数列 的递推公式

数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项 an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式表示， 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式， 递推公式也是给出数列的一种方法。
a1=a， an=f(an－1)，(n=2，3，4，…)
例1．已知数列{an}的第1项是2，以后各项由公
式 an
an1 1 an1
给出，写出这个数列的前5项.
解：a1=2，
a2
2 1 2
2
2
2
a3 1 (2) 3
a4
2 3
1 ( 2)
2 5
3
a5
2 5
1 ( 2)
2 7
5
例2. 已知直线l：y=x与曲线c：y (1)x （如图所 示），过曲线c上横坐标为1的一点2P1作x轴的平行 线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线c于P2，再过 P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲 线c于P3，……，设点P1，P2，…，Pn，…的纵坐 标分别为a1，a2，…，an，…，试求数列{an}的递 推公式。
(2)当 an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用 an＝(an－ an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 累加来求通项 an.
1.如何理解数列的递推公式?
（1）递推公式是给出数列的一种重要形式，并不是 所有的数列都有递推公式，递推公式可用于求数列中的 各项.
（2）递推公式与通项公式的区别与联系：
（1）a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+；
（2）a1=1，an1
2an an 2
,
n∈N+；
解：（1）因为a1=0，an+1=an+(2n－1)，n∈N+； 所以， a2=1 ， a3=4， a4=9， a5=16 ，
归纳出它的通项公式是an=(n－1)2 。
（2）a1=1，an1
类
别
通项公式
递推公式
不同点
相同点
给出n的值，可求出数 列中的第n项an
由前一项（或前几项） 的值，通过一次（或多 次）运算，逐项求出第
n项an
可确定一个数列，求出 数列中的任意一项
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{bn}是（由3）数b列n {aana}nn中11的这项样，的通公过式公不式是bn递推aan公n1式1 .构因造为出数来列 的，不是由数列{bn}中的项经过递推构造出来的.如果改成
bn2
bn bn1
并给出数列{bn}的第1项，第2项，那么就是递
推公式了.
（4）由数列的递推公式不一定能求出数列的通项公
式.
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数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋9n＋3，求当 n 为何 值时，an 有最大值？并求出最大值．
【思路探究】 (1)通项公式是什么函数的形式？能否利用 函数求出最大值？(2)若设 an 为{an}中的最大项，则 an 应满足什 么关系式？能否利用此关系式求得 n 值？
2an an 2
, n∈N+；
解:
a2
2a1 a1 2
2 3
a3
2a2 a2 2
1 2
a4
2a3 a3 2
2 5
a5
2a4 a4 2
1 3
归纳出它的通项公式是
an
2 n 1
已知递推公式，用累加法求通项公式
例2：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数 列{an}的通项公式．
已知递推公式，用累乘法求通项公式
例3：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an. 思维突破：对an＋1＝2an从 1 到n－1 进行取值，得到n－1 个式子，再把这 n－1 个式子相乘，消去中间项． 自主解答：解法一：a1＝2，a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，…， 观察可得： an＝2n. 解法二：由 an＋1＝2an，得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2. ∴aan－n 1×aann－－12×aann－ －23×…×aa21＝2n－1. ∴ an＝a1·2n－1＝2n.
解之得：74≤n≤141， ∴n＝2，a2＝13， ∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13.
判断数列最大项和最小项的方法一般有两种：一是利用函数 的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由 函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；二是利用通 项求解，即通过判断不等式组aann≥ ≥aann＋ －11， ， 或aann≤ ≤aann＋ －11， 有无正 整数解来判断．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到 n－1 个式子，再把这n－1 个式子相加，消去中间项．
自主解答：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得 a2＝a1＋3， a3＝a2＋3， …
an－1＝an－2＋3， an＝an－1＋3. 将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得 a2＋a3＋…＋an－1＋an ＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3， 消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)． ∵a1＝5，∴an＝3n＋2.
解：由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为
a1=
1， 点2 Qn+1与Pn的纵坐标相同，都是an，
同时点Pn+1与Qn+1的横坐标相等，
由点横Pn+坐1在标曲得线它c的：纵y 坐(12标)x为上(，12)an
即
an1
( 1 )an 2
这就是数列{an}的递推公式。
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例3. 根据下列各个数列{an}的首项及其递推公 式，写出数列的前5项，并归纳出通项公式：
【自主解答】 法一 ∵an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－94)2＋ 105
8. 又∵n∈N*，∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13. 法二 设 an 为数列中的最大项， 则aann≥ ≥aann＋ －11， ， ∴－ －22nn22＋ ＋99nn＋ ＋33≥ ≥－ －22nn＋ －1122＋ ＋99nn＋ －11＋ ＋33， ，
1．由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步：先根据递推公式写出数列的 前几项(至少是前 3 项)； 第二步：根据写出的前几项，观察归 纳其特点，并把每一项统一形式； 第三步：写出一个通项公式并证明．
2
．
(1)
当
an an－1
＝
g(n)(n≥2)
满
足
一
定
条
件
时
，
常
用
an ＝
aan－n 1·aann－ －12·aann－ －32·…·aa21·a1 累乘法求 an.