人教新课标版数学高二-数学选修1-1基础巩固 1-1-2 四种命题及其相互关系
高二数学 (人教a版)选修1-1教案：1.1.2四种命题间的相互关系
§1．1.2 四种命题间的相互关系五．体验与运用例1:设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解：逆命题“当时，若，则”．否命题“当时，若，则”．否命题为真．逆否命题“当时，若，则”．逆否命题为真．课堂练习写出命题：“若xy = 6则x = 3且y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假例2：证明：若022=+yx，则0==yx。
练习：已知a,b两直线是异面直线,且点A与B,C与D分别是直线a,b 上的相异点求证:直线AC与BD必异面通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据六、小结与反思课堂小结1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论,一般大前提不变．2．在命题真假性的判断中,要借助原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,学会利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．通过学生自己的小结，将新知识系统化、重点化。
通过学生的反思，使学生意识重点和难点，提高学习效率。
课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。
2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题 ④“A B B =U ，则A B ⊇”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除 6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题 ②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A I A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.0 8．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。
人教课标版高中数学选修2-1基础训练：四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系1、命题“若A ∩B =A ,则A ⊆B ”的逆否命题是( )A.若A ∪B ≠A ,则A ⊇BB.若A ∩B ≠A ,则A BC.若A B ,则A ∩B ≠AD.若A ⊇B ,则A ∩B ≠A2、命题“若a >-3,则a >-b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.43、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是( )A.若2x ≥1，则x ≥1或x ≤1-B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若x ≥1或x ≤1-，则2x ≥14、一个命题与他们的逆命题.否命题.逆否命题这4个命题中( )A.真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数5、_________"c bx ax y ,0ac 4b ,0a ''22的否命题为恒为负则且若++=<-< 其真假情况是原命题为______,否命题为_______.6、有下列命题：①x ，y ∈R ，若x 2+y 2=0，则x 、y 全为零；②“全等的三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ﹥1，则mx 2–2（m +1）x +m –3﹥0的解集为R”的逆命题；④“若a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题.其中正确的是______.（填上所有正确命题的序号）7、命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为__________.8、下列三个命题⑴ “正方形是菱形”的否命题⑵ “若ac 2＞bc 2，则a ＞b”的逆命题⑶ 若m ＞2，则不等式x 2－2x ＋m ＞0的解集为R ，其中真．命题为_________．(请把你认为正确的命题前面序号填在横线上)9、，函数y=ax+b的值随x值的增加而增加”的否命题_______________________________________________________.参考答案1、C2、B解析:命题“若a>-3,则a>-b”的逆命题为“若a>-b,则a>-3”为假命题,则它的否命题“若a≤-3,则a≤-b”也必为假命题;它的逆否命题“若a≤-b,则a≤-3”为真命题.故真命题的个数为2.3、D4、C5、若a≥0或b2-4ac≥0则y=ax2+bx+c不恒为负;真;真. 6、①④7、0 8、⑶9、当a>0时，函数y=ax+b的x值不增加，y值也不增加.。
高二数学(人教A版)选修1-1导学案：1.1.2-1.1.3四种命题及相互关系(无答案)
编号： gswhsxxx1-1----01-02文华高中高二数学选修1-1 §《四种命题及其互相关系》导教案学习目标：1.知道四种命题的观点.认识四种命题的结论。
会写出某命题的抗命题，否命题和逆否命题.2.记着四种命题的关系 .3.会利用命题的等价性解决问题要点难点：要点：四种命题及其关系难点 :利用命题的等价性解决问题.学习方法：．在本节的学习中，不要去照本宣科形式化的定义与模式，而应多经过详细实例，发现四种命题形式间的逻辑关系，并能利用这类关系对命题真假作出判断，进而领会正难则反省想的应用 .感情态度与价值观：经过本节的学习领会经过不一样的变换解决问题，体验学习的快乐。
学习过程一．知识链接（提出问题）：认真阅读以下四个命题的条件和结论：（1）若 f(x) 是正弦函数，则 f(x) 是周期函数；(2) 若 f(x) 是周期函数；则 f(x) 是正弦函数；（3）若 f(x) 不是正弦函数，则 f(x) 不是周期函数；(4)若 f(x) 不是周期函数，则 f(x) 不是正弦函数②命题（ 1）与命题（ 2），思虑①它们分别是真命题仍是假命题？（3），（4）的条件和结论之间分别有什么关系？③你能说出此中随意两个命题之间的互相关系吗？二．自主学习：阅读教材P4-P8 相关内容解决以下问题:1.四种命题的观点一般地，①对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做.此中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的.也就是说，假如原命题为“若p，则 q”，那么它的抗命题为.②对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的条件的否认和结论的否认，我们把这样的两个命题叫做. 假如把此中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p ，则q”，那么它的否命题为.③对于两个命题，此中一个命题的条件和结论恰巧是另一个命题的结论的否认和条件的否认，我们把这样的两个命题叫做.假如把此中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的.也就是说，如果原命题为“若p ，则q”，那么它的逆否命题为.2.四种命题的互相关系：3.四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性.(2)两个命题为互抗命题或互否命题，它们的真假性三：合作研究 :研究点一四种命题的观点针对知识链接提出四个命题：1回答思虑提出的三个问题2若 (1)为原命题，则 (2)为(1)的 ________命题， (3)为 (1)的 ________命题， (4)为(1)的________命题 .3在四种命题中，原命题是固定的吗？研究点二四种命题的关系1经过以上学习，你以为假如原命题为真，那么它的抗命题、否命题的真假性是如何的？它的逆否命题的真假性如何？2四种命题中，真命题的个数可能为多少？研究点三等价命题的应用我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，能够经过证明它的逆否命题为真命题，来间接地达到证明原命题为真命题 .之目的。
人教版高中数学选修1-1教案：1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系
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让学生结合所举例子，思考： 若原命题为“若 P，则 q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命 题应分别写成什么形式？ 学生通过思考、分析、比较，总结如下： 原命题：若 P，则 q．则： 逆命题：若 q，则 P． 否命题：若￢P，则￢q． （说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定 符号． “￢p”表示 p 的否定；即不是 p；非 p） 逆否命题：若￢q，则￢P． ６．巩固练习 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假： （１） 若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等； （２） 若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除； （３） 若 x =1,则 x=1； （４） 若整数 a 是素数，则是 a 奇数。 ７．思考、分析 结合以上练习思考：原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系？ 通过此问，学生将发现： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③原命题为真，它的逆否命题一定为真。 原命题为假时类似。 结合以上练习完成下列表格： 原 真 命 题 逆 真 假 假 假 真 假 真 命 题 否 命 题 逆 否 命 题
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
＝
1 1 1 2 2 2 ２ ［ （p －q） ＋（p ＋q） ］≥ （p ＋q） ＞ ×２ 2 2 2
高二年级数学（文科） 集 体 备 课 教 案
项目
内容
1.1.2 四种命题
课题
1.1.3 四种命题的相互关系
修改与创新 （1 课时）
1.知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概 念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四 种命题的真假． 2.过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现 教学 问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象 目标 概括能力和思维能力． 3.情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积 极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
人教版高中数学选修1-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
三维目标
1．知识与技能 (1)了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念． (2)掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假. 2．过程与方法 多让学生举例，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能 力；培养学生的抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及分析 问题和解决问题的能力．
备课素材
对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则 |a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都 把它作为大前提． 在写一个命题的否命题时要将命题中的关键词语改写成否定词语，特别地，“且” 的否定是“或”，“都是”的否定是“不都是”等．
备课素材
[例]写出下列命题的逆命题、否 命题和逆否命题． (1)若 a＋ 5是有理数，则 a 是无 理数； (2)若 ab＝0，则 a，b 中至少有 一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线 平行．
解： (1)逆命题：若 a 是无理数，则 a＋ 5是 有理数； 否命题：若 a＋ 5不是有理数，则 a 不是无 理数； 逆否命题：若 a 不是无理数，则 a＋ 5不是 有理数．
新课导入
[导入一] 情景引入 在商品大战中，广告成了电视节目中一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟 谙这样的命题变换艺术，如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效 果相当大．哪个家庭不希望幸福呢，掏钱买一盒就得了．你能写出其广告词的一 个等价命题吗？
高二数学(人教A版)选修2-1基础巩固强化：1-1-2四种命题及其相互关系.docx
高中数学学习材料唐玲出品基础巩固强化一、选择题1．(2012·重庆文，17)命题“若p则q”的逆命题是()A．若q则p B．若綈p则綈qC．若綈q则綈p D．若p则綈q[答案] A[解析]本题考查四种命题，由逆命题定义，命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，选A.2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0[答案] C[解析]原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠－1，则x2≠1[答案] C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若綈p则綈q”．4．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1[答案] D[解析]“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，x2<1的否定为x2≥1.5．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案] A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0须b＝0，即a，b不全为0，故选A.6．原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A．0个B．1个C．2个D．4个[答案] C[解析]当c＝0时，c2＝0，故原命题是假命题；若ac2>bc2，则必有c2≠0，∴c2>0，∴a>b，故逆命题为真命题，∴否命题为真，逆否命题为假，故选C.二、填空题7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为________．[答案]若a∉B，则a∉A.8．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________________________．[答案]圆的切线到圆心的距离等于圆的半径三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a ＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b 不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真.。
最新人教版高中数学选修1-1《四种命题的相互关系》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、四种命题之间的关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题或逆否命题.四种命题间的相互关系如下图所示.一般地，这四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：这四种命题的真假性的关系如下：两个命题若互为逆否命题，则它们具有相同的真假性；两个命题若互为逆命题或互为否命题，则它们的真假性没有关系.重点提示原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.二、间接证明有关问题由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明问题的方法叫做反证法.用反证法证明命题的一般步骤是:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾；由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.联想发散反证法证明问题的类型(1)某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、不存在等；(2)某些命题的结论以至少、至多、唯一等形式出现；(3)某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；(4)某些命题的直接证法较困难.有些命题,虽然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以上形式,或很容易化归为以上形式的命题均可用反证法证明.问题·探究问题在证明问题时可以利用间接法，那么间接法可以证明哪些问题呢？可以得出什么矛盾呢？探究:(1)证明唯一性、无理性等问题可用反证法.(2)命题以否定的形式出现(如不存在、不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”等指示性词语,此时也可选用反证法.(3)若从正面考虑解决不好入手或比较麻烦,可以从命题的反面入手解决.(4)得出的矛盾一般有三种情况.一是与原命题的已知条件矛盾；二是与自身矛盾；三是与另一个已知的真命题（如定理、公理、定义、公式或与实际）相矛盾.典题·热题例1 列说法是否正确？为什么？ （1）x 2=y 2⇔x=y ；（2）x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y.思路分析：在（2）中，由于是不等量关系，不易判断，所以可以考虑判断它的逆否命题，在逆否命题中，不等关系就转化为等量关系了. 解：（1）显然不正确；（2）“x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y”的逆否命题为:“x=y 且x=-y ⇔x 2=y 2”.我们可以看出x=y 且x=-y ⇒x 2=y 2，但x 2=y 2不能推出x=y 且x=-y ，从而逆否命题不正确. 故原命题不正确.即x 2≠y 2⇔x≠y 或x≠-y 不正确.深化升华 将不等关系通过转化为等量关系，有利于问题解决. 例2 判断命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.思路分析：可以直接进行逻辑推理判断，可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题等价使问题等价获解. 解：∵m>0,∴4m+1>0，方程x 2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴原命题“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”为真命题.因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为真命题.例3 若a 、b 、c 均为实数,且a=x 2-2y+2π,b=y 2-2x+3π,c=z 2-2x+6π.求证:a 、b 、c 中至少有一个大于0.思路分析：本题主要考查用间接法证明问题，可以利用互为逆否命题两个命题的等价性间接证明.首先写出它的逆否命题，然后证明逆否命题正确. 证明：(用反证法)假设a 、b 、c 都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0. a+b+c=x 2-2y+2π+y 2-2z+3π+z 2-2x+6π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.∵π-3>0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾. 因此,a 、b 、c 中至少有一个大于0.深化升华 含有“至多、至少”类型的命题常用反证法证明.命题以否定的形式出现也可以选用反证法证明.例4 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a 、b ∈R .对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论； (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.思路分析：本题主要考查四种命题的定义.由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个问题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，间接地证明原命题为真命题.解：(1)逆命题：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.该逆命题为真命题. 用反证法证明： 假设a+b<0, 则a<-b,b<-a.∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).这与题设相矛盾,∴逆命题为真.(2)逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明：∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).∴逆否命题为真.深化升华互为逆否命题的两个命题,在证明其中一个的真假性时,可转而去证明它的等价命题.。
人教A版高二数学选修1-1 专题1-1-2四种命题及其相互关
1.1.2 四种命题及其相互关系（学案）一、知识梳理我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.二、讲解新课：探究（一）：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？1．上面的四个命题都是形式的命题，可记为，其中p是命题的条件，q是命题的结论．2．在上面的例子中，命题（2）的分别是命题（1）的，我们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互否命题．命题（4）的分别是命题（1）的，这两个命题称为互为逆否命题．3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“若p则q”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题；就叫做原命题的逆否命题．4.四种命题之间的关系：5.四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.二、典例解析题型一四种命题的概念例1.命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是( )A．若a2>b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2点评：写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．跟踪训练1. 命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”题型二 命题的真假判断例2.对于下列说法正确的是( )A .若()f x 是奇函数，则()f x 是单调函数B .命题“若220x x --=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则220x x --=”C .命题:,21024x p x R ∀∈>，则0:p x R ⌝∃∈，021024x <D .命题“()2,0,2x x x ∃∈-∞<”是真命题点评：在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手.跟踪训练2. 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”；③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．题型三 四种命题关系的应用例3.证明：若p 2 ＋ q 2＝2，则p ＋ q ≤ 2．点评：利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练3.证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．。
高二人教A版高中数学选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系
(2)命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否
(A)若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
(B)若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
(C)若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 (D)若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 解析:(1)由否命题定义可知,其否命题是“若a≠0,则ab≠0”.故选C. (2)由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命题为“若loga2≥0,则函数f(x)=
1.四种命题的概念 (1)互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件 ,这 样的两个命题叫做互逆命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个命题叫做 原命题的 逆命题 . (2)互否命题:一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定 和 结论的否定 ,这样的两个命题叫做互否命题,把其中的一个命题叫做原命 题,另一个命题叫做原命题的 否命题 .
1 1 1 ≥2 x =2.当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号,即原命题 x x x
1 ≥2,则 x∈[1,+≦). ” 错 x
为真命题,则逆否命题为真命题.命题的逆命题为“若 x+
方法技巧
写出一个命题的其他三种命题的步骤
(1)分析命题的条件和结论; (2)将命题写成“若p则q”的形式;
(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.
即时训练1-1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.
人教版高中数学选修1-1第一章1.1四种命题之间的相互关系及真假判断1
§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假关系判断[教学目的]使学生掌握四种命题的相互关系及真假关系.[教学过程]一、复习引入⒈四种命题的形式是什么？答：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┐p则┐q；逆否命题：若┐q则┐p.⒉什么叫互逆命题？互否命题？互为逆否命题？答：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题就叫做互逆命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这样的两个命题就叫做互否命题；如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这样的两个命题就叫做互为逆否命题.⒊根据问题2，你能说出四种命题之间的相互关系和真假关系吗？这是今天我们要学习的主要内容.二、学习、讲解新课⒈四种命题的相互关系经过前面的学习，我们已经有了四种命题的概念，而且知道互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：⒉四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a≠0，则ab≠0”是假命题.⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab≠0，则a≠0”是真命题.结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.⒊巩固新课，反馈矫正例（P例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命32题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.练习：课本P练习：1，2.32答案：1.⑴正确；⑵正确.2.⑴逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.⑵逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.三、小结本节课我们主要学习了四种命题之间的相互关系和真假关系，两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题）.四、布置作业内容，熟悉巩固有关概念和方法.(一)复习：课本P31-32(二)书面：课本P习题1.7：3，4.33-34答案：3.⑴真；⑵假；⑶真；⑷真.4.⑴逆命题：若a是无理数，则a+5是无理数.逆命题为真.否命题：若a+5不是无理数，则a不是无理数 .否命题为真 .逆否命题：若a不是无理数，则a+5不是无理数.逆否命题为真.⑵逆命题：若一个四边形的两条对角线相等，则它是矩形.逆命题为假.否命题：若一个四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等 .否命题为假.逆否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则它不是矩形.逆否命题为真.(三)思考题：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？反证法.(四)预习：课本P32-33。
高二数学选修1-1、1-2数学知识点
选修1－1、1-2数学知识点第一部分 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二部分 圆锥曲线1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 23、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
2021年高二人教版数学选修1-1练习：1.1.24种命题及其相互关系 Word版含答案
►根底梳理1．四种命题的概念．(1)一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认,我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题 "假设函数f(x)＝log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 ,那么log a2<0〞的逆否命题是(A)A．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数B．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内不是减函数C．假设log a2≥0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数D．假设log a2＜0 ,那么函数f(x)＝log a x(a>0 ,a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ,真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．假设命题p的逆命题为q ,命题q的否命题为r ,那么p是r的逆否命题．解析：设p为： "假设m ,那么n〞 ,那么q为： "假设n ,那么m〞 ,所以r为： "假设綈n ,那么綈m〞．故p是r的逆否命题．1． "假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0 ,那么x ,y全为1〞的否命题是(B)A．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y全不为1B．假设x ,y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0 ,那么x ,y不全为1C．假设x ,y∈R且x ,y全为1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝0D．假设x ,y∈R且xy≠1 ,那么(x－1)2＋(y－1)2＝02．以下命题中,不是真命题的是(D)A． "假设b2－4ac>0 ,那么二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根〞的逆否命题B． "四边相等的四边形是正方形〞的逆命题C． "x2＝9 ,那么x＝3〞的否命题D． "内错角相等〞的逆命题3．命题 "a ,b是实数,假设|a－1|＋|b－1|＝0 ,那么a＝b＝1〞,用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：假设a≠1或b≠14．命题： "a ,b ,c ,d是实数,假设a＝b ,c＝d ,那么a＋c＝b＋d.〞写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．答案：逆命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c＝b＋d ,那么a＝b ,c＝d.假命题．否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a≠b或c≠d ,那么a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：,a ,b ,c ,d是实数,假设a＋c≠b＋d ,那么a≠b或c≠d.真命题．5．函数y＝f(x)是R上的增函数,对a,b∈R,假设f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立,证明a ＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a ,b∈R ,假设a＋b<0 ,那么f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：假设a＋b<0 ,那么a<－b ,b<－a ,又因为y＝f(x)是R上的增函数 ,所以f(a)<f(－b) ,f(b)<f(－a) ,所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) ,即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性 ,所以求证成立．1．否认结论 "至|多有两个解〞的说法中,正确的选项是(C)A．有一个解B．有两个解C．至|少有三个解D．至|少有两个解2．以下说法中正确的选项是(D)A．一个命题的逆命题为真,那么它的逆否命题一定为真B．"a>b〞与 "a＋c>b＋c〞不等价C． "a2＋b2＝0 ,那么a ,b全为0〞的逆否命题是 "假设a ,b全不为0 ,那么a2＋b2≠0〞D．一个命题的否命题为真,那么它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题 ,有着一致的真假性．3．原命题 "假设两个三角形全等 ,那么这两个三角形面积相等〞 ,那么它的逆命题、否命题、逆否命题中 ,真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．有以下四个命题：① "假设x ＋y ＝0 ,那么x 、y 互为相反数〞的逆命题；② "假设a >b ,那么a 2>b 2〞的逆否命题；③ "假设x ≤－3 ,那么x 2＋x －6>0〞的否命题；④ "假设ab 是无理数 ,那么a 、b 是无理数〞的逆命题．其中真命题的个数是(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．命题 "假设c >0 ,那么函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点〞的逆否命题的是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ,那么c ≤0.答案：假设函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．假设命题p 的否命题是q ,命题q 的逆命题是r ,那么r 是p 的逆命题的________． 解析：此题主要考查四种命题的相互关系．显然 ,r 与p 互为逆否命题．答案：否命题7．(x －1)(x ＋2)＝0的否认形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠08．命题 "假设a >b ,那么2a >2b －1〞的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：假设a ≤b ,那么2a ≤2b －19．有以下五个命题：① "假设a 2＋b 2＝0 ,那么ab ＝0〞的逆否命题；② "假设a >b ,那么ac >bc 〞的逆命题③ "假设a <b <0 ,那么1a >1b〞的逆否命题； ④ "假设1a <1b<0 ,那么ab <b 2〞的逆否命题； ⑤ "假设b a ＞a b,那么a <b <0〞的逆命题 其中假命题有________．解析：①逆否命题为 "假设ab ≠0 ,那么a 2＋b 2≠0〞 ,这是一个真命题．②逆命题为 "假设ac >bc ,那么a >b 〞 ,这是一个假命题．③原命题是一个真命题 ,所以逆否命题也为真命题．④假设1a <1b<0 ,那么b <a <0 ,那么ab >b 2故原命题为真命题 ,所以逆否命题也为真命题． ⑤逆命题为 "假设a <b <0 ,那么b a >a b〞． 假设a <b <0 ,那么⎩⎨⎧－a >－b >0 1b <1a <0那么⎩⎨⎧－a >－b >0－1b >－1a >0 故a b >b a .故这是一个假命题．答案：②⑤10．假设a ,b ,c 均为实数 ,且a ＝x 2－2y ＋π2 ,b ＝y 2－2z ＋π3 ,c ＝z 2－2x ＋π6,求证：a ,b ,c 中至|少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ,b ,c 都不大于0 ,即a ≤0 ,b ≤0 ,c ≤0 ,那么a ＋b ＋c ≤0 ,而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3 ,显然a ＋b ＋c >0 ,这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ,b ,c 中至|少有一个大于0.►体验（高|考）1．给出命题：假设函数y ＝f (x )是幂函数 ,那么函数y ＝f (x )的图象不过第四象限 ,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假 ,易知原命题是真命题 ,那么其逆否命题也是真命题 ,而逆命题、否命题是假命题 ,故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中 ,真命题有一个 ,选C.2．a ,b ,c ∈R ,命题 "假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3〞的否命题是(A )A ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3B ．假设a ＋b ＋c ＝3 ,那么a 2＋b 2＋c 2<3C ．假设a ＋b ＋c ≠3 ,那么a 2＋b 2＋c 2≥3D ．假设a 2＋b 2＋c 2≥3 ,那么a ＋b ＋c ＝33．命题 "假设一个数是负数 ,那么它的平方是正数〞的逆命题是(B )A ．假设一个数是负数 ,那么它的平方不是正数B ．假设一个数的平方是正数 ,那么它是负数C ．假设一个数不是负数 ,那么它的平方不是正数D ．假设一个数的平方不是正数 ,那么它不是负数4．命题 "假设p 那么q 〞的逆命题是(A )A ．假设q 那么pB ．假设綈p 那么綈qC ．假设綈q 那么綈pD ．假设p 那么綈q5．命题 "假设a ＝π4,那么tan α＝1〞的逆否命题是(C ) A ．假设α≠π4,那么tan α≠1 B ．假设α＝π4,那么tan α≠1 C ．假设tan α≠1 ,那么α≠π4πD．假设tan α≠1 ,那么α＝4。
高二数学(人教A版)选修1-1基础巩固强化：1-1-2四种命题及其相互关系
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作基础巩固强化一、选择题1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案] D[解析]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1，或x<－1，则x2>1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1[答案] D[解析]－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，x2<1的否定为x2≥1，故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D.3．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是()A．若a＝0或b＝0，则ab＝0B．若ab≠0，则a≠0或b≠0C．若a≠0且b≠0，则ab≠0D．若a≠0或b≠0，则ab≠0[答案] C[解析]命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”．4．(2012·宿州高二检测)命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则()A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假[答案] C[解析]如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．5．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题[答案] D[解析]∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4B．3C．2D．0[答案] C[解析]“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”为真，故逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”为假，故否命题为假．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．[答案]真[解析]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.9．命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．[答案] 2[解析]命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”是假命题，故其逆否命题是假命题；该命题的逆命题是“若函数f(x)是一次函数，则函数f(x)＝ax＋b”为真命题，故其否命题是真命题．三、解答题10．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．[解析]“若p，则q”的形式：若两个三角形全等，则它们的面积相等．逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系
由原命题和它的逆否命题等价,知它的逆否命题为真命题. 反思 在判断命题的真假时,如果直接判断有难度,可以利用原命 题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性,先判断等价命题的真假, 再由等价命题的真假来确定该命题的真假.
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M 1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
易错点 写错否定词致错
【例3】 写出命题“两个有理数的和是有理数”的否命题. 错解“若两个数不是有理数,则它们的和不是有理数”. 错因分析把原命题改为“若p,则q”的形式为“若两个数是有理数, 则它们的和是有理数”,其中的“是”是指“都是”之意,错解中忽视了 这一点. 正解“若两个数不都是有理数,则它们的和不是有理数”. 反思 要注意对命题中隐含条件的挖掘.
D典例透析 IANLI TOUXI
解法一原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不 等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下: ∵抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7, 又a≥2,∴4a-7>0,即抛物线与x轴有交点, ∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集, 故原命题的逆否命题为真.
若a+b<0,则a<-b,b<-a, 又因为f(x)在(-∞,+∞)内是增函数, 所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). 所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 即原命题的逆否命题为真命题. 所以原命题为真命题.
高二数学选修1-1_知识归纳：命题及其关系
1.1命题及其关系1.概念：命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
真（假）命题：在命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
命题的构成：在数学中，“若，则”是命题的常见形式，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。
2.理解命题的概念要判断某个句子是否是命题，首先要看这个句子的句型。
一般的，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次要看能不能判断真假，不能判断真假的语句，就不是命题。
例如：①把门关上；②垂直于同一条直线的两直线一定平行吗？③空集是任何集合的真子集。
①是祈使句，②是疑问句，所以①②都不是命题。
③是陈述句，也能判断真假，所以是命题，而且是假命题。
3．命题真假的判断当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这种命题真假的办法：⑴若由“”经过逻辑推理得出“”，则可确定“若，则”是真；确定“若，则”为假，则只需举一个反例说明即可。
⑵从集合的观点看，我们建立集合、B＝｛x q(x)成立｝与命题中的p、q之间的一种特殊联系：设集合B＝｛x q(x)成立｝，B＝｛x q(x)成立｝，就是说，A是全体能使条件p成立的对象5x＞4x所构成的集合，B＝｛x q(x)成立｝是全体能使条件q成立的对象5x＞4x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A 5x＞4x B＝｛x q(x)成立｝时满足。
4.四种命题概念①如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；②如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题；③如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做逆否命题．换一种表述：①交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；②同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题③交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．5.四种命题之间的相互关系①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真；③原命题为真，它的逆否命题一定为真．6.反证法的一般步骤：①假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：否定结论→推出矛盾→肯定结论。
高中数学人教A版选修1-1课件：1.1.2+1.1.3+四种命题+四种命题间的相互关系
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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做一做3 命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命
(方法二)命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,
则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命
题是假命题.
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1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
探究一
探究二
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(3)逆否命题
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的
结论的否定和条件的否定,那么我们把这样的两个命题叫做互为逆
否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命
题的逆否命题.也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命
不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：1-1-2《四种命题及其相互关系》
为真．
[ 点评 ] 当直接证明一个命题的真假有困难时，往往 需转化为证明其逆否命题的真假，如原命题是全称命题或 存在性命题，或原命题是以否定形式给出的时候，往往会 采用这种思路．
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是 A．0 [答案] B B．1 C．2 ( D．3 )
[ 解析 ]
题．
(1)“ 若 x ＋ y≠0 ，则 x 、 y 不是相反数 ” 是真命
(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为a<b， 但a2＝1，b2＝0，a2>b2，故是假命题． (3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出一个具
体的命题，②写出它的否命题及逆否命题，判断其真假并 证明．解答这类题关键是根据命题的特点，选择合适的证 明方法．
[解析]
(1)①否命题：如果a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)
＋f(－b)为真命题． ②当a＋b<0时，a<－b， ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． ∴f(a)<f(－b)，
的内接四边形，为真．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形 的对角不互补，为真．
(3)该命题为假．
逆命题：若二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴有公 共点，则b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数 图象与x轴无公共点，为假．
又由a＋b<0，可知b<－a，
人教新课标版数学高二-数学选修2-1能力拓展 1-1-2 四种命题及其相互关系
能力拓展提升一、选择题11．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是()A．若A∪B≠A，则A∩B≠BB．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠AD．若A∪B≠A，则A∩B＝B[答案] A[解析]否命题对命题的条件和结论都否定．12．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误，选B.13．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[答案] C[解析]特例：p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B.故s是t的否命题．14．已知命题p：“若a>b>0，则log12a<log12b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．4[答案] C[解析]对于命题p，当a>b>0时，有log12a<log12b，则必有log12a<log12b＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log12a<log12b＋1时，得log12a<log12b2，即a>b2>0，此时不一定有a>b>0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C.二、填空题15．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线，其逆命题为________(真、假)．[答案]假[解析]逆命题为：在空间中，若四个点中任何三点不共线，则这四点不共面，假命题．如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．16．“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为____________，否命题为________________．[答案]对角线互相平分的四边形为平行四边形不是平行四边形的四边形对角线不互相平分[解析]原命题为：若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分，故逆命题为：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形为平行四边形，否命题为：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不能互相平分．三、解答题17．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)平面内，两条平行直线不相交．[解析](1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2)原命题：在同一平面内，若两条直线是平行直线，则它们不相交；逆命题：在同一平面内，若两条直线不相交，则它们平行；否命题：在同一平面内，若两条直线不是平行直线，则它们相交；逆否命题：在同一平面内，若两条直线相交，则它们不平行．18．已知a，b∈R，且a2－4b>0.写出命题“若a＋b＋1<0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析]逆命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若方程x2＋ax＋b＝0的两根满足x1<1<x2，则a＋b＋1<0.否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若a＋b＋1≥0，则方程x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2.逆否命题：已知a，b∈R，且a2－4b>0，若x2＋ax＋b＝0的两个实根不满足x1<1<x2，则a＋b＋1≥0.下面对真假进行判断：(1)令f(x)＝x2＋ax＋b.∵f(1)＝a＋b＋1<0，f(x)的图象为开口向上的抛物线，∴x2＋ax＋b＝0的两个实根满足x1<1<x2，故原命题为真命题．(2)∵方程x2＋ax＋b＝0的两实根满足x1<1<x2，∴(x1－1)(x2－1)<0，x1＋x2＝－a，x1x2＝b，∴a＋b＋1<0，故逆命题为真命题．由四种命题的关系可知，否命题和逆命题都是真命题．。
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基础巩固强化
一、选择题
1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案] D
[解析]将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
[解析]－1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，
x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D.
3．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是()
A．若a＝0或b＝0，则ab＝0
B．若ab≠0，则a≠0或b≠0
C．若a≠0且b≠0，则ab≠0
D．若a≠0或b≠0，则ab≠0
[答案] C
[解析]命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”．
4．(2012·宿州高二检测)命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则()
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[答案] C
[解析]如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
5．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()
A．原命题、否命题B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题
[答案] D
[解析]∵原命题为真，逆命题为假，
∴逆否命题为真，否命题为假．
6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()
A．4B．3C．2D．0
[答案] C
[解析]“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”为真，故逆否命题为真，
逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”为假，
故否命题为假．
二、填空题
7．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．
[答案]真
[解析]∵原命题为真，∴其逆否命题为真．
8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
[答案]逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.
9．命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
[答案] 2
[解析]命题“若函数f(x)＝ax＋b，则函数是一次函数”是假命题，故其逆否命题是假命题；该命题的逆命题是“若函数f(x)是一次函数，则函数f(x)＝ax＋b”为真命题，故其否命题是真命题．
三、解答题
10．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析]“若p，则q”的形式：
若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等.。