晶体的对称性教程
第三章--晶体对称PPT课件
对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
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12
晶体外形上可能出现的对称轴如图 I－4－I所列。
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13
一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋 转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴， 称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2 L3 L4和L6。
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14
注意
晶体中不可能出现五次或高于六次的对称 轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。 在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存 在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应 法符合于该面网上结点所围成的网孔。
第三章 晶体对称
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1
对称性
对称是一个很常见的现象。在自然界我们可 观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣的水仙花、 雪花、松树叶沿枝干两侧对称，槐树叶、榕树 叶又是另一种对称……在人工建筑中，北京的 古皇城是中轴线对称，在化学中，我们研究的 分子、晶体等也有各种对称性，有时会感觉这 个分子对称性比那个分子高，如何表达、衡量 各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些 对称。
称为晶体的对称定律。
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17
在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对 称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。 如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。
在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、 晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。
.
18
3．对称中心(C)
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。 如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端，必定可以找到 对应点。
个。它们是属于低级晶族的三斜晶系不多于一个)和斜方
晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四
固体物理§1.6晶体的对称性
A′ 1
A 1
A
A′
19
例题1：立方系的对称性简析。 例题 ：立方系的对称性简析。 (1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
20
(2)四个三度轴 空间对角线 四个三度轴(空间对角线 四个三度轴 空间对角线)
21
(3)六个 度轴 六个2度轴 六个
22
(4)三个和四度轴垂直的对称面 三个和四度轴垂直的对称面
O(对称心 对称心 )
A
( x, y, z)
y
x
A′
(− x,− y,−z)
10
(2) 2象转轴——实际上就是对镜象 。 实际上就是对镜象m。 象转轴 实际上就是对镜象
z(u轴)
A′′
A
( x, y, z)
(− x,− y, z) −
和O-xy对称面 对称面 的操作相当。 的操作相当。
O(对称心 对称心 )
z
O
A
( x, y, z)
A′
A
y
A′
x
( x, y,−z)
O-xy 相当于镜面。 相当于镜面。
8
度旋转—反演轴 象转轴) 四、n度旋转 反演轴 象转轴 度旋转 反演轴(象转轴
1.象转轴 象转轴 (1)定义 定义 先绕u轴转动 中心反演， 先绕 轴转动2π/n，再经过中心反演，晶体自动重 轴转动 ，再经过中心反演 合，则称 轴为 度旋转 反演轴，又称为 度象转轴。 则称u轴为 度旋转—反演轴 又称为n度象转轴 轴为n度旋转 反演轴， 度象转轴。 只有1， ， ， ， 。 只有 ，2，3，4，6。 (2)符号表示 符号表示 2.n度象转轴简析 度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分 度象转轴实际上并不都是独立的， 度象转轴实际上并不都是独立的 析，可以得到象旋转轴只有 4 是独立的。 是独立的。
晶体的对称性和分类PPT学习教案
对于旋转对称操作(rotational symmetry operation)来说，由于晶体周期性的限制，转角θ只能 是2π/n，n=1、2、3、4和6。
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴 为n次（或n度）旋转轴。
) a ma
m 1 2 cos
1 cos 1
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3 与m=-1,0,1,2,3相应的转角为:
2 , 2 , 2 , 2 , 2 n 1,6,4,3,2 6432
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通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简 称主轴 (但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴.
cos sin 0 1 0 0
Az sin
cos
0
0
1 0
0
0 1 0 0 1
1 0 0 11 12 13 1 0 0
Az
AzT
记为
3 3i
3 3i
1i
2m
3
5
1 1
1
1
4
2
2
6 2
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6=3+
3m 3
5 5
1
6次旋转反演轴等价于3次纯旋转 轴加上垂直于该轴的对称镜面m
，记为 6 3 m
1
6
2' 2
6 4
4
A B
D C
H G
只有具有4次旋转反演轴的晶体,
既没有4次纯旋转轴,也没有对称
中心i，但包括一个与4次旋转反
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4. 宏观对称操作和物理性质
晶体的对称性讲解
合，则由于晶体的周期性，通过格
点B也有一转轴u。
Байду номын сангаас
B1
A
A
B
A1
AB AB 1 2cosθ, AB 是 AB 的整数倍，
cos 0, 1 ,1
2
π , π ,2π
23
2π , 2π , 2π
461
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则 B
A
AB AB 1 2cosθ,
AB 是 AB 的整数倍，
x3
X ( x1, x2 , x3 )
X ( x1 , x2 , x3 )
O
x2
x1
x2 Rcos Rcos cos Rsin sin
x2 cos x3 sin
x3 Rsin Rsin cos Rcos sin
x2 sin x3 cos
x1 x2 x3
1 0 0
( x1, x2 , x3 ) 变为 ( x1, x2 , x3 )
x1 x 2 x 3
x1 x2 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
A 1
(4)旋转--反演对称
若晶体绕某一固定轴转 2π 以后，再经过中心反演,晶体自
n
身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
1i
1 2
2m
1
1
2
3 3i
3
5
1 4
6 2
6=3+m
3 3
5 5
1.6 晶体的对称性
m 1,3,1,0, 2
即：m只能取 -1, 0, 1, 2, 3
2
,
2
与m = - 1, 0, 1, 2, 3相应的cos 为:
1 1 cos =1 0 -1 2 2 2 2 2 2 2 , , , , n 1, 6, 4,3, 2 6 4 3 2
由于晶体周期性的限制，转角只能是:
3
4 2
6
2
4
4
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
总结：旋转反演对称操作中只有4度旋转反演对 称操作是独立的。 3、概括：
独立的对称操作有8种：1，2，3，4，6，i，m，4
所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合 来完成。由以上8个独立对称操作组合，可得到32种 宏观对称类型，数学上称为32个点群。
i
1
m
二、晶体的基本对称操作：
1、n度转动对称轴：晶体绕某一对称轴旋转 = 2 n 以后自身能够重合，称该轴为n度旋转对称轴。
n 1 2 3 4 6
2、n度旋转反演轴：晶体绕某一对称轴旋转 = 2 n 后，再经中心反演自身能够重合，称该轴为n度旋 转反演轴。记作 n
n
可取值有：1
2 3 4 6
注意：以上许多的操作并不都是独立的
1 中心反演，称为对称心，记作 i 2 等价于垂直于该轴的镜像操作，记作 m
1i
1 1 2 2
2m
1
3 不是基本操作，等价于3度旋转加上对称心 i。 4 是基本操作。 6 不是基本操作，等价于3度旋转加垂直于该
轴的镜像。
3 3i
3
5
3
1 1 2
4
晶体的对称实验原理
晶体的对称实验原理
晶体的对称实验原理是指在晶体学中用来确定晶体对称元素和确定晶体点群的
一种实验方法。
晶体的对称元素是指晶体中具有对称操作的元素，包括旋转轴、平面镜面、反演中心和滑移面。
晶体学家通过对晶体进行一系列对称实验，可以确定晶体中存在的对称元素，从而确定晶体点群和空间群。
对称实验的具体步骤如下：
1. 测定晶体外形：通过测量晶体的外形和尺寸，可以初步了解晶体的对称性。
2. 测定晶体的物理性质：晶体的物理性质，如光学性质、电学性质等，与晶体的对称性有关。
通过测定这些物理性质，可以推断晶体的对称元素。
3. 观察晶体的X射线衍射图样：通过观察晶体的X射线衍射图样，可以得到晶体的间距、面索引和晶体的对称元素。
4. 观察晶体的旋转显微镜图样：通过旋转显微镜观察晶体在不同旋转角度下的图样，可以确定晶体的旋转轴、反演中心和滑移面。
5. 测定晶体的点群和空间群：通过以上实验结果，可以确定晶体的点群和空间群。
这些对称实验原理和方法在晶体学中起着重要的作用，对于研究晶体的物理性质、结构和应用都具有重要意义。
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
ssp-05-晶体的宏观对称性-2014
中心反演矩阵的行列式等于-1
—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
不动也是一个操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
——
0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
—— 六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
在三维情况下，正交变换可以写成
x x ' a11 y y ' a 12 z z ' a 13
{aij }, i, j 1, 2, 3
a12 a22 a13
a13 x a23 y a33 z
B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点 且有 B ' A ' nAB — n为整数
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
B ' A ' nAB
B ' A ' AB(1 2cos )
1 2cos n
第五讲： 晶体的宏观对称性
1. 2. 3. 4. 晶体中的基本宏观对称操作 晶体中的32个点群 晶体中的空间群（73点空间群，157复杂空间群） 晶体表面的几何结构
晶体的微观对称性
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
1-4 晶体结构的对称性
2.滑移反映面
先经过某面进行镜象操作，再沿平行于 该面的某个方向平移T/2后，晶体自身重合， 则称该面为滑移反映面。（见图）
考虑了平移操作后，晶体 共有230种对称类型，B格 子共有14种对称类型，称 为14种B格子。
2 2
2.中心反演对称性(用i表示) 中心反演对称性( 表示)
以晶体中一点O为中心。将 晶体中的位矢r变为－ r以后， 晶体完全重合的操作。 O点称为反演中心。
请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
C1
3.镜象操作－－－用σ表示
在晶体中选一平面，以这平面为镜面进 行镜象操作，若操作后晶体能自身重合， 则说该晶体具有镜象操作对称性。 若镜面是与X轴垂直的Y－Z面，镜象操 作相当于坐标变换：x -x, y,z不变。 请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
强调：
• 对称性不同的晶体属 于不同的群， • 结构不同的晶体，按 对称性分类，可以属 同一类，即可属于相 同的群，例如，NaCl 和Cu均属Oh群。 • σ３ σ２
•
σ1
1 ：E，C 3,
• c3V群
•
C32,
σ 1 σ 2, σ 3
把晶体按照点对称性进行分类， 可分成32类 把B格子按照点对称性进行分 B 类，可分成7类，称为七种晶系。
三.分数周期平移T/n 平移：a.周期平移T，晶体自身重合； b.分数周期平移T/n，本身并不
能使晶体自身重合，再与转动或镜象 操作结合后才能使晶体重合，即二者 结合构成一个操作。
1.n度螺旋轴U：绕轴旋转2π/n，再
沿该轴平移 T/n的k倍，其中T为轴方 向的周期，k为小于等于n的整数， n=1,2,3,4,6。
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……） 满足以下条件，则称该集合G构成一个群。 （1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素； （4）结合律 A（BC）＝（AB）C
化学晶体对称性操作方法
化学晶体对称性操作方法化学晶体的对称性操作是描述晶体结构中存在的各类对称性操作的方法。
对称性操作可以帮助我们研究和理解化学晶体的结构和性质。
下面我将详细介绍几种常见的对称性操作方法。
1. 旋转对称性操作旋转对称性操作是指将晶体结构围绕某个旋转轴进行旋转，使得旋转前后晶体结构完全重合。
旋转轴根据旋转角度的不同尽可能地进行分类，即2倍旋转轴、3倍旋转轴、4倍旋转轴等。
例如，围绕二倍旋转轴旋转180度可以使晶体结构不变。
在晶体学中，通常用符号n来表示旋转轴，如2倍旋转轴用2表示，3倍旋转轴用3表示。
2. 反射对称性操作反射对称性操作是指将晶体结构通过镜面进行翻转，使得镜面两侧的晶体结构完全重合。
反射镜面可以是垂直平面、水平平面或倾斜平面，根据其位置和方向可分为不同的反射面。
在晶体学中，通常以hkl指数来表示反射面，其中hkl为该反射面的法线方向。
反射对称性操作常常与旋转对称性操作结合使用，形成复合对称性操作。
3. 傍轴对称性操作傍轴对称性操作是指将晶体结构按照某个傍轴进行旋转，使得沿着傍轴方向的晶体结构重复周期性地出现。
傍轴包括，n倍傍轴（n为整数），以及基于六方晶系或立方晶系的三倍傍轴。
傍轴对称性操作可以是绕轴旋转和镜面反射操作的组合。
4. 滑移对称性操作滑移对称性操作是指将晶体结构平行于某个平面上滑动一个特定的偏移量，使得滑移后的晶体结构与滑移前完全重合。
滑移对称性操作对于晶体中平面的分子或离子的排列非常重要，及其对晶体的结构和性质产生显著影响。
5. 旋转反射对称性操作旋转反射对称性操作是指将晶体结构旋转到特定的角度，然后在镜面上进行翻转。
这种对称性操作通常出现在晶体的中心对称结构中，例如立方晶系和六方晶系。
总之，对称性操作是描述晶体结构中旋转、反射、滑移等各类对称操作的方法。
借助对称性操作，我们能够更好地理解晶体的结构和性质，并且为进一步研究和应用晶体提供了基础。
通过研究晶体对称性操作，我们可以发现晶体结构中的规律和现象，为新材料的设计合成和性质预测提供重要的参考依据。
《晶体的对称性》课件
THANKS
1 2
3
X射线晶体学原理
利用X射线在晶体中的衍射现象，分析晶体结构。
应用领域
材料科学、化学、生物学等，用于研究分子结构和晶体结构 。
优势与局限性
能够提供晶体结构的精确信息，但需要大块、完整的晶体。
电子显微镜
电子显微镜原理
利用电子替代传统显微镜的光源，提高分辨率。
应用领域
材料科学、生物学等，用于观察微观结构和表面形貌。
晶体对称性的未来发展
新材料设计
新材料设计
随着科技的发展，人们将更加深入地研究和利用晶体的对称性，以设计出具有优异性能的新材料。例 如，利用特定对称性的晶体结构，可以制造出具有高强度、轻质、耐高温等特性的新型复合材料。
新型光电子器件
利用晶体的对称性，可以设计出新型的光电子器件，如光子晶体和量子点等。这些器件在光通信、光 计算等领域具有广泛的应用前景。
对称性与生物大分子的关系
生物大分子的对称性
许多生物大分子，如蛋白质和核酸等， 都具有特定的对称性。这种对称性与生 物大分子的结构和功能密切相关，对于 理解生物大分子的性质和行为具有重要 意义。
VS
对称性与生物大分子功能
研究生物大分子的对称性，可以帮助人们 更好地理解其功能和作用机制。例如，某 些对称性的蛋白质结构可以增强其稳定性 或改变其与其它分子的相互作用方式。
出的对称特性。
微观对称性可以通过晶体结构中 的对称元素来描述，如晶格点阵 中的对称中心、旋转轴、镜面等
。
微观对称性决定了晶体在微观尺 度上的物理性质，如力学、磁学
和化学性质。
晶体点群
01
晶体点群是指在晶体结构中，围绕一个点为中 心的对称操作集合。
晶体对称性
r F ( r ′) 不变 对称物体 r r r 物体 F ( r ′ ) 的一个对称变化 g X = X ′ 相同
[ ]
对称变换的两种理解方法存在着内在的本质上的 联系。分析结构模型时，第一种较为方便； 在进行理论处理时，第二种更为适用。 推论： 1)对称物体必然包含等同部分（包括镜像等同 ）； 2)对称变换的反变换也是对称变换。
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
对应于两类四面体的重合过程就是两类基本的度规不变变换。 第一类变换（本征运动）： 两个迭合等同四面体的重合过程。 定理一：任何第一类变换都可分解为平移和与之垂 直的转动的迭加（螺旋转动）。 第二类变换（非本征运动）： 两个镜象等同四面体的重合过程。 定理二：任何第二类变换都可分解为镜象反射和与 之垂直的转动的迭加（反射转动）。
ABCD 的 A 沿 q 平移至 A ′′′，然后绕 N s转动α ，就与 A ′ B ′C ′D ′ 重合（位向相同，一点重合）。 q D A t s = 0 →简单转动 特例： C α = 0 →平移 Ns B t
s
O
A ′′′ p
α
A′ B′
D′
C′
定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合
′ C C ′的中点作反射面m ； i) 过 A A ′、 BB、
ii)
A ′ B ′C ′D ′ 以 m 为镜面反射至 A ′′ B ′′C ′′D ′′，则 ′ C ′′ 到 m 面的距离相等； B ′、 A、 B、 C 到 m 面的距离分别与 A ′′、 D ′′ D C
A
B
C ′′ A ′′
D
C
A
B
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
04_10_晶体能带的对称性
2 的状态中是相 ( x ) e [ e a i 2 n x a
in
2 x a
u
k n
2 a
( x )]
可以证明 e
u
2 k n a
( x ) uk ( x ) ——
2 k n a
( x ) eikx uk ( x ) k ( x ) 2 的状态中是相同的 a
固体物理讲义_第四章 能带理论
04_10 晶体能带的对称性
1 空间群操作与算符 空间群 —— 由晶体的全部对称操作构成 简单空间群的表示： ( tl1l2l3 ) —— 点群对称操作和平移对称操作
tl1l2 l3 l1a1 l2 a2 l3a3 —— 平移晶格矢量：平移对称操作 复杂空间群的表示： ( tl1l2 l3 a ) —— 点群对称操作和平移操作 a —— 表示晶格小位移，不是晶格矢量 ( R l1a1 l2 a2 l3a3 ) 位移
结果表明在波矢 k 的状态中所观察到的物理量与在波矢 k k n 即 E (k ) E (k n
2 ) a
2) 点群对称操作对电子态的影响 引入描述点群对称操作的算符 T ( ) 对于任意函数有： T ( ) f ( r ) f ( r )
1
1 —— 的逆操作，物理意义是点 1r 经过 操作后，变换到 r 点
p 带 点波函数
m
s T ( ) s ( 1r Rm ) —— 对所有格点求和 T ( ) s [ 1 ( r Rm )] —— 原子 s 波函数具有球对称性，波函数在旋转、反演后保持不变
晶体学课件 第四章 微观对称性
第章第四章晶体的微观对称性原子或原子团位置的对称性叫做微观对称性宏观对称性微观对称性晶体3微观对称性和宏观对称性的主要区别微观对称性和宏观对称性的主要区别：1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中宏观对称性对称元素必须相交一点微观对称性中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布。
2、宏观对称性中对称元素只考虑方向，微观对称性中需要考虑对称元素的相互位置关系。
性中需要考虑对称元素的相互位置关系4点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平移复原的特性。
对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量：个阵点的位置矢量R= ma+ nb+ pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。
R可使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复以定义为晶体微观结构平移的方向矢量以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
微观对称元素= 宏观对称元素+ )平移(平移轴、螺旋轴、滑移面)5平移对称性;平移轴;平移群;I P6F C (A, B)14个布喇菲点阵→ 14个平移群三斜晶系: 简单布喇菲点阵:单斜晶系：简单布喇菲点阵，底心布喇菲点阵7a'=a b'=a'=a b'=bb c'=a +c bb c'=（a +c ）/2正交晶系简单体心面心和底心点阵正交晶系：简单、体心、面心和底心点阵四方晶系：体心和简单四方点阵三角晶系：简单三角点阵8六角晶系：简单六角点阵立方晶系：简单、面心和体心立方点阵2、螺旋对称轴A: 4; B: 4金刚石0,10,10.50751;30.50.250.75B0.50.250.75A 0,10,10,10.59n=3s=0,τ=0,3次旋转轴s=0=0s=1, τ=T/3, 3,次螺旋轴,右螺旋;,,1s=2, τ=T/3, 3次螺旋轴，左螺旋。
,,次螺旋轴螺旋215n 4次旋转轴n=4s=0，4次旋转轴；11/4T s=1, τ=1/4T ，右螺旋轴41；22/4T 双螺旋轴s=2, τ=2/4T ，中性螺旋轴42，双螺旋轴；s=3左螺旋轴s=3, τ=3/4T ，左螺旋轴43。
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1i
1 2 1
2m
1
3
3 3i
5
4 2
2
1 6
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2
A C H E F D
A
3
4
1
3
正四面体既无四
1 2
2
D
B
4
4
度轴也无对称心
C
B
G
G
F E
H
点对称操作： (1)旋转对称操作：1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示） (2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。
, x X ( x1 , x ) 2 3 可以用线性变换来表示。
X AX
x1 X x 2 x 3
a12 a22 a32 a13 a23 33
x1 X x 2 x x 3 3
a11 A a21 a 31
x1 x1
x2 cos x3 sin
x1
R cos cos R sin sin x 2 R cos
x R sin R sin cos R cos sin 3
x2 sin x3 cos
1 0 x1 0 x1 x 0 cos sin x 2 2 x 0 sin cos x 3 3
晶体的对称性
本节主要内容:
1 对称性与对称操作 2 晶系和布喇菲原胞 3 点群的表示符号
1 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。
对称操作：使晶体自身重合的动作。
对称素： 对称操作所依赖的几何要素。
1.对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为
S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
立方体对称性
(1)立方轴C4：
(2)体对角线C3：
对称轴中不存在五次轴，只有1，2，
3，4，6度旋转对称轴。
(2)中心反演(i，对称素为点)
取中心为原点， 变为 ( x1 , x2 , x3 )
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
0 1 0 A 0 cos sin 0 sin cos
晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶
A 1
B
A
面上的一个晶列，AB为这一晶
列上相邻的两个格点。
B1
A B
A1
若晶体绕通过格点A并垂直于 纸面的u轴顺时针转角后能自身重 合，则由于晶体的周期性，通过格 点B也有一转轴u。 B1
B
A
A B
A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2
AB 是 AB 的整数倍，
2π 2π 2π , , 4 6 1
π π , ,2π 2 3
相反若逆时针转 '角后能自身重合，则
B
A
AB AB 1 2cos θ,
AB 是 AB 的整数倍，
B1
A1
A
B
1 cos 0, ,1 2
θ
π 2π , ,π 2 3
θ
2π 2π 2π , , 4 3 2
2π , n 1, 2, 3, 4, 6 综合上述证明得： θ n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。
1
2
3
4
6
正五边形沿竖直轴每旋转720恢 复原状，但它不能重复排列充满一个 平面而不出现空隙。因此晶体的旋转
X ( x1 , x , x ) 2 3
X ( x1 , x2 , x3 )
O x1
操作前后，两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 X 点间距相等。
x2
x x1 x 2 x 3 x1 2 x 3
~~ ~ ~~ ~ X X AX AX XAAX XX
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
x3
X ( x1 , x2 , x3 )
, x X ( x1 , x ) 2 3
, x X ( x1 , x ) 2 3
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， O 则
X ( x1 , x2 , x3 )
x2
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n 身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
若晶体绕某一固定轴转
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：
2
2
2
2
2
2
~ AA I
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
0 1 0
0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3