甘肃省学业水平测试题

永昌县第一高级中学数学学业水平测试卷

一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =

-, 则A

B 等于（ ）

A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅

2. cos120︒

的值是（ ） A . 2-

B. 12-

C. 1

2

D. 2 3. 不等式2

230x x --<的解集是（ ） A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()

(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞

4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为（ ）

A . 8 B. 2 C. 1

2

- D. 2-

5. 函数sin 2y x =是（ ）

A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9

7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪

--≤⎨⎪+-≥⎩

则2x y +的最大值为（ ）

A . 1 B.

5

3

C. 2

D. 3

8. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图

是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为（ ） A . B.

C.

D.

9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列结论中正确的是 （ ）

A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C.

D. ()+⊥a b b 10. 已知函数(

)1f x =

, 则对任意实数12x x 、

,且1202x x <<<, 都有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分）

11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .

12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公

司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x

y a

a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则

12

m n

+的最小值为 . 15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－3

5

，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝_______. 三、解答题：

16. （6分）编号分别为12312,,,

,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录

如下:

（1）完成如下的频率分布表:

（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.

()()1221x f x x f x <()()1122

x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()

1221x f x x f x >()

100mx ny mn +-=>正视图 侧视图

俯视图

()()1122x f x x f x

<

17．（8分）在△ABC 中，角A 、B 、

C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知1

3,2,cos 3

a b A ===． （1）求sin B 的值；（2）求c 的值.

18．（8分）如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ． （1）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；若不存在,

（2）求证：PA BC ⊥.

19. （8分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12

111n n T S S S =+++

，求证：34

n T <.

20. （10分）已知

1

13

a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,

令()()()g a M a N a =-.

（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.

附加题（10分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2. （1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求 的取值范围.

12

1

d d -

高中数学学业水平测试复习题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11. 1,2⎛⎫

+∞

⎪⎝⎭

12. ()1,2,3-- 13. 72 14.

3+三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． (1) 解:频率分布表:

………4分 (2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A , {}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,

{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. ………7分

“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,

{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. ………10分

所以()8

0.810

P B =

=. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为 0.8. ………12分

16．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． （1）解：∵0A π<<，1

cos 3

A =

，

∴sin 3

A ==． ………2分 由正弦定理得：

sin sin a b

A B

=

， ………4分

∴2sin 3sin 39

b A

B a

=

==. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3

a b A ===

， ∴

2221

23b c a bc +-=. ………8分 ∴

222231

223

c c +-=⨯， 解得3c =. ………12分

17．本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力

和运算求解能力．满分14分．

（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面PAC , 点E 是线段AB 的中点. …2分 下面证明//DE 平面PAC :

取线段AB 的中点E , 连接DE ， (3)

∵点D 是线段PB 的中点，

∴DE 是△PAB 的中位线. .........4 ∴//DE PA . (6)