初中培优竞赛 第3讲 整 式

一、选择题

1.（4、5）（数学、初中数学竞赛、整式、绝对值、选择题）

已知a，b，c都是整数，

那么（）

A.m一定是奇数

B.m一定是偶数

C.仅当a，b，c同奇或同偶时，m是偶数

D.m的奇偶性不能确定

分析：|a|与a的奇偶性相同，所以m 与

同为偶数 .

答案：B

技巧：找准奇偶性的本质，从本质入手，化简式子，从而方便判断.本题也可以按奇偶性分类讨论.

易错点：容易陷入讨论的误区，被绝对值迷惑导致出错.

2. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）

若，则的值是（）

A. 1

B. 0

C -1 D. 2

分析：由得，所以

答案：C

技巧：将条件进行提公因式解出，就非常方便求解了.

3. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、选择题）

已知，m≠n，则的值为（）

A . 1

B . 0

C . -1

D . -2

分析：=-2.

答案：D

技巧：本题关键在于将条件和所求代数式进行处理化简，最终求解. 易错点：在化简和变形的时候容易出错.

二、填空题

4. （1、2）（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

设,则 m3 +2m2 +1997 =

分析：

m3 +2m2 +1997=+1997 ,因为

答案：1998.

技巧：特殊观察，将条件和所求都变形，从而求解.

易错点:代数式变形时不要出错.

5. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

当时，多项式的值是0，则多项式

分析：通过变形发现，.而

答案：5 .

技巧：将条件进行变形就能集体代入求解.

易错点：代入变形时易出错.

6. (3、4)（数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、代数式、填空题）

已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，则

分析：由题意知m+n=0, ab=-1 , χ=±3 , 代入就可以求解.

详解:

=

=26或-28

技巧:这类题直接把条件列出来代入到式中,结果基本就出来了.

易错点:容易出现遗漏的情况.

7.如果，那么

8.（2006年四川省竞赛题）设a 1，a2，…，a k，为k个不相同的正整数，且

，则k的最大值为

9.（2001年重庆市竞赛题）若，则

10.（1999年江苏省竞赛题）已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且

，则

11.（2006年全国初中数学竞赛题）已知a，b，c为整数，且

.若.则a+b+c的最大值为

三、解答题

12.(3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、高次方程、解答题）

已知且求m的值.

分析：因为所以.代入求解 . 详解： . 由

得，即

答：m的值为.

技巧：在于将题目中的条件进行灵活变形，然后代入求解.

易错点：代数式变形时不要出错.

13. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）

已知m，n为自然数，且满足，求m, n的值.

分析：依题意得，而m，n为自然数，故

，最后求解.

详解：，而m，n为自然数，故，解得：m=83, n=84. 答：m、n的值分别为83、84.

技巧：利用平方差公式展开，很方便解决.

易错点：将167拆分的时候容易出错.

14. (3、4) （数学、初中数学竞赛、整式、方程、解答题）

已知，求(a-b-c) - (a+b-c)-（-a-b+c）的值 .

分析:因为同理可求代入求解.

详解：因为同理可求

技巧：将a、b、c进行化简，然后代入求解.

易错点：化简、代入求值时，都要谨防出错.

15.（第8届希望杯竞赛题）已知a是实数，且，求

17.（第13届迎春杯竞赛题）已知当时，.求当

时，代数式的值.

18.（天津市竞赛题）数码不同的两位数，将其数码顺序交换后得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数，

答案与解析

1.B |a|与a的奇偶性相同，所以m与

同为偶数 .

2.C 由得，所以

3.D

4. 1998

5.5 因为.所以

6. 26或- 28 .原式或

8. 62 设，要使k最大，则需使前面的a i（i=l，2，…，k-l）尽量小，于是取以a1=1为首的连续m个正整数相加，得，即

4010.经验证.故当

9.2 因为，所以而a显然不等于0，所以0，即

所以

10.

11. 5013 由得.因为

，a为整数，所以a的最大值为1002.于是，a+b+c的最大值为5013 12.因为所以.由

得，即

13.依题意得，而m，n为自然数，故

，所以

14.因为同理可求

15.由已知得（a+1）3+1=0,所以a+1=-1，所以(a+1)1996+(a+1)1997+ (a+1)1998=1 16．9996+998

6

+999=9992-9982999+998=1997

17.当时，，所以.当时，

18.设所求两位数为，由已知得（k为整数），得

.而，得或