晶体的对称性教程
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(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
B
A
A B
A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2
AB 是 AB 的整数倍，
2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则
B
A
AB AB 1 2cos θ,
AB 是 AB 的整数倍，
2
2
2
2
2
2
~ AA I
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
晶体的对称性
本节主要内容:
1 对称性与对称操作 2 晶系和布喇菲原胞 3 点群的表示符号
1 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。
对称操作：使晶体自身重合的动作。
对称素： 对称操作所依赖的几何要素。
1.对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
B1
A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶
A 1
B
A
面上的一个晶列，AB为这一晶
列上相邻的两个格点。
B1
A B
A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重 合，则由于晶体的周期性，通过格 点B也有一转轴u。 B1
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， O 则
X ( x1 , x2 , x3 )
x2
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
x1 X x 2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 33
x1 X x 2 x x 3 3
a11 A a21 a 31
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O x1
操作前后，两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
Fra Baidu bibliotekx2
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
对称轴中不存在五次轴，只有1，2，
3，4，6度旋转对称轴。
(2)中心反演(i，对称素为点)
取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
x1 x1
x2 cos x3 sin
x1
R cos cos R sin sin x 2 R cos
x R sin R sin cos R cos sin 3
x2 sin x3 cos
1 0 x1 0 x1 x 0 cos sin x 2 2 x 0 sin cos x 3 3
1i
1 2 1
2m
1
3
3 3i
5
4 2
2
1 6
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
A C H E F D
A
3
4
1
3
正四面体既无四
1 2
2
D
B
4
4
度轴也无对称心
C
B
G
G
F E
H
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） (2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
B
A
A B
A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2
AB 是 AB 的整数倍，
2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则
B
A
AB AB 1 2cos θ,
AB 是 AB 的整数倍，
2
2
2
2
2
2
~ AA I
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
晶体的对称性
本节主要内容:
1 对称性与对称操作 2 晶系和布喇菲原胞 3 点群的表示符号
1 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。
对称操作：使晶体自身重合的动作。
对称素： 对称操作所依赖的几何要素。
1.对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
B1
A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶
A 1
B
A
面上的一个晶列，AB为这一晶
列上相邻的两个格点。
B1
A B
A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重 合，则由于晶体的周期性，通过格 点B也有一转轴u。 B1
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， O 则
X ( x1 , x2 , x3 )
x2
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
x1 X x 2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 33
x1 X x 2 x x 3 3
a11 A a21 a 31
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O x1
操作前后，两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
Fra Baidu bibliotekx2
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
对称轴中不存在五次轴，只有1，2，
3，4，6度旋转对称轴。
(2)中心反演(i，对称素为点)
取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
x1 x1
x2 cos x3 sin
x1
R cos cos R sin sin x 2 R cos
x R sin R sin cos R cos sin 3
x2 sin x3 cos
1 0 x1 0 x1 x 0 cos sin x 2 2 x 0 sin cos x 3 3
1i
1 2 1
2m
1
3
3 3i
5
4 2
2
1 6
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
A C H E F D
A
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4
1
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正四面体既无四
1 2
2
D
B
4
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度轴也无对称心
C
B
G
G
F E
H
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） (2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。