运筹学课件第十章排队论

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四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
ueut t0 b(t ) 0 t0
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（3）k阶爱尔郎分布（Ek）：每个顾客接受服务时间服 从k阶爱尔郎分布，具有密度函数：
ku(kut) kut b(t ) e (k 1)!
k 1
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三、排队系统的符号表示 一个排队系统的特征可以用六个参数表示，形式为： X／Y／Z ／ A／B／C 其中
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3、忙期和闲期 忙期：顾客到达空闲的服务机构起，到服务机构再次成为 空闲止的这段时间。 闲期：服务机构连续保持空闲的时间。
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主要数量指标的常用记号：
N(t)：时刻t系统中顾客数量（系统的状态），队长； Nq(t)：时刻t系统中排队顾客数量，排队长； T(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间； Tq(t)：时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间；
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3、服务机制 排队系统的服务机制主要包括： 服务员的数量、连接形式（串联或并联）； 顾客单个或成批接受服务；
服务时间的分布；
服务时间为V，分布函数为B(t)，密度函数为b(t)： （1）定长分布（D):每个顾客接受服务时间是一个常数。 （2）负指数分布（M）：每个顾客接受服务时间相互独立， 具有相同的负指数分布：
服务台1 顾客到达 队列2 队列s
服务完后离开 服务完后离开
服务台2
服务台s 服务完后离开
S个服务台，s个队列服务系统
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顾客到达
队列 服务台
队列 服务台 多个服务台的串联服务系统
服务完后离开
聚（输入） 服务机构
散（输出）
随机 服务系统
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二、排队系统的描述 1、输入过程：说明顾客按照怎样的规律到达系统。 (1)顾客总体数：按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和 无限顾客源； (2)按顾客到达的形式，分为单个到达和成批到达； (3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为 a.定长分布[D]：顾客相继到达的时间间隔为确定性的常数。 b.最简流（poisson流） [M]：顾客相继到达的时间间隔 {X(n)}独立的，同负指数分布：
Pn(t) –– 时刻t系统中有n个顾客的概率，系统的瞬时状态；
Pn ––系统达到统计平衡时处于状态n的概率；
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统计平衡： N-系统处于平衡状态时的队长，均值为L,称为平均队长。 Nq-系统处于平衡状态时的排队长，均值为Lq,称为平均排队长。 T- 系统处于平衡状态时的顾客的逗留时间，均值为 W, 称为平 均逗留时间。 Tq-系统处于平衡状态时的顾客的等待时间，均值为 W, 称为平 均等待时间。 n ––系统处于平衡状态 n 时,新来顾客到达的平均速率，即单 位时间内平均到达的顾客数； n ––系统处于平衡状态n时,系统的平均服务速率，即单位时 间内服务完毕离去的顾客数；
X–– 顾客到达的概率分布，可取M、D、Ek等；
Y–– 服务时间的概率分布，可取M、D、Ek等； Z –– 服务台个数，取正整数； A–– 排队系统的最大容量，可取正整数或； B –– 顾客源的最大容量，可取正整数或； C –– 排队规则，可取FCFS、LCFS等。
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例如 M/M/1 / //FCFS 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负 指数分布，一个服务台，排队系统和顾客源的容量都是 无限，实行先到先服务的一个服务系统。 可以缩写为 M/M/1。 M/M/S/K: 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负 指数分布，S个服务台，排队系统容量K和顾客源的容量 都是无限，实行先到先服务的一个服务系统。
e t t0 ( ) t0 0
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补充：泊松分布： 设随机变量X所有可能的取值为0，1，2，…，而各 个取值的概率为
p( X K )
e
k
k
k!
, k 0,1,2...
0
称x服从参数为的泊松分布
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2、排队及其规则 （1）排队 分为有限排队和无限排队。 无限排队：系统空间无限；又称为等待制排队系统。 有限排队：系统空间有限；又分为： a.损失制：排队空间为零的系统，不允许排队；到达的 顾客有一部分未接受服务就离去； b. 混合制：损失制和等待制系统的结合；顾客到达后， 一直等到服务完毕以后才离去；不允许队列无限等待。 又分为:
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到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
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排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
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服务台1
顾客到达 队列 服务台2 服务台s S个服务台，一个队列服务系统 服务完后离开
队列1
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（2）排队规则 (i)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）；
(ii)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）；
(iii)有优先权的服务（PS，Priority Serve ）
(iiii)随机服务（SIRO，Service in Random Order）
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(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。