人教版八年级数学上册 轴对称专题复习讲义

轴对称专题复习讲义 一. 知识要点
对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容：
（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.
（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.
利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试
1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这
条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 .
如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数： （1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形 3.平面直角坐标系中，点A （-2,3）关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ，点B （-4,1）关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ，点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .
知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14，BC =6，则AB 的长为 .
知识要点3：等腰三角形的性质与判定
5.如图，在等腰△ABC 中,AB =AC ，若∠1=∠2，则BD CD ，AD BC
6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 .
7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x 的范围是 ；若底边长为10，则腰
长y 的范围是 .
C E B D
A
（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm ，则腰为 .
（3）等腰△ABC ，AB =AC ，BD 为AC 边的高，则∠DBC = ∠BAC ；若∠DBA =45°，则
∠C = .
（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm ，则最长边为 ；等腰三角形底
角为15°，腰长为30cm ，，则此三角形面积为 .
知识要点4：等边三角形的性质与判定
8.如图，在等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 .
知识要点5：含30°的特殊三角形
9.如图，在△ABC ，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交于BC 于点D ，交AB 于点E ，BD =10，
则AC = .
知识要点6：尺规作图问题
10.如图，直线MN 表示一条铁路，A 、B 两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN 旁修建一个车站C ，
要使A 、B 两个村到车站的距离相等，请确定车站C 的位置
11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M 、N 表示大学AO 、BO 表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.
C E
D P
E A
D B E
C A A B N M
A
三. 综合、提高、创新
方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题
【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P AB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.
方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F, 求证：∠ABF=∠CGF.
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=1
2
AB. ①
求证：∠ACE=45°
B
A
l
N
O
F
G
E
C
B
D
A
B
D
C
A
②若点E 在AB 的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理
由.
【例3】如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的
延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：BE=
12
BD
【练】如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 上的高线，P 是AD 上一点，试比较PB —PC 与AB —AC
的大小.
方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用 【例4】（1）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C =2∠B .求证：AC +CD =BD .
A C
D
E B
E C
D P B A
C D B A
（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=
1
2
（AB+AC）
【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH
方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用
【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH
（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=
1
2
∠A，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD
C
M
D
B
A
D
C
B
A
C
H
G
B
A
D
P
E
A
【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 为AC 所在直线上一点，AE ∥BC ，且满足∠BDE =60°，当D 点分
别运动到如图所示情形时. （1）求∠CBD 和∠ADE 的关系；（2）求证：DB =DE ；（3）求AD 、AE 和BC 之间的关系.
三. 反馈练习
1.如图，四边形EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击
黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？
2.如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两定点，在BC 上求一点M 使△MEF 的周长最短.
G
C B A
E C D B A E D B C A C E B D
3 如图，A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，4），作∠BAO 的平分线AC 交y 轴于C ，过B 作BD ⊥
AC 于D ,求AC ：BD 的值.
4 如图，AB =AC ，若∠A =20°，在AB 上取点W ，使AE =BC .求∠BWC 的度数？
5.如图，A 、B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到A ，B 的距离只差最大.
6.如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BE 平分∠ABC 交CD 于F ，CG 平分∠ACD . 求证：BE ⊥CG
C B
W A
B A
l C F E
B D G A
7.如图，∠1=∠2，DA =DB ，AC =
1
2
AB ，求证：DC ⊥AC .
8.（1）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，求∠B ：∠C
（2）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =AC
9.如图，AM 为△ABC 的角平分线，BD =CE ，NE ∥AM ，求证：N 为BC 中点.
C D B
A
C D B A C D B A
C
D E A
10.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于O ，交AB 于E ，OF ∥BC ，交AB 于F ，AE =6，AB =18，求EF .
11.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE =
1
2
（AB +AD ）. 求∠ABC +∠ADC 的度数.
12.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，△ABE 和△ACD 都为等边三角形，F 为BE 中点，DF 交于AC 于M ，连接DE .求证：（1）AM =MC ；（2）AB 平分DE .
O
C D
B E F A B
C E
D A M
D F
E A
13.如图，△ABC 为等边三角形，CF 为∠C 的外角平分线，在BC 上任取一点D ，使∠ADE =60°，DE 交CF 于点E .求证：△ADE 为等边三角形
14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =80°，O 为三角形内一点，∠OBC =10°，∠OCB =30°，求∠BAO 的度数.
E F C D B
A C
O
B
A。