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2017贵州中考专题 二次函数

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2017年贵州省贵阳市中考数学试卷-答案

2017年贵州省贵阳市中考数学试卷-答案

贵州省贵阳市2017年初中毕业生学业考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】A【解析】只有符号不同的两数互为相反数，1和1-互为相反数，故选A ． 【提示】理解相反数的概念是解答本题的关键. 【考点】相反数的概念 2．【答案】C【解析】如图，∵a b ∥，∴1=3∠∠，又3=2∠∠∴2=1=70︒∠∠，故选C ．【提示】利用角之间的关系进行转换是解答本题的关键. 【考点】平行线的性质 3．【答案】B【解析】根据科学记数法的概念，将已知的数表示成10n a ⨯的形式，其中110n <<，n 为整数，∴7 000710n =⨯，故选B ．【提示】确定a 和n 的值是用科学记数法表示数的关键，用科学记数法表示数时，先根据概念确定a 的值，再移动原数的小数点，移动的位数即为||n . 【考点】用科学记数法表示较大的数 4．【答案】D【解析】根据题意，已知图形中有一个圆柱体和一个正方体，所以它们的俯视图是一个圆和一个正方形，故选D ．【提示】熟记常见几何体的三视图是解题的关键. 【考点】立体图形的三视图 5．【答案】C【解析】根据题意，标语提示正确的有①②③⑥，共4种，而总共有6种等可能情况，概率42==63P ，故选C ．【提示】掌握概率的概念是解答本题的关键. 【考点】求随机事件的概率 6．【答案】B【解析】根据题意，点(2,8)在直线y x a =-+上，∴82a =-+，解得10a =，点(2,8)也在直线y x b =+上，82b =+，解得6b =，∴4a b -=，故选B ．【提示】因为两条直线相交于点(2,8)，所以将两个解析式组成方程，得x a a b -+=+ ，则2224a b x -==⨯=，故选B ．【考点】一次函数的性质，求代数式的值 7．【答案】A【解析】根据题意平均数(0.320.420.540.610.71)0.47x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，又根据中位数的概念，将这组数据从小到大进行排序，共有10个数据，中位数为第5个和第6个的平均数，即为0.5，故选A ． 【提示】掌握求平均数的公式和中位数的概念是解答本题的关键. 【考点】数据的平均数和中位数 8．【答案】B【解析】∵EF是AC 的垂直平分线，∴ EA EC =，∴CED △的周长6CE DE DC AE ED DC AD DC =++=++=+=，∴□ABCD 的周长为2() 2612AD DC +=⨯=，故选B ．【提示】垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距高相等：反之，到线段两个端点距离相等的点都在这条线段的垂直平分线上. 【考点】垂直平分线的性质，平行四边形的性质 9．【答案】C【解析】根据二次函数的图象，抛物线开口向上，∴0a >；抛物线与y 轴交于负半轴，∴0c <；抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->；抛物线的对称轴在x 轴的正半轴上，∴02b a ->。

2017中考数学复习----二次函数综合题

2017中考数学复习----二次函数综合题

2017中考数学复习----二次函数综合题1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b 交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1。

二次函数中考真题2017年(第1部分)

二次函数中考真题2017年(第1部分)

绝密★启用前二次函数中考真题--2017年第1部分一．解答题（共40小题）1．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．3．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．4．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．5．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；（3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c （a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围．6．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB 为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y 轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．10．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF 上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．17．如图，抛物线y=﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；=S△ABC，求∠APB的度数；（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S=S△ABD？若存在请△ABC直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．19．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i．探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii．试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．20．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】21．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．22．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．23．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF 周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．29．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明△QAB理由．30．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．31．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B 坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．33．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．34．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B （0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．35．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．36．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．37．如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？38．如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y=k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2=﹣1．解决问题：①若直线y=3x﹣1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．39．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx（a，b为常数，a≠0）经过两点A（2，4），B（4，4），交x轴正半轴于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx的解析式．（2）过点B作BD垂直于x轴，垂足为点D，连接AB，AD，将△ABD以AD为轴翻折，点B的对应点为E，直线DE交y轴于点P，请判断点E是否在抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q是线段OC（不包含端点）上一动点，过点Q垂直于x轴的直线分别交直线DP及抛物线于点M，N，连接PN，请探究：是否存在点Q，使△PMN是以PM为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数中考真题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．【分析】方法一：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取△MBC最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．方法二：（1）略．（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC ⊥BC，从而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC的面积函数，从而求出M点．【解答】方法一：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．方法二：（1）略．（2）∵y=（x﹣4）（x+1），∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），∴K AC==﹣2，K BC==，∴K AC×K BC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴l BC：y=x﹣2，设H（t，t﹣2），M（t，t2﹣t﹣2），=×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，∴S△MBC∴当t=2时，S有最大值4，∴M（2，﹣3）．【点评】考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC 的最大面积．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×∴S△PBC4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S最大值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，△PBC∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．3．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．当P在Q右边时，﹣t2+2t+3=（t﹣1）+，解得t=2或﹣，∴P（2，3），Q（1，3）（舍去）或P（﹣，﹣），Q（﹣，﹣）（舍去）．综上所述，P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及等腰三角形、平行四边形的性质，注意到△OBC是等腰直角三角形是解题的关键．4．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．【分析】（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m 的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，∵点P′与P关于原点对称，∴P′（﹣m，﹣t），∵点P′落在抛物线上，∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∴﹣4≤t＜0，∵P在抛物线上，∴t=m2﹣2m﹣3，∴m2﹣2m=t+3，∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；∴当t=﹣时，P′A2有最小值，∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，∵m＞0，∴m=不合题意，舍去，∴m的值为．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．5．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y=（k为常数，。

中考数学二次函数练习题

中考数学二次函数练习题

二次函数课前检测1. 抛物线y=﹣（x+）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（，﹣3）B ．（﹣，﹣3）C ．（，3）D ．（﹣，3）2. 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣13. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④4. （2017齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c ＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t 为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5. （2017贵州）如图，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论： ①b2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．（2）顶点式：y =a (x –h )2+k (a ，h ，k 为常数，a ≠0)，顶点坐标是(h ，k )．（3）交点式：y =a (x –x 1)(x –x 2)，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0. 三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质解析式 二次函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)对称轴x =–2b a知识梳理顶点 （–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上 开口向下 最值当x =–2ba 时， y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时， y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大 当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小 2. 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0 与y 轴负半轴相交 b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0 与x 轴有两个交点 b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a (x –h ) 2+k ，顶点坐标为(h ，k )． 2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)，当y =0时，就变成了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)． 2．ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；学#科网 （2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点； （3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．考向一 二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．学科+网2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例1 下列函数中，二次函数是 A ．y =–4x +5B ．y =x （2x –3）C ．y =（x +4）2–x 2D ．y =21x典例2 函数y =211mm x ++（）是二次函数，则m 的值是考点突破C ．–1D ．以上都不对1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是 A ．y =ax 2+bx +c B ．y =x （x –1）C ．y =21xD ．y =（x –1）2–x 22．如果y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数，那么a 的取值范围是 A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定考向二 二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3 函数y =ax 2+bx +a +b （a ≠0）的图象可能是A ．B ．C ．D ．典例4 如果二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是C．ac<0 D．bc<03．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是A．B．C．D．4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是A．a<0 B．c>0C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0考向三二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．学科#网典例5二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为A．向上B．向下C．向左D．向右典例6对于抛物线y=–（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=–2；③图象不经过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小．A．4 B．3C．2 D．16．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是A．a<0，b<0 B．a>0，b<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<07．对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x>0时，y随x的增大而增大．②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=–2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=–4，x2=–1．③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个考向四二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x–h)2+k的形式．3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典例7如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2典例8如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+22）2+22B．y=（x+2）2+2C．y=（x–22）2+22D．y=（x–2）2+28．已知抛物线C：y=x2+2x–3，将抛物线C平移得到抛物线C′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是A．将抛物线C沿x轴向右平移52个单位得到抛物线C′B．将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C′C．将抛物线C沿x轴向右平移72个单位得到抛物线C′D．将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C′9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是x 6.17 6.18 6.19y–0.03 –0.01 0.02A．–0.03<x<–0.01 B．–0.01<x<0.02典例10如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分，则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>110．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是A．–1<x<5 B．x>5C．x<–1 D．x<–1或x>511．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．考向六二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．典例11如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为A．y=5–x B．y=5–x2C．y=25–x D．y=25–x2典例12烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=–52t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为A ．y =60（300+20x ）B ．y =（60–x ）（300+20x ）C ．y =300（60–20x ）D ．y =（60–x ）（300–20x ）13．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m ，水面宽4 m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是A ．y =–2x 2B ．y =2x 2C ．y =–0.5x 2D ．y =0.5x 21．若273m y m x -=-（）是二次函数，则m 的值是 A ．±3 B ．3C ．–3D ．92．将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =x 2+5，下列叙述正确的是 A ．向上平移5个单位长度 B ．向下平移5个单位长度 C ．向左平移5个单位长度D ．向右平移5个单位长度3．二次函数y =x 2–2x +1的图象与x 轴的交点情况是达标测评A ．有一个交点B ．有两个交点C ．没有交点D ．无法确定4．二次函数y =ax 2+bx +c 与一次函数y =ax +c 在同一直角坐标系内的大致图象是A ．B ．C ．D ．5．二次函数y =（x –2）2+m 的图象如图所示，一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A （1，0）及点B （4，3），则满足kx +b ≥（x –2）2+m 的x 的取值范围是A ．1≤x ≤4B ．x ≤1C ．x ≥4D ．x ≤1或x ≥46．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合），连接AP ，作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，△PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是A ．y =–x 2+4xB ．2122y x x =-C ．2122y x x =-+D ．y =x 2–4x7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2.5 m ，水面宽度增加A．1 m B．2 mC．3 m D．6 m8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac．其中正确的结论的有A．2个B．3个C．4个D．5个9．抛物线y=（x–2）（x+3）与y轴的交点坐标是__________．10．若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用>连接）11．二次函数y=x（x–6）的图象的对称轴是__________．12．已知一个二次函数的图象经过A（1，6）、B（–3，6）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．学#科网13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？14．已知二次函数y=–12x2–x+72．（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（3）将二次函数y=–12x2的图象如何平移能得到二次函数y=–12x2–x+72的图象，请写出平移方法．1．（2017•长沙）抛物线y =2（x –3）2+4顶点坐标是 A ．（3，4） B ．（–3，4）C ．（3，–4）D ．（2，4）2．（2017•牡丹江）若抛物线y =–x 2+bx +c 经过点（–2，3），则2c –4b –9的值是 A ．5B ．–1C ．4D ．183．（2017•金华）对于二次函数y =–（x –1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是 A ．对称轴是直线x =1，最小值是2B ．对称轴是直线x =1，最大值是2C ．对称轴是直线x =–1，最小值是2D ．对称轴是直线x =–1，最大值是24．（2017•连云港）已知抛物线y =ax 2（a >0）过A （–2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>05．（2017•眉山）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2–axA ．有最大值4a B ．有最大值–4aC ．有最小值4aD ．有最小值–4a6．（2017•陕西）已知抛物线y =x 2–2mx –4（m >0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′，若点M ′在这条抛物线上，则点M 的坐标为 A ．（1，–5） B ．（3，–13）C ．（2，–8）D ．（4，–20）7．（2017•丽水）将函数y =x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是 A ．向左平移1个单位 B ．向右平移3个单位 C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位实战演练8．（2017•成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是A．abc<0，b2–4ac>0 B．abc>0，b2–4ac>0C．abc<0，b2–4ac<0 D．abc>0，b2–4ac<09．（2017•兰州）下表是一组二次函数y=x2+3x–5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y–1 –0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2+3x–5=0的一个近似根是A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.310．（2017•日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a–b+c<0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x<2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤11．（2017•邵阳）若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是__________．（写一个即可）12．（2017•锦州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①abc>0；②a=b；③a=4c–4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是__________．（只填序号即可）13．（2017•衡阳）已知函数y=–（x–1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1__________y2（填“<”“>”或“=”）．14．（2017•百色）经过A（4，0），B（–2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是__________．15．（2017•阿坝州）某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？16．（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=–x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=–x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．附：二次函数专题训练一、关于等腰三角形问题1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点(4,0)A -、(2,0)B ，交y 轴于点(0,6)C ，在y 轴上有一点(0,2)E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.2、如图，直线3y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点3+=xC（3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.二、二次函数关于垂直问题1、如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2=++经过A，By x bx c两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.26题图26题备用图2、如图，是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一交点为B，与y轴的交点为C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=32x+32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．三、二次函数关于平行四边形问题1、如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．四、二次函数关于相似问题1、如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.()y x h k所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2、如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-，并且与y 轴交于点()03，C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，直线y=-23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=-43x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．。

贵州中考数学总复习18——二次函数与几何图形综合题

贵州中考数学总复习18——二次函数与几何图形综合题

故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M，
设平移后的直线CM的解析式为y＝x＋3＋a，
将点C(1，0)代入得a＝－4，
∴直线CM的解析式为y＝x－1，与抛物线联立得
，
解得
(舍去)，
，
∴存在这样的点M，其坐标为(－4，－5)；
例2题解图②
(4)连接BC，点N是线段AB上一点，作NN′⊥x轴，试确定N点的位置，使 △ABC的面积被直线NN′分为1∶2的两部分；
S△ACG＝ AC·GG′＝ ×4×(g2＋2g－3)＝2， 解得g3＝－1＋ ，g4＝－1－ ， ∴G点坐标为(－1＋ ，－1)或(－1－ ，－1)，
综上所述，G点坐标为
，
，
；
例2题解图⑤
或
(6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，连接AP、BP，设点P的横坐标 为p，△ABP的面积为S. ①求S关于p的函数关系式； ②求当p为何值时，S有最大值，最大值是多少？
求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大
第18课时 二次函数与几何图形综合题
典例“串”考法
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交
于点C，直线y＝
1 2
x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
(1)求抛物线的解析式；
【思维教练 】
例2题解图①
解：(1)对于直线y＝ x－2，令y＝0，得x＝4，令x＝0得y＝－2， ∴点A(4，0)，点C(0，－2)，已知点B(1，0)，将A、B、C三点的坐标代入抛
例1题图⑦
解：设点Q的横坐标为q， ①当点Q在点M的上方时( <q<4)，如解图⑤， 由(6)知QM＝－ q2＋2q， MR＝－( q－2)， ∵QM＝3MP. ∴－ q2＋2q＝－3( q－2)， 解得q1＝3，q2＝4(与点A重合，舍去)． 此时点Q的坐标为(3，1)；

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1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线 y=x ﹣ 3 交于 A、 B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣ 4，﹣ 5），点 P为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A ，P， D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线 AB 下方某一处时，过点P 作 PM⊥ AB ，垂足为 M ，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点 P 的坐标．2. 在直角坐标系xoy 中， A(0, 2) 、 B( 1,0) ，将ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD .若直线 PC 将ABC 的面积分成 1: 3 两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO 、BCD 分别向下、向左以 1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO 与BCD 重叠部分面积的最大值.yACB O D x图15.13.如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠ 0) 的对称轴为直线 x＝－ 1，且经过A（ 1，0）， C（0， 3）两点，与x 轴对称轴 x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．第25 题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ax2bx 8 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，直线 l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接 CE，已知点 A， D 的坐标分别为否存在点F，使FOE ≌FCE ，若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线 PB 与直线 l 交于点 Q．试探究：当m 为何值时，OPQ 是等腰三角形．5. 如图，抛物线 y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠0）经过点 A（ 4，﹣ 5），与 x 轴的负半轴交于点 B ，与 y 轴交于点C，且 OC=5OB ，抛物线的顶点为点 D ．（ 1）求这条抛物线的表达式；（ 2）联结 AB 、BC、CD 、DA ，求四边形 ABCD 的面积；（ 3）6. 如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （9， 0）和 C （ 0， 4）． CD 垂直于 y 轴，交抛物线于点 D ， DE 垂直与 x 轴，垂足为 E ， l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（ 1）求出二次函数的表达式以及点 D 的坐标；（ 2）若 Rt △ AOC 沿 x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴 l 重合，再沿对称轴 l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得到 Rt△ A 1O1F，求此时 Rt△ A1O1F 与矩形 OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若 Rt△ AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（ 0＜ t≤6）得到 Rt△ A 2O2C2，Rt△ A 2O2C2与 Rt△ OED 重叠部分的图形面积记为S，求 S 与 t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．7.如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2， 0），点 B（4，0），点 D（ 2， 4），与 y 轴交于点 C，作直线BC ，连接 AC ， CD ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ ECD=∠ ACO的点E的坐标；（ 3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M ， N， P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax 2+bx 经过两点 A （﹣ 1， 1）， B （ 2， 2）．过点 B 作 BC∥ x存在点 M ，使得△ BCM 的面积为，求出点 M 的坐标；（ 3）连接 OA 、 OB 、OC、 AC ，在坐标平面内，求使得△ AOC 与△ OBN 相似（边 OA 与边 OB 对应）的点 N 的坐标．1.【解答】解：（ 1）∵直线y=x ﹣ 3 交于 A 、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，∴ A （0， 3），∵ B （ 4， 5），∴，∴，∴抛物 解析式 y=x 2+x 3，（ 2）存在， P （m ，m 2+m 3），（ m ＜ 0），∴ D （ m ， m 3），∴ PD=|m 2+4m|∵ PD ∥ AO ，∴当 PD=OA=3 ，故存在以 O ，A ，P ， D 点的平行四 形，∴|m 2+4m|=3，① 当 m 2+4m=3 ，∴ m 1= 2， m 2= 2+（舍），∴ m 2+m 3= 1，∴ P （ 2， 1），21212，∴ P （ 1，），② 当 m +4m= 3 ，∴ m = 1， m = 3，Ⅰ、 m =1，∴ m +m 3=Ⅱ、 m 2= 3，∴ m 2+m 3=，∴ P （ 3，），∴点 P 的坐 （ 2，1），（ 1 ，），（ 3，）．（ 3）如 ，∵△ PAM 等腰直角三角形，∴∠ BAP=45 °，∵直 AP 可以看做是直AB 点 A 逆 旋45 °所得，直 AP 解析式 y=kx 3，∵直 AB 解析式 y=x 3，∴ k==3，∴直 AP 解析式 y=3x3， 立 ，∴ x 1=0（舍） x 2=当 x= ， y= ，∴P （ ，）．2. 解析：（ 1）∵ A(0, 2)、 B( 1,0) ，将ABO 旋 、平移 化得到如 4.1所示的 BCD ，∴ BDOA 2,CD OB 1, BDCAOB 90 . ∴ C 1,1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1 分 )yA 、B 、C 三点的抛物 解析式y ax 2 bx c ，Aab c 0P EC3 1有 ab c 1 ，解得： a2 ., b,cx22B FOc 2D∴抛物 解析式y3 x 2 1 x2 .22图 4.1（ 2）如 4.1 所示， 直PC 与 AB 交于点 E . ∵直 PC 将ABC 的面 分成 1: 3 两部分，∴ AE1 或 AE 3， E 作 EF OB 于点 F ， EF ∥ OA .BE3 BE∴ BEF ∽BAO , ∴EFBE BF . ∴当 AE 1 ， EF 3BF ，AOBA BO BE 3 241∴EF3, BF 3，∴ E (1 324,) .4 2直 PC 解析式 ymx n ， 可求得其解析式 y2 x 7 ，31 272552 39∴2 ，∴（舍去），∴.xx 2xx 1, x 2 11) 25P ( ,2555 25当AE3 ，同理可得 P 2 ( 6 ,23) .BE7 49（ 3） ABO 平移的距离 ，A 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分的面 S .可由已知求出A 1B 1 的解析式 y2 x2 t ， A 1B 1 与 x 交点坐 (t2,0) .2C 1B 2 的解析式 y1 x t 1， C 1 B 2 与 y 交点坐 (0, t1) .⋯⋯⋯ (9 分 )3 222①如 4.2 所示，当0 tA 1B 1O 1 与 B 2C 1D 1 重叠部分 四 形 .，5A 1B 1 与 x 交于点 M ，C 1B 2 与 y 交于点 N ， A 1 B 1 与 C 1B 2 交于点 Q ， OQ .y 2 x2 tx4t 3y34t3 5t由11 ，得) .⋯⋯⋯⋯⋯ (10分 )t5t ，∴ Q (3,y x2 y3A 123C 1Q∴ SSQMOSQNO1 2 t5t1 (t1)3 4tNB 2 M O D 1223 22313 t 2 t 1∴ S 的最大25B 1 O 1..12452②如 4.3所示，当34， A 1B 1O 1 与图 4.2tB 2C 1D 1 重叠部分 直角三角形 .55yA 1B 1 与 x 交于点 H ，A 1B 1 与C 1D 1 交于点 G . G (1 2t, 4 5t ) ，D 1H 2 t1 2t45t2， D 1G 4 5t .A 12C 11 D 1H gD 1G 1g 4 5tg(4 5t)1(5t 4) 2∴ S.G2 2 24H∴当341 .B 2 D 1 Ot ， S 的最大55425B 1 O 1上所述，在此运 程中ABO 与 BCD 重叠部分面 的最大.52图 4.3b1,a1,2ax 23. （ 1）依 意，得a b c 0, 解之，得 b2, ∴抛物 解析式 y2x 3 ．c 3.c3.∵ 称 x ＝－ 1，且抛物 A （ 1， 0），∴ B （－ 3， 0）． xxPC 2＝ ( － 1) 2＋ (t － 3) 2＝t 2－ 6t ＋ 10.①若 B 为直角顶点，则 22222－6t ＋ 10.解之 , 得 t ＝－ 2.BC ＋ PB ＝ PC ，即 18＋ 4＋ t ＝t ②若 C 为直角顶点，则2222＋ 10＝ 2．解之，得 t ＝ 4．BC ＋ PC ＝ PB ，即 18＋ t － 6t 4＋t③若 P 为直角顶点，则222，即 4 22＋ 10＝ 18．解之，得 t 1＝ 317 ， t 2 ＝ 3 17 ．PB ＋ PC ＝ BC ＋ t ＋ t － 6t224. 解答：（ 1）抛物线 yax 2 bx 8 经过点 A （－ 2， 0）， D （6，－ 8），4a 2b 8 0 a 11 x 23x 8 2 抛物线的函数表达式为 36a 6b8解得y8b32y1 x 23x 81 x 3 225 ， 抛物线的对称轴为直线x 3．又抛物线与 x 轴交于 A ，B 两点，点 A 的222坐标为（－ 2， 0）． 点 B 的坐标为（ 8， 0）设直线 l 的函数表达式为 y kx ． 点 D （ 6，－ 8 ）在直线 l 上，6k=－ 8，解得k4y4 x 点 E 为直线 l 和抛物线对称轴的交点．点 E 的横． 直线 l 的函数表达式为33坐标为 3，纵坐标为4 4 ，即点 E 的坐标为（ 3，－ 4 ）33（ 2）抛物线上存在点 F ，使 FOE ≌ FCE ．点 F 的坐标为（ 317, 4）或（ 3 17, 4）．（ 3）解法一：分两种情况：①当 OPOQ 时， OPQ 是等腰三角形．点 E 的坐标为（ 3，－ 4）， OE 324 25 ，过点 E 作直线 ME// PB ， 交 y 轴于点 M ，交 x 轴于点 H ，则OMOE ， OM OE5OPOQ点 M 的坐标为（ 0，－ 5）．设直线 ME 的表达式为 yk x 53k5 4，解得k11 ME 的函数表达式为15，令 y=0，， ， y x11331得 x 5 0 ，解得 x=15，点 H 的坐标为（ 15， 0）3MH//PB ，OP OB ，即 m 8 ， 8又mOMOH5153②当 QO QP 时， OPQ 是等腰三角形．当 x=0 时， y1 x 23 x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8），2CE32(8 4)25 ， OE=CE ，12 ，又因为 QOQP ，13 ，38 4 ，解得 k 24，设直线交轴于点， 其函数表达式为，，23CE//PB CE x yk 2 x 8Nk 23CE 的函数表达式为y 4 x 8 ，令 y=0，得 4 x 8 0 ， x6，点 N 的坐标为（ 6， 0）3 3 CN//PB ，OP OB ，m8，解得 m 32OCON8 6 3m 的值为832时， OPQ 是等腰三角形．综上所述，当 或33解法二：当 x=0 时， y1 2 3x88 ， 点 C 的坐标为（ 0，－ 8）， 点 E 的坐标为x2（ 3 ，－ 4）， OE32 42 5 ， CE 32 (8 4)2 5 ，OE=CE ，12 ，设抛物线的对称轴交直线PB 于点 M ，交 x 轴于点 H ．分两种情况： ① 当 QOQP 时， OPQ 是等腰三角形．13 ，2 3 ， CE// PB又HM/ /y 轴， 四边形 PMEC 是平行四边形， EM CP 8 m ，HMHE EM4 ( 8 m) 4 mBH8 3 5 ， HM//y轴，BHM ∽ BOP ，HM BH4 m5m32OPBOm83②当 OP OQ 时， OPQ 是等腰三角形．EH // y 轴，OPQ ∽ EMQ ，EQ EM ， EQEMOQOPEM EQ OEOQ OE OP5 ( m) 5 m ， HM4 (5m) ，EH // y 轴，BHM ∽BOP ，HM BHOPBO1 m5 m8 当 m 的值为8 32 时， OPQ 是等腰三角形．或m83335. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx ﹣ 5 与 y 轴交于点 C ， ∴C （ 0，﹣ 5）， ∴OC=5 ． ∵ OC=5OB ， ∴OB=1 ，又点 B 在 x 轴的负半轴上， ∴ B （﹣ 1， 0）．∵ 抛物线经过点 A （ 4，﹣ 5）和点 B （﹣ 1， 0），∴，解得， ∴ 这条抛物线的表达式为 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5．（ 2）由 y=x 2﹣ 4x ﹣ 5，得顶点 D 的坐标为（ 2，﹣ 9）．连接 AC ，∵ 点 A 的坐标是（ 4，﹣ 5），点 C 的坐标是（ 0，﹣ 5）， 又S△ABC = ×4×5=10， S △ACD = ×4×4=8，∴ S 四边形 ABCD =S △ABC +S △ACD =18．（ 3）过点 C 作 CH ⊥ AB ，垂足为点 H ． ∵ S △ABC = ×AB ×CH=10 ，AB=5 ，∴ CH=2，在 RT △ BCH 中， ∠ BHC=90 °， BC=， BH==3，∴ tan ∠CBH== ．∵ 在 RT △ BOE 中， ∠ BOE=90 °， tan ∠ BEO= ，∵ ∠ BEO= ∠ ABC ， ∴，得 EO= ， ∴ 点 E 的坐标为（ 0，6. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A （﹣ 3， 0）， B （ 9， 0）和 C （ 0，4）． ∴ 设抛物线的解析式为 y=a （x+3 ）（ x ﹣ 9）， ∵ C （ 0，4）在抛物线上， ∴4=﹣ 27a ，∴ a= ， ∴ 设抛物线的解析式为 y= ﹣ （ x+3 ）（ x 9 ） = ﹣ x 2，﹣﹣ + x+4 ∵ CD 垂直于 y 轴， C （ 0 4 ∴ ﹣ x 2 x+4=4 ， ∴ x=6， ∵ D （ 6，4），， ） + （ 2）如图 1， ∵ 点 F 是抛物线 y= ﹣ x 2+x+4 的顶点，∴ F （ 3，）， ∴ FH= ， ∵GH ∥ A 1O 1，∴，∴ ， ∴ GH=1 ，∵ Rt △ A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴ S 重叠部分 =S △A1O1F ﹣S △FGH = A 1O 1×O 1F ﹣ GH ×FH= ×3×4 ﹣ ×1× = ．（ 3） ① 当 0＜ t ≤3 时，如图 2， ∵ C 2O 2∥ DE ， ∴，∴， ∴ O 2G=t ， ∴ S=S = OO 2×O 2G=t × t=t 2，△OO2G② 当 3＜ t ≤6 时，如图 3，∵ C 2 H ∥ OC ，∴，∴， ∴ C 2H= （ 6 ﹣ t ）， ∴ S=S 四边形 A2O2HG =S △A2O2C2﹣S△C2GH= OA ×OC ﹣ C 2H ×（ t ﹣3） = ×3×4﹣ × （ 6﹣ t ）（ t ﹣ 3）= t 2﹣ 3t+12∴ 当 0＜ t ≤3 时， S= t 2，当 3＜ t ≤6 时， S= t 2﹣ 3t+12．7. 解：（ 1） ∵ 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 2，0），点 B （ 4，0），点 D （ 2， 4），∴ 设抛物线解析式为 y=a （ x+2）（ x ﹣ 4）， ∴ ﹣ 8a=4， ∴ a=﹣，∴ 抛物线解析式为 y=﹣（ x+2）（ x ﹣ 4）=﹣ x 2+x+4 ；（ 2）如图 1， ① 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥ CD ，垂足为F ′，由（ 1）知， OC=4 ，∵ ∠ ACO= ∠ E ′CF ′，∴ tan ∠ ACO=tan ∠E ′CF ′，∴=，设线段 E ′F ′=h ，则 CF ′=2h ， ∴ 点 E ′（ 2h ，h+4 ）14∴ h=0 （舍） h= ∴ E ′（ 1，），② 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同 ① 的方法得， E （ 3，），点 E 的坐标为（ 1，），（3，）（ 3） ① CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点P ′P ′ P ′N ′∥ y 轴，交 BC于 N ′ P ′ P ′M ′∥ BC ，，过点 作，过点 作 交 y 轴于 M ′， ∴ 四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形， ∵ 四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴ P ′M ′=P ′N ′，过点 P ′作 P ′Q ′⊥ y 轴，垂足为 Q ′， ∵ OC=OB ，∠ BOC=90 °，∴ ∠ OCB=45 °， ∴ ∠ P ′M ′C=45 °，设点 P ′（ m ，﹣ m 2+m+4 ），在 Rt △ P ′M ′Q ′中， P ′Q ′=m ， P ′M ′= m ， ∵ B （ 4， 0）， C （0， 4），∴ 直线 BC 的解析式为 y= ﹣ x+4 ，∵ P ′N ′∥ y 轴， ∴ N ′（ m ，﹣ m+4），∴ P ′N ′=﹣ m 2+m+4 ﹣（﹣ m+4） =﹣ m 2+2m ， ∴ m= ﹣ m 2+2m ， ∴ m=0 （舍）或 m=4 ﹣ 2 ，菱形 CM ′P ′N ′的边长为 （ 4﹣ 2 ） =4﹣ 4．② CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥ CP ，交 BC 于 N ，∴ 四边形 CPMN 是平行四边形，连接PN 交 CM 于点 Q ，∵ 四边形 CPMN 是菱形， ∴ PQ ⊥ CM ， ∠ PCQ=∠ NCQ ， ∵ ∠OCB=45 °，∴ ∠ NCQ=45 ° ∴ ∠PCQ=45 ° ∴ ∠CPQ= ∠ PCQ=45° ∴ PQ=CQ， ， ， ， 设点 P （ n ，﹣ n 2+n+4）， ∴CQ=n ， OQ=n+2 ， ∴ n+4=﹣ n 2+n+4 ， ∴ n=0 （舍）， ∴ 此种情况不存在． ∴ 菱形的边长为4 ﹣ 4．8. 解：（ 1）把 A （﹣ 1，1）， B （ 2， 2）代入 y=ax 2+bx 得：，解得 ，故抛物线的函数表达式为y=x 2﹣ x ， ∵BC ∥x 轴，设 C （x 0， 2）． ∴ x 02﹣ x 0=2，解得： x 0=﹣或 x 0=2，∵ x 0＜ 0∴ C （﹣， 2）；（ 2）设 △BCM 边 BC 上的高为 h ， ∵BC= ， ∴ S △BCM =h=， ∴ h=2 ，点 M 即为抛物线上到 BC 的距离为2 的点， ∴ M 的纵坐标为 0 或 4，令 y=x 2﹣ x=0 ， 解得： x 1 =0，x 2=，∴ M 1（0，0）， M 2（， 0），令 y=x 2﹣x=4 ，解得： x 3=， x 4= ，∴ M 3（ ， 0）， M 4（， 4），综上所述： M 点的坐标为：（0， 0），（， 0），（， 0），（， 4）；（ 3）∵ A （﹣ 1， 1）， B（ 2， 2）， C（﹣， 2）， D（ 0， 2），∴ OB=2， OA=， OC=，∴ ∠ AOD= ∠ BOD=45 ° tan∠ COD=，①如图1，当△ AOC ∽ △ BON时，，∠ AOC= ∠ BON，，∴ ON=2OC=5 ，过 N 作 NE ⊥ x 轴于 E，∵ ∠ COD=45°﹣∠ AOC=45°﹣∠ BON=∠NOE，在 Rt△ NOE 中， tan∠ NOE=tan ∠ COD= ，∴ OE=4 ， NE=3，∴ N（4，3）同理可得N （3， 4）；②如图 2，当△ AOC ∽△ OBN 时，，∠ AOC=∠OBN，∴ BN=2OC=5，过 B 作 BG ⊥ x 轴于 G，过 N 作 x 轴的平行线交BG 的延长线于F，∴ NF⊥ BF，∵ ∠ COD=45 °﹣∠ AOC=45 °﹣∠ OBN= ∠NBF ，∴ tan∠NBF=tan ∠ COD= ，∴ BF=4，NF=3，∴ N （﹣ 1，﹣ 2），同理N （﹣ 2，﹣ 1），综上所述：使得△AOC与△ OBN相似（边OA 与边 OB 对应）的点N 的坐标是（ 4， 3），（ 3， 4），（﹣ 1，﹣ 2），（﹣ 2，﹣ 1）．。

贵州中考数学总复习17——二次函数的实际应用

贵州中考数学总复习17——二次函数的实际应用

考向二 每每问题——售价变化引起销量变化 1. 注意自变量x代表销售单价还是代表上涨(下降)的量； 2. 根据题意找函数关系“总利润＝(售价－成本)×销售量”，列出函数关系式； 3. 通过配方将函数关系式化为顶点式，再根据函数增减性求得最大值； 4. 若自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式可求得x的最大值，最后在确定 销售单价时注意找准基础量．
解：(1)设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝kx＋b,
则
，解得
.
∴日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y＝－x＋40；(6分)
(2) 设所获利润为W元，
则W＝(x－10)(40－x)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225，当x＝25时，W取
得最大值，最大值是225元．
∴y2＝ (x－6)2＋1，(6分) 设每千克的收益为W，则：
W＝y1－y2＝( x＋7)－[ (x－6)2＋1]＝－ (x－5)2＋ ， ∴当x＝5时，W最大值＝ . 即5月出售这种蔬菜，每千克W＝－ (4－5)2＋ ＝2， 当x＝5时，W＝－ (5－5)2＋ ＝ ，(10分) 设4月份销售了m万千克，则5月份销售了(m＋2)万千克， 由题意列方程为2m＋ (m＋2)＝22，(12分) 解得m＝4，∴m＋2＝6. 答：4、5两个月的销售量分别是4万千克和6万千克．(14分)
第17课时 二次函数的实际应用
目 录
1 典例“串”考法 2 贵州5年真题“明”考法
典例“串”考法
例 春季的周末风和日丽，小天的妈妈准备带小天去海湾公园游玩． 问题1 小天到达公园后发现，公园到处都有小商贩在卖风筝，经过与其中一名 小商贩交谈后得知，蝴蝶型风筝进价为每个10元，当售价为每个12元时，销售 量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，在小天看来，小商贩想 获得最大利润，售价应定为多少，最大利润为多少？ 解：设蝴蝶型风筝售价为x元时，小商贩获得的利润为W元， 依题意得，W＝(x－10)[180－10(x－12)]＝－10x2＋400x－3000＝－10(x－20)2＋1000， ∵a＝－10＜0，∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000. 答：当售价定为20元时，小商贩获得利润最大，最大利润是1000元．

2017年贵州省遵义市中考数学试卷(含答案解析)

2017年贵州省遵义市中考数学试卷(含答案解析)

2017年贵州省遵义市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．D．2．（3分）2017年遵义市固定资产总投资计划为2580亿元，将2580亿元用科学记数法表示为（）A．2.58×1011B．2.58×1012C．2.58×1013D．2.58×10143．（3分）把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．2a5﹣3a5=a5B．a2•a3=a6 C．a7÷a5=a2D．（a2b）3=a5b35．（3分）我市连续7天的最高气温为：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，这组数据的平均数和众数分别是（）A．28°，30°B．30°，28°C．31°，30°D．30°，30°6．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°7．（3分）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（3分）已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm29．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A．m≤B．m C．m≤D．m10．（3分）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE 的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．611．（3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（3分）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A．11 B．12 C．13 D．14二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）计算：=．14．（4分）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为．15．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．16．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）17．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．18．（4分）如图，点E，F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．三、解答题（本大题共9小题，共90分）19．（6分）计算：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．20．（8分）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．21．（8分）学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是；（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．22．（10分）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC 两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．（1）求主桥AB的长度；（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．（长度均精确到1m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）23．（10分）贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值，为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数有人；（2）关注城市医疗信息的有人，并补全条形统计图；（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是度；（4）说一条你从统计图中获取的信息．24．（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．25．（12分）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．26．（12分）边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P 与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．27．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．2017年贵州省遵义市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017•遵义）﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．D．【分析】依据相反数的定义解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：B．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．（3分）（2017•遵义）2017年遵义市固定资产总投资计划为2580亿元，将2580亿元用科学记数法表示为（）A．2.58×1011B．2.58×1012C．2.58×1013D．2.58×1014【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将2580亿用科学记数法表示为：2.58×1011．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017•遵义）把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）A．B．C．D．【分析】解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案．【解答】解：重新展开后得到的图形是C，故选C．【点评】本题主要考查了剪纸问题，培养学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．4．（3分）（2017•遵义）下列运算正确的是（）A．2a5﹣3a5=a5B．a2•a3=a6 C．a7÷a5=a2D．（a2b）3=a5b3【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方的计算法则进行解答．【解答】解：A、原式=﹣a5，故本选项错误；B、原式=a5，故本选项错误；C、原式=a2，故本选项正确；D、原式=a6b3，故本选项错误；故选：C．【点评】本题综合考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题．5．（3分）（2017•遵义）我市连续7天的最高气温为：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，这组数据的平均数和众数分别是（）A．28°，30°B．30°，28°C．31°，30°D．30°，30°【分析】根据平均数和众数的定义及计算公式分别进行解答，即可求出答案．【解答】解：数据28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°的平均数是（28+27+30+33+30+30+32）÷7=30，30出现了3次，出现的次数最多，则众数是30；故选D．【点评】此题考查了平均数和众数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，众数是一组数据中出现次数最多的数，难度不大．6．（3分）（2017•遵义）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°【分析】先根据平行线的性质，可得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∵直尺的对边平行，∴∠4=∠3=60°，又∵∠4=∠2+∠5，∠5=45°，∴∠2=60°﹣45°=15°，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．（3分）（2017•遵义）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．【解答】解：移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，合并同类项得，﹣7x≥﹣14，系数化为1得，x≤2．故其非负整数解为：0，1，2，共3个．故选B．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．8．（3分）（2017•遵义）已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm2【分析】首先根据圆锥的底面积求得圆锥的底面半径，然后代入公式求得圆锥的侧面积即可．【解答】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm，∴侧面积为3×6π=18πcm2，故选A；【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大．9．（3分）（2017•遵义）关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）A．m≤B．m C．m≤D．m【分析】利用判别式的意义得到△=32﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=32﹣4m＞0，解得m＜．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．（3分）（2017•遵义）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根据中线的性质，可得△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，△AEG的面积=，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积=×△BCE的面积=，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE 的中线，AG是△ACE的中线，∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，同理可得△AEG的面积=，△BCE的面积=×△ABC的面积=6，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，∴△AFG的面积是×3=，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．11．（3分）（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④【分析】①根据开口向下得出a＜0，根据对称轴在y轴右侧，得出b＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出c＞0，从而得出abc＜0，进而判断①错误；②由抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），即可判断②正确；③由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判断③正确；④由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判断④正确．【解答】解：①∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故②正确；③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2（a+c）+c＜0，∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正确；④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．由图可知，x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，∴4a+2b+b﹣a＜0，∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3分）（2017•遵义）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A．11 B．12 C．13 D．14【分析】根据角平分线的性质即可得出==，结合E是BC中点，即可得出=，由EF∥AD即可得出==，进而可得出CF=CA=13，此题得解．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，AB=11，AC=15，∴==．∵E是BC中点，∴==．∵EF∥AD，∴==，∴CF=CA=13．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出=是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2017•遵义）计算：=3．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．【解答】解：=2+=3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简与合并．14．（4分）（2017•遵义）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为1800°．【分析】先利用多边形的外角和等于360度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．【解答】解：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理为（n﹣2）•180 （n ≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．15．（4分）（2017•遵义）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．【分析】根据按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，可得第n个数为，据此可得第100个数．【解答】解：按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律，第n个数为，∴当n=100时，=，即这列数中的第100个数是，故答案为：．【点评】本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是找出变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．16．（4分）（2017•遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有46两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．【解答】解：设有x人，依题意有7x+4=9x﹣8，解得x=6，7x+4=42+4=46．答：所分的银子共有46两．故答案为：46．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中所分的银子的总两数相等的等量关系列出方程，再求解．17．（4分）（2017•遵义）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．【分析】连接OD，作OE⊥CD于E，由垂径定理得出CE=DE，证明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．【解答】解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE=DE，∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出DE 是解决问题的关键．18．（4分）（2017•遵义）如图，点E ，F 在函数y=的图象上，直线EF 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且BE ：BF=1：3，则△EOF 的面积是 ．【分析】证明△BPE ∽△BHF ，利用相似比可得HF=4PE ，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E 点坐标为（t ，），则F 点的坐标为（3t ，），由于S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，S △OFD =S △OEC =1，所以S △OEF =S 梯形ECDF ，然后根据梯形面积公式计算即可．【解答】解：作EP ⊥y 轴于P ，EC ⊥x 轴于C ，FD ⊥x 轴于D ，FH ⊥y 轴于H ，如图所示：∵EP ⊥y 轴，FH ⊥y 轴，∴EP ∥FH ， ∴△BPE ∽△BHF ，∴=，即HF=3PE ，设E 点坐标为（t ，），则F 点的坐标为（3t ，）， ∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =×2=1，∴S △OEF =S 梯形ECDF =（+）（3t ﹣t ）=； 故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，共90分）19．（6分）（2017•遵义）计算：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017 =2+1﹣2﹣1 =0【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（8分）（2017•遵义）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x 的值代入求值．【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【解答】解：（﹣）÷=[﹣）÷=（﹣）÷=×=x+2，∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x=1代入，原式=3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．21．（8分）（2017•遵义）学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽2个，豆沙粽1个，肉粽1个（粽子外观完全一样）．（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是；（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到两个白粽子的概率．【分析】（1）由甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，根据概率公式求解可得；（2）根据题意画出树状图，由树状图得出一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵甲盘中一共有4个粽子，其中豆沙粽子只有1个，∴小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：由树状图可知，一共有16种等可能结果，其中恰好取到两个白粽子有4种结果，∴小明恰好取到两个白粽子的概率为=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（10分）（2017•遵义）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′．（1）求主桥AB的长度；（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长．（长度均精确到1m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）【分析】（1）在Rt△ABP中，由AB=可得答案；（2）由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194，再证△PBD是等边三角形得DB=PB=194m，根据BC=可得答案．【解答】解：（1）由题意知∠ABP=30°、AP=97，∴AB====97≈168m，答：主桥AB的长度约为168m；（2）∵∠ABP=30°、AP=97，∴PB=2PA=194，又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，∴∠DBP=∠DPB=60°，∴△PBD是等边三角形，∴DB=PB=194，在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，∴BC==≈32，答：引桥BC的长约为32m．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和三角函数的定义是解题的关键．23．（10分）（2017•遵义）贵州省是我国首个大数据综合试验区，大数据在推动经济发展、改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值，为创建大数据应用示范城市，我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查（被调查者每人限选一项），下面是部分四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次参与调查的人数有1000人；（2）关注城市医疗信息的有150人，并补全条形统计图；（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是144度；（4）说一条你从统计图中获取的信息．【分析】（1）由C类别人数占总人数的20%即可得出答案；（2）根据各类别人数之和等于总人数可得B类别的人数；（3）用360°乘以D类别人数占总人数的比例可得答案；（4）根据条形图或扇形图得出合理信息即可．【解答】解：（1）本次参与调查的人数有200÷20%=1000（人），故答案为：1000；（2）关注城市医疗信息的有1000﹣（250+200+400）=150人，补全条形统计图如下：故答案为：150；（3）扇形统计图中，D部分的圆心角是360°×=144°，故答案为：144；（4）由条形统计图可知，市民关注交通信息的人数最多．【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24．（10分）（2017•遵义）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．（1）求证：四边形ACBP是菱形；（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．【分析】（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）连接AO，BO，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°，∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP，同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四边形ACBP是菱形；（2）连接AB交PC于D，∴AD⊥PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD=OA=，∴PD=，∴PC=3，AB=，∴菱形ACBP的面积=AB•PC=．【点评】本题考查了切线的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．25．（12分）（2017•遵义）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．【分析】问题1：设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，根据成本共计7500元，列方程求解即可；问题2：根据两个街区共有15万人，列出分式方程进行求解并检验即可．【解答】解：问题1设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得50x+50（x+10）=7500，解得x=70，∴x+10=80，答：A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2由题可得，×1000+×1000=150000，解得a=15，经检验：a=15是所列方程的解，故a的值为15．【点评】本题主要考查了一元一次方程以及分式方程的应用，解题时注意：列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．26．（12分）（2017•遵义）边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△BAP≌△BCQ可得结论；（2）如图1证明△APB∽△CEP，列比例式可得y与x的关系式，根据CE=BC计算CE的长，即y的长，代入关系式解方程可得x的值；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四点共圆，得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得结论．如图4，当F在AD的延长线上时，同理可得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠ABC=90°．∴∠ABC=∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ=AP；（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，∵DC=AD=2，由勾股定理得：AC==4，∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴，∴，∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），由CE=BC==，∴y=﹣x=，x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，∴当x=3或1时，CE=BC；（3）解：结论：PF=EQ，理由是：如图3，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．当F在AD的延长线上时，如图4，同理可得：PF=PG=EQ．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆的性质和判定、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．27．（14分）（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之。

2017中考数学二次函数压轴题[含答案解析]

2017中考数学二次函数压轴题[含答案解析]

二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示的长．（3）在（2）的条件下，连接、，是否存在m，使△的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段下方的抛物线上一点，求△的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2经过点A（3，0）、B （0，﹣3），点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接、，当线段最长时，求△的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形′A′B的两条性质．5．如图，抛物线2﹣2的顶点A在直线l：﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．周长类6．如图，△的两直角边、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线2经过点B，且顶点在直线上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△沿x轴向右平移得到△，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接，已知对称轴上存在一点P使得△的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥交x轴于点N，连接、，设的长为t，△的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，4，将线段绕点O顺时针旋转120°至的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线2﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线2﹣﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．综合类10．如图，已知抛物线2的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作∥y轴交直线于点N，求的最大值；（3）在（2）的条件下，取得最大值时，若点P是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1，△的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线2（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且．（1）求直线的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△∽△；（4）在（3）的条件下，若点P是线段上的动点，点F是线段上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线23与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线的下方，试求△的最大面积与E点的坐标．14．如图，已知抛物线﹣x24与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式与它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接、并求线段所在直线的解析式；（3）试判断△与△是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在坐标系中，△是等腰直角三角形，∠90°，A（1，0），B（0，2），抛物线2﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．山水是一部书，枝枝叶叶的文字间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。

(完整版)2017年贵州省贵阳市中考数学试卷及解析

(完整版)2017年贵州省贵阳市中考数学试卷及解析

2017年贵州省贵阳市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，互为相反数的是（）A．1与﹣1 B．1与﹣2 C．3与﹣2 D．﹣1与﹣22．（3分）如图，a∥b，∠1=70°，则∠2等于（）A．20°B．35°C．70°D．110°3．（3分）生态文明贵阳国际论坛作为我国目前唯一以生态文明为主题的国家级国际性论坛，现已被纳入国家“一带一路”总体规划，持续四届的成功举办，已相继吸引近7000名各国政要及嘉宾出席，7000这个数用科学记数法可表示为（）A．70×102B．7×103C．0.7×104D．7×1044．（3分）如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是（）A． B．C．D．5．（3分）某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池，小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）若直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（3分）贵阳市“阳光小区”开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上月的用水量进行比较，统计出节水情况如下表：节水量（m3）0.3 0.4 0.5 0.6 0.7家庭数（个） 2 2 4 1 1那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数和中位数分别是（）A．0.47和0.5 B．0.5和0.5 C．0.47和4 D．0.5和48．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．249．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c ＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④10．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A．12 B．18 C．24 D．48二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为．12．（4分）方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是．13．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．14．（4分）袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有个．15．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，共100分）16．（8分）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步（1）小颖的化简过程从第步开始出现错误；（2）对此整式进行化简．17．（10分）2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a=，b=；（结果保留整数）（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与2016年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议．18．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE 并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．19．（10分）2017年5月25日，中国国际大数据产业博览会在贵阳会展中心开幕，博览会设了编号为1～6号展厅共6个，小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅：第一天从6个展厅中随机选择一个，第二天从余下的5个展厅中再随机选择一个，且每个展厅被选中的机会均等．（1）第一天，1号展厅没有被选中的概率是；（2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号展厅被选中的概率．20．（8分）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．21．（10分）“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．（1）求小张跑步的平均速度；（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．22．（10分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（3）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．23．（10分）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x 轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？24．（12分）（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．25．（12分）我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．2017年贵州省贵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）【考点】14：相反数．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：1与﹣1互为相反数，故选A．【点评】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．2．（3分）【考点】JA：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据对顶角相等求解．【解答】解：∵a∥b，∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．3．（3分）【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7000有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．【解答】解：7000=7×103．故选：B．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答即可．【解答】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个矩形，故选：D．【点评】本题考查的是几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．5．（3分）【考点】X4：概率公式．【分析】先找出正确的纸条，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，∴抽到内容描述正确的纸条的概率是=；故选C．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（3分）【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】把（2，8）代入y=﹣x+a和y=x+b，即可求出a、b，即可求出答案．【解答】解：∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），∴8=﹣2+a，8=2+b，解得：a=10，b=6，∴a﹣b=4，故选B．【点评】本题考查了两直线的交点问题，能求出a、b的值是解此题的关键．7．（3分）【考点】W4：中位数；W2：加权平均数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．【解答】解：这10个数据的平均数为=0.47，中位数为=0.5，故选：A【点评】本题考查了中位数的定义：把一组数据按从小到大（或从大到小）排列，最中间那个数（或最中间两个数的平均数）叫这组数据的中位数．8．（3分）【考点】L5：平行四边形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB，AD=BC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．9．（3分）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键．10．（3分）【考点】KQ：勾股定理．【分析】根据已知条件得到AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE=AD，AE=CD=3，由已知条件得到∠BAE=90°，根据勾股定理得到BE==2，于是得到结论．【解答】解：∵S1=3，S3=9，∴AB=，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE==2，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4，∴S2=（4）2=48，故选D．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为x≤2．【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．故答案为：x≤2．【点评】本题考查了在数轴表示不等式的解集，运用数形结合的思想是解答此题的关键．12．（4分）【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法.【分析】先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x﹣3）（x﹣9）=0，x﹣3=0，x﹣9=0，x1=3，x2=9，故答案为：x1=3，x2=9．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．13．（4分）【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．【解答】解：连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM==30°，∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3；故答案为：3．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．14．（4分）【考点】X8：利用频率估计概率．【分析】首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球约有多少个．【解答】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球，∴摸到红球的频率==0.3，∵袋子中有红球、白球共10个，∴这个袋中红球约有10×0.3=3个，故答案为：3．【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（4分）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】连接CE，根据折叠的性质可知A′E=1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，再利用三角形的三边关系可得出点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E=﹣1，此题得解．【解答】解：连接CE，如图所示．根据折叠可知：A′E=AE=AB=1．在Rt△BCE中，BE=AB=1，BC=3，∠B=90°，∴CE==．∵CE=，A′E=1，∴点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及三角形的三边关系，利用三角形的三边关系可得出点A′在CE上时，A′C取最小值是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共100分）16．（8分）【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式．【分析】（1）注意去括号的法则；（2）根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．【解答】解：（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，故答案为一；（2）解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x=2xy﹣1．【点评】本题考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．17．（10分）【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据2016年全年总天数为：125+225+14+1+1=366（天），即可得到结论；（3）首先求得2016年贵阳市空气质量优良的优良率为×100%≈95.6%，与今年前5 个月贵阳市空气质量优良率比较即可．【解答】解：（1）a=×3.83%=14，b=﹣14﹣225﹣1﹣1=125；故答案为：14，125；（2）因为2016年全年总天数为：125+225+14+1+1=366（天），则360°×=123°，所以空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数为123°；（3）2016年贵阳市空气质量优良的优良率为×100%≈95.6%，∵94%＜95.6%，∴与2016年全年的优良相比，今年前5 个月贵阳市空气质量优良率降低了，建议：低碳出行，少开空调等．【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．18．（10分）【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．19．（10分）【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】（1）根据有6个展厅，编号为1～6号，第一天，抽到1号展厅的概率是，从而得出1号展厅没有被选中的概率；（2）根据题意先列出表格，得出所有可能的数和两天中4号展厅被选中的结果数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：第一天，1号展厅没有被选中的概率是：1﹣=；故答案为：；（2）根据题意列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）由表格可知，总共有30种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，两天中4号展厅被选中的结果有10种，所以，P（4号展厅被选中）==．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】延长AD交BC所在直线于点E．解Rt△ACE，得出CE=AE•tan60°=15米，解Rt △ABE，由tan∠BAE==，得出∠BAE≈71°．【解答】解：延长AD交BC所在直线于点E．由题意，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠AEB=90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=AE•tan60°=15米．在Rt△ABE中，tan∠BAE==，∴∠BAE≈71°．答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．21．（10分）【考点】B7：分式方程的应用．【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据时间=路程÷速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据题意得：﹣=4，解得：x=210，经检验，x=210是原方程组的解．答：小张跑步的平均速度为210米/分钟．（2）小张跑步到家所需时间为2520÷210=12（分钟），小张骑车所用时间为12﹣4=8（分钟），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据时间=路程÷速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，列式计算．22．（10分）【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAB=30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°；（2）由（1）知，∠AOD=60°，∵OA=OD，AB=4，∴△AOD是等边三角形，OA=2，∵DE⊥AO，∴DE=，∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2=π﹣．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），∴m=2×1+6=8，∴A（1，8），∵反比例函数经过点A（1，8），∴8=，∴k=8，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），∵0＜n＜6，∴＜0，∴S△BMN=×（||+||）×n=×（﹣+）×n=﹣（n﹣3）2+，∴n=3时，△BMN的面积最大．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型．24．（12分）【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．25．（12分）【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（﹣2，0）和（﹣1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），把顶点坐标代入y=﹣2x，得出﹣=﹣2×（﹣），即可求出b的值；（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，根据（2）的结论可知，b=4或b=0．①当b=0时，不合题意舍去；②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为A n（﹣n，2n），则D n（﹣3n，2n），因为以A n为顶点的抛物线不可能经过点D n，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点D n，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是A n+k（﹣n﹣k，2n+2k），根据﹣=﹣n﹣k，得出a==﹣，即第n+k 条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，根据D n（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，进而求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点（﹣2，0）和（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y=﹣3x2﹣6x；（2）∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（﹣，﹣），且该点在直线y=﹣2x上，∴﹣=﹣2×（﹣），∵a≠0，∴﹣b2=4b，解得b1=﹣4，b2=0；（3）这组抛物线的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，由（2）可知，b=4或b=0．①当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；②当b=﹣4时，抛物线的表达式为y=ax2﹣4x．由题意可知，第n条抛物线的顶点为A n（﹣n，2n），则D n（﹣3n，2n），∵以A n为顶点的抛物线不可能经过点D n，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点D n，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是A n+k（﹣n﹣k，2n+2k），∴﹣=﹣n﹣k，∴a==﹣，∴第n+k条抛物线的表达式为y=﹣x2﹣4x，∵D n（﹣3n，2n）在第n+k条抛物线上，∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，∵n，k为正整数，且n≤12，∴n1=5，n2=10．当n=5时，k=4，n+k=9；当n=10时，k=8，n+k=18＞12（舍去），∴D5（﹣15，10），∴正方形的边长是10．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等知识，有一定难度．设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点D n，用含n的代数式表示D n的坐标以及用含n、k的代数式表示第n+k条抛物线是解题的关键．。

2017年贵州省贵阳市中考数学试卷(含答案及过程详解)

2017年贵州省贵阳市中考数学试卷(含答案及过程详解)

2017年贵阳市初中毕业生学业（升学）考试数学科试题特别提示:1.本卷为数学试题单，考试时间120分钟。

2.考试采用闭卷形式，用笔在特制答题卡上答题，不能在本题单上作答。

3.答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单各题的编号在答题卡上找到答题的对应位置，用规定的笔进行填涂和书写。

一、选择题1.在1、﹣1、3、﹣2这四个数中，互为相反数的是（）A. 1与﹣1B. 1与﹣2C. 3与﹣2D. ﹣1与﹣22.如图，a∥b，∠1=70°，则∠2等于（）A. 20°B. 35°C. 70°D. 110°3.生态文明贵阳国际论坛作为我国目前唯一以生态文明为主题的国家级国际性论坛，现已被纳入国家“一带一路”总体规划，持续四届的成功举办，已相继吸引近7000名各国政要及嘉宾出席，7000这个数用科学记数法可表示为（）A. 70×102B. 7×103C. 0.7×104D. 7×1044.如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是（）A. B. C. D.5.某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池．小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的纸条的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 23 D. 166.若直线y=﹣x+a 与直线y=x+b 的交点坐标为（2，8），则a ﹣b 的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 87.贵阳市“阳光小区”开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上个月的用水量进行比较，统计出节水情况如表：那么这10个家庭的节水量（m 3）的平均数和中位数分别是（ ）A. 0.47和0.5B. 0.5和0.5C. 0.47和4D. 0.5和48.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，若△CED 的周长为6，则▱ABCD 的周长为（ ）A. 6B. 12C. 18D. 249.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④﹣ b2a ＜0，正确的是（ ）A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④10.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3 ， 若S 1=3，S 3=9，则S 2的值为（ ）A. 12B. 18C. 24D. 48二、填空题11.关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为________．12.方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是________．13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为________．14.袋子中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有________个．15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF 沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．三、解答题16.下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步（1）小颖的化简过程从第________步开始出现错误；（2）对此整式进行化简．17.2017年6月2日，贵阳市生态委发布了《2016年贵阳市环境状况公报》，公报显示，2016年贵阳市生态环境质量进一步提升，小颖根据公报中的部分数据，制成了下面两幅统计图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a=________，b=________；（结果保留整数）（2）求空气质量等级为“优”在扇形统计图中所占的圆心角的度数；（结果精确到1°）（3）根据了解，今年1～5月贵阳市空气质量优良天数为142天，优良率为94%，与2016年全年的优良率相比，今年前五个月贵阳市空气质量的优良率是提高还是降低了？请对改善贵阳市空气质量提一条合理化建议．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．19.2017年5月25日，中国国际大数据产业博览会在贵阳会展中心开幕，博览会设了编号为1～6号展厅共6个，小雨一家计划利用两天时间参观其中两个展厅：第一天从6个展厅中随机选择一个，第二天从余下的5个展厅中再随机选择一个，且每个展厅被选中的机会均等．（1）第一天，1号展厅没有被选中的概率是________；（2）利用列表或画树状图的方法求两天中4号展厅被选中的概率．20.贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．21.“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市观山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．（1）求小张跑步的平均速度；（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．22.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．23.如图，直线y=2x+6与反比例函数y= k（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于xx轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？24.综合题（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．25.我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．参考答案及过程详解一、选择题1.【答案】A【解析】【解答】1与﹣1互为相反数，故答案为：A．【分析】本题主要考查了互为相反数的定义，根据互为相反数定义进行判别即可.2.【答案】C【解析】【解答】∵a∥b，∠1=70°，∴∠3=∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，故答案为：C．【分析】先由平行线的性质得到∠3=∠1=70°，再根据等量代换即可得到∠2的值.3.【答案】B【解析】【解答】7000=7×103．故答案为：B．【分析】本题考查的是科学记数法法，利用科学记数法应用先确定n的值，由于7000有4位，所以可以确定n=4-1=3即可．4.【答案】D【解析】【解答】水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个矩形，故答案为：D．【分析】根据三视图的定义进行判别即可得到所求的答案.5.【答案】C【解析】【解答】解：∵共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，∴抽到内容描述正确的纸条的概率是46= 23；故答案为：C．【分析】本题考查了概率的知识．应用：概率=所求情况数与总情况数之比．先找找出正确的纸条，再根据概率公式即可得出所求结论．6.【答案】B【解析】【解答】∵直线y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），∴8=﹣2+a，8=2+b，解得：a=10，b=6，∴a﹣b=4，故答案为：B．【分析】把y=﹣x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8）分别代入y=﹣x+a和直线y=x+b求出a，b的值即可.7.【答案】A=0.47，【解析】【解答】这10个数据的平均数为0.3×2+0.4×2+0.5×4+0.6×1+0.7×110=0.5，中位数为0.5+0.52故答案为：A.【分析】根据平均数和中位数计算方法进行计算，即得到求结论.8.【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12；故答案为：B．【分析】先由平行四边形的性质得到DC=AB，AD=BC，再由垂直平分线性质得到AE=CE，即可得到▱ABCD 的周长.9.【答案】C【解析】【解答】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣b＞0，结论④错误．2a故答案为：C．【分析】根据二次函数与系数的关系分别进行判别即可得出结论．10.【答案】D【解析】【解答】∵S1=3，S3=9，∴AB= √3，CD=3，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，AE=CD=3，∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AEB+∠ABC=90°，∴∠BAE=90°，∴BE= √AB2+AE2=2 √3，∵BC=2AD，∴BC=2BE=4 √3，∴S2=（4 √3）2=48，故答案为：D．【分析】根据已知条件，再过A作AE∥CD交BC于E，由平行线的性质得到∠AEB=∠DCB，再根据平行四边形的性质得CE=AD，AE=CD=3，∠BAE=90°，最后根据勾股定理得到于是得到答案．二、<b >填空题11.【答案】x≤2【解析】【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．故答案为：x≤2．【分析】本题主要考查了数轴上表示不等式的解集。

2017中考数学二次函数专题

2017中考数学二次函数专题

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部份 基础知识1.概念：一样地，若是c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的极点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔极点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔极点为其最高点.（3）极点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方式可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一样，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、极点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.专门地，y 轴记作直线0=x .7.极点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，若是二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是极点的位置不同. 8.求抛物线的极点、对称轴的方式（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴极点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方式：运用配方的方式，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，取得极点为(h ,k)，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，因此对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是极点.用配方式求得的极点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 一起决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右边.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线通过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右边，那么 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特点如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一样式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一样式. （2）极点式：()k h x a y +-=2.已知图像的极点或对称轴，通常选择极点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情形能够由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（极点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，那么横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数量来确信：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：假设抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部份 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的极点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如下图，那么以下结论正确的选项是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF只是A 、B ），设E 到BC 的距离为，那么的面积关于的函数的图象大致为（ Ｄ ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴别离交于A 、B 两点，那么AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），那么关于以下结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）假设该抛物线过点B ，且它的极点P 在直线b x y +-=2上，试确信这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，假设抛物线的对称轴恰好于C 点，试确信直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.极点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值别离为5,3-,4-．第9题（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出那个二次函数的图象,并依照图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如下图.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物爱好小组在四天的实验研究中发觉：骆驼的体温会随外部环境温度的转变而转变，而且在这四天中每日夜的体温转变情形相同．他们将一头骆驼前两日夜的体温转变情形绘制成以下图．请依照图象回答： ⑴第一天中，在什么时刻范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时刻?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶爱好小组又在研究中发觉，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是不是存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．假设存在，请求出a 的值；假设不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标别离为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标别离为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）假设抛物线与x 轴的两个交点A 、B 别离在原点的双侧，而且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，假设抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，而且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 那么x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，那么N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在知足条件中的两点M 、N. ∴2a m =-这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，若是点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是不是存在点P ，使△APE 的周长最小?假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．NMCx y O（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如下图．（1）求二次函数的解析式及抛物线极点M 的坐标．（2）假设点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右边的抛物线上是不是存在点P ，使△PAC 为直角三角形?假设存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个极点成为矩形一边的两个极点，第三个极点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的极点坐标（不需要计算进程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ． 其极点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，那么22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情形讨论：i ）假设∠PAC ＝90°，那么222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）假设∠PCA ＝90°，那么222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观看得，当点P 在对称轴右边时，AC PA >，因此边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，现在未知极点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个极点，第三个极点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，现在未知极点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象通过点（1，－1）．求那个二次函数的解析式，并判定该函数图象与x 轴的交点的个数．解：依照题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 那个二次函数解析式是22-x y ＝．因为那个二次函数图象的开口向上，极点坐标是（0，－2），因此该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形能够近似看做抛物线的一部份．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，成立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部份抛物线为图象的函数解析式，写出函数概念域； （2）若是DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精准到1米）．解：（1）由于极点C 在y 轴上，因此设以这部份抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 因此109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 因此109125182092＋－x =，得245±＝x ． 因此点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 因此225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象通过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）若是线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，若是b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），那么210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 因此当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－．∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 通过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，假设∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）假设延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判定直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 别离与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设通过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。

中考数学总复习(贵阳专版)课件 3.第五节 二次函数的图

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2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
Jie Shu Yu 如专版）
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2017贵州黔西南州中考数学解析

2017贵州黔西南州中考数学解析

2017年贵州省黔西南州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（2017贵州黔西南州，1，4）﹣2017的相反数是（）A．﹣2017 B．2017 C．﹣12017D．12017【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣2017的相反数是2017，故选：B．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（2017贵州黔西南州，2，4）在下列四个交通标志图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义解答．【解答】解：“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，符合这一要求的只有B．故选B．【点评】本题考查了轴对称图形的定义，要知道“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”．3．（2017贵州黔西南州，3，4）已知甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2=0.035，则（）A．甲的成绩比乙的成绩更稳定B．乙的成绩比甲的成绩更稳定C．甲、乙两人的成绩一样稳定D．甲、乙两人的成绩稳定性不能比较【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【解答】解：∵甲、乙两同学1分钟跳绳的平均数相同，若甲同学1分钟跳绳成绩的方差S甲2=0.006，乙同学1分钟跳绳成绩的方差S乙2=0.035，∴S甲2＜S乙2=0.035，∴甲的成绩比乙的成绩更稳定．故选A．【点评】本题考查方差、算术平均数等知识，解题的关键是理解方差的意义，记住方差越小稳定性越好．4．（2017贵州黔西南州，4，4）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．【解答】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选：D．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．（2017贵州黔西南州，5，4）下列各式正确的是（）A ．（a ﹣b ）2=﹣（b ﹣a ）2B ．1x =x ﹣3C ．a 2+1a+1=a +1 D ．x 6÷x 2=x 3【分析】根据完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法，即可解答．【解答】解：A 、（a ﹣b ）2=（b ﹣a ）2，故错误； B 、正确；C 、a 2+1a+1不能再化简，故错误；D 、x 6÷x 2=x 4，故错误；故选：B ．【点评】本题考查了完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法，解决本题的关键是熟记完全平分公式、负整数指数幂、同底数幂的除法的法则．6．（2017贵州黔西南州，6，4）一个不透明的袋中共有20个球，它们除颜色不同外，其余均相同，其中：8个白球，5个黄球，5个绿球，2个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．23B ．110 C ．15 D ．14【分析】让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率． 【解答】解：∵20个球中红球有2个， ∴任意摸出一个球是红球的概率是220=110， 故选：B ．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=mn．7．（2017贵州黔西南州，7，4）四边形ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ，则下列结论中错误的是（ ） A ．∠A=∠C B ．AD ∥BCC ．∠A=∠BD ．对角线互相平分【分析】由AB=CD ，AB ∥CD ，推出四边形ABCD 是平行四边形，推出∠DAB=∠DCB ，AD ∥BC ，OA=OC ，OB=OD ，由此即可判断． 【解答】解：如图，∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴选项A、B、D正确，故选C【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2017贵州黔西南州，8，4）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2∴x=2，∴CD=2，故选（C）【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．9．（2017贵州黔西南州，9，4）如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（）A．71 B．78 C．85 D．89【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．【解答】解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8=89．故选D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．10．（2017贵州黔西南州，10，4）如图，点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB=2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y=kx图象上移动，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，可设A（x，1x），由条件证得△AOC∽△OBD，从而可表示出B点坐标，则可求得得到关于k的方程，可求得k的值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=1x（x＞0）上的一个动点，∴可设A（x，1x ），∴OC=x，AC=1 x ，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB=2OA，∴ACOD =OCBD=AOBO=12，∴OD=2AC=2x，BD=2OC=2x，∴B（﹣2x，2x），∵点B反比例函数y=kx图象上，∴k=﹣2x•2x=﹣4，故选A ．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A 点坐标表示出B 点坐标是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（2017贵州黔西南州，11，3）计算：（﹣12）2= 14 ．【分析】本题考查有理数的乘方运算，（﹣12）2表示2个（﹣12）的乘积．【解答】解：（﹣12）2=14．故答案为：14．【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．12．（2017贵州黔西南州，12，3）人工智能AlphaGo ，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石和我国选手柯洁而声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个近千年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为 2.0×107 （精确到百万位）．【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【解答】解：“两千万”精确到百万位，用科学记数法表示为2.0×107， 故答案为：2.0×107．【点评】本题考查的是科学记数法的应用，掌握科学记数法的计数规律，理解近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位是解题的关键．13．（2017贵州黔西南州，13，3）不等式组{x+2＞12x−1≤8−x的解集是﹣1＜x ≤3．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解答】解：{x+2＞1①2x−1≤8−x②，解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得x≤3．故不等式组的解集为﹣1＜x≤3．故答案为：﹣1＜x≤3．【点评】考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．（2017贵州黔西南州，14，3）若一组数据3，4，x，6，8的平均数为5，则这组数据的众数是4．【分析】先根据平均数的计算方法求出x，然后根据众数的定义求解．【解答】解：根据题意得（3+4+x+6+8）=5×5，解得x=4，则这组数据为3，4，4，6，8的平均数为5，所以这组数据的众数是4．故答案为4．【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了平均数的定义．15．（2017贵州黔西南州，15，3）已知关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，则m的取值范围是m＜1．【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出△=4m﹣4＜0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣（m﹣2）=0没有实数根，∴△=22+4（m﹣2）=4m﹣4＜0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．16．（2017贵州黔西南州，16，3）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD=25度．【分析】要求∠BCD的度数，只需根据平行线的性质求得∠B的度数．显然根据三角形的内角和定理就可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=65°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣65°=25°．∵AB∥CD，∠BCD=∠ABC=25°．【点评】本题考查了平行线性质的应用，锻炼了学生对所学知识的应用能力．17．（2017贵州黔西南州，17，3）函数y=√x−1的自变量x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为x≥1．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．18．（2017贵州黔西南州，18，3）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是15．【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．【解答】解：当腰为3时，3+3=6，∴3、3、6不能组成三角形；当腰为6时，3+6=9＞6，∴3、6、6能组成三角形，该三角形的周长为=3+6+6=15．故答案为：15．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．19．（2017贵州黔西南州，19，3）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是94cm．【分析】设EF=FD=x，在RT△AEF中利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∵AE=EB=3，EF=FD，设EF=DF=x．则AF=6﹣x，在RT△AEF中，∵AE2+AF2=EF2，∴32+（6﹣x ）2=x 2，∴x=154， ∴AF=6﹣154=94cm ，故答案为94．【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题，属于中考常考题型．20．（2017贵州黔西南州，20，3）如图，图中二次函数解析式为y=ax 2+bx +c （a ≠0）则下列命题中正确的有 ①③④ （填序号） ①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③4a ﹣2b +c ＞0；④2a +b ＞c ．【分析】①由抛物线的开口向上、对称轴在y 轴右侧、抛物线与y 轴交于y 轴负半轴，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，①正确；②由抛物线与x 轴有两个不同的交点，可得出△=b 2﹣4ac ＞0，b 2＞4ac ，②错误；③由当x=﹣2时y ＞0，可得出4a ﹣2b +c ＞0，③正确；④由抛物线对称轴的大致范围，可得出﹣2a ＜b ＜0，结合a ＞0、c ＜0可得出2a +b ＞0＞c ，④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交于y 轴负半轴， ∴a ＞0，﹣b 2a＞0，c ＜0，∴b ＜0，abc ＞0，①正确；②∵抛物线与x 轴有两个不同交点， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，b 2＞4ac ，②错误； ③当x=﹣2时，y=4a ﹣2b +c ＞0，③正确；④∵0＜﹣b 2a＜1，∴﹣2a ＜b ＜0，∴2a +b ＞0＞c ，④正确． 故答案为：①③④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及命题与定理，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．三、（本大题12分）21．（2017贵州黔西南州，21，12）（1）计算：√12+|3﹣√3|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（12）﹣2（2）解方程：2−x x−3+13−x=1．【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算；（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：（1）√12+|3﹣√3|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（12）﹣2=2√3+3﹣√3﹣2×√32+1+1(12)2=2√3+3﹣√3﹣√3+1+4 =8；（2）2−xx−3+13−x =1 整理得2−x x−3﹣1x−3=12−x −1=11﹣x=x ﹣3 解得x=2经检验：x=2是分式方程的解．【点评】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，解题时注意：实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．解分式方程时，一定要检验．四、（本大题12分）22．（2017贵州黔西南州，22，12分）如图，已知AB为⊙O直径，D是BĈ的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【分析】（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O 的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．【解答】（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵D 是弧BC 的中点，∴DĈ=DB ̂， ∴∠EAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，DG ⊥AB 且DE=4， ∴DE=DG=4， ∵DO=5， ∴GO=3， ∴AG=8，∴tan ∠ADG=84=2，∵BF 是⊙O 的切线， ∴∠ABF=90°， ∴DG ∥BF ，∴tan ∠F=tan ∠ADG=2．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG ，DG 的长是解题关键．五、（本大题14分）23．（2017贵州黔西南州，23，14）今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：（1）参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的统计图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数．（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．【分析】（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；（2）根据总人数减去爱吃A、B、D三种粽子的人数可得爱吃C的人数，然后再根据人数计算出百分比即可；（3）求出D占的百分比，乘以8000即可得到结果；（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出他第二个吃到的恰好是C粽的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）根据题意得：180+60+120+240=600（人）；（2）如图所示；（3）根据题意得：40%×8000=3200（人）；（4）如图，得到所有等可能的情况有12种，其中第二个吃到的恰好是C粽的情况有3种，则P（C粽）=312=14，答：他第二个吃到的恰好是C 粽的概率是14．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．六、（本大题14分）24．（2017贵州黔西南州，24，14）赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A 驶向终点B ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y （米）与时间x （分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）起点A 与终点B 之间相距多远？（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？ （3）分别求甲、乙两支龙舟队的y 与x 函数关系式； （4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？【分析】（1）根据函数图象即可得出起点A 与终点B 之间的距离； （2）根据函数图象即可得出甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点；（3）设甲龙舟队的y 与x 函数关系式为y=kx ，把（25，3000）代入，可得甲龙舟队的y 与x 函数关系式；设乙龙舟队的y 与x 函数关系式为y=ax +b ，把（5，0），（20，3000）代入，可得乙龙舟队的y 与x 函数关系式；（4）分四种情况进行讨论，根据两支龙舟队相距200米分别列方程求解即可． 【解答】解：（1）由图可得，起点A 与终点B 之间相距3000米；（2）由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点； （3）设甲龙舟队的y 与x 函数关系式为y=kx ， 把（25，3000）代入，可得3000=25k ， 解得k=120，∴甲龙舟队的y 与x 函数关系式为y=120x （0≤x ≤25）， 设乙龙舟队的y 与x 函数关系式为y=ax +b ， 把（5，0），（20，3000）代入，可得{0=5a +b3000=20a +b，解得{a =200b =−1000，∴乙龙舟队的y 与x 函数关系式为y=200x ﹣1000（5≤x ≤20）； （4）令120x=200x ﹣1000，可得x=12.5， 即当x=12.5时，两龙舟队相遇，当x ＜5时，令120x=200，则x=53（符合题意）；当5≤x ＜12.5时，令120x ﹣（200x ﹣1000）=200，则x=10（符合题意）； 当12.5＜x ≤20时，令200x ﹣1000﹣120x=200，则x=15（符合题意）；当20＜x ≤25时，令3000﹣120x=200，则x=703（符合题意）；综上所述，甲龙舟队出发53或10或15或703分钟时，两支龙舟队相距200米【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意数形结合思想以及分类思想的运用．七、（本大题12分）25．（2017贵州黔西南州，25，12）把（sinα）2记作sin 2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin 2A 1+cos 2A 1= 1 ，sin 2A 2+cos 2A 2= 1 ，sin 2A 3+cos 2A 3= 1 ； （2）观察上述等式猜想：在Rt △ABC 中，∠C=90°，总有sin 2A +cos 2A= 1 ； （3）如图2，在Rt △ABC 中证明（2）题中的猜想： （4）已知在△ABC 中，∠A +∠B=90°，且sinA=1213，求cosA ．【分析】（1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得； （2）由（1）中的结论可猜想sin 2A +cos 2A=1；（3）由sinA=a c 、cosA=b c 且a 2+b 2=c 2知sin 2A +cos 2A=（a c ）2+（b c ）2=a2+b 2c =c 2c=1；（4）根据直角三角形中sin 2A +cos 2A=1知（1213）2+cosA 2=1，据此可得答案．【解答】解：（1）sin 2A 1+cos 2A 1=（12）2+（√32）2=14+34=1， sin 2A 2+cos 2A 2=（√2）2+（√2）2=12+12=1，sin 2A 3+cos 2A 3=（35）2+（45）2=925+1625=1， 故答案为：1、1、1；（2）观察上述等式猜想：在Rt △ABC 中，∠C=90°，总有sin 2A +cos 2A=1， 故答案为：1；（3）在图2中，∵sinA=a c ，cosA=bc，且a 2+b 2=c 2，则sin 2A +cos 2A=（a c ）2+（b c ）2=a2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c2=1，即sin 2A +cos 2A=1；（4）在△ABC 中，∠A +∠B=90°， ∴∠C=90°， ∵sin 2A +cos 2A=1，∴（1213）2+cosA 2=1，解得：cosA=513或cosA=﹣513（舍），∴cosA=513． 【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．八、（本大题16分）26．（2017贵州黔西南州，26，16）如图1，抛物线y=ax 2+bx +74，经过A （1，0）、B （7，0）两点，交y 轴于D 点，以AB 为边在x 轴上方作等边△ABC ． （1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上是否存在点M ，是S △ABM =4√39S △ABC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，E 是线段AC 上的动点，F 是线段BC 上的动点，AF 与BE 相交于点P ．①若CE=BF ，试猜想AF 与BE 的数量关系及∠APB 的度数，并说明理由； ②若AF=BE ，当点E 由A 运动到C 时，请直接写出点P 经过的路径长（不需要写过程）．【分析】（1）将点A （1，0），B （7，0）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 方程组，解关于a 、b 的方程组求得a 、b 的值即可；（2）过点C 作CK ⊥x 轴，垂足为K ．依据等边三角形的性质可求得CK=3√3，然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S △ABM 的面积，设M （a ，14a 2﹣2a +74），然后依据三角形的面积公式可得到关于a 的方程，从而可得到点M 的坐标； （3）①首先证明△BEC ≌△AFB ，依据全等三角形的性质可知：AF=BE ，∠CBE=∠BAF ，然后通过等量代换可得到∠FAB +∠ABP=∠ABP +∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB ；②当AE ≠BF 时，由①可知点P 在以AB 为直径的圆上，过点M 作ME ⊥AB ，垂足为E ．先求得⊙M 的半径，然后依据弧长公式可求得点P 运动的路径；当AE=BF 时，点P 在AB 的垂直平分线上时，过点C 作CK ⊥AB ，则点P 运动的路径=CK 的长．【解答】解：（1）将点A （1，0），B （7，0）代入抛物线的解析式得：{49a +7b +74=0a +b +74=0，解得：a=14，b=﹣2．∴抛物线的解析式为y=14x 2﹣2x +74．（2）存在点M ，使得S △ABM =4√39S △ABC ．理由：如图所示：过点C 作CK ⊥x 轴，垂足为K ．∵△ABC 为等边三角形， ∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°． ∵CK ⊥AB ，∴KA=BK=3，∠ACK=30°． ∴CK=3√3．∴S △ABC =12AB•CK=12×6×3=9√3．∴S △ABM =4√39×9√3=12．设M （a ，14a 2﹣2a +74）．∴12AB•|y |=12，即12×6×（14a 2﹣2a +74）=12， 解得：a 1=9，a 2=﹣1．∴点M 的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．（3）①结论：AF=BE ，∠APB=120°．∵△ABC 为等边三角形，∴BC=AB ，∠C=∠ABF ．∵在△BEC 和△AFB 中{BC =AB ∠C =∠ABF CE =BF，∴△BEC ≌△AFB ．∴AF=BE ，∠CBE=∠BAF ．∴∠FAB +∠ABP=∠ABP +∠CBE=∠ABC=60°．∴∠APB=180°﹣60°=120°．②当AE ≠BF 时，由①可知点P 在以M 为圆心，在以AB 为弦的圆上，过点M 作MK ⊥AB ，垂足为k ．∵∠APB=120°，∴∠N=60°．∴∠AMB=120°．又∵MK ⊥AB ，垂足为K ，∴AK=BK=3，∠AMK=60°．∴AK=2√3．∴点P 运动的路径=120⋅π×2√3180=4√3π3． 当AE=BF 时，点P 在AB 的垂直平分线上时，如图所示：过点C 作CK ⊥AB ，则点P运动的路径=CK的长．∵AC=6，∠CAK=60°，∴KC=3√3．∴点P运动的路径为3√3．综上所述，点P运动的路径为3√3或4√3π3．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇形的弧长公式，判断出点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键．。

2017届中考数学专项训练二次函数及其图象含解析

2017届中考数学专项训练二次函数及其图象含解析

二次函数及其图象一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=33．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜34．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二次函数及其图象参考答案与试题解析一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．3．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c，∴＜1，∴﹣＞﹣1，∴x0＞﹣1∴x0的取值范围是x0＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口方向上是解题的关键．4．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B 时的k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x ，联立消掉y 得，x 2﹣2x+2k=0，△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA 有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A 的坐标为（，）， ∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B （2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是﹣2＜k ＜．故答案为：﹣2＜k ＜． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9∵b2=4c，∴n=﹣×4c+c+9=9．故答案是：9．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有①③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．【考点】二次函数的最值．【专题】分类讨论．【分析】当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为8．【点评】本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把（x﹣m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．【解答】（1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，解得x1=m，x2=m+1，∴AB=（m+1）﹣m=1，y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣）2﹣，△ABC的面积=×1×|﹣|=1，解得a=±8；②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，所以，点D的坐标为（0，am2+am），△ABD的面积=×1×|am2+am|，∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴×1×|am2+am|=×1×|﹣|，整理得，m2+m﹣=0或m2+m+=0，解得m=或m=﹣．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x﹣m）看作一个整体求解更加简便．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【解答】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小；（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）=﹣x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．【点评】本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．。

2017年中考数学试题汇编：二次函数

2017年中考数学试题汇编：二次函数

2017中考试题汇编 ------ 二次函数(2017贵州铜仁)25.( 14分)如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A (- 1, 0), B (0, - 2),并与x 轴交于点C ,点M 是抛物线对称轴I 上任意一点(点M , B , C 三点不在同一直线上).(1) 求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2) 在抛物线上找出两点 P 1, P 2,使得△ MP 1P 2与厶MCB 全等，并求出点P 1, P 2的坐标；(3) 在对称轴上是否存在点 Q ,使得/ BQC 为直角，若存在，作出点Q (用尺【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的表达式；(2) 分三种情况：① 当△ P 1MP 2BA CMB 时，取对称点可得点 P 1, P 2的坐标；② 当△ BMC ◎△ P 2P 1M 时，构建？P 2MBC 可得点P 1, P 2的坐标；③ 厶P 1MP 2^^ CBM ，构建？MP 1P 2C ，根据平移规律可得 P 1, P 2的坐标；(3) 如图3,先根据直径所对的圆周角是直角， 以BC 为直径画圆，与对称轴的 交点即为点Q ,这样的点Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△ BDQ 1 Q 1EC ，列比例式，可得点Q 的坐标.【解答】解：(1)把A (- 1, 0), B (0,- 2)代入抛物线y=x 2+bx+c 中得： n-b+cpo lc=-2 ?解得：lc=-2Q 的坐标.二抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x 2- x - 2；(2)如图1, P i 与A 重合，P 2与B 关于I 对称，二 MB=P 2M ，P i M=CM ，P i F 2=BC ,•••△ P i MP 2^^ CMB ，••• B (0，- 2)，对称轴：直线x 二， •-P 2 (i ，- 2)；如图 2，MP 2// BC ,且 MP 2=BC ，此时，P i 与C 重合，••• MP 2=BC ，MC=MC ，/ P 2MC= / BP i M ，•••△ BMCP 2P i M ，•-P i (2, 0)，如图3,构建？MP i P 2C ，可得△ P i MP 2^^ CBM ，此时P 2与B 重合,由点C 向左平移2个单位到B ,可知：点M 向左平移2个单位到P i ,••点 P 1的横坐标为-—,(3)如图3,存在，作法：以BC 为直径作圆交对称轴I 于两点Q i 、Q 2,则/ BQ i C= / BQ 2C=90° ;此时P i (- 1,• y=x 2 - x - 2= 由点B 向右平移+个单位到M ，可知：点C 向右平移 当x=§时,y= 当x=-(3 ，y = (-~ 9 = 7 4 4 •- P i (- ),P 2 (0,- 2)；个单位到P 2,52 =4 4过Q i作DE丄y车由于D，过C作CE丄DE于E, 设Qi y）（y>0）,易得△ BDQ i s^ Q i EC,（舍），y2=•••Qi(寺,同理可得:);22■:），Q2 （芜仝吨）或（丄，)•解得：y i=:ffil【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论•本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，禾I」用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键.（2017湖南）27.（12分）如图，正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD、AC分别交于点H、M , GF交CD延长线于点N .（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结EF、MN，当MN // EF时，求AE的长.【分析】（1）由厶DCFBCE，可得/ CDF= / B=90°，即可推出/ CDF+ZCDA=180，由此即可证明.（2）有最小值.设AE=x，DH=y，贝U AH=1 - y，BE=1 - x，由厶ECB s^ HEA，推出4=丄，可得丄=]-貸，推出y=x2-x+1= （x -丄）2碍，由a=1>0，y有最AE AH 玄 1-y 2 4小值，最小值为二.4（3）只要证明厶CFN◎△ CEM，推出/ FCN= / ECM，由/ MCN=4°，可得/ FCN= / ECM= / BCE=22.5° 在BC 上取一点G,使得GC=GE，则△ BGE 是等腰直角三角形，设BE=BG=a，贝U GC=GE= ：a,可得a+ :a=1，求出a即可解决问题；【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，••• CD=CB，/ BCD= / B= / ADC=90 ,v CE=CF,Z ECF=90 ,•••/ ECF=Z DCB,•••/ DCF= / BCE,•••△DCF^A BCE,•••/ CDF= / B=90°,•••/ CDF+Z CDA=180 ,•••点A、D、F在同一条直线上.(2)解：有最小值.理由：设AE=x，DH=y，贝U AH=1 - y, BE=1 - x,•••四边形CFGE是矩形，•/ CEG=90 ,•/ CEB+Z AEH=90CEB+Z ECB=90 ,• Z ECB= Z AEH , vZ B=Z EAH=90 ,• △ECB s^ HEA ,v a=1>0,•y有最小值，最小值为晋.•DH的最小值为亍.(3)解：v四边形CFGE是矩形，CF=CE,•四边形CFGE是正方形，•GF=GE,Z GFE=Z GEF=45 ,v NM // EF,•Z GNM= Z GFE,Z GMN= Z GEF,•Z GMN= Z GNM ,••• GN=GM ,••• FN=EM ,T CF=CE,/ CFN= / CEM ,•••△CFN^A CEM ,•••/ FCN= / ECM , vZ MCN=4° ,:丄 FCN= Z ECM= Z BCE=22.5 ,在BC上取一点G,使得GC=GE，贝仏BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a,则GC=GE= %,二a+ r：a=1,二a= 1,••• AE=AB —BE=1-(V^- 1)=2-屁【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题.二次函数y=- 2x +bx+c （2017辽宁）28. （14分）如图①，在平面直角坐标系中, 的图象与坐标轴交于A, B, C三点，其中点A的坐标为（-3, 0），点B的坐标为（4, 0）,连接AC, BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒.连接PQ.(1)填空：b= —, c= 4（2）在点P, Q运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明理由;(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△ PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t ;若不存在，请说明理由；(4)如图②，点N的坐标为(-手，0)，线段PQ的中点为H，连接NH，当抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值;(2)连结QC.先求得点C的坐标，贝U PC=5-t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据CQ2- CP2=AQ2- AP2列方程求解即可；(3)过点P作DE // x轴，分别过点M、Q作MD丄DE、QE丄DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F,过点P作PG丄x轴，垂足为点G,首先证明厶PAGACO，依据相似三角形的性质可得到PG专t，AG==t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明△ MDP也PEQ，从而得到PD=EQ』t, MD=PE=3^t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；(4)连结：OP,取OP的中点R,连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q .首先依据三角形的中位线定理得到RH丄QO〒t, RH // OQ, NR』AP气~t,贝URH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是/QNQ的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可. 【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a (x+3) (x -4).将&=-一代入得：••• b」,c=4・(2)在点P 、Q 运动过程中，△ APQ 不可能是直角三角形.•••在点P 、Q 运动过程中，/ PAQ 、/ PQA 始终为锐角，•••当厶APQ 是直角三角形时，则/ APQ=90 .将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，•-C (0, 4).AP=OQ=t ，••• PC=5-t ，•••在Rt A AOC 中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt A COQ 中，依据勾股定理可 知：CQ 2=t 2+16,在Rt A CPQ 中依据勾股定理可知：PQ 2=CQ 2- CP 2,在Rt A APQ 中，AQ 2- AP 2=PQ 2,••• CQ 2- CP 2=AQ 2- AP 2，即(3+t ) 2 - t 2=t 2+16-( 5 -t ) 2,解得：t=4.5.•••由题意可知：O W t < 4,••• t=4.5不合题意，即△ APQ 不可能是直角三角形.(3)如图所示：y=—丄 x 2+二 x+4.过点P 作DE // x 轴，分别过点M 、Q 作MD 丄DE 、QE 丄DE ，垂足分别为D 、E ,MD 交x 轴与点F,过点P 作PG 丄x 轴，垂足为点G,则PG//y 轴，/ E=Z D=90° . ••• PG// y 轴，PG AG. AP DC 0A AC PG = A G= t q3 1 5 ••• PG=t , AG==t , 5 5••• PE=GQ=GO+OQ=AO - AG+OQ=3-丄 t+t=3 t ，DF =GP ^t -vZ MPQ=9°，/ D=90 ,•••/ DMP+Z DPM= Z EPQ+Z DPM=90 ,•••Z DMP= Z EPQ.又vZ D= Z E , PM=PQ ,• △ MDP 也PEQ ,4• PD=EQ=- 5t , OF=FG+GO=PD+OA - AG=3理t - 5 • M (-3-丄t , - 3^t ). v 点M 在x 轴下方的抛物线上，•- 3心=-护(-3-寺t ) 2— x( -3*t ) +4,解得：t=f£土:十 205 .v 0< t <4,…t= --------------- t 2 -(4)如图所示：连结OP ,取OP 的中点R ,连结RH , NR ,延长NR 交线段BC 与点Q\，即 t ,3 5•••点H为PQ的中点，点R为0P的中点，••• RH二丄Q0二丄t, RH // 0Q.•- A (-3, 0), N (-「0),•••点N为0A的中点.又••• R为0P的中点，•NUt,•RH=NR,•/ RNH= / RHN .••• RH // OQ,•/ RHN= / HNO,•/ RNH= / HNO，即卩NH 是/QNQ 的平分线.设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A (- 3, 0)、C(0, 4)代入得a解得：m==, n=4,•直线AC的表示为y=—x+4.J同理可得直线BC的表达式为y= - x+4.设直线NR的函数表达式为y斗x+s,将点N的坐标代入得：斗X•J W*解得：s=2,•直线NR的表述表达式为y=—x+2.将直线NR和直线BC的表达式联立得：尸$时女，解得：x4 ,尸-K十4r_3in+n-0(门二4[)+s=°,22y—，法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于t的方程是解答问题（2）的关键；求得点M的坐标（用含t的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得NH为/QHQ的平分线是解答问题（4）的关键.（2017山东）25.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=-翠X2-冬x+^3与X轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB ,12 3点M ， N分别是OA，AB的中点，Rt△ CDE也Rt A ABO，且△ CDE始终保持边ED经过点M，边CD经过点N，边DE与y轴交于点H，边CD与y轴交于点G.（1）填空：OA的长是8 ，/ ABO的度数是30 度:（2）如图2,当DE // AB，连接HN .①求证：四边形AMHN是平行四边形；②判断点D是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图3,当边CD经过点O时，（此时点O与点G重合），过点D作DQ// OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K，使DK=DN，过点K作KI //OB,在KI上取一点P,使得/ PDK=45 （点P, Q在直线ED的同侧），连接正切值可得/ ABO=30 ；£22,7•••Q)•【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用, 解答本题主要应用了待定系数PQ,请直接写出PQ的长.【分析】（1）先求抛物线与两坐标轴的交点坐标，表示OA和OB的长，利用E3(2)①根据三角形的中位线定理证明HN // AM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得结论；②如图1作垂线段DR，根据直角三角形30度角的性质求DR=2，可知：点D的横坐标为-2,由抛物线的解析式可计算对称轴是直线：x= = - 2,所以点2aD在该抛物线的对称轴上；(3)想办法求出P、Q的坐标即可解决问题；【解答】解：(1)当x=0时，y=8.;,••• B (0，8：)，••• 0B=8 _「;，当y=0 时，y= - ^^x2- ^~x+8岳=0，X2+4X - 96=0,(x- 8)(x+12) =0，x i=8，X2= - 12,•- A (8, 0),• OA=8,在Rf A OB中，E ABO』故答案为：8, 30;(2)①证明：：DE // AB ,•丄J丁：…_卜，••• OM=AM ,•OH=BH,••• BN=AN ,•HN // AM ,•四边形AMHN是平行四边形；②点D在该抛物线的对称轴上，理由是：如图1,过点D作DR丄y轴于R,••• HN // OA ,•••/ NHB= / AOB=90 ,•••DE // AB ,•••/ DHB= / OBA=30 , • Rt A CDE 也 Rt A ABO , •••/ HDG=Z OBA=30 ,•••/ HGN=2 / HDG=6° , •••/ HNG=9° -Z HGN=9° - 60°=30° , •••/ HDN= Z HND ,DH=HN 」OA=4,••• Rt A DHR 中，DR==DH 丄 一 =2, •••点D 的横坐标为-2,••抛物线的对称轴是直线: •••点D 在该抛物线的对称轴上;(3)如图3中，连接PQ ,作DR 丄PK 于R ,在DR 上取一点T ,使得PT=DT .设 PR=a.E3=-2,x=—••• NA=NB ,ON=NA=NB ,vZ ABO=30 ,•••/ BAO=60 ,.△ AON是等边三角形，.Z NOA=60 = Z ODM +Z OMD ,vZ ODM=3O ,.Z OMD= Z ODM=3O ,•••OM=OD=4，易知D （- 2,- 2.「；），Q （-2, 10 ；）, v N （4, 4；）,.DK=DN珂* +（奶）2=12,v DR// x 轴，,.Z KDR= Z OMD=3O.RK」DK=6 , DR=6 J；,vZ PDK=45 ,.Z TDP=Z TPD=15 ,.Z PTR=Z TDP+Z TPD=30 ,.TP=TD=2a, TR= ：a,•••一_;a+2a=6「；，.a=1^3- 18,可得P （- 2 - 6岛，10角-18）,.PQ=-…-12 \【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、锐角三角函数、30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.(2017辽宁)29. (9分)如图1,矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(4,0)，(0, 6)，直线AD 交 B C 于点D，ta n/OAD=2，抛物线M i：y=ax1 2 3+bx (a^ 0) 的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断.【解答】解：（1）如图1中，作DH丄OA于H .则四边形CDHO是矩形.1 求点D的坐标和抛物线M i的表达式；2 点P是抛物线M i对称轴上一动点，当/ CPA=90时，求所有符合条件的点P的坐标；3 如图2,点E ( 0, 4)，连接AE，将抛物线M i的图象向下平移m (m>0) 个单位得到抛物线M2.①设点D平移后的对应点为点D',当点D恰好在直线AE上时，求m的值；②当Kx<m (m> 1)时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围. 【分析】(1)如图1中，作DH丄OA于H .贝U四边形CDHO是矩形.在Rt A ADH 中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；(2)如图1- 1 中，设P (2, m).由/ CPA=9°，可得PC2+PA2=AC2，可得22+ (m-6) 2+22+m2=42+62,解方程即可；(3)①求出D的坐标；②构建方程组，利用判别式△> 0,求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE•••四边形CDHO是矩形，••• OC=DH=6,••• tan/ DAH=^=2,AH••• AH=3 ,••• OA=4,••• CD=OH=1 ,•-D (1, 6),把D (1, 6), A (4, 0)代入y=ax2+bx中，则有严皿[16a4 4b=0 解得严2 , lb=8•••抛物线M1的表达式为y=- 2X2+8X.•••/ CPA=90 ,••• PC2+PA2=AC2,••• 22+ （m-6）2+22+m2=42+62,解得m=3土I：;,•-P （2, 3血），P' （2, 3-负）易知直线AE的解析式为y= - x+4,x=1 时，y=3,•-D (1, 3),平移后的抛物线的解析式为y= - 2X2+8X - m,把点D坐标代入可得3=- 2+8- m,二m=3.|fy=-x+4 2②由口，消去y得到2X2 - 9x+4+m=0,y=-2 产+Sx-m 当抛物线与直线AE有两个交点时，△> 0,t92- 4X 2X(4+m)>0,③ x=m 时，-m+4=- 2m2+8m - m,解得m=2+- 丫或2—丫(舍弃)，综上所述，当2+ < m<L时，抛物线M2与直线AE有两个交点.【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题.(2017四川)24. (12分)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0).与y轴交于点C (0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E, 与y 轴交于点F,求PE+EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点.①当△ BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△ BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围.【分析】(1 )利用待定系数法求抛物线的解析式;(2)易得BC的解析式为y= - x+3,先证明△ ECF为等腰直角三角形，作PH丄y轴于H ， PG// y轴交BC于G,如图1,则厶EPG为等腰直角三角形,PG，设P (t, t2- 4t+3)( 1v t v 3),贝U G (t, - t+3)，接着利用t 表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=-血t2+鉅t",然后利用二次函数的性质解决问题；(3)①如图2,抛物线的对称轴为直线x=--- =2,设D (2, y),利用两点间的距离公式得到BC2=18, DC2=4+ (y - 3) 2, BD2=1+y2，讨论：当△ BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，18+4+ (y - 3) 2=1+y2;当厶BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，4+(y- 3) 2=1+y2+18,分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标;②由于△ BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+ (y-3) 2+1+y2=18,解得y1 =「丨)或(2,，得到此时D点坐标为(2,然后结合图形可确定△ BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围.【解答】解：(1)把B (3, 0), C (0, 3)代入y=x2+bx+c得，解Id得忖•••抛物线的解析式为y=x2- 4x+3;(2)易得BC的解析式为y= - x+3,•••直线y=x - m与直线y=x平行，•直线y= - x+3与直线y=x - m 垂直，• △ ECF为等腰直角三角形,作PH丄y轴于H , PG// y轴交BC于G,如图1, △ EPG为等腰直角三角形，PE=V2,PG,设P (t, t2- 4t+3)( 1v t v3),贝U G (t,- t+3),•PF=「PH= .1t, PG=- t+3-( t2- 4t+3) = - t2+3t,PE= _ PG二-二t2+ t,•PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=-Ht2+^2t^2=-並t2+^=-^ (t- 2) 2+铠,当t=2时，PE+EF的最大值为4「；(3)①如图2,抛物线的对称轴为直线x=-学=2,设 D (2, y)，则BC2=32+32=18, DC2=4+ (y - 3) 2, BD2= (3 -2) 2+y2=1+y2, 当厶BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+ (y- 3) 2=1+y2，解得y=5，此时 D 点坐标为(2, 5);当厶BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+ (y- 3) 2=1+y2+18，解得y= - 1,此时D 点坐标为(2,- 1);②当△ BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2, 即卩4+( y- 3)2+1+y2=18,解得y1= , y2= J ,此时D 点坐标为(2, ＞「)或(2, ■:)，所以△ BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为一v y v 5或-1v y 2【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题.(2017新疆)24.( 12分)(2017?乌鲁木齐)如图，抛物线y=ax2+bx+c (a^0) 与直线y=x+1相交于A (- 1, 0), B (4, m)两点，且抛物线经过点C (5, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点A、点B重合)，过点P作直线PD 丄x轴于点D，交直线AB于点E.①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使厶BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不【分析】(1)由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标.【解答】解：(1)v点 B (4，m)在直线y=x+1 上,m=4+1=5，•-B (4, 5)，r a-b+^=0a=-l 把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得1如4卅二5，解得口,125a+5b+c=0L c=5•••抛物线解析式为y= - X2+4X+5；(2)①设P (x,—X2+4X+5)，则E (x，x+1)，D (x，0)，则PE=| —X2+4X+5-(x+1) |=| -X2+3X+4|，DE=| x+1|，••• PE=2ED,•| —X2+3X+4| =2| x+1|，当-X2+3X+4=2 (x+1 )时，解得x= —1或x=2，但当x= —1时，P与A重合不合题意，舍去，•P (2, 9);当-X2+3X+4=—2 (x+1 )时，解得x= —1或x=6，但当x= —1时，P与A重合不合题意，舍去，•P (6,—7);综上可知P点坐标为(2, 9)或(6,—7);②设P (x, —X2+4X+5)，贝U E (x, x+1)，且B (4, 5), C (5, 0),•BE= (■—丄・1：|x—4| , CE八…J ；'=「；.：「；，BC=J(Q_5) + (5-0 ) <=殛,当厶BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则应|x—4| =寸2/气直+我，解得x今，此时P点坐标为(會器)；当BE=BC时，贝U .二| x —4| = -r.,解得x=4 +一一；或x=4 -一一；，此时P点坐标为 (4+迈1, —4岳—8)或(4-伍，4履—8);当CE=BC时，贝U「「’；・.「=.；汴，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0, 5）;综上可知存在满足条件的点P,其坐标为（［，十）或（4+ I ■；,- 4 一;- 8）或（4- . 4 | ■- 8）或（0，5）.【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识•在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论•本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.（2017浙江）22. （10分）如图，过抛物线y订x2-2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P,连结OP,作点C关于直线OP的对称点D;①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式.【分析】（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB- OD;②当点D在对称轴上时，在Rt A OD=OC=5,OE=4,可得DE=「；’：= ■ J=3，求出P、D的坐标即可解决问题；【解答】解：(1)由题意A (-2, 5),对称轴x=-—巴厂=4,••• A、B关于对称轴对称，••• B (10, 5).由题意点D在以0为圆心0C为半径的圆上，•••当0、D、B 共线时，BD 的最小值=0B- 0D=「- , ' - 5=5 - - 5.②如图2中,图2当点D在对称轴上时，在Rt△ 0DE中，0D=0C=5, 0E=4,••• DE= F ：匕.匸 「・=3, •••点D 的坐标为(4, 3).设 PC=PD=x ，在 Rt △ PDK 中, x 4 5=(4-x ) 2+22,•直线PD 的解析式为y=-【点评】本题考查抛物线与X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等 知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题, 属于中考常考题型.26. (12分)(2017殛庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=「x 2 -x - . ■与 x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ,对称轴 与x 轴交于点D ，点E (4, n )在抛物线上.4 求直线AE 的解析式；5 点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC , PE .当厶PCE 的面积最大 时，连接CD , CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求 KM +MN+NK 的最小值；(3) 点G 是线段CE 的中点，将抛物线y= x 2 得到新抛物线y', y 经过点D , y 的顶点为点F .在新抛物线y 的对称轴上，是否存在一点Q ,使得△ FGQ 为等腰二角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若 不存在，请说明理由.• x =_5 •-P (,5),—-x —:沿x 轴正方向平移【分析】(1)抛物线的解析式可变形为y(x+1)( x-3),从而可得到点3A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A 和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；(2)设直线CE的解析式为y=mx -.';，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF// y轴，交CE与点F.设点P的坐标为(x，逅x2-^^x-亦)，则点F (x，-x-近)，贝U FP=^X2^^X•由三3 3 3 3 3角形的面积公式得到△ EPC的面积二-空3x2困3x，利用二次函数的性质可求| 3| 3 |得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M .然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标, 当点0、N、M、H在条直线上时，KM +MN +NK有最小值，最小值=GH ;(3)由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF, FQ=FQ三种情况求解即可. 【解答】解：(1)：y=」x2-〔「x -.'；，••• y=丄一(x+1)( x - 3).••• A (- 1, 0)，B (3, 0).当x=4 时，y= .3•-E (4,二).设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得:「，解得：k=L, b= .•••直线AE的解析式为y^x年.(2)设直线CE的解析式为y=mx - 「；，将点E的坐标代入得：4m- 一「；='：.',解得：m=——•••直线CE的解析式为沪］x -：.过点P 作PF // y 轴，交CE 与点F .如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ,连接G 、H 交CD 和CP2， 2 7•••点H 与点K 关于CP 对称， 目普）. •••点G 与点K 关于CD 对称，则FP=（岂良-體） x 2x -Jj ),则点 F (x ,x -：；） • △ EPC 的面积二X （2•••当x=2时，△ EPC 的面积最大.)X 4=— 3=•X 2+ ：33：/x2+ 3x -/3),x.3•••点H 的坐标为（V3 3设点P 的坐标为（x ,x 2-:二 k (由两点间的距离公式可知:'■-—八,解得：a=•••点 G (0, 0).••• KM +MN +NK=MH +MN +GN .当点0、N 、M 、H 在条直线上时，KM +MN +NK 有最小值，最小值=GH . GH=• KM +MN+NK 的最小值为3.•••点 Q (3, 2 ■；).当QG=QF 时，设点Q i 的坐标为(3, a ).=3.•••当 FG=FQ 时，点 Q (3,3当GF=GQ 时，点F 与点Q'关于 y - ),Q (3,S-2届).对称,•••点G 为CE 的中点,• FG=:'•••点Q i的坐标为（3,-—5综上所述，点Q的坐标为（3,皿严）或，（3, -吒逅）或（3,砺）w1或（3,- ）.【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM +MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF,FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键.（2017湖北）25. （12分）抛物线y= x2+ bx+ c与x轴交于A（1, 0）, B（m, 0），与y轴交于C.（1）若m= —3,求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1,在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物10线上有一点E,使S^ACE = 3 S AACD，求E点的坐标；（3）如图2,设F（—1, —4）, FG丄y轴于G,在线段OG上是否存在点P,使/ OBP= Z FPG?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.x3 2 . y — xbx c（2017内蒙古）26 •如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2与x轴交于A 1,0 , B 2,0两点，与y轴交于点C•（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n与该抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与X轴交于点F ,且BE 4EC .①求n的值；②连接A C，CD，线段AC与线段DF交于点G, AGF与CGD是否全等？请说明理由；（3）直线y m m 0与该抛物线的交点为M ,N （点M在点N的左侧），点M关于5y轴的对称点为点M ，点H的坐标为1,0.若四边形OM NH的面积为3 .求点H到OM的距离d的值.（2017山西）23 •综合与探究y 逼x2蚁3逅° 口如图，抛物线9 3与x轴交于A, B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ,连接AC,BC •点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD X轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连接PD，与BC交于点F .设点P的运动时间为t秒(t 0)(2)①直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简).②在点P，Q运动的过程中，当PQ PD时，求t的值.(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点•若存在, 请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由.。

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2017贵州中考专题 二次函数

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2017贵州中考题 二次函数1、（2017六盘水）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则( )A 、0,0b c >>B 、0,0b c ><C 、0,0b c <<D 、0,0b c <>2、（2017安顺）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④()()1m am b b a m ++<≠-，其中结论正确的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、43、（2017黔东南）如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、（2017黔南）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a +b ＞0；④其顶点坐标为（12，﹣2）；⑤当x ＜12时，y 随x 的增大而减小；⑥a +b +c ＞0正确的有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个5、（2017贵阳）已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④﹣＜0，正确的是（ ）A 、①②B 、②④C 、①③D 、③④6、（2017遵义）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-，对称轴l 如图所示.则下列结论：①0abc >；②0a b c -+=；③20a c +<；④0a b +<，其中所有正确的结论是（ ）A 、①③B 、②③C 、②④D 、②③④7、(2017安顺）如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过,B C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P .甲 乙 丙（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以,,C P M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当03x <<时，在抛物线上求一点E ，使CBE ∆的面积有最大值.(图乙、丙供画图探究)8、（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于)0,1A，(-C三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.)0,4(B，)4,0(-（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使POC∆是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，PBC∆的∆面积最大.求出此时P点坐标和PBC最大面积.9、（2017铜仁）如图，抛物线2=++经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），y x bx c并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标．10、（2017黔南）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x 轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2017贵阳）我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x 上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．12、（2017黔东南）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．13、（2017遵义）如图，抛物线2y ax bx a b =+--（0a <，a 、b 为常数）与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点.直线AB 的函数关系式为81693y x =+.（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；（2）已知点(,0)M m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点.当m 为何值时，BDE ∆恰好是以DE 为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当BDE ∆恰好是以DE 为底边等腰三角形时，动点M 相应位置记为点'M ，将'OM 绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0︒到90︒之间）.i.探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，NP NB始终保持不变.若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.ii ：试求出此旋转过程中，3()4NA NB +的最小值.。

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2017贵州中考题 二次函数
1、（2017六盘水）已知二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，则( )
A 、0,0b c
B 、0,0b c
C 、0,0b c
D 、0,0b c
2、（2017安顺）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④()()1m am b b a m ++<≠-，其中结论正确的个数是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 3、（2017黔东南）如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
4、（2017黔南）二次函数的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a +b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x ＜时，y 随x 的增大而减小；⑥a +b +c ＞0正确的有（ ）
A 、3个
B 、4个
C 、5个
D 、6个
2y ax bx c =++1212
5、（2017贵阳）已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④﹣＜0，正确的是（ ）
A 、①②
B 、②④
C 、①③
D 、③④
6、（2017遵义）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-，对称轴l 如图所示.则下列结论：①0abc >；②0a b c -+=；③20a c +<；④0a b +<，其中所有正确的结论是（ ）
A 、①③
B 、②③
C 、②④
D 、②③④
7、(2017安顺）如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过,B C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P .
甲 乙 丙
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以,,C P M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当03x <<时，在抛物线上求一点E ，使CBE ∆的面积有最大值.(图乙、丙供画图探究)
8、（2017毕节）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于)0,1(-A ，)0,4(B ，)4,0(-C 三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P ，使POC ∆是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P 运动到什么位置时，PBC ∆面积最大.求出此时P 点坐标和PBC ∆的最大面积.
9、（2017铜仁）如图，抛物线经过点A （﹣1，0），B （0，﹣2），并与x 轴交于点C ，点M 是抛物线对称轴l 上任意一点（点M ，B ，C 三点不在同一直线上）．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在抛物线上找出两点P 1，P 2，使得△MP 1P 2与△MCB 全等，并求出点P 1，P 2的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点Q ，使得∠BQC 为直角，若存在，作出点Q （用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q 的坐标．
2y x bx c =+
+
10、（2017黔南）如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．
（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x 轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
11、（2017贵阳）我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，对于这样的抛物线：
（1）当抛物线经过点（﹣2，0）和（﹣1，3）时，求抛物线的表达式；
（2）当抛物线的顶点在直线y=﹣2x上时，求b的值；
（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、…，A n在直线y=﹣2x 上，横坐标依次为﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，…，B n，以线段A n B n为边向左作正方形A n B n C n D n，如果这组抛物线中的某一条经过点D n，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n的边长．
12、（2017黔东南）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
13、（2017遵义）如图，抛物线2y ax bx a b =+--（0a <，a 、b 为常数）与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点.直线AB 的函数关系式为81693
y x =+.
（1）求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；
（2）已知点(,0)M m 是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点.当m 为何值时，BDE ∆恰好是以DE 为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当BDE ∆恰好是以DE 为底边等腰三角形时，动点M 相应位置记为点'M ，将'OM 绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0︒到90︒之间）.
i.探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O 、B 重合），无论ON 如何旋转，NP NB
始终保持不变.若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
ii ：试求出此旋转过程中，3()4
NA NB +的最小值.。

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