数学物理方法期末复习纲要

要掌握拉普拉斯方程 亥姆霍兹方程 包括波动 输运方程 在柱坐标系下的各 种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十二章 格林函数 第七章到第十一章的分离变数法得到的解表示为多个的无穷求和 本章将偏
微分方程的解表示为积分形式 格林函数法 1 掌握格林函数是 点源影响函数 的概念 由此可将解表为积分 2 掌握 点源 的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程 3 了解格林函数的求法 4 了解方程解的积分表达式
要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十一章 柱函数 11.1) 理解三类柱函数的定义 J N H 贝塞尔 诺依曼 汉克尔函数
熟悉其渐近行为 特别是 x → 0 的行为
2
11.2) 掌握贝塞尔方程的解 特别注意 µ 本征值通常直接通过贝塞尔函数的
零点来表示 贝塞尔函数也是正交 完备 可归一的 可作为广义傅里叶级数的基 11.4) 掌握虚宗量贝塞尔方程的解 熟悉虚宗量贝塞尔函数 虚宗量汉克尔函 数的渐近行为 11.5) 掌握球贝塞尔方程的解 特别注意球贝塞尔函数 球诺依曼函数的渐近 行为
3 ∆u = 0
4 ∆v + k 2v = 0
它们在 球坐标系 r ,θ,ϕ 和 柱坐标系 ρ,ϕ, z 中分离变数时碰到的
方程包括
P.S.: (记住方程的解 方程本身的形式可看书)
1 欧拉 方程
ρ2
d 2R dρ2
+
ρ
dR dρ
−
m2R
=
0
A + B ln ρ
解为
R(
ρ
)
=
Cρm
+
D
1 ρm
)
有 渐近关系
x → 0 时 Nν → ±∞ J0( x ) → 1, Jν( x ) → 0
4 虚宗量贝塞尔方程
x2
dR 2 dx2
+
x
dR dx
−(
x2
+
m2
)R
=
0
其中 x = νρ
(记 µ = −ν2 )
方程的解为 R( x ) = C1Im( x ) + C2Km( x )
Å 常用
有 渐近关系
或 = C1hl(1)( x ) + C2hl( 2 )( x )
有 渐近关系
x → 0 时 nl ( x ) → ∞
j0( 0 ) = 1 jl ( 0 ) = 0
此外 有 欧拉型方程
r2
d 2R dr 2
+
2r
dR dr
−
l(
l
+ 1 )R
=
0
解为
R( r
)
=
Cr l
+
D
1 r l +1
6
附 一些特殊函数的具体形式
第十章 球函数
10.1) 掌握勒让德方程的解为勒让德多项式 Pl ( x )
勒让德函数是正交 完备 可归一的 所以可作为广义傅里叶级数的基
展开任意定义在[-1,1]区间上的函数 f ( x )
理解勒让德多项式的母函数以及递推公式 10.2) 掌握连带勒让德方程的解为连带勒让德多项式:
Pl m( x ) ≡ Plm(cos θ )
连带勒让德函数是正交 完备 可归一的 所以可作为广义傅里叶级数
的基 展开任意定义在[-1,1]区间上的函数 f ( x ) 10.3) 球函数的表达式 Plm(cos θ ) sin mϕ 和 Plm(cos θ )cos mϕ .
球函数是正交 完备 可归一的 所以可作为广义傅里叶级数的基 展
开任意定义在球面上的函数 f ( θ,ϕ )
(m = 0) (m ≠ 0)
2) l 阶连带勒让德方程
(1
−
x2
)
d 2Θ dx2
−
2x
dΘ dx
+
[
l(
l
+
1)
−
1
m2 − x2
]Θ
=
0
其中 x = cos θ !!
解为 Θ CPlm( x ) = CPlm(cos θ ) 称 Plm 为连带勒让德函数 P.S.: 另一线性独立解 Q 在 x = ±1 处发散 舍去
n 为奇数时 则只含 x 的奇次幂
连带勒让德多项式
P476
P11( x ) = 1− x2 = sin θ
P21( x ) = 3x
1−
x2
=
3 2
sin
2θ
=
3 sin θ cos θ
P22 (
x
)
=
3(1 −
x2
)
=
3 2
(1
−
cos 2θ
)
=
3 sin 2
θ
球贝塞尔 球诺依曼函数
j0 (
x
)
=
熟练掌握 P236 页的表格 有简表附后 是求解几个常见偏微分方程 的根本 9.2) 掌握以下线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解法
y"+ p( x )y'+q( x )y = 0

y(
x0
)
=
C1 ,
y'
(
x0
)
=
C2
1
∞
∑ 步骤 a) 将解表为泰勒级数 y( x ) = ak ( x − x0 )k k =0 b) 代回原方程 合并同幂项
第八章 分离变数法
8.1) 掌握齐次方程的分离变数解法 基本步骤见 P185 图解 或请自己总结
本节主要掌握 齐次的波动 输运 拉普拉斯方程 在各类齐次的边条
下的解法 这里通常只有两个变数 且本征函数为三角函数
8.2) 对于非齐次的振动 输运方程
方法 1 傅里叶级数法 结合 分离变数法
方法 2 冲量定理法
T' +k 2a2T = 0
Ce−k 2a 2t
∆v + k 2v = 0
Æ
解为
(
表2
)
表 2 另列 见另一文件
3
必须记住的几个常用特殊函数
勒让德多项式 连带勒让德
球贝塞尔函数
球诺依曼函数
P0( x ) = 1, P1( x ) = x = cos θ … …
P11( x ) = 1 − x2 = sin θ … …
j0 (
x
)
=
sin x
x
=
sin kr kr
x = kr
n0
(
x
)
=
−
cos x
x
……
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4
附录
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 以及 亥姆霍兹方程 分别为
1
utt − a2∆u = 0
主要考虑 齐次方程
2 ut − a2∆u = 0
u = u( r,t )
附 表1
波动方程 输运方程 的分离变数解
utt − a2∆u = 0 ut − a2∆u = 0
u( r,t ) = v( r )T( t ), 得
T"+k 2a2T = 0 ∆v+来自k2v=
0
Acos kat + B sin kat 解为 C + Dt
( 表2 )
u( r,t ) = v( r )T( t ), 得
x → 0 时 Km( x ) → ∞ x → ∞ 时 Im( x ) → ∞
I0(0 ) =1 Im(0 ) = 0 Km( x ) → 0
5 球贝塞尔 方程
r2
d 2R dr 2
+
2r
dR dr
[ k 2r 2 − l( l +1)] R = 0
方程的解为 R = C1 jl ( x ) + C2nl ( x ) (其中 x = kr ) Å 常用
当 l = 0 时 以上方程称为 勒让德方程 解为 Pl (cos θ )
3 m 阶贝塞尔方程
x2
dR 2 dx2
+
x
dR dx
+(
x2
−
m2
)R
=
0
其中
方程的解为 R( x ) = C1Jm( x ) + C2 Nm( x )
x = µρ
Å 常用
5
或
=
C1H
(1 m
)(
x
)
+
C2
H
(2 m
)(
x
数学物理方法 期末复习纲要
第七章 数学物理定解问题 7.1) 理解 “波动 振动方程” ”热传导 输运方程” 泊松方程 拉普拉斯
方程的物理意义 了解这些方程的推导过程 7.2) 掌握以下基本概念 第一 第二 第三类边界条件 初始条件 衔接
条件 齐次 非齐次(方程 边条) 7.3) 了解数理方程的分类 7.4) 理解达朗贝尔公式满足的条件 理解 定解问题是一个整体
勒让德多项式
P275
P0( x ) = 1
P1( x ) = x = cos θ
P2 (
x
)
=
1 2
(
3x2
−1)
=
1 4
(
3 cos
2θ
+
1)
P3 (
x
)
=
1 2
(
5x3
−
3x
)
=
1 8
(
5
cos
3θ
+
3 cos