中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案

中考数学一元二次方程组-经典压轴题附详细答案

一、一元二次方程

1．阅读下列材料

计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）

（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

【解析】

【分析】

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

【详解】

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

解得：x 1＝0，x 2＝﹣4

当x 2

+4x ＝﹣4时，

x 2+4x +4＝0

（x +2）2

＝0

解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.

【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】

试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据

求根公式x =求解即可.

试题解析：方程化为x 2

－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，

∴x ＝

42

±＝，

∴x 1＝2，x 2＝2

3．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；

（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】

（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣26a a + ，x 1x 2=6

a

a + ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣

66a - 是是负整数，即可得6

6a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】

（1）∵原方程有两实数根，

∴

，

∴a≥0且a≠6．

（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2

+2ax+a=0的两个实数根，

∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，

∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．

∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣

是负整数，即

是正整数．

∵a 是整数，

∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】

本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．

4．已知关于x 的一元二次方程()2

2

2130x k x k --+-=有两个实数根．

()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）13

4

k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】

()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．

()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方

程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()

1关于x 的一元二次方程()2

2

2130x k x k --+-=有两个实数根，

0∴≥，即()()22

[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，

解得134

k ≤

． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

22

2222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 22

1223x x +=，

224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，

13

4

k ≤

， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】