数列 的递推公式
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
数列与级数的8种求和方法专题讲解
数列与级数的8种求和方法专题讲解简介本文将介绍数列和级数的8种常见求和方法，包括递推公式、几何级数、等差数列求和、等比数列求和、伪等差数列求和、伪等比数列求和、特殊级数求和和无穷级数求和。
1. 递推公式递推公式是通过前一项和该项之间的关系来逐项求和的方法，通常用于求解迭代式数列的和。
递推公式可以通过给定的初始项以及递推关系进行求和。
2. 几何级数几何级数指的是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解几何级数的和可以通过使用几何级数公式来进行计算。
3. 等差数列求和等差数列是一个数列中的各项与其前一项之差保持恒定的数列。
求解等差数列的和可以通过等差数列求和公式进行计算。
4. 等比数列求和等比数列是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解等比数列的和可以通过等比数列求和公式进行计算。
5. 伪等差数列求和伪等差数列是一个数列中的各项与其下标之差保持恒定的数列。
求解伪等差数列的和可以通过伪等差数列求和公式进行计算。
6. 伪等比数列求和伪等比数列是一个数列中的各项与其下标之比保持恒定的数列。
求解伪等比数列的和可以通过伪等比数列求和公式进行计算。
7. 特殊级数求和特殊级数指的是具有特殊性质的级数，如调和级数、斐波那契级数等。
求解特殊级数的和需要根据其特定的性质和规律进行计算。
8. 无穷级数求和无穷级数是指一个无穷多项的级数。
求解无穷级数的和需要使用极限的概念，并根据级数的收敛性和发散性进行判断和计算。
以上是数列与级数的8种常见求和方法的专题讲解。
每种求和方法都有其适用的情况和特点，在实际问题中需要选择合适的方法进行求解。
希望本文能为读者提供一些有用的参考和指导。
数列递推公式的九种方法
求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。
数列与数列的递推公式的求和公式
数列与数列的递推公式的求和公式数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照一定规律排列的数字所组成。
数列中的每个数字被称为数列的项，而数列中的规律可以通过一个递推公式来表示。
递推公式能够描述数列中每一项和前面的一些项之间的关系，使我们能够方便地计算数列的任意项。
在数列的研究中，一个常见的问题是求解数列的前n项和。
为了解决这个问题，我们需要根据数列的递推公式推导出相应的求和公式。
假设数列的递推公式为an = f(an-1)，其中an表示数列中第n项，f是一个给定的函数。
我们希望求解前n项和Sn = a1 + a2 + ... + an。
为了推导求和公式，我们首先把前n项和Sn展开，得到：Sn = a1 + a2 + ... + an接下来，我们观察Sn中每一项的表达式，发现除了第一项a1之外，其他的项都具有形式an = f(an-1)。
因此，我们可以把Sn表示为：Sn = a1 + f(a1) + f(f(a1)) + ... + f(f(...f(a1)...))这里的f(f(...f(a1)...))中的f出现了n-1次。
为了简化计算，我们定义一个新的数列bn，其递推公式为bn = f(bn-1)，并且初始值b1 = a1。
现在我们可以把Sn改写为：Sn = b1 + b2 + ... + bn通过比较Sn和bn之间的关系，我们可以发现：Sn = b1 + b2 + ... + bn = a1 + f(a1) + ... + f(f(...f(a1)...))也就是说Sn和an具有相同的表达式形式。
根据这个观察，我们可以得出结论：Sn和an之间的关系是Sn = f(Sn-1)。
现在我们来推导对于一般的递推公式an = f(an-1)的数列，其前n项和的求和公式。
设数列的递推公式为an = f(an-1)，其中an表示数列中第n项，f是一个给定的函数。
根据前面的分析，我们得到了Sn = f(Sn-1)这个关系。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
常见数列递推公式
数列求和常用公式:1）1+2+3+......+n=n(n+1)÷22）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷63）1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^2÷44）1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)÷35）1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)÷46）1+3+6+10+15+......=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷67）1+2+4+7+11+......=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n) =(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]/2=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷68）1/2+1/2*3+1/3*4+......+1/n(n+1)=1-1/(n+1)=n÷(n+1)9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+......+1/1+2+3+...+n) =2/2*3+2/3*4+2/4*5+......+2/n(n+1)=(n-1) ÷(n+1)10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n11）1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷312）1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)13）1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷3014）1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 1215）1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1ps：数列的性质：等差数列的基本性质⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．⑷对任何m、n ，在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a +a + … = a + a + a + … ．⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、)⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比= （≠－1），则a = ．5．等差数列前n项和公式S 的基本性质⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．⑵在等差数列{ a }中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd，= ；当项数为(2n －1) (n )时，S －S = a ，= ．⑶若数列{ a }为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为．⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则= ．⑸在等差数列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．⑹等差数列{a }中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y = x + (a －)上．⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．3．等比数列的基本性质⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．⑵对任何m、n ，在等比数列{ a }中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{a }为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．⑷若{ a }是公比为q的等比数列，则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．⑸如果{ a }是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．⑹如果{ a }是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．4．等比数列前n项和公式S 的基本性质⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵⑷若数列{ a }为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列。
数字的变化规律数列的递推与通项公式
数字的变化规律数列的递推与通项公式数字的变化规律：数列的递推与通项公式数学中，我们经常会遇到各种数列，它们是由数字按照一定规律排列得到的。
了解数列的变化规律对于我们深入理解数学问题、解决实际问题非常重要。
本文将介绍数列的递推与通项公式，帮助读者更好地理解数字的变化规律。
一、递推关系与递推公式在数列中，我们常常会发现后一项与前一项之间存在某种规律。
根据这种规律，我们可以得到两个重要的概念：递推关系和递推公式。
递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。
这种关系可以通过一个或多个常数、变量以及运算符等表示。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以观察到每一项与前一项之间的差为3。
因此，递推关系可以表示为an = an-1 + 3，其中an表示第n项。
递推公式是指数列中的递推关系用代数表达方式表示的结果。
递推公式可以通过观察数列前几项的特点，或者利用已知的数学定理来求得。
对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以发现第n项可以表示为an = 1 + 3(n-1)，其中n表示项数。
二、等差数列的递推与通项公式等差数列是一种常见的数列，它的递推关系和递推公式非常简单明确。
等差数列的特点是每一项与前一项之间的差是一个常数，这个常数称为公差。
对于等差数列，我们可以通过已知的两项或者项数来推导出递推关系和通项公式。
1. 递推关系：对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d 表示公差，n表示项数。
2. 通项公式：对于等差数列，通项公式可以通过观察前几项的规律得到。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n 表示项数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，...，我们可以得到递推关系an = a1 + 3(n-1)，其中a1 = 1，d = 3。
同时，我们可以通过观察前几项的规律得到通项公式an = 1 + 3(n-1)。
三、等比数列的递推与通项公式除了等差数列，还有一种常见的数列是等比数列。
第二篇学案2数列的递推公式
数列的递推公式 （选学）
开始
学点一 学点二
如果已知数列的第1项（或前几项），且
从第二项(或某 .
一项)开始的任一项an与它的一项的a关n-系1(可或以前用几一项个)间公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是
给出数列的一种方法.
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学点一 命题的判断 已知数列{an}分别满足下列，写出它的前5项，并归纳 出各数列的一个通项公式. （1）a1=0，an+1=an+(2n-1)； （ （23））已a1=知1a，1=a1n，+1a=a2n1aan22…；an=n2.
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一样的知识
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不一样的收获
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【评析】(1)根据数列的递推公式写出数列的前5项 是考纲的基本要求.归纳、猜想数列的通项公式可锻炼 同学们的观察能力与推理能力.
(2)已知数列的递推公式求通项公式，此类题型求 数列通项公式的方法大致公两类：一类是根据前几项的 特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学归纳法证明(后 面学)；另一类是将已知递推关系，用累项相加（乘） 法、迭代法、换无法转化为基本数列求通项.
寻找数列的通项的差an-an-1或通项的商
an的规律. an1
【解析】
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设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1na2n+an+1an =0解(n：∈N+)，求它的通项公式.
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1.如何理解数列的递推公式?
（1）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是 所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的 各项.
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
数列与数列的递推公式的推导
数列与数列的递推公式的推导数列是数学研究中最基础、最常见的概念之一。
数列是有序排列的数的集合，其中每个数称为数列的项。
数列与数列的递推公式是数学中数列研究的重要内容之一。
本文将探讨数列的定义、性质以及推导数列的递推公式的方法。
一、数列的定义与性质数列是按照一定顺序排列的数字序列。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的一般形式可以表示为：a1, a2, a3, ..., an, ...，其中ai表示第i 个项。
数列的性质包括：1. 数列的有界性：数列可以有上界和下界。
一个数列是有上界的，如果存在一个常数M，对于数列中的每一项an，都有an ≤ M。
类似地，一个数列是有下界的，如果存在一个常数N，对于数列中的每一项an，都有an ≥ N。
2. 数列的单调性：数列可以是递增的、递减的，或者既不递增也不递减（即无序数列）。
如果对于所有的正整数n，都有an+1 ≥ an，则数列是递增的。
如果对于所有的正整数n，都有an+1 ≤ an，则数列是递减的。
3. 数列的有界单调性：如果一个数列既有上界又有下界，并且该数列是递增的（或递减的），则该数列称为有界单调数列。
二、数列的递推公式数列的递推公式是通过前项或前几项来表示下一项的公式。
推导数列的递推公式有多种方法，下面将介绍几种常见的方法。
1. 等差数列的递推公式等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
设等差数列首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
例如，数列1, 3, 5, 7, ..., 它的首项a1 = 1，公差d = 2，那么第n 项为an = 1 + (n-1)2。
2. 等比数列的递推公式等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列。
设等比数列首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)。
例如，数列1, 2, 4, 8, ..., 它的首项a1 = 1，公比q = 2，那么第n项为an = 1 * 2^(n-1)。
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。
以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。
我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。
假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。
将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。
2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。
我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。
通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。
需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。
3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。
比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。
可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。
总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。
对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
数列常见的基本公式
数列常见的基本公式数列是数学中一个重要的概念，它描述了一系列按照特定规律排列的数字或者其他数学对象。
数列常见的基本公式包括等差数列、等比数列、调和数列等。
一、等差数列：等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都是一个常数d，这个常数称为公差。
等差数列一般用an表示，其中a1是首项，d是公差。
等差数列的定义公式为：an = a1 + (n - 1)d。
等差数列的特点：1. 任意两个相邻项之差都是一个常数，即an+1 - an = d。
2.等差数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 + d。
3.等差数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an)。
4.等差数列的前n项和也可以用递推公式表示为Sn=(n/2)(2a1+(n-1)d)。
二、等比数列：等比数列是指数列中的任意两个相邻项之比都是一个常数q，这个常数称为公比。
等比数列一般用an表示，其中a1是首项，q是公比。
等比数列的定义公式为：an = a1 * q^(n - 1)。
等比数列的特点：1. 任意两个相邻项之比都是一个常数，即an+1 / an = q。
2.等比数列的通项公式可以用递推公式表示为an = an-1 * q。
3.等比数列的前n项和可以用求和公式表示为Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q不等于14.当公比q等于1时，等比数列变为等差数列。
三、调和数列：调和数列是指数列中的任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数h，这个常数称为调和差。
调和数列一般用an表示，其中a1是首项，h是调和差。
调和数列的定义公式为：an = 1 / (a1 + (n - 1)h)。
调和数列的特点：1. 任意两个相邻项的倒数之差都是一个常数，即1 / an+1 - 1 /an = h。
2. 调和数列的通项公式可以用递推公式表示为an = 1 / (1 / an-1 + h)。
除了这些常见的基本公式外，还有其他一些特殊的数列，如等差矩阵数列、Fibonacci数列、Arithmetico-geometric数列等。
数列的递推公式
等比数列的递推公式
$a_n = a_{n-1} times r$， 其中 $r$ 是公比，表示相邻 两项的比。
递推公式的应用
通过递推公式可以快速地求 出数列中任意一项的值，也 可以用于证明数列的性质。
拓展延伸：非线性递推关系简介
非线性递推关系的
定义
如果数列的递推公式中包含了非 线性运算（如乘法、除法、指数 等），则称该递推关系为非线性 递推关系。
02
CATALOGUE
常见数列递推公式类型
等差数列递推公式
01
一般形式
$a_n = a_{n-1} + d$，其中 $d$ 为公差。
初始条件
02
03
求解方法
给出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
通过递推关系逐步计算每一项的 值。
等比数列递推公式
一Байду номын сангаас形式
$a_n = a_{n-1} times r$，其中 $r$ 为公比 。
非线性递推关系的
求解
对于非线性递推关系，通常没有 通用的求解方法，需要根据具体 情况进行分析和求解。常用的方 法包括迭代法、数学归纳法、特 征根法等。
非线性递推关系的
应用
非线性递推关系在数学、物理、 计算机科学等领域都有广泛的应 用，如分形、混沌、密码学等。
THANKS
感谢观看
方法求解。
03
CATALOGUE
递推公式求解方法
迭代法求解
初始条件确定
根据递推公式中的初始条件，确定数列的前几 项。
结果输出
输出计算得到的数列各项。
迭代计算
从初始条件出发，利用递推公式逐项计算数列 的后续项。
特征根法求解
六种常见数列递推公式
已知a1=1/2, 3an+1-2an=an+公式求通项公式 方法(2)
目标引领
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"数列递推公式 求通项公式 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为 0,p为常数)的数列递推公式求通项公式。 • （3）可变型为‘‘pan+1-qan=an+1∙an’’ （p、q不相等，且均不为0的常数）的数列 递推公式求通项公式。
当堂诊学（10分钟）
【必做题】
1 an an=_______. n
2 n
1.设｛an｝是首项为1的正项数列，且满足 2 2 (n 1)an na ,2,3) ，则 1 n an1an 0(n 1
2. 数列{an}中a1=1，当 n 2 时，其前n项和
1 Sn满足S an ( S n ), 求{an }的通项公式 . 21 (n 1) an 2 ( n 2) (2n 1)(2n 3)
( pq 0, p q, p、q为常数)
目标再现
• （1）可变型为“an+1=an∙f(n)"(p不为0,p为常数)的数列递 推公式求通项公式 方法1：迭代 方法2：累乘 • （2）可变型为“pan+1-pan=an+1∙an"(p不为0,p为常数)的数 列递推公式求通项公式。 1 方法：两边同除pan+1an，则{ } 成等差.
1
(n 1)
强化补请
• 完成《全品》上的题目.（晚自习）
当堂诊学(10分钟）
• 【提高题】 • 设Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足
2bn b1=1， 1(n 2). 2 bn S n S n
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1．由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步：先根据递推公式写出数列的 前几项(至少是前 3 项)； 第二步：根据写出的前几项，观察归 纳其特点，并把每一项统一形式； 第三步：写出一个通项公式并证明．
2
．
(1)
当
an an－1
＝
g(n)(n≥2)
满
足
一
定
条
件
时
，
常
用
an ＝
aan－n 1·aann－ －12·aann－ －32·…·aa21·a1 累乘法求 an.
类
别
通项公式
递推公式
不同点
相同点
给出n的值，可求出数 列中的第n项an
由前一项（或前几项） 的值，通过一次（或多 次）运算，逐项求出第
n项an
可确定一个数列，求出 数列中的任意一项
返回目录
{bn}是（由3）数b列n {aana}nn中11的这项样，的通公过式公不式是bn递推aan公n1式1 .构因造为出数来列 的，不是由数列{bn}中的项经过递推构造出来的.如果改成
解之得：74≤n≤141， ∴n＝2，a2＝13， ∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13.
判断数列最大项和最小项的方法一般有两种：一是利用函数 的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由 函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；二是利用通 项求解，即通过判断不等式组aann≥ ≥aann＋ －11， ， 或aann≤ ≤aann＋ －11， 有无正 整数解来判断．
bn2
bn bn1
并给出数列{bn}的第1项，第2项，那么就是递
推公式了.
（4）由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公
式.
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数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋9n＋3，求当 n 为何 值时，an 有最大值？并求出最大值．
【思路探究】 (1)通项公式是什么函数的形式？能否利用 函数求出最大值？(2)若设 an 为{an}中的最大项，则 an 应满足什 么关系式？能否利用此关系式求得 n 值？
解：由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为
a1=
1， 点2 Qn+1与Pn的纵坐标相同，都是an，
同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
由点横Pn+坐1在标曲得线它c的：纵y 坐(12标)x为上(，12)an
即
an1
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
例3. 根据下列各个数列{an}的首项及其递推公 式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：
【自主解答】 法一 ∵an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－94)2＋ 105
8. 又∵n∈N*，∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13. 法二 设 an 为数列中的最大项， 则aann≥ ≥aann＋ －11， ， ∴－ －22nn22＋ ＋99nn＋ ＋33≥ ≥－ －22nn＋ －1122＋ ＋99nn＋ －11＋ ＋33， ，
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到 n－1 个式子，再把这n－1 个式子相加，消去中间项．
自主解答：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3， a3＝a2＋3， …
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3， 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
已知递推公式，用累乘法求通项公式
例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从 1 到n－1 进行取值，得到n－1 个式子，再把这 n－1 个式子相乘，消去中间项． 自主解答：解法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n. 解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2. ∴aan－n 1×aann－－12×aann－ －23×…×aa21＝2n－1. ∴ an＝a1·2n－1＝2n.
（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；
（2）a1=1，an1
2an an 2
,
n∈N+；
解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ，
归纳出它的通项公式是an=(n－1)2 。
（2）a1=1，an1
数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式， 递推公式也是给出数列的一种方法。
a1=a， an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)
例1．已知数列{an}的第1项是2，以后各项由公
式 an
an1 1 an1
给出，写出这个数列的前5项.
解：a1=2，
a2
2 1 2
2
2
2
a3 1 (2) 3
a4
Hale Waihona Puke 2 31 ( 2)
2 5
3
a5
2 5
1 ( 2)
2 7
5
例2. 已知直线l：y=x与曲线c：y (1)x （如图所 示），过曲线c上横坐标为1的一点2P1作x轴的平行 线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线c于P2，再过 P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲 线c于P3，……，设点P1，P2，…，Pn，…的纵坐 标分别为a1，a2，…，an，…，试求数列{an}的递 推公式。
(2)当 an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用 an＝(an－ an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 累加来求通项 an.
1.如何理解数列的递推公式?
（1）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是 所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的 各项.
（2）递推公式与通项公式的区别与联系：
2an an 2
, n∈N+；
解:
a2
2a1 a1 2
2 3
a3
2a2 a2 2
1 2
a4
2a3 a3 2
2 5
a5
2a4 a4 2
1 3
归纳出它的通项公式是
an
2 n 1
已知递推公式，用累加法求通项公式
例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数 列{an}的通项公式．