2013届高考数学(理)一轮复习课件：第三篇 导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向)
2013届高考数学(理)一轮复习课件：第三篇-导数及其应用第1讲-变化率与导数、导数的运算)
考向二 导数的运算
【例 2】►求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝sin2x1－2cos24x；
(4)y＝1－1
x＋1＋1
； x
[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导．
(2)法一 y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 法二 y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)· (x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝sin2x－cos2x＝－12sin x，
∴y′＝－12sin x′＝－12(sin x)′＝－12cos x.
(4)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2. (1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
6．复合函数的求导法则
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关
系为 yx′＝ yu′·ux′.
一个区别 曲线 y＝f(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的 切线的区别： 曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，若切线斜率 存在时，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝ f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点，点 P 可以是切 点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 导数的应用(二)——极值与最值
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，∴x＝±1. 三次函数 f(x)＝0 有 3 个根⇔f(x)极大值>0 且 f(x)极小值<0，
∴x＝－1 为极大值点，x＝1 为极小值点． ∴ff－1＝1＝a－2＋2<a0>0 ，∴－2<a<2.
【答案】 A
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
【解析】 (1)证明 f′(x)＝－axx22－＋21bx2＋a，
令 f′(x)＝0，得 ax2＋2bx－a＝0
①
∵Δ＝4b2＋4a2>0，
∴方程①有两个不相等的实根，记为 x1，x2(x1<x2)， 则 f′(x)＝－ax－x2＋x11x2－x2，
第三章 导数及其应用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
即(x2＋x1)(x2－x1)＝0. 又 x1<x2，∴x1＋x2＝0，从而 b＝0 ∴a(x2－1)＝0，得 x1＝－1，x2＝1， 故 a＝－xx211－1＝2.
第三章 导数及其应用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2.已知 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最 大值 3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
第三章 导数及其应用
高考调研
A．－37 C．－5 答案 A
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B．－29 D．以上都不对
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
高考调研
高三数学（新课标版·理）
(4)由 f′(x)＝0 的根左右的符号以及 f′(x)在不可导 点左右的符号来判断 f′(x)在这个根或不可导点处取极值 的情况，此步骤不可缺少，f′(x)＝0 是函数有极值的必 要条件．
2013届高考数学第1轮总复习12.5导数的应用(第3课时)课件理(广西专版)
把实际问题转化为数学问题，然后利用求 函数最值的方法求得最值.注意求得的解要 符合实际意义.
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表 示为：y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．
• 解：因为f ′(x)=x2+ax+b，
• 所以f ′(1)=1+a+b.又
f 1 1 a b，
32
• 所以直线l的方程为
y ( 1 a b) (1 a b) ( x 1)， 32
即y 1 a b x 2 a .
32
令g x f x ［1 a b x 2 a］
• 1.利用导数确定函数的单调区间，求函数的极 值和最值，是导数应用中的三类基本问题.对 变通后的变式问题或综合性问题，都要化归 为上述基本问题来解决.导数的应用与方程、 不等式等方面的知识联系密切，对运算、变 形能力有较高的要求.
• 2. 利用导数处理不等式问题，关键是构造函 数，然后将问题转化为研究函数的单调性或 最值，这是导数应用中的一个难点.
(2)当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 10x0小时，设耗油量为 h(x)升，
依题意得：
h(x)＝(1281000x3－830x＋8)·10x 0 ＝12180x2＋80x0－145(0<x≤120)， 则 h′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x023(0<x≤120)． 令 h′(x)＝0，得 x＝80.
• x∈［9,11］.
• (2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)
2013届高考数学考前备考导数及应用复习课件
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(2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)；②求 f′(x)＝0 的根； ③判定根两侧导数的符号；④下结论． (3)求函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求 f′(x)； ②求 f′(x)＝0 的根(注意取舍)； ③求出各极值及区间端点处的函数值； ④比较其大小，得结论(最大的就是最大值，最小的就是最 小值)．
4 ________．
解析 设 A(x0，0)， y 所以 C1 在 A 处的切线的斜率为 f′(x0) 1 x0 2 ＝3ax0，C2 在 A 处的切线的斜率为－ ＝－ ，又 C1 在 kOA y0 x0 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直， 所以(－ )· 2 3ax0 y0 3 3 3 ＝－1，即 y0＝3ax0，又 ax0＝y0－1，所以 y0＝ ，代入 2 5 1 1 3 2 2 C2：x ＋y ＝ ，得 x0＝± ，将 x0＝± ，y0＝ 代入 y＝ax3 2 2 2 2
－1<a<1， －5<a<1， 解得 或 1 1 a≠－2， a≠－2. 1 1 所以 a 的取值范围是－5，－ ∪－ ，1. 2 2
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三、利用导数研究函数的极值或最值 例 3 已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)， 且函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对称． (1)求 m、n 的值及函数 y＝f(x)的单调区间； (2)若 a>0，求函数 y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．
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4．(2011· 湖南改编)设直线 x＝t 与函数 f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的
2 图象分别交于点 M， 则当 MN 达到最小时 t 的值为_____． N， 2 解析 由题意画出函数图象如图
2013届高考数学一轮复习课件3.2导数在研究函数中的应用
(23，1) 1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) －11
极大
极小值
值 13
95 27
4
∴f(x)在[－4,1]上的最大值为 13，最小值为－11.
探究提高
在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区 别．求解函数的最值时，要先求函数 y＝f(x)在[a，b]内所有使 f′(x)＝0 的点，再计算函数 y＝f(x)在区间内所有使
答题模板
导数法求函数最值问题
(14 分)已知函数 f(x)＝ln x－ax (a∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a>0 时，求函数 f(x)在[1,2]上的最小值．
审题视角
(1)知函数解析式求单调区间，实质上是求 f′(x)>0，f′(x)<0 的 解区间．并注意定义域．(2)先研究 f(x)在[1,2]上的单调性，再确 定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数 a，要对参 数 a 进行分类讨论．
规范解答
解 (1)f′(x)＝1x－a (x>0)，
[1 分]
①当 a≤0 时，f′(x)＝1x－a>0，即函数 f(x)的单调增区间为(0，
＋∞)．
[3 分]
②当 a>0 时，令 f′(x)＝1x－a＝0，可得 x＝1a， 当 0<x<1a时，f′(x)＝1－xax>0； 当 x>1a时，f′(x)＝1－xax<0， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 单调递减区间为1a，＋∞.
[难点正本 疑点清源] 1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函
数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况， 是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点， 如函数 y＝x3 在 x＝0 处导数为零，但 x＝0 不是极值点． 3．函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进 行比较，或者考查函数在区间内的单调性．
2013届高考数学一轮复习教案3.3导数的综合应用
§3.3导数的综合应用1.利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值(1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：优化问题―→用函数表示数学问题↓优化问题答案用导数解决数学问题5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.[难点正本疑点清源]1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f ′(x )＝0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点.但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证.2.实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.3.求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题.4.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性.1.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是__________.2.如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是__________ __ cm 2/s.3.若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________.4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件5.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不 等式f (x 2－6)>1的解集为( )A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－2，2)C.(2,3)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)题型一 利用导数研究函数的零点或方程根的方法 例1 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.探究提高 (1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐 统一.(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对∀x ∈R ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若函数f (x )有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 题型二 利用函数研究恒成立及参数求解问题 例2 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.探究提高 (1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域.(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围. 题型三 利用导数研究生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.2.二审结论会转换试题：(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.审题路线图 求f (x )的极值↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )＝0的解，即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )＝f (x )－g (x )↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在(1，＋∞)上恒成立. ↓研究函数F (x )在(1，＋∞)上的单调性. 规范解答(1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，[1分]令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， [2分] 当x ∈(0,1)时，函数f (x )单调递减，[3分]当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，[4分]所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分] (2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， [6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， [9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，∴在区间(1，＋∞)上，F (x )<0恒成立.即F (x )<g (x )恒成立.[11分]因此，当a ＝1时，在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方.[12分] 点评 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用.(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧1.极值与最值的区别与联系.区别：极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效.联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值(可取到的话)中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 失误与防范1.注意极大值未必大于极小值，极值仅仅体现在x 0处附近函数值的变化情况.2.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值.答案基础自测1.(－∞，0)2.25 000π3.[－1,1]4.C5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞). 当a >0时，由f ′(x )>0， 解得x <－a 或x >a .由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a ). (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知： 实数m 的取值范围是(－3,1). 变式训练1 (1)－34 (2)a >52或a <2例2 解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2.①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数. ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数. g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立. 变式训练2 (1)x ＋y －3＝0 (2)满足条件的最大整数M 为4 (3)a ≥1例3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设， 每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5. 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10). (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，x ＝－253(舍去).当0<x <5时，f ′(x )<0， 当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 变式训练3 (1)2(2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大高﹤考じ试!题`库。
高三数学一轮复习导数及其应用优秀课件
课堂互动讲练
考点一 利用导数的定义求函数的导数
根据导数的定义求函数y＝f(x)在
点x0处导数的方法：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－
f(x0)；
(2)
求
平
均
变
化
率
Δy Δx
＝
f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)；
课堂互动讲练
(3)得导数 f′(x0)＝Δlxim→0 ΔΔxy.简记作： 一差、二比、三极限．
f′(x)g(x)＋f(；x)g′(x)；
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
(3)[gf((xx))]′＝
[g(x)]2
(g(x)≠0) ．
根底知识梳理
5．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝ φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有 导数y′＝f′(u)，那么复合函数y＝f(φ(x)) 在点x处也有导数，且y′x＝y′u·u′x 或写 作f′x(φ(x))f＝′(u)·φ′(x) ．
(4)(cosx)′＝ －sinx；
(5)(ex)′＝ ex；
(6)(ax)′＝ axlna (a>0且a≠1)；
(7)(lnx)′＝
1 x
；1
(8)(loga x)′ ＝ xlna (a>0 且
a≠1)．
根底知识梳理
4．导数运算法则 f′(x)±g′(x)
(1)[f(x)±g(x)]′＝ (2)[f(x)·g(x)]′＝
∴Δlixm→0 ΔΔxy＝－2x1 x＝－12x－32， 即 y′＝－12x－32.
课堂互动讲练
【规律总结】 函数的导数与导 数值的区别与联系：导数是原来函数 的导函数，而导数值是导函数在某一 点的函数值，导数值是常数．
2013届高考数学(理)一轮复习教案：第三篇 导数及其应用专题一 高考函数与导数命题动向(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第三篇导数及其应用专题一高考函数与导数命题动向高考命题分析函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一；导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思想、数学方法、能力和素质的主要阵地．高考命题特点函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择题、填空题，又有解答题．其命题特点如下：(1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖率依然没有减小．(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题，或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透．(3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活．(5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解决问题的能力和数学素养．高考动向透视函数的概念和性质函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．【示例1】►(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 法一 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选A.法二 设x ＞0，则－x ＜0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.答案 A本题考查函数的奇偶性和函数的求值，解题思路有两个：一是利用奇函数的性质，直接通过f (1)＝－f (－1)计算；二是利用奇函数的性质，先求出x ＞0时f (x )的解析式，再计算f (1)．指数函数、对数函数、幂函数指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质，以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础，也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此高考对它的考查也会适当降低难度，但它仍是高考的热点内容，重点考查对数函数的图象和性质及其应用．【示例2】►(2011·天津)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b解析因为c＝5－log30.3＝5log3103，又log23.4＞log33.4＞log3103＞1＞log43.6＞0，且指数函数y＝5x是R上的增函数，所以a＞c＞b.故选C.答案 C本题主要考查指数函数单调性的应用、对数式的大小比较．一般是利用指数函数单调性进行比较．对数式的比较类似指数式的比较，也可以寻找中间量．函数的应用函数的应用历来是高考重视的考点，新课标高考更是把这个考点放到了一个重要的位置．相对于大纲的高考，新课标高考无论在考查内容上还是力度上都有所加强，这主要体现在函数与方程方面，函数与方程已经成为新课标高考的一个命题热点，值得考生重视．【示例3】►(2011·山东)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．故选B.答案 B本小题考查对周期函数的理解与应用，考查三次方程根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题的关键是将f(x)＝x3－x进行因式分解，结合周期函数的性质求出f(x)＝0在区间[0,6]上的根，然后将方程f(x)＝0的根转化为函数图象与x轴的交点问题．导数的概念及运算从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点既在切线上又在曲线上．【示例4】►已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x －y＝0，则点P的坐标为________．解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．答案(1,0)本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力．利用导数求函数的单调区间、极值、最值从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．【示例5】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a＋3b＋4＝0②由①②解得a＝2，b＝－4. 设切线l的方程为y＝3x＋m由原点到切线l的距离为10 10，则|m|32＋1＝1010，解得m＝±1.∵切线l不过第四象限∴m＝1，由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，∴1＋a＋b＋c＝4∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x＝－2，x＝2 3.f(x)和f′(x)的变化情况如下表：在x＝23处取得极小值f⎝⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为95 27.在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．突出以函数与导数为主的综合应用高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力，体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．【示例6】►(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋ax ln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．解 (1)由f (e)＝2得b ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝－ax ＋2＋ax ln x .从而f ′(x )＝a ln x .因为a ≠0，故①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得x ＞1，由f ′(x )＜0得0＜x ＜1；②当a ＜0时，由f ′(x )＞0得0＜x ＜1，由f ′(x )＜0得x ＞1.综上，当a ＞0时，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a ＜0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a ＝1时，f (x )＝－x ＋2＋x ln x ，f ′(x )＝ln x .由(2)可得，当x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 内变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：又2－2e ＜2，所以函数f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的值域为[1,2]．据此可得，若⎩⎨⎧m ＝1，M ＝2.则对每一个t ∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点； 并且对每一个t ∈(－∞，m )∪(M ，＋∞)，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都没有公共点．综上，当a ＝1时，存在最小的实数m ＝1，最大的实数M ＝2，使得对每一个t∈[m ，M ]，直线y ＝t 与曲线y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 都有公共点．本题主要考查函数、导数等基础知识．考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．。
2013届高考数学一轮复习讲义：3[1].3_导数的综合应用
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g(x)<g(1)＝－1， ∴当 a≥－1 时，f(x)<x 在(1，＋∞)上恒成立．
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2
a 3 2 3. 设 f(x)＝ ＋xln x，g(x)＝x －x －3. x (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线方程； 述条件的最大整数 M； (3)如果对任意的 取值范围．
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3 因此 Δ＝81－12(6－m)≤0，得 m≤－ . 4 3 ∴实数 m 的最大值为－ . 4
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2
2
(2)因为当 x<1 时，f′(x)>0，当 1<x<2 时，f′(x)<0， 当 x>2 时，f′(x)>0. 5 所以当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝ －a； 2
当 x＝2 时，f(x)取极小值 f(2)＝2－a. 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时，方程 f(x)＝0 仅有一个实根， 5 解得 a<2 或 a> . 2
因此函数 f ( x) 在 x 1 处取得极大值． 所以 f ( x) 在（0，1）上单调递增；在 (1, ) 上单调递减， 所以 f ( x) 在（0，1）上单调递增；在 (1, ) 上单调递减， 因此函数 f ( x) 在 x 1 处取得极大值． 因为函数( x)(在)x在区间 (a, a 1 ) （其中 a 0 ）上存在 因此函数 ff (fx) x 1 处取得极大值． a 0 ）上存在极值， 因为函数 在区间 (a, a 1 ) （其中 2 2 1 因此函数 ff((xx))在 xx 1 处取得极大值． 在 1 处取得极大值． 因此函数a f1, x) 在区间 (a, a ) （其中 a 0 ）上存在 因为函数 ( 1, a 1 f ( x) 在区间 (解得 1 ) a2 1．0 ）上存在极值， 所以 因为函数 1 解得 ,1a a （其中 a a 1 1． 所以 a 1, 1xx2在区间 ((a,,2a 12)（其中 a 0 ）上存在极值， 因为函数(1,) 在区间 a a 2) （其中 a 0 ）上存在极值， 因为函数 ff( ) 1, aa 2 2 2 a 所以 1, 1 解得 1 a 1．
2013年高考数学一轮复习课件(理科)第四章第3讲《导数的综合应用》新人教版选修1-1
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意ff′ ′1－＝13＝a＋3a2－b＋ 2bc＋＝c0＝，0 ⇒b3＝ a＋0， c＝0. 又f′(0)＝－3，∴c＝－3，a＝1.∴f(x)＝x3－3x. (2)设切点为(x0，x30－3x0)， ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3. ∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)， 又切线过点A(2，m)， ∴m－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)． ∴m＝－2x30＋6x20－6.
图 4－3－2 解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为 a(cm)， 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15 时，S 取得最大值．
(2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)， 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0； 当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a； 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根． 解得a<2或a>52.
考点2 利用导数证明不等式问题
(2)当 a＝1 时，f′(x)＝x－x21. ∴当 x∈12，1时，f′(x)<0，故 f(x)在 x∈12，1上单调递减； 当 x∈(1,2]时，f′(x)>0，故 f(x)在 x∈(1,2]上单调递增． ∴f(x)在区间12，2上有唯一极小值点， 故 f(x)min＝f(x)极小值＝f(1)＝0.
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
高考数学一轮复习第三章导数及其应用导数的综合应用课件
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
撬点·基础点 重难点
4 撬点·基础点 重难点
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
1 利用导数证明不等式的常用技巧 (1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式． (2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证． (3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具 体问题，平时要多积累． 其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论． 2 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面， 也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
撬法·命题法 解题法
撬题·对点题 必刷题
学霸团 ·撬分法 ·高考数学·理
[解] (1)函数 f(x)＝x2＋bln (x＋1)的定义域为(－1，＋∞)①，
f′(x)＝2x＋x＋b 1＝2x2＋x＋2x1＋b，
令 g(x)＝2x2＋2x＋b，则 Δ＝22－8b，由 b>12，得 Δ<0，
即 g(x)＝2x2＋2x＋b>0 在(－1，＋∞)上恒成立，所以 f′(x)>0.
解析 构造函数 f(x)＝sinx－x，则 f′(x)＝cosx－1≤0 且不恒等于 0，故函数 f(x)在(0，π)上单调递减， 所以 f(x)<f(0)＝0，故 sinx<x.
2013届高考数学第一轮基础复习课件导数的实际应用
解析：设每件商品定价 x 元，依题意可得 利润为 L＝ x(200－ x)－ 30x＝－ x2＋ 170x(0＜x＜ 200)． L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得 x＝1270＝ 85. 因为在(0,200)内 L 只有一个极值，所以以每件 85 元 出售时利润最大．
答案：85
(理)某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为 4 元，并且每件商品需向总店交 a(1≤a≤3)元的管理费， 预计当每件商品的售价为 x(8≤x≤9)元时，一年的销售 量为(10－x)2 万件．
2．正三棱柱体积为 V，则其表面积最小时，底面边 长为( )
3 A. V
3 C. 4V
3 B. 2V D．23 V
[答案] C
[解析] 设正三棱柱底面边长为 a，高为 h，则体积 V＝ 43a2h，∴h＝ 43Va2，表面积 S＝ 23a2＋3ah＝ 23a2＋ 4 a3V，
由 S′＝ 3a－4 a32V＝0，得 a＝3 4V，故选 C.
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 耗油最少？最少为多少升？
解析：(1)当 x＝40 时，汽车从甲地到乙地行驶了14000 ＝ 2.5( 小 时 ) ， 耗 油 1281000×403－830×40＋8 ×2.5 ＝ 17.5(升)．
答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从 甲地到乙地耗油 17.5 升．
－18t3－34t2＋36t－6429
6≤t＜9；
y＝8t＋549 9≤t≤10；
－3t2＋66t－345 10＜t≤12
求从上午 6 点到中午 12 点，通过该路段用时最多的 时刻．
解析：(1)当 6≤t<9 时， y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)． 令 y′＝0 得，t＝－12(舍去)或 t＝8. 当 6≤t<8 时，y′>0，当 8<t<9 时，y′<0， ∴t＝8 时，y 有最大值 ymax＝18.75(分钟)．
高三数学一轮课件 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用
(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
(ⅱ)设a<0,由f'(x)=0,得x=1或x=ln(-2a). ①若 a=-e2,则 f'(x)=(x-1)(ex-e), 所以 f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增. ②若 a>-e2,则 ln(-2a)<1,
内单调递减,
所以当 x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.
④当 a>12时,0<21������<1,当 x∈
1 2������
,1
时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当 x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以 f(x)在 x=1 处取极大值,符合题意.
可得函数 y 在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减.
故函数 y 在 x=1 处取得极小值,也是最小值 1,即有 x-ln x>0, 即 ln x<x,即有 a≤������������2-l-n2������������. 设 φ(x)=������������2-l-n2������������,则 φ'(x)=(������-1()���(������-���l+n2������-)22ln ������). 设 h(x)=x+2-2ln x,则 h'(x)=1-���2���,
0,
1 2������
内单调递增,
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用1导数的概念意义及运算课件新人教版
导函数
f'(x)=0
f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a
f'(x)=ex
1
f'(x)=
ln
1
f'(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)±g'(x) ;
(2)[f(x)g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) ;
3.通过函数的图象直观理解导数的几何意义.
1
,y=
x
4.能根据导数的定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3, y=
x 的导数.
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单
函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数.
6.会使用导数公式表.
备考指导
导数是高中数学的重点,而求给定函数的导数则是解决导数问题的基本.复
由 f'(x)= 2 ,得 f'(2)=
.
4
.
4.函数y=sin 3x的导函数是 y'=3cos 3x .
设y=sin u,u=3x,则yx'=yu'·
ux'=(sin u)'·
(3x)'=cos u·
3=3cos 3x.
5.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
y=3x
.
由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,得k=y'|x=0=3.
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突出以函数与导数为主的综合应用
高考命题强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问 题入手，把握数学学科的整体意义，加强对知识的综合性和应 用性的考查．中学数学的内容可以聚合为数和形两条主线，其 中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识，我们可 以把方程看作函数为零，不等式看成两个函数值的大小比较、 数列、三角则是特殊的一类函数．所以，高考试题中涉及函数 的考题面很广．新课标高考对有关函数的综合题的考查，重在 对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等 式、数列、解析几何等相关知识的相互联系，要求考生具备较 高的数学思维能力和综合分析问题能力以及较强的运算能力， 体现了以函数为载体，多种能力同时考查的命题思想．
专题一 高考函数与导数命题动向
高考命题分析 函数是数学永恒的主题，是中学数学最重要的主干知识之一； 导数是研究函数的有力工具，函数与导数不仅是高中数学的核 心内容，还是学习高等数学的基础，而且函数的观点及其思想 方法贯穿于整个高中数学教学的全过程，高考对函数的考查更 多的是与导数的结合，发挥导数的工具性作用，应用导数研究 函数的性质、证明不等式问题等，体现出高考的综合热点．所 以在高考中函数知识占有极其重要的地位，是高考考查数学思 想、数学方法、能力和素质的主要阵地．
【示例 1】►(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)＝( A．－3 解析 法一 B．－1 )． C．1 D．3
∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x≤0 时，f(x)
＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.故选 A. 法二 设 x＞0， 则－x＜0， ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， x≤0 且
1 y＝f(x)x∈ e，e都有公共点？
若存在，求出最小的实数 m 和最大的实数 M；若不存在，说明 理由．
解 (1)由 f(e)＝2 得 b＝2. (2)由(1)可得 f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而 f′(x)＝aln x．因为 a≠0，故 ①当 a＞0 时，由 f′(x)＞0 得 x＞1，由 f′(x)＜0 得 0＜x＜1； ②当 a＜0 时，由 f′(x)＞0 得 0＜x＜1，由 f′(x)＜0 得 x＞1. 综上，当 a＞0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调 递减区间为(0,1)； a＜0 时， 当 函数 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．
②
10 由原点到切线 l 的距离为 ， 10 |m| 10 则 2 ＝ 10 ，解得 m＝± 1. 3 ＋1 ∵切线 l 不过第四象限∴m＝1， 由于切点的横坐标为 x＝1，∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4 ∴c＝5.
(2)由(1)可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， 2 ∴f′(x)＝3x ＋4x－4.令 f′(x)＝0，得 x＝－2，x＝3.
高考动向透视 函数的概念和性质
函数既是高中数学中极为重要的内容，又是学习高等数学的基 础．函数的基础知识涉及函数的三要素、函数的表示方法、单 调性、奇偶性、周期性等内容．纵观全国各地的高考试题，可 以发现对函数基础知识的考查主要以客观题为主，难度中等偏 下，在解答题中主要与多个知识点交汇命题，难度中等．
解
(1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 当 x＝1 时，切线 l 的斜率为 3，可得 2a＋b＝0.
2 2 当 x＝3时，y＝f(x)有极值，则 f′3＝0，可得
①
4a＋3b＋4＝0. 由①②解得 a＝2，b＝－4. 设切线 l 的方程为 y＝3x＋m
【示例 6】►(2011· 福建)已知 a，b 为常数，且 a≠0，函数 f(x) ＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28„是自然对数的底数)． (1)求实数 b 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)当 a＝1 时，是否同时存在实数 m 和 M(m＜M)，使得对每一 个 t∈[m， M]， 直线 y＝t 与曲线
指数函数、对数函数、幂函数
指数函数在新课标高考中占有十分重要的地位，因此高考对指 数函数的考查有升温的趋势，重点是指数函数的图象和性质， 以及函数的应用问题．对于幂函数应重点掌握五种常用幂函数 的图象及性质，此时，幂的运算是解决有关指数问题的基础， 也要引起重视．对数函数在新课标中适当地降低了要求，因此 高考对它的考查也会适当降低难度， 但它仍是高考的热点内容， 重点考查对数函数的图象和性质及其应用．
本小题考查对周期函数的理解与应用， 考查三次方程 根的求法、转化与化归思想及推理能力，难度较小．求解本题 的关键是将 f(x)＝x3－x 进行因式分解，结合周期函数的性质求 出 f(x)＝0 在区间[0,6]上的根，然后将方程 f(x)＝0 的根转化为 函数图象与 x 轴的交点问题．
导数的概念及运算
时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又 f(－x) ＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2 －x，∴f(1)＝－2×12 －1＝－3，故选 A. 答案 A
本题考查函数的奇偶性和函数的求值， 解题思路有两 个：一是利用奇函数的性质，直接通过 f(1)＝－f(－1)计算；二 是利用奇函数的性质， 先求出 x＞0 时 f(x)的解析式， 再计算 f(1)．
2
f(x)和 f′(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) [－3，－2) ＋ －2 0 极大值
2 －2， 3
2 3 0 极小值
2 ，1 3
－
＋
∴f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝13，
2 95 2 在 x＝ 处取得极小值 f3＝ . 3 27
【示例 5】►已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 x ＝1 处的切线 l 不过第四象限且斜率为 3，又坐标原点到切线 l 10 2 的距离为 ，若 x＝ 时，y＝f(x)有极值． 10 3 (1)求 a，b，c 的值； (2)求 y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
(3)当 a＝1 时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当 x 如下表： x f′(x) f(x) 1 e
1 ，1 e 1 在区间 e，e内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况
1 0
(1，e) ＋
e
－
2 2－ 单调递减 极小值 1 单调递增 2 e
1 2 又 2－ ＜2，所以函数 f(x)x∈e，e的值域为[1,2]．据此可得， e m＝1， 若 M＝2.
则对每一个 t∈[m，M]，直线 y＝t 与曲线 y＝
1 f(x)x∈e，e都有公共点；
并且对每一个 t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线 y＝t 与曲线 y
(4)变角度：出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问 题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大了函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使函数 考题显得新颖、生动、灵活． (5)重能力：以导数为背景与其他知识(如函数、方程、不等式、 数列等)交汇命题．利用导数解决相关问题，是命题的热点，而 且不断丰富创新．解决该类问题要注意函数与方程、转化与化 归、分类讨论等数学思想的应用．综合考查学生分析问题、解 决问题的能力和数学素养．
3 3， f′(x0)＝4x0－1＝3， 0＝1， 即 ∴x 将其代入 f(x)中可得 P(1,0)．
答案 (1,0) 本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能 力．
利用导数求函数的单调区间、极值、最值
从近两年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性和极、 最值问题已成为高考考查的热点．解决该类问题要明确：导数 为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值 点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把 极值和端点值逐一求出，比较即可．
高考命题特点 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性，既有选择 题、填空题，又有解答题．其命题特点如下： (1)全方位：近年新课标的高考题中，函数的知识点基本都有所 涉及，虽然高考不强调知识点的覆盖率，但函数知识点的覆盖 率依然没有减小．
(2)多层次：在近年新课标的高考题中，低档、中档、高档难度 的函数题都有，且题型齐全．低档难度题一般仅涉及函数本身 的内容，诸如定义域、值域、单调性、周期性、图象等，且对 能力的要求不高；中、高档难度题多为综合程度较高的试题， 或者函数与其他知识结合，或者是多种方法的渗透． (3)巧综合：为了突出函数在中学数学中的主体地位，近年高考 强化了函数与其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方 法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息 处理能力)的综合程度．
从近两年的高考试题来看，利用导数的几何意义求曲线在某点 处的切线方程是高考的热点问题，解决该类问题必须熟记导数 公式，明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，切点 既在切线上又在曲线上．
【示例 4】 ►已知点 P 在曲线 f(x)＝x4－x 上， 曲线在点 P 处的切 线平行于直线 3x－y＝0，则点 P 的坐标为________． 解析 由题意知，函数 f(x)＝x4－x 在点 P 处的切线的斜率等于
【示例 2】►(2011· 天津)已知 a＝5 则(b＝5
log43.6
1 ，c＝5log30.3，
A．a＞b＞c 解析
C．a＞c＞b
D．c＞a＞b
因为 c＝5
＝
10 ， log23.4＞log3 3.4＞log3 3 ＞ 又
1＞log43.6＞0，且指数函数 y＝5x 是 R 上的增函数，所以 a＞c ＞b.故选 C. 答案 C
1 ＝f(x)x∈e，e都没有公共点．
综上，当 a＝1 时，存在最小的实数 m＝1，最大的实数 M＝2， 使得对每一个 t∈[m， M]， 直线 y＝t 与曲线 有公共点．