几种常见的概率分布复习过程

几种常见的概率分布

一、 离散型概率分布

1. 二项分布

n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布

应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的

平均数： (Y)np X E μ==

方差与标准差：2(1)X np P σ=-

;X σ=特例：（0-1）分布

若随机变量X 的分布律为

1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0

则称X 服从参数p 的（0-1）分布

2. 泊松分布

泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布

泊松分布变量x 只取零和正整数：0、1、2…..其概率函数为：

(x)!x p e x μμ-=

泊松分布的平均数：(x)E μμ==

泊松分布的方差和标准差：2σμ=

、σ=

3. 超几何分布 P(X=k)=k n k M N M n N C C C -- 记X~（N ，M ，n ） P=M N

期望：E(X)=np

方差：D(X)=np(1-p)1

N n N -- 适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重

复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票

二、 连续型概率分布

1. 均匀分布

若随机变量X 具有概率密度函数

(x)f =

则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b)

在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为

0F(x),1

x a x a a x b b a b x ⎧<⎪-⎪=≤<⎨-⎪≤⎪⎩

2指数分布

若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0

x e x f x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 其中0λ> 是常数，

则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为

1,0(x)0,0

x e x F x λ-⎧-≥=⎨<⎩

3.正态分布

正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下：

22(x )2(x),f x μδ--=-∞<<∞

式中，μ 为随机变量X 的均值；2δ 为随机变量X 的方差。

通常对具有均值μ，方差为2δ的正态概率分布，记为N （μ，2δ）。于是有正态随机变量X~N （μ，2δ）。

1,;0,a x b b a ⎧<<⎪-⎨⎪⎩其他

4.2χ 分布

如果从标准正态分布N （0，1）的总体中得到n 个随机变量分别为12n ,....,X X X ，

时，则由2i X ∑ 得到的分布叫做自由度为n 的2χ 分布，记为2~n X χ（）

2~n X χ（） 。

2χ分布的数学期望和方差分别为：

E （X ）= n ，D （X ）=2n

关于2χ分布的加法定理。设12,....k X X X ，

，是相互独立的随机变量，且2~(n ),i 1,2,....,i i X k χ=则

2121~(n n ...n )k i

k i X χ=++∑

2χ分布与N （0，1）分布有如下关系：

设12n ,....X X X ，是相互独立的随机变量，并且i X ~（0，1），i=1，2，…n ，则 221~(n)n

i

i X χ=∑ 5.t 分布

设X~N （0,1），2~(n)Y χ ，X 与Y 相互独立，则随机变量

t =

遵从n 个自由度的t

分布，记为~(n)t t =。 t 分布的数学期望和方差如下：

当n>2时，E(t)=0,D(t)=2

n n - t 分布的图形是对称的。当n<30时，t 分布的分散程度比标准正态分布大，密度函数曲线比较平缓，随着n 的增大，t 分布逐渐逼近标准正态分布。当n →∞ 时，t 分布渐近标准正态分布。

6.F 分布

设随机变量21~(n )X χ ，22Y ~(n )χ，且X 与Y 相互独立，则称随机变量

12

//X n F Y n 遵从自由度为12(n ,n ) 的F 分布，记作F~F 12(n ,n )

F 分布的形状为正偏态分布状，但随着12n ,n 的增大，其概率密度曲线的偏斜度虽有所缓减却仍保持偏态分布，并不以正态分布为其极限分布形式。 如果~(n)t t ，则2~(1,n)t F 如果12211~F(n ,n ),~F F

F 则（n ,n ） 。