运筹学课件第十章排队论
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Pn(t) –– 时刻t系统中有n个顾客的概率,系统的瞬时状态;
Pn ––系统达到统计平衡时处于状态n的概率;
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统计平衡: N-系统处于平衡状态时的队长,均值为L,称为平均队长。 Nq-系统处于平衡状态时的排队长,均值为Lq,称为平均排队长。 T- 系统处于平衡状态时的顾客的逗留时间,均值为 W, 称为平 均逗留时间。 Tq-系统处于平衡状态时的顾客的等待时间,均值为 W, 称为平 均等待时间。 n ––系统处于平衡状态 n 时,新来顾客到达的平均速率,即单 位时间内平均到达的顾客数; n ––系统处于平衡状态n时,系统的平均服务速率,即单位时 间内服务完毕离去的顾客数;
e t t0 (t ) t0 0
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补充:泊松分布: 设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,…,而各 个取值的概率为
p( X K )
e
k
k
k!
, k 0,1,2...
0
称x服从参数为的泊松分布
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2、排队及其规则 (1)排队 分为有限排队和无限排队。 无限排队:系统空间无限;又称为等待制排队系统。 有限排队:系统空间有限;又分为: a.损失制:排队空间为零的系统,不允许排队;到达的 顾客有一部分未接受服务就离去; b. 混合制:损失制和等待制系统的结合;顾客到达后, 一直等到服务完毕以后才离去;不允许队列无限等待。 又分为:
ueut t0 b(t ) 0 t0
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(3)k阶爱尔郎分布(Ek):每个顾客接受服务时间服 从k阶爱尔郎分布,具有密度函数:
ku(kut) kut b(t ) e (k 1)!
k 1
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三、排队系统的符号表示 一个排队系统的特征可以用六个参数表示,形式为: X/Y/Z / A/B/C 其中
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(i)队长有限:系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K,则顾客进入队列等待服务,若L=K,则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限: 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0,某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0,顾客继 续等待;若T=T0,则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限:等待时间与服务时间之和。
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四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标: 1、队长、排队长 队长:系统中的顾客数量(排队顾客+接受服务顾客)。
排队长:系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间:从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间:从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
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(2)排队规则 (i)先到先服务(FCFS,First Come First Serve);
(ii)后到先服务(LCFS,Last Come First Serve);
(iii)有优先权的服务(PS,Priority Serve )
(iiii)随机服务(SIRO,Service in Random Order)
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排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统,如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待,则加入 等待队伍,待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
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服务台1
顾客到达 队列 服务台2 服务台s S个服务台,一个队列服务系统 服务完后离开
队列1
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3、忙期和闲期 忙期:顾客到达空闲的服务机构起,到服务机构再次成为 空闲止的这段时间。 闲期:服务机构连续保持空闲的时间。
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主要数量指标的常用记号:
N(t):时刻t系统中顾客数量(系统的状态),队长; Nq(t):时刻t系统中排队顾客数量,排队长; T(t):时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间; Tq(t):时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间;
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到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水,调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
排队可以是人,也可以是物。 为了一致:将要求得到服务的对象统称为“顾客”,将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
服务台1 顾客到达 队列2 队列s
服务完后离开 服务完后离开
服务台2
服务台s 服务完后离开
S个服务台,s个队列服务系统
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顾客到达
队列 服务台
队列 服务台 多个服务台的串联服务系统
服务完后离开
聚(输入) 服务机构
散(输出)
随机 服务系统
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二、排队系统的描述 1、输入过程:说明顾客按照怎样的规律到达系统。 (1)顾客总体数:按顾客源顾客的数量,可分为有限顾客源和 无限顾客源; (2)按顾客到达的形式,分为单个到达和成批到达; (3)按顾客相继到达的时间间隔分布,可分为 a.定长分布[D]:顾客相继到达的时间间隔为确定性的常数。 b.最简流(poisson流) [M]:顾客相继到达的时间间隔 {X(n)}独立的,同负指数分布:
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3、服务机制 排队系统的服务机制主要包括: 服务员的数量、连接形式(串联或并联); 顾客单个或成批接受服务;
服务时间的分布;
服务时间为V,分布函数为B(t),密度函数为b(t): (1)定长分布(D):每个顾客接受服务时间是一个常数。 (2)负指数分布(M):每个顾客接受服务时间相互独立, 具有相同的负指数分布:
X–– 顾客到达的概率分布,可取M、D、Ek等;
Y–– 服务时间的概率分布,可取M、D、Ek等; Z –– 服务台个数,取正整数; A–– 排队系统的最大容量,可取正整数或; B –– 顾客源的最大容量,可取正整数或; C –– 排队规则,可取FCFS、LCFS等。
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例如 M/M/1 / //FCFS 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布,服务时间是负 指数分布,一个服务台,排队系统和顾客源的容量都是 无限,实行先到先服务的一个服务系统。 可以缩写为 M/M/1。 M/M/S/K: 表示顾客到达的时间间隔是负指数分布,服务时间是负 指数分布,S个服务台,排队系统容量K和顾客源的容量 都是无限,实行先到先服务的一个服务系统。