河北省石家庄二中2019-2020学年高三上学期第三次联考理科数学试题
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理科)试题
石家庄二中高三教学质量检测数学（理科）试卷（时间：120分钟 分值：150分）第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合}101,lg |{},4241|{>==≤≤=x x y y B x A x ，则=B A （ ） A ．]2,2[- B ．),1(+∞ C ．]2,1(- D ．),2(]1,(+∞--∞2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为)2,1(-，则=+i 1z （ ） A ．i 2321+ B ．i 2321+- C ．i 2123+- D ．i 2323+- 3．设b a ,是向量，则“||||b a =”是“||||b a b a -=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数x e e x f x x cos 11)(⋅-+=的部分图象大致为（ ）5. 右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位）， 在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？A ．31B ．32C ．61D ．65 7．将函数x x f 2cos )(=图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(x g 在区间 ],0[a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．43π8．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，O 为坐标原点，21,F F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线 上，OG G F ⊥2，||||61GF OG =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 22±=C ．x y 23±= D ．x y ±= 9.正四面体BCD A -中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若PE BP +的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积为（ ）A ．π32B ．π24C ．π12D ．π810．已知点G 在ABC ∆内，且满足0432=++GC GB GA ，若在ABC ∆内随机取一点，此点取自,GAB ∆ GBC GAC ∆∆,的概率分别记为,,,321P P P 则（ ）A ．321P P P ==B ．321P P P <<C ．321P P P >>D ．312P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵cm 77，横cm 53．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面cm 237（如图所示）．有一身高为cm 175的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为cm 15），设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A ．77B ．80C ．100D ．27712．已知点P 是曲线x x y ln sin +=上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，给出下列四个 命题：①存在唯一点P 使得1-=k ；②对于任意点P 都有0<k ；③对于任意点P 都有1<k ；④存在点P 使得 1≥k ，则所有正确的命题的序号为（ ）A ．①②B ．③C ．①④D ．①③第II 卷 非选择题（共90分）二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥+-0420202y x y x y x ，则y x +的最小值为14. 已知πdx x m ⎰--=112110，则m x x)1(-的展开式中2x 的系数为 （用数字表示） 15. 已知点P 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为16. 若函数)(x f 的导函数)2||,0,0)(cos()('πϕωϕω<>>+=A x A x f ，)('x f 部分图象如图所示，则=ϕ ，函数)12()(π-=x f x g ， 当]3,12[,21ππ-∈x x 时，|)()(|21x g x g -的最大值为 ． 三．解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面BC AB ABCD ⊥,，AD BC AB AD BC 21,//==，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角D PC B --的余弦值. 18.（12分）甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条 件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 ，（1）判断321,,S S S 的关系并给出证明；（2）若331=-a a ，设||12n n a n b =，}{n b 的前n 项和为n T ，证明：.34<n T 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是231,,S S S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．19.（12分）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，点)1,0(P 在短轴CD 上，且1-=⋅PD PC . （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ， 使得⋅+⋅λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．20.（12分）调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比．调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设4=n ，分别以4321,,,a a a a 表示第一次排序时被排为4,3,2,1的四种调味品在第二次排序时的序号，并令|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为,4,2,3,1则2=X ）．（1）写出X 的所有可能取值构成的集合(不用证明)；（2）假设4321,,,a a a a 的排列等可能地为4,3,2,1的各种排列，求X 的分布列和数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有2≤X .（i ）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.（12分）已知函数.ln )(x x x f =（1）求曲线)(x f y =在2-=e x 处的切线方程；（2）关于x 的不等式)1()(-≥x x f λ在),0(+∞上恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若0)()(21=-=-a x f a x f ，且21x x <，证明：221221)1(ae e x x +<--.（二）选考题（共10分）请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ty t x C sin 21cos 21:1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标)20,0(πθρ<≤≥.23.（10分）已知绝对值不等式：45|1||1|2+->-++a a x x .（1）当0=a 时，求x 的取值范围；（2）若对任意实数x ，上述不等式恒成立，求a 的取值范围．。
河北省石家庄市2019届高三毕业班3月教学质量检测数学(理)试题
石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测理科数学2019.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1.设全集为R，集合M＝｛x｜x2＜4｝，N＝｛0，1，2｝，则M∩N＝A、｛0，l｝B、｛0，1，2｝C、（0，2）D、（－2，2）2.已知复数z满足：z·i＝3－4i ( i为虚数单位），则z＝A、3－4iB、4＋3iC、－3＋4iD、－4－3i3.甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如右图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是A、2322B、23 22.5C、21 22D、21 22. 54.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是A、8B、6C、4D、25、执行如图所示的程序框图，输入的n值为4，则S＝A、2B、6C、14D、306.已知a>0>b，则下列不等式一定成立是A 、a 2<－a bB 、｜a ｜<｜b ｜C 、11a b > D 、11()()22a b > 7、已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M （2，22）的直线l 交抛物线于另一点N ，则｜NF ｜：｜FM ｜等于A 、1：2B 、1：3C 、1：2D 、1 ：38、袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“皆”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生 1到4之间取整数值的随机数，分别用 1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为 A 、19 B 、16 C 、29 D 、5189.设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><的最小正周期为π，且f (－x ）＝f （x ），则A 、f （x ）在（0，2π）上单调递增 B 、f （x ）在（一2π，2π）上单调递减 C 、f （x ）在（0，2π）上单调递减 D 、f （x ）在（一2π，2π）上单调递增10.将函数y ＝e x( e 为自然对数的底数）的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是A 、esin θ＝cos θB 、sin θ＝ecos θC 、esin θ＝1D 、ecos θ＝111、·已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为F 1、F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且｜BF 1｜＝13｜AF 2｜，则该双曲线的离心率为 A 、2 B 、655 C 、355D 、3 12.已知函数320()461,0x e x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩， ，其中e 为自然对数的底数，则对于函数2()()()g x f x f x a =-+有下列四个命题： 命题1 存在实数a 使得函数()g x 没有零点 命题2 存在实数a 使得函数()g x 有2个零点 命题3 存在实数a 使得函数()g x 有4个零点 命题4 存在实数a 使得函数()g x 有6个军点 其中，正确的命题的个数是A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 13.命题p ：2000(0,),2x x x ∃∈+∞≤+，则p ⌝是 ；14.已知向量a ＝（x ，2），b ＝（2，1），c ＝（3，2x ），若a ⊥b ，则｜b ＋c ｜＝15.如图．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝3π，则棱锥P －AOB 的外接球的体积是16.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别是角A ，B ，C 的对边，若ccosB ＋bcosC ＝2a cosA ，2133AM AB AC =+， 且AM ＝1，则b ＋2c 的最大值是 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．） （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）已知｛n a ｝是首项为l 的等比数列，各项均为正数．且23a a +＝12. （I ）求数列｛n a ｝的通项公式；（II ）设311(2)log n n b n a +=+，求数列｛n b ｝的前n 项和Sn ．18.〔本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额 与年利润增长的数据如下表：( I )请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元．估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数） （II ）现从2012年一2018 年这7 年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额 设这三年中λ≥2（万元）的年份数为ξ．求随机变量ξ的分布列与期望·19、〔本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC 。
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三 数 学(理科)
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期联考三数 学（理科）本试卷共4页，23题，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）.(,1]A -∞- .(,1)B -∞- .[1,)C +∞ .(1,)D +∞ 2．己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A.,21000n n N ∀∈<B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤D.,21000n n N ∀∉≤ 3．己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．12 B．2C ．1 D4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<6. 若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3C.3-D.7．已知函数()214f x x cosx =+的图像在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图像是（ ） A. B. C. D.8．已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是（ ） A ．[]3,6B ．[]3,5C ．[]4,5D ．[]4,69．如图所示，在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A.32B.48C.80D.6410．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π11．如图所示，已知函数()()(0),2f x sin x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点A 、B ，点1(,0)2C -，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，点O 是△ABD 的重心，则△ACD 的外接圆的半径为（ ）A ．2B ．57 C ．57D ．8 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称,其导函数为()f x ',当0x …时,不等式()()1xf x f x '>-. 若x R ∀∈,不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立,则正整数a 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄二中2019届高三三模考试数学理试卷(A)Word版含解析
河北省石家庄二中2019届高三三模考试数学理试卷（A）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则中所含元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：集合的表示法．2.若函数为纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据为纯虚数，得到的值；再由，及复数除法的计算法则计算的值。
详解：为纯虚数，解得又故选D点睛：（1）复数分类：①时为实数；②时为虚数，③时为纯虚数。
（2）以4为周期，即（3）复数除法运算法则：3.已知命题，，那么命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则为，，故选C．4.已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，双曲线的一个焦点为，∴，∵双曲线离心率为，∴，∴，∵，∴，∴渐近线方程为.故选D.5.已知实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．故选A．6.设，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即和化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。
（2）方法二、运用诱导公式和二倍角公式，通过的变换化简，确定正确答案。
详解：方法一：即整理得，∴整理得方法二：，∴整理得故选B点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，根据题干和选项所给提示，确定解题方向，选取适当三角函数公式化简求值。
7.给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. ？和B. ？和C. ？和D. ？和【答案】D【解析】试题分析：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；…故②中应填写p=p+i考点：程序框图8.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先确定函数的单调性，单调递减，单调递增；由题可知当或时，根据函数的性质解不等式。
河北省石家庄市2019-2020学年高考三诊数学试题含解析
河北省石家庄市2019-2020学年高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A 【解析】 【分析】分别判断命题p 和q 的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项. 【详解】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题. 2．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<< D ．{}12x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.3．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 4．已知关于x 的方程3sin sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<． 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 5．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A ．6B ．7C ．5D ．8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 6．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】 作出函数()22log x ,0f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩的图象如图，由图可知，]D (2,4=，函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，也就是y kx =与()y f x =在2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为12； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为01x ln2， 则切线方程为()2001y log x x x x ln2-=-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1k 2>”的充分不必要条件， 故选A ．【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．7．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8．已知向量)a =r，)1b =-r ，则a r 与b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B 【解析】 【分析】由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果. 【详解】解：由题意得，设a r与b r的夹角为θ，311cos 222a b a bθ⋅-∴===⨯r rr r ，由于向量夹角范围为：0θπ≤≤， ∴π3θ=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围. 9．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z =. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．11．已知正四面体A BCD -外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积． 【详解】将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则34863R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为2341634a ⨯=故选：B ． 【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．12．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =I ( ) A ．()1,3 B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得出集合A ，根据交集的定义写出A∩B ． 【详解】集合A ＝{x|x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x ≤3}，={x x<2}B，{|1<2}﹣∴⋂=≤A B x x故选C．【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市2019届高三3月教学质量检测理科数学试卷含答案解析
河北省石家庄市2019届高三3月教学质量检测理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解M,N，再求交集即可.【详解】由题,∴故选：A.【点睛】本题考查集合的运算，熟练求解M是关键，是基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法计算即可.【详解】z=故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，熟记复数的运算性质，熟练计算是关键,是基础题.3.甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别将甲、乙的数据列出，计算即可.【详解】由题甲次测评成绩为：10,11,14,21,23,23,32,34，所以甲的平均成绩为=21；乙次测评成绩为：12,16,21,22,23,23,33,34，所以乙的中位数为故选：D【点睛】本题考查茎叶图平均数与中位数计算，熟记运算性质，熟练计算是关键，是基础题.4.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为），则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将三视图还原为直观图求解即可.【详解】由题三视图还原为直观图如图所示：即正方体截去一个三棱柱后得到的四棱柱ABCD-GHFE,由数据可得上下底面积为体积为3×2=6故选：B.【点睛】本题考查三视图，熟练掌握还原原则，熟练计算棱柱体积是关键，是基础题.5.执行如图所示的程序框图，输入的值为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次执行框图，直到k=4输出S即可.【详解】输入4，由题k=1,S=0；k<4,S=0+k<4,S=2+k<4,S=6+k<4不成立，输出S=14故选：C.【点睛】本题考查程序框图，熟练计算每次循环，确定何时结束循环输出结果是关键，是基础题.6.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对每个选项逐一分析A,B选项举反例排除即可；对D用单调性排除.【详解】对A,当a=2,b=-1,不合题意；对B, 当a=2,b=-1,不合题意;对D,由函数y=单调递减，知，错误故选:C.【点睛】本题考查不等式性质，是基础题，熟练掌握绝对值不等式，分式不等式，指数函数单调性是解题的关键.7.已知抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直线MF:,与抛物线联立，求得N坐标，再利用抛物线焦半径公式即可求解.【详解】抛物线的焦点为（1，0）.则直线MF:,与抛物线联立得,解得x=2或，即∴故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，熟记焦半径公式，熟练计算是关键，是中档题.8.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。
209【数学】河北省石家庄二中2019-2020学年度高三年级月考 数学(理)
石家庄二中2019-2020学年度高三年级12月月考数学理科试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1iz i +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.1B.-1C.iD.i -2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A.(,1)[2,)-∞-+∞UB.(,1)[1,)-∞-+∞UC.[]1,2-D.(]1,2-3.函数2()x xe ef x x --=的图象大致为（ ）A. B. C. D.4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A.12 B.24 C.36 D.725.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A.12y x =±B.2y x =C.2y x =±D.22y x =±6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为（ ） A.6B.12C.60D.1207.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234,,,e e e e ，其大小关系为（ ） A.1234e e e e <<<B.1243 e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ） A.459B.459-C.19-D.199.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A.向右平移3π个长度单位 B.向左平移3π个长度单位 C.向右平移23π个长度单位D.向左平移23π个长度单位10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则使不等式()839x xf e e --<成立的x 的取值范围是（ ） A.(ln 3,)+∞B.(0,ln 3)C.(),ln3-∞D.()1,3-11.己知函数1()2x f x ex -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A.7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[2,)+∞D.[2,3]12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i =≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤； ④设函数2()ln 2x f x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论的编号为（ ） A.②④ B.②③ C.②③④ D.①③④二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______________.14.己知数列{}n a 满足133a =，*12,n n a a n n N +-=∈，则na n的最小值为________. 15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且|2BD +=u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.（12分）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =r ，(2,)n a c b =+r，且m n ⊥u r r .（1）求角B 的大小；（2）若b =，4a c +=，求ABC V 的面积.18.（12分）已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<.19.（12分）如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点. （1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 所成角的余弦值为104，求二面角E AF C --的余弦值.20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为32，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ V 3（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ON b k k a⋅=-，求证：OMN V 的面积为定值.21.（12分）已知函数21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >时，讨论()f x 的零点个数.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点2,4M π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.23.（10分）已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值.。
河北省石家庄市2019届高三毕业班3月教学质量检测数学(理)试题
石家庄市2019届高中毕业班教学质量检测理科数学2019.3一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1.设全集为R，集合M＝｛x｜x2＜4｝，N＝｛0，1，2｝，则M∩N＝A、｛0，l｝B、｛0，1，2｝C、（0，2）D、（－2，2）2.已知复数z满足：z·i＝3－4i ( i为虚数单位），则z＝A、3－4iB、4＋3iC、－3＋4iD、－4－3i3.甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如右图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是A、2322B、23 22.5C、21 22D、21 22. 54.某几何体的三视图如图所示（图中小正方形网格的边长为1），则该几何体的体积是A、8B、6C、4D、25、执行如图所示的程序框图，输入的n值为4，则S＝A、2B、6C、14D、306.已知a>0>b，则下列不等式一定成立是A 、a 2<－a bB 、｜a ｜<｜b ｜C 、11a b > D 、11()()22a b > 7、已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M （2，22）的直线l 交抛物线于另一点N ，则｜NF ｜：｜FM ｜等于A 、1：2B 、1：3C 、1：2D 、1 ：38、袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“皆”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生 1到4之间取整数值的随机数，分别用 1，2，3，4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为 A 、19 B 、16 C 、29 D 、5189.设函数()sin()cos()(0,||)2f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><的最小正周期为π，且f (－x ）＝f （x ），则A 、f （x ）在（0，2π）上单调递增 B 、f （x ）在（一2π，2π）上单调递减 C 、f （x ）在（0，2π）上单调递减 D 、f （x ）在（一2π，2π）上单调递增10.将函数y ＝e x ( e 为自然对数的底数）的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是A 、esin θ＝cos θB 、sin θ＝ecos θC 、esin θ＝1D 、ecos θ＝111、·已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为F 1、F 2，点A 为双曲线右支上一点，线段AF 1交左支于点B ，若AF 2⊥BF 2，且｜BF 1｜＝13｜AF 2｜，则该双曲线的离心率为 A 、2 B 、655 C 、355D 、3 12.已知函数320()461,0x e x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩， ，其中e 为自然对数的底数，则对于函数2()()()g x f x f x a =-+有下列四个命题： 命题1 存在实数a 使得函数()g x 没有零点 命题2 存在实数a 使得函数()g x 有2个零点 命题3 存在实数a 使得函数()g x 有4个零点 命题4 存在实数a 使得函数()g x 有6个军点 其中，正确的命题的个数是A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．） 13.命题p ：2000(0,),2x x x ∃∈+∞≤+，则p ⌝是 ；14.已知向量a ＝（x ，2），b ＝（2，1），c ＝（3，2x ），若a ⊥b ，则｜b ＋c ｜＝15.如图．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝3π，则棱锥P －AOB 的外接球的体积是16.在△ABC 中，a 、b 、c ，分别是角A ，B ，C 的对边，若ccosB ＋bcosC ＝2a cosA ，2133AM AB AC =+， 且AM ＝1，则b ＋2c 的最大值是 ．三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．） （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）已知｛n a ｝是首项为l 的等比数列，各项均为正数．且23a a +＝12. （I ）求数列｛n a ｝的通项公式；（II ）设311(2)log n n b n a +=+，求数列｛n b ｝的前n 项和Sn ．18.〔本小题满分12分）某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额 与年利润增长的数据如下表：( I )请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元．估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数） （II ）现从2012年一2018 年这7 年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额 设这三年中λ≥2（万元）的年份数为ξ．求随机变量ξ的分布列与期望·19、〔本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，A 1C ＝BC 。
河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学(理)试题(含答案)
数学（理科）
（时间：120 分钟 分值：150 分） 第 I 卷 选择题（共 60 分）
一．选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 A {x | 1 2x 4}, B {y | y lg x, x 1 } ，则 A B （ ）
点 P 在 x 轴上的投影为 E ，直线 QE 与椭圆 C 的另一个交点为 G ，若 PQG 为直角三角形，则椭圆 C 的离
心率为
16. 若函数 f (x) 的导函数 f '(x) Acos(x )(A 0, 0,| | ) ， 2
f '(x) 部分图象如图所示，则
，函数 g(x) f (x ) ， 12
GAC, GBC 的概率分别记为 P1, P2, P3, 则（ ）
A． P1 P2 P3
B． P1 P2 P3
C． P1 P2 P3
11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多•达芬奇创作的油画，
现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵 77cm ，横 53cm ．油画挂
在墙壁上的最低点处 B 离地面 237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的
当
x1
,
x2
[
12
,
3
]
时，
|
g
(
x1
)
g
(
x2
)
|
的最大值为
．
三．解答题（共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17—21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）
（一）必考题（共 60 分）
2019届河北省石家庄二中高三三模数学理试题(A)(解析版)
2019届河北省石家庄二中高三三模数学理试题（A）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则中所含元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，故选D.考点：集合的表示法．2. 若函数为纯虚数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据为纯虚数，得到的值；再由，及复数除法的计算法则计算的值。
详解：为纯虚数，解得又故选D点睛：（1）复数分类：①时为实数；②时为虚数，③时为纯虚数。
（2）以4为周期，即（3）复数除法运算法则：3. 已知命题，，那么命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】特称命题的否定为全称命题，则为，，故选C．4. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，双曲线的一个焦点为，∴，∵双曲线离心率为，∴，∴，∵，∴，∴渐近线方程为.故选D.5. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．故选A．6. 设，，且，则（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：（1）方法一、运用同角变换和两角差公式，即 和化简，再根据诱导公式和角的范围，确定正确答案。
河北省石家庄二中2019-2020学年高三上学期第三次联考理科数学试题
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞- B. (,1)-∞- C. [1,)+∞ D. (1,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据A B ⊆，得到1a ≤-，即可求解实数a 的取值范围，得到答案。
【详解】由题意，集合{}11A x x =-<<，{}{}0B x x a x x a =->=， 因为A B ⊆，则1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-。
故选：A 。
【点睛】本题主要考查了利用集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练集合的包含关系，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.己知命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝为（ ）A. ,21000nn N ∀∈< B. ,21000nn N ∀∉< C. ,21000nn N ∀∈≤ D. ,21000nn N ∀∉≤【答案】C 【解析】 【分析】先改存在量词为全称量词,再否定结论. 【详解】p ⌝:,21000nn N ∀∈≤.故选C.【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定,属于基础题. 解题方法:先改量词,再否定结论. 3.己知复数z 满足2019(1)i z i-=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】根据i 的幂运算性质可得2019i i =-，再由复数的除法运算可求得z ，从而求出||z . 【详解】2019(1)i i z i-=-=，则(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，所以，||2z ==. 所以本题答案为B.【点睛】本题考查复数的乘除法和复数的模，解决复数问题，要通过复数的四则运算将复数表示为一般形式，结合复数相关知识求解，考查计算能力，属于基础题.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A. 24里 B. 48里C. 96里D. 192里【答案】D 【解析】 【分析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得. 【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++ 6378378192111()2(1)264112===--- , 所以第一天走了192里. 故选D【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题. 5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A. b a c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系.【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数，并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.6.若函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（ ）A.3B. C. 3-D.【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于y 轴对称列式,再求最小值.【详解】将函数()sin(2)6f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位后,得到函数sin[2()]sin(22)66y x x ππϕϕ=+-=+-,因为其图像关于y 轴对称,所以262k ππϕπ-=+,k Z ∈,即23k ππϕ=+,k Z ∈,因为0ϕ>,所以0k =时,ϕ取得最小值3π,此时tan tan 3πϕ==故选B .【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题. 7.已知函数21()cos 4f x x x =+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()kg t =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得1()sin 2f x x x '=-，得到函数在点()t f t （，）处的切线的斜率为1()sin 2k f t t t ='=-，得出函数()1sin 2t g t t -=，利用函数的奇偶性和特殊的函数的值，即可求解。
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考(理综)
河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考理科综合本试卷共16页，满分300分，考试时间150分钟可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 Cl-35.5 Na-23 Ni-59 As-75一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于细胞结构与功能的叙述，正确的是A．性腺细胞膜上的载体和受体都能接受促性腺激素的刺激B．T细胞的内质网和高尔基体都参与抗体的加工和运输C．酵母菌和大肠杆菌都在线粒体内分解丙酮酸产生CO2D．神经细胞的突触小泡和突触前膜都与兴奋的传递有关2．在一定浓度的CO2和适宜的温度条件下，测定A植物和B植物在不同光照条件下的光合速率，结果如下表，以下说法错误的是A．与A植物相比，B植物是在强光照条件下生长的植物B．当光照强度超过9klx时，A植物光合速率不再增加，限制因素只有CO2的浓度C．当光照强度为3klx时，A植物与B植物固定的CO2的量的差值为4mg CO2／100cm2叶·小时D．当光照强度为9klx时，B植物光合速率是45mg CO2／100cm2叶·小时3．如图为人体内基因对性状的控制过程，据图分析正确的是A．人体成熟的红细胞中只进行①②过程，而不进行③④过程B．X1与X2的区别主要是脱氧核苷酸排列顺序的不同C．人体衰老引起白发的原因是③④过程不能完成D．图示反映了基因通过控制蛋白质的结构及酶的合成来控制生物的性状4．下列关于科学实验的叙述中，正确的是A．用于鉴定蛋白质的斐林试剂A液与B液要混合均匀后，再加入含样品的试管中，且必须现配现用B．艾弗里的肺炎双球菌实验和赫尔希、蔡斯的T2噬菌体侵染大肠杆菌实验的思路都是将DNA与蛋白质分开，分别单独、直接地观察各自的作用C．萨顿运用假说-演绎法提出了基因位于染色体上的假说D．温特利用胚芽鞘和琼脂块等进行实验发现了促进植物生长的是吲哚乙酸5．如图甲表示赤霉素的作用机理，图乙表示几种激素对茎段生长的影响。
河北省2020年高三3月联考理科数学试题(含答案+全解全析)
河北省2020年高三3月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=3-x }，B={x|1<x≤9），则(C R A)∩B=A.(3,9)B.(1,3)C.[3,9] D ．φ 2．已知复数z=ii-25+ 5i ，则|z|= A.5 B ．32 C ．52 D ．23．已知向量a =(0，2)，b =(23 ，x)，且a 与b 的夹角为3π，则x=A ．-2B ．2C ．1D ．-l4．若双曲线C:221x y m-=的一条渐近线方程为3x+2y=0,则m=A.49B.94C.23D.325．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角 形全等，则A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为38 C. |PA|=|PB|=|PC|=6D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为356．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把 苹果近似看成球体）的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在（75，90]内的概率为 附：若X ～N （μ，σ2），则P(μ-σ<X ≤μ+σ)一0.6826，P(μ- 2σ<X ≤μ+2σ) =0. 9544. A.0. 6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544 7．将函数2)63sin(3)(-+-=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间],18[θπ-上的最大值为1，则θ的最小值为A ．3πB ．12πC ．18πD.6π8.函数2ln ||()||x f x x x =-的图象大致为9.设不等式组0,30x y x ⎧+≥⎪⎨⎪≤⎩表示的平面区域为Ω,若从圆C:x 2+y 2=4的内部随机选取一点P,则P 取自Ω的概率为A.524B.724C.1124D.172410.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且在[0,＋∞)上是增函数,不等式f(ax ＋2)≤f(-1)对于x ∈[1,2]恒成立,则a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B 1.1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[0,1]11.已知直线v=k(x-l)与抛物线C ：y 2=4x 交于A ，B 两点，直线y=2k(x-2)与抛物线D ：y 2=8x 交于M ，N 两点，设λ=|AB|-2|MN|,则A.λ<-16B.λ=-16C.-12<λ<0D.λ=-1212.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有这样一个相关的问题：将l 到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为A. 56383B.57171C.59189D.61242第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．83)12(xx -的展开式中的常数项为 ． 14.函数1)4()(-+-=x x x x f 的值域为 ．15.在数列{a n }中,a 1=1,a n ≠0,曲线y=x 3在点(a n ,a n 3,)处的切线经过点(a 1n +,0),下列四个结论:①223a =;②313a =;③416527i i a ==∑;④数列{a n }是等比数列. 其中所有正确结论的编号是______.16.如图，在三棱锥A-BCD 中，点E 在BD 上，EA=EB=EC=ED ，BD=.2CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含 端点），且AM=CN ，则当四面体C- EMN 的体积取得最大值32时， 三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.(12分)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2a-c=2bcosC. (1)求sin()2A CB ++的值; (2)若3b =,求c-a 的取值范围.18.（12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,BC= CD=l,PD=2 .(l)证明：AB ⊥PD.(2)求二面角A- PB-C 的余弦值．19.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向，为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：(l)从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤=.300250,1480,250100,220,1000,0x x x y 假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.61,121,121,61,31,619月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替．(i)记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；( ii)试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2. 88万元？说明你的理由．20.(12分)已知椭圆C:2221(1)x y a a+=>的左顶点为A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭圆C 交于A,B 两点,且OB⊥AB,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M,N 两点,若点P 满足3OP PM =u u u r u u u u r,且NP 与椭圆C的另一个交点为Q,求||||NP PQ 的值. 21.（12分） 设函数f(x)=x-x1，g(x)=tlnx ，其中x ∈(0，1)，t 为正实数． (l)若f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围； (2)设 H (x) = (lnx-x 2+1)e x +(x 2-l) (l-x1)，证明：对任意x ∈(0，1)，都有H(x)>0．(二)选考题:共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程24,4x t y t =⎧⎪⎨⎪=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程; (2)已知射线(0)2πθαα=<<与C 1交于O,P 两点,与C 2交于O,Q 两点,且Q 为OP 的中点,求α.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数f(x)=|x-2|+|2x-1|. (1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c 均为正实数,且12a b c m ++=,求a 2+b 2+c 2的最小值.。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(1)
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 2． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.3． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．3235． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 7． 已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ） ①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 9． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 10．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．204811．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.12．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB最小则直线的方程是．14．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 16．三角形ABC 中，23,2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
2020届石家庄二中内部卷3月数学理试题(含答案)
3 - x 22 32 石家庄二中高三年级数学热身考试（理科）时间 120 分钟 满分：150 分第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，有且只有一项符合要求）1. 已知集合 M = {y | y = x 2 -1, x ∈ R } ，集合 N ={x | y = }，则 M I N = （）A {(- ,1), ( ,1)}B {- , ,1}C [-1, ]D ∅2. 已知 z 是纯虚数，z + 2 是实数，那么 z = （）1- iA ． 2iB ． iC ． -iD ． -2i3. 使不等式| x |≤ 2 成立的一个必要不充分条件是（）A | x + 1 |≤ 3B | x +1|≤ 2C log 2 (x + 1) ≤ 1D1 ≥ 1| x | 24. 在可行域内任取一点 (x , y )，如果执行如下图的程序框图，那么输出数对 (x , y ) 的概率是 （ ）AπB 8πCπDπ4625. 具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为（）A 13B 7 + 3 4 C7π D 不能确定2π6. 若 cos α= -，α是第三象限的角，则 s in （α+) = （ ）545 题图2 2 233 A - 7 2 10B7 2 10 C- 2 D210 107 某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该 门功课考试分数的极差与 中位数之和为（ ）A 117B 118C 118．5D 119．5π ⎡ π π⎤ π π 8. 函数 f (x ) = 2 c os(ωx + ϕ)(ω> 0,|ϕ|< ) 在区间 ⎢- , ⎥上单调，且 f (- ) ≤ f (x ) ≤ f ( ) 恒成立，2 则此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为()⎣ 3 6 ⎦3 6A 1BCD6 + 29. 如图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为底面 ABCD 上的动 点， PE ⊥ A 1C 于 E ，且 PA = PE ，则点 P 的轨迹是 （）A 线段B 圆C 椭圆的一部分D 抛物线的一部分2 2 uuu ruuu r uuu r 10. 双曲线 x - y =1右焦点为 F ， P 是双曲线上一点，点 M 满足| MF |= 1， MF ⋅ MP = 0 9 16 uuu r则| MP | 最小值为（）A 3B 2C D11. 已知 f ( x ) 是以 2 为周期的偶函数，当 x ∈[0,1]时，f ( x ) = 程 f ( x ) = kx + k ( k ∈ R ) 有 4 个根，则 k 的取值范围是（），那么在区间 (-1, 3) 内，关于x 的方A 0 < k ≤ 1 或 k = 34 6B 0 < k ≤ 14 C 0 < k < 1 或 k = 34 6D 0 < k < 141 *12. 已知正项数列{a n }的前 n 项和为 S n 满足： 2S n = a n +（ n ∈ N），若 222x1- x2A 1P Af (n ) = 1 + 1 S 1 S 2 + 1 + L + 1S 3S n ，记[m ]表示不超过 m 的最大整数，则[ f (100)] =（ ）A 17B 18C 19D 20第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上）12⎡π 1 ⎤ 13. 已知 a =⎰-1(3x + )dx ，则 ⎢⎣(a - 2 )x - x ⎥⎦展开式中的常数项为 。
2020年3月2日河北省石家庄市第二中学2020届高三内部考试数学理科答案
0 k 1 时满足条件，假若当直线 y kx k 和函数 f (x) 的图像在区间 (2,3) 上相切时也满足条件，但 4
y 是这是不可能的。因为联立
x 2 ，得 ky 2 y 3k 0 ，得 k
3 或k
3
（舍去），当
k
3
y kx k
x x
y y
1
与
1
x2
y2
1 2
1
确定的平面区域分别是正方形和圆如图所示，它们的面积
y 1
O 1x
分别为 2 和
，所以输出数对 (x, y) 的概率为
p
，故选
B
.
1
2
4
5. B 【解析】该几何体可能是四棱柱、水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱，体积最小的几何体为三棱柱，
高为 3 、底面为腰长为 1 的等腰直角三角形，其表面积为 2 1 12 (1 1 2) 3 7 3 2 ，故选 B . 2
【解析】由题意知
( )
，即 T
，
2
2 ，即
f (x) 2cos(2x )
26 3 2
T
因为 x
时，
f (x)
取得最大值，所以
f
(
)
2
cos(
) 2
，即 cos(
) 1 ， Q| |
，
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
3
3
2
，即 f (x) 2cos(2x ) ， f (0) 1，故选 A .
河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考理科数学试题 Word版含解析
石家庄二中2019-2020学年度高三年级上学期12月月考数学理科试卷一.选择题（每题5分，共60分）1.已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论． 【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1． 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（ ） A. (,1)[2,)-∞-+∞U B. (,1)[1,)-∞-+∞UC. []1,2-D. (]1,2-【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算．【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ． 故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 2y x =±D.22y x =±【答案】D 【解析】 【分析】 由离心率得3ca=,a b 的关系即得． 【详解】由题意3c a =222223c a b a a +==，222b a =，22a b =， ∴渐近线方程为：22y x =±． 故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式通项公式36662166(2)()2r rrr r rr T C x C x x---+==， 令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（ ）45B. 45C. 19-D.19【答案】A 【解析】 【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r，1(2,2,1)D N =-u u u u r ，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ． 21145sin ,1()9CM D N <>=--=u u u u r u u u u r ， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45． 故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（ ）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】 【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==， 又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=， ∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x x f e e --<成立的x 的取值范围是（ ）A. (ln3,)+∞B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞． 故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】 【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =，∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈． 故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域． 12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i=≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤； ④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解. 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ②④ B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】 【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n na a a a a +-===+-----，1121a =-，∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+， 显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<L L ，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <， 由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >， 则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立． 所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误． 只有②③正确． 故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞， 则f （n ）在)33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】 作出可行域，利用11y x +-的几何意义求解． 【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11x z y -=+，1x =时，0z =，1x ≠时，111y z x +=-表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P -连线的斜率， 111PO k -==-，1112PA k -==-， 由图可知11z <-或11z≥，所以10z -<<或01z <≤， 综上 11z -<≤． 故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2|2BD +=u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.【答案】4π 【解析】 【分析】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，∵2|2BD +=u u r u u u r，∴222|2|222AB BD AB AB BD BD +=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224AB BD =+=，∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=． 故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三.解答题（共70分） （一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =u r，(2,)n a c b =+r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B 的大小；（2）若13b =，4a c +=，求ABC V 的面积. 【答案】(1) 23B π= (2) 33【解析】 【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角． （2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥u r r，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC V 的面积133sin 24S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立． 【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,n nn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3∴253(1)32nn na=+-=+，2,N*32na nn=∈+∵{}n b为正项等比数列，设公比为()0q q>，则121(1)3b b b q+=+=，2314b b q==整理得23440q q--=，解得2q=，11b=，∴1*2,Nnnb n-=∈（2）12(32)2nnnnbc na-==+⋅21582112(32)2nnS n-=+⨯+⨯+++⋅L①2125282(31)2(32)2n nnS n n-=⨯+⨯++-⋅++⋅L②①-②得215323232(32)2n nnS n--=+⨯+⨯++⨯-+⋅L53(22)(32)2n nn=+--+⋅, ∴(31)21nnS n=-⋅+∵*Nn∈，∴1nS>，∴101nS<<，得证.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒，E，F分别是BC，PC的中点.（1）求证：AE PD⊥；（2）若直线PB与平面PAD10E AF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 15 【解析】 【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC V 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,22a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,)PB a =--u u u r，且)3,0,0AE =uu u r 为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos θ=，则有2||6sin |cos ,|4||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r解得2a =所以3,0,0)AE =u u u r，31,12⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =u r ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，因此11113031022x x y z =++=⎩取11z =-， 则(0,2,1)m =-u r因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD u u u r为平面AFC 的一法向量又(3,3,0)BD =u u u r所以c |os 1,5512|m BD m BDm BD <⋅==>=⨯⋅u r u u u u ru r u u u u u r r u r 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为155【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>3过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △3（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN V的面积为定值.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）离心率提供一个等式32c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式212322b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则3c a =过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以21232b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+ 所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=> ()()2222212121614||141k m MN k x x x x k +-=++-=+O 到直线MN 的距离21d k=+所以()22222OMN22161411214||1||22141k m k m S MN d k m k k∆+-+-=⋅=+=++ 222222||||||12m m m m m m m-==⋅=，即OMN V 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆方程，解得22,2M ⎭，此时OMN V 的面积为122212⎛= ⎝⎭. 综上可知，OMN V 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代 入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点. 【解析】 【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤，所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增 又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点 （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点2,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是32N 31(,)22． 【解析】【分析】 （1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）3,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程， 直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则42(cos sin )844m ππ+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设3,sin )N αα，[0,2)απ∈，则3cos sin 82d αα+-=2sin()832πα+-=， 当sin()13πα+=，即6πα=时，min 32d =N 点坐标为31(,)22． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b +=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49． 【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++ 122(22)922a b a b a b a b++≥+⋅++49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。
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河北省石家庄二中2020届高三年级上学期第三次联考数学
（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设{}11A x x =-<<，{}0B x x a =->，若A B ⊆，则a 的取值范围是（
）A.(,1]-∞- B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)
+∞2.己知命题p ：,21000n n N ∃∈>，则p ⌝为（）
A.,21000
n n N ∀∈< B.,21000n n N ∀∉<C.,21000n n N ∀∈≤ D.,21000
n n N ∀∉≤3.己知复数z 满足2019(1)i z i -=-（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.1
2
B.2
C.1
D.4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（
）
A.24里
B.48里
C.96里
D.192里5.已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212
()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）
A.b a c <<
B.c a b <<
C.c b a <<
D.a c b
<<6.若函数()sin(2)6
f x x π=-的图像向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图像关于y 轴对称，则当ϕ最小时，tan ϕ=（
）
A.3
B.
C.3-
D.
7.已知函数21()cos 4
f x x x =
+的图象在点()t f t （，）处的切线的斜率为k ，则函数()k g t =的大致图象是（）
A. B.
C. D.
8.已知两点()1,0A -，()10B ,
以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅= ，则r 的取值范围是（
）A.[]3,6 B.[]3,5 C.[]4,5 D.[]
4,69.在直角梯形ABCD 中，8AB =，4CD =，//AB CD ，AB AD ⊥，
E 是BC 的中点，则()AB AC AE ⋅+=
A.32
B.48
C.80
D.64
10.如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +14，则该正四面体的外接球表面积是（）
A .12π B.32π C.8π D.24π
11.如图，已知函数()sin()(0,||)2
f x x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD ∆的重心.则ACD ∆的外接圆的半径为
A.2
B.57
6 C.57
3 D.8
12.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，
其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-.若对x ∀∈R ，不等式()()0x x x e f e
e ax ax
f ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（）A.1 B.2
C.3
D.4第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知双曲线22
14y x -=的右焦点为F ，则F 到其中一条渐近线的距离为__________．14.(4
324sin 16x x dx --⎰的值为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和221,4(1),5
n n n S n m n n ⎧-≤=⎨-+-≥⎩.若5a 是{}n a 中的最大值，则实数m 的取值范围是_____．
16.设12,F F 为椭圆C :2214
x y +=的两个焦点．M 为C 上点，12MF F ∆的内心I 的纵坐标为23-，则12F MF ∠的余弦值为_____.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17.,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.
（1）若1,6b A π==
，求sin B ；（2）已知3
C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.
18.设数列{}n a 满足：212321111 (333)
n n a a a a n -+
+++=，n ∈+N .⑴求n a ；⑵求数列{}n a 的前n 项和n S .
19.如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．
（1）求证：BC∥平面ADE；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．
20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与y 轴交于点P.且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P N PMA B S S λ= ，求λ的取值范围.
21.已知函数3()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为
2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60 .（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB
+的值.选修4-5：不等式选讲
23.已知函数()214
f x x x =++-（1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.。