函数的凹凸性在高考中的应用

函数的凹凸性在高考中的应用

崇仁二中廖国华

教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。

②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。

教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题

教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征

教学过程：

一、课题导入

1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表

班级考试人数答对人数答错人数正确率

高三（1）班（理）54 19 35 35.1%

高三（11）班（文）61 12 49 19.7%

2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题———

题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》．

图1 图2

函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。

二、新课讲授

1、凹凸函数定义及几何特征

⑴引出凹凸函数的定义：

如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与

)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。

⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：

设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：

（1）1212()()

(

)22x x f x f x f ++<

，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()

()22

x x f x f x f ++>

，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征：

几何特征1（形状特征）

图4（凹函数） 图5（凸函数）

如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则

111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点

12

2

x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

简记为：形状凹下凸上。

几何特征2（切线斜率特征）

图6（凹函数） 图7（凸函数）

设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；

简记为：斜率凹增凸减。

几何特征3（增量特征）

图8（凹函数） 图9（凸函数）

图10（凹函数） 图11（凸函数）

设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）

凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大； 凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；

简记为：增量凹大凸小。

弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了

地解决有关凹凸的曲线问题．

函数凹凸性的应用

应用1 凹凸曲线问题的求法

下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．

题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（）．

图12 图13

解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．

例1向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深ｈ的函数关系的图象如图14所示，那么水瓶的形状是（图15中的）（）．（1998年全国高考题）

图14 图15

解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的

上升的液面越来越小，故选Ｂ．

例2在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变

化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示．现给出

图16

下面说法：

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟以后温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度保持不变．

其中正确的说法是（）．

Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③

解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．

例3（06重庆理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）

A B

C D

图17

解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D．

例4（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）