【完成】第八讲函数图像的渐近线及其应用(教师版)

§8 函数图像的渐近线及其应用

秒杀知识点①②

知识点1：（渐近线的定义与类型）

1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线．

2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α⎛⎫= ⎪⎝⎭

和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角．

知识点2：（渐近线的求法）

设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离

()()

cos PN PM f x kx b α==-+．①

根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有

()()lim 0x f x kx b →+∞

-+=⎡⎤⎣⎦，②或()lim x f x kx b →+∞-⎡⎤⎦=⎣

，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x

→+∞

→+∞⎛⎫

-=-=⋅=

⎪⎝⎭． 得()lim

x f x k x

→+∞

=．④

于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题．

若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞

=或()lim x f x b →-∞

=，反之，则y b =是曲线()

y f x =的水平渐近线．

若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0

lim x x f x →=∞或()0

lim x x f x +→=∞，()0

lim x x f x -→=∞，反之，则说

明0x x =是曲线()y f x =的垂直渐近线．

知识点3：（正确认识渐近线——关于渐近线的几点注记）

第一，并不是所有无限伸展或远离原点的曲线都有渐近线，如2y x =，sin y x =等都没有渐近线． 第二，在定义“无限地远离原点”中的原点，也未必是原点，可以是任意一个给定的点，两者是等价的，只不过原点比较有名且明确而已．如1x =是()

211y x =

-的垂直渐近线，“无限地远离原点”和无限地远离点()1,0，甚至点(),a b 没有本质区别．

第三，定义中，当曲线上的动点无限地远离原点时，只需要以某种方式远离即可，不需要以任意方式都远离．如0y =是2x y =的水平渐近线，动点P 无限地远离原点，即这只是当x →-∞时，2x y =无限接近于x 轴，而当x →+∞时，2x y =无限远离x 轴．

第四，若曲线存在渐近线，则当x 充分大（或充分小），或无限趋于0x （0x x =是其垂直渐近线）时，曲线基本就像相应渐近线那样近似于一条直线，如，双曲线存在渐近线，而抛物线则没有，从渐近线的角度很容易明白两者的区别．

第五，曲线与其渐近线是可以相交的，甚至曲线在“渐近”的过程中与其渐近线可无限次地穿过来穿过去． 高中教材唯一一次挑明渐近线身份是学习双曲线时，给出指示性定义后教材补充一句“也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交”．因此可能会给学生造成一般的渐近线都不能与曲线相交的错误认识．

如sin x y x =，因为sin lim 0x x x →∞=，所以0y =是该偶函数的水平渐近线，但sin x y x =在区间()0,+∞内有无数

个零点，如图所示．

第六，曲线与其渐近线可以是相切的，而且可以有无数个切点．如sin 1x y x +=，因为sin 1lim 0x x x →∞+=，

0sin 1lim x x x

→+=∞，所以0y =，0x =分别是该函数的水平渐近线和垂直渐近线．但该函数与其水平渐近线

0y =有无数个切点3π2π,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，()k +∈N ，如图所示．

第七，根据以上讨论知，曲线并不都是一直“单调”接近渐近线的．

知识点4：（求渐近线举例）

【示例】求曲线()3223

x f x x x =+-的渐近线． 【解析】由④

()33223f x x x

x x x

=

+-，所以3

32lim 123x x x x x →∞=+-，即1k =．

由③及1k =得：

()()3

2lim lim 223x x x f x kx x x x →∞→∞⎛⎫

-=-=- ⎪+-⎝⎭

，即2b =-． 从而曲线的渐近线方程为2y x =-．

又()3

223

x f x x x =+-，得()3lim x f x →-=∞，()1lim x f x →=∞．

所以垂直渐近线为3x =-和1x =．（如上图所示）

秒杀思路分析

一般用渐近线分析函数性质，常见的有()b f x ax x =+和()

()

f x y

g x =（其中()f x ，()g x 都是关于x 的非零多

项式）两种类型．

（1）关于型如()b f x ax x =+的分析：

当0a =，0b ≠时，()b f x x

=为反比例函数；

当0a ≠，0b =时，()f x ax =为正比例函数（一次函数）； 当0ab ≠时，0lim x b ax x →⎛⎫+=∞ ⎪⎝⎭

，则0x =是其一条垂直渐近线． 又lim x b ax x a x →∞⎛⎫

+ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，lim 0x b ax ax x →∞⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则y ax =是其一条斜渐近线，即()b f x ax x =+的图像是夹在两条渐近线0x =和y ax =之间的双曲线，具体情况如下图所示．

（2）对于有理分式函数()()

f x y

g x =

的渐近线有如下一般结论：

第一，若0x 是方程()0g x =的实数解，且()00f x ≠，则有理分式函数图像存在垂直渐近线0x x =； 第二，若多项式()f x 和()g x 的次数相等，且它们的最高次项系数分别为a ，b ，则该函数图像存在水平渐近线a y b

=；

第三，若多项式()f x 的次数小于()g x 的次数，则0y =为该函数图像的水平渐近线；

第四，若多项式()f x 的次数比()g x 的次数大1，则该函数图像存在斜渐近线，可用公式④和③求解． 【示例】讨论下列三个函数图像的渐近线．