优的决策持续运行。
1 引言
军队器材供应链运行过程中，存在着很多不确定的情况， 使得整个供应系统变得非常复杂，例如，面对各地区仓库的器 材随机消耗，总部很难找到一种对供应链进行整体优化的方 法。针对这一现状，本文构建了一种需求随机型的两级库存供 应系统 EOQ 模型，然后运用实例验证的方法分析了该两级库 存系统器材供应中的一些规律，为优化军事器材的供应决策 提供了解决思路。
（6） 所以，在一个检查周期 T 内，总部的库存费用为式（7）：
（7） （2）总部仓库的订货费用。在订货费用与订货的数量无关 的前提下，CD 为每次订货的基本费用。由于总部同样采取定期 订货的策略，所以总部的订货费用表示为式（8）：
（8） （3）总部仓库的总体费用
（9）
所以，在此期间，地区仓库的总体库存费用为：
ÂÁÁIi(t)的申请配送数量。一个年度内，地区仓库所消耗的费用主要
包括以下几个组成部分。 （1）地区仓库的申请配送费用。由于各地区仓库器材的消
耗是连续随机的，所以，每一次检查，都会向总部仓库提出一 定的配送需求。该需求中，申请配送费用由两个部分组成。器 材运输费用由两部分组成。首先，每一次申请和运输器材，都 有一个基础费用，用 AD 表示。另外，当请领器材超过一定数量 时，运输成本还与器材数量有关系。这里，把与器材数量有关 系的费用折算为单位器材的运输费用，用 CY 表示。由于地区 仓库最大的库存数量为 Qi，则地区仓库每月盘点后申请器材 所需要的配送费用可以表示为式(1)：
个时间周期 T 以后，进行盘点，按照缺货要求向总部仓库申请 划期内的总费用模型可以表示为式（4）。
配送，保证地区仓库的最大库存量为 Qi，为了简化问题的研
（4）
究，假设地区仓库每月盘点 1 次，每年盘点 12 次；
3.2 总部仓库的费用模型
（4）地区仓库的器材消耗规律为连续随机型，并且不考虑
当各地区仓库的器材消耗模型为连续随机变量时，总部
（1） （2）地区仓库的库存费用。当地区仓库的器材消耗为随机 变量时，如果不知道需求变化的规律，即使定期检验订货，也 无法估算在一个检查周期内库存器材的平均数量，因此无法 计算在此期间平均的库存费用。所以，很多需求随机型的库存 控制模型中，都需要对器材的需求情况做出一定的假设，通过 对随机过程的统计方法来描述一个检查周期内库存器材的变 化规律。 这里，对地区仓库器材的消耗规律描述如下[3]：令 τ 时间 段内，器材的需求记为 Dτ，均值记为 E(Dτ)，其年期望需求比 率为 λ。则在定期盘点和瞬时到货的前提下，每个检查周期 内，地区仓库的平均库存数量为：
3.0 390.11 490.11 590.04 318.75 1 789.0
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4.2 算例结果分析
表 2 中，斜体并加注“*”的数据表明了在所选择的检查周 期中wk.baidu.com级仓库运行费用最低的一组数据。从表 2 中可以看出 当器材需求为随机型，地区仓库和总部仓库都采用（T,Q）策略 进行申请或者订货时，各个仓库的运行费用、总部仓库的运行 费用和系统的运行费用之间，存在着如下几个特点：
T
1
446.3 517.6 589.48 330.50 1 883.9
1.5 383.2 457.87 533.00 285.56 1 659.6
1.6 377.99 453.92 530.27 282.88 1 645.04
1.7 374.21 451.51 529.20* 281.42 1 636.35
C ? C ?Q ? (Q − T? ) 2
（3）
3.3 系统的总体费用
在已知地区仓库配送费用、库存费用和总部仓库订货费 用、库存费用的前提下，系统的总体运行费用可以表示为：
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军事物流
物流技术 2012 年第 31 卷第 3 期（总第 258 期）
(10)
4 基于算例的模型分析
对于器材需求为随机型的各种库存控制模型和配送模 型，很难有严格的求解过程，只能定性研究该模型中的部分参 数对系统整体运行费用的影响。即使本文采用了经济批量订 购模型的思路来表示各级仓库的运行费用结构，但是却不能 用求导方法来求解其最佳费用和订货量。因为求导过程中，随 着器材需求随机分布函数的不同，模型的优化结果也会不一 样。为了降低模型的求解难度，本文采用实例验证的方法来定 性探讨本文所构建的随机型需求的两级库存 - 运输 EOQ 模 型的一些特点。
示。
（1）总部仓库的库存费用模型。当总部仓库采取和地区仓
3 模型的建立过程
库同样的检查订货周期时，由于每个地区仓库的订货数量分 别为 Qi- Ii(t)，并且各仓库按照时间均匀分布的情况在此周期内
按照经济批量订购模型（Economic Order Quantity, EOQ）[2],
向总部申请配送，所以在地区仓库数量一定的前提条件下本 文假设为 m，总部仓库在一个盘点周期内的库存变化规律如
表 1 地区仓库运行参数
AD
CY
C2
M1
10
15
3
M2
11
16
4
M3
12
17
5
依据上述初始假设，可以计算求得当总部仓库和地区仓
库的检查周期相同，从 T=1 个月到 T=3 个月期间的各个地区
仓库的总费用、总部仓库的总费用和系统运行的总费用，结果
见表 2。
表 2 不同订货周期时系统费用比较
M1
M2
M3
LI Hong- guang, WANG Sheng- de, LIU Yi- le (Department of Technical Support Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)
Abstract: In viewof the supply mode for military equipment that involves inventory and transportation at the two echelons of headquarters and regional branches as well as the randomness of its rate of consumption, the paper analyzes the cost structure of inventory at each echelon using the EOQ model and explores the optimization of the order and distribution circle of supply systems with two- echelon inventory structure and stochastic demand in an empirical study.
2 器材两级库存 - 运输系统描述
本文所研究的两级库存 - 运输系统由一个总部仓库和 m 个地区仓库组成，如图 1 所示。系统运行过程中，各个地区仓 库负责统计所属分队的器材消耗需求，并通过自己的库存来 满足这种需求。当库存量不能满足器材消耗需求时，地区仓库 负责向总部仓库提出器材申请要求，并自己负责国家仓库
地区仓库器材消耗数量超过仓库库存的情况； （5）总部仓库同样实行（T,Q）的补货策略。即总部仓库根
据自己的检查时机提出订货申请，总部最大库存量用 QD 表
仓库的器材消耗需求将转变为各地区申请配送数量之和。即 总部仓库实际上面对的是一种离散批量需求。为了简化问题 的求解，再次对总部仓库的各种条件进行假设：
[收稿日期]2012- 01- 06 [作者简介]李洪广(1969- ),男,副教授，研究方向:装备管理、军事物流。
- 142-
李洪广，等：两级库存供应系统的需求随机型 EOQ 模型研究
军事物流
仓库的订货要求；
(3)地区仓库的总体运行费用。一个计划期内，已知各地区
（3）地区仓库均采用（T，Q）策略供货[1]，即地区仓库经过一 申请配送的次数 12，即每月配送一次，则各地区仓库在一个计
包括地区仓库的费用模型和总部仓库的费用模型两个组成部 分。
图 2 所示。
3.1 地区仓库的 EOQ 模型
假定地区仓库在 t 时刻的实际库存量为 Ii(t)，最大库存量
为 Qi，各仓库按照给定的检查周期 T(每月)进行检查。检查时，
当实际库存量 Ii(t)小于最大库存量 Qi 时，向总部仓库提出 Qi-
（1）当检查周期 T 变化量不大时，同一个仓库的运行费用 变化也不大。基于这一思想，如果需要制定统一的检查周期， 可以要求各个地区仓库在各自的最佳检查周期附近进行调 整，不会对系统的运行费用造成太大影响。
（2）当总部仓库的运行费用和整个系统的运行费用都取 最小值时，三个地区仓库的运行费用都已经偏离了各自的最 优点（实际上，总部仓库的费用最优和系统费用的最优点重合 只是一种数据取值上的巧合）。说明在各个地区仓库和总部仓 库运行费用各不相同的情况下，系统的最优点与各个仓库的 最优点并不完全一致。
到本仓库之间的配送费用。国家仓库根据各个地区仓库的器 材申请要求订货，并通过国家仓库的库存来保证每次地区仓 库申请器材时得到实时满足。
系统运行过程中，进行如下假定： （1）每个地区仓库的器材消耗速率 Ri 为一连续随机变量； （2）总部仓库的订货前置期时间为 0（瞬时到货），且在订 货时，生产厂家拥有足够大的生产能力或者库存来满足总部
1.8 371.64 450.40 529.52 281.00* 1 632.5*
1.9 370.07 450.38 531.00 281.44 1 632.89
2.0 369.36* 451.27 533.46 282.63 1 636.72
2.1 369.37 452.95 536.76 284.44 1 643.5
军事物流
doi:10.3969/j.issn.1005-152X.2012.03.045
物流技术 2012 年第 31 卷第 3 期（总第 258 期）
两级库存供应系统的需求随机型 EOQ 模型研究
李洪广,王胜德,刘义乐
(装甲兵工程学院 技术保障工程系，北京 100072)
[摘 要]结合军事器材总部 - 地区两级库存 - 运输的供应模式以及消耗速率的随机性，基于 EOQ 模型分析了各级库存的
费用结构，采用实例验证的方法探讨了随机需求型两级库存供应系统的订货配送周期优化途径。
[ 关 键 词 ]器材供应;两级库存供应系统;EOQ;需求随机
[ 中 图 分 类 号 ]F224；E243
[ 文 献 标 识 码 ]A
[文章编号]1005- 152X（2012）03- 0142- 03
Study on EOQ Model for Supply Systems with Two-echelon Inventory and Stochastic Demand
4.1 算例初始条件
以总部仓库保证 3 个地区仓库 M1、M2、M3 的多级库存供 应体制为例，已知某器材（传动箱中间齿轮）的年度需求期望 比率 λ=500，为了说明问题，假设到各个地区仓库的配送费用 以及各个仓库单件器材单位时间内的库存费用均不同，参数 见表 1。并假设总部仓库每次的订货费为 9，单件器材的库存 费用为 1。
（2）
图 2 总部仓库库存变化规律 在图 2 所示的库存变化规律情况下，库存费用的计算只 能采取逐步推导的方法。在各地区申请配送的周期平均分布 的情况下，总部仓库各阶段的库存数量 I(t)Z 可表示为式（5）：
（5）
依据式（5）可利用统计的结果来描述总部仓库的库存数 量，可知，在一个检查周期内，总部仓库的库存期望数值为式 （6）：
（3）当系统的运行费用达到最优时，地区仓库 M1 的运行 费用损失约为 6.2%，而 M2、M3 的费用损失分别为 0.004%和 0.06%。由此说明，当强制性要求各个地区仓库按照给定周期 检查并申请器材时，基础运行数据与其他仓库差距越大的地 区仓库，其经济损失可能越大。此时，如果以运行效益来评价 各个仓库的运行情况，运行费用损失大的地区仓库就有可能 按照自己的最佳检查周期运行，从而造成整个系统最优费用 的偏离。这种情况下，总部机关必须通过必要的协商机制或者 让利机制保证那些运行费用损失大的地区仓库的利益，才能 保证系统按照最优的决策持续运行。