数模(微分方程模型)1

一 马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料 后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=bd,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的 人口指数增长模型 。
分析与建模： 人口的净增长率是一个常数，也就是单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。 设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0， 则
x 0
tan
g
S
l
(1 y2 )dx
S 0 这就是绳索曲线满足的微分方程。设 OP a, 则上面微分方程的初值条件为 (1 y2 )dx y 令y p, y
x 0
g
x
a, y x 0 0
解得
dp ，则上述二阶微分方程化为 dx dp g 1 p2 dx S g ln( p 1 p 2 ) x C1 S
所以绳索上各点所受张力总沿着绳索的切线方向。这样， PQ这段绳索在P点所受的张力是水平的，设其大小为S . 在Q点所受张力与x轴正向成角，设其大小为T，则这段 绳索所受重力及两个张力恰好平衡，所以
T sin gl , T cos S 上面两式相除，得
设绳索曲线方程为y y ( x), 则 tan y, l 于是 y
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
v0 t y 即有 y' 1 x 即 v0 t (1 x) y' y
(1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍， 即

x
0
1 y '2 dx 5v0t
(2)
由(1),(2)消去t, 整理得模型: 1 (1 x ) y" 1 y '2 (3) 5 初值条件为: y(0) 0 y' (0) 0
量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
从而有： dN r ( N ) N （ 1） (3)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限
对（3）分离变量：
两边积分并整理得：
令N(0)=N0，求得：
1 1 dN kKdt N KN K N 1 Ce kKt K N0 C N0
T (0) 21.1 C 32.6. C 11.5 31.4, 115 k ln 0.110. 103
T (t ) 21.1 11.5e 0.110t
当T 37。 C时，有21.1 11.5e 0.110t 37，所以 t 2.95小时 2小时57分 所以 Td 8小时20分 2小时57分 5小时23分 即被害人死亡时间大约在下午5： 23，因此张某不 能被排除在嫌疑犯之外。
四. 悬链线方程问题 将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 gl 。由于绳索是软 l ,则这段绳索所受重力为 的，
3.5 x 10
11
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
象。
N/ 人
2
几何级数的增长
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
二
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
dt 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量， K-N恰为环境还能供养的种群数量，（ 3）指出，种群增长率与两者的乘 此时得到微分方程： 积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（ 3）也 dN dN N (r aN ) N 或 r (1 ) N （2） 被称为统计筹算律的原因。 dt dt K r(N)最简单的形式是常数，此 为了得出一个有实际意义 r(N)是未知函数，但根 时得到的就是马尔萨斯模型。 （2）可改写成： 的模型，我们不妨采用一 据实际背景，它无法用 对马尔萨斯模型的最简单的改 下工程师原则。工程师们 dN 。 进就是引进一次项（竞争项） k ( K在建立实际问题的数学模 N )拟合方法来求 N （ 3） （2）被称为Logistic 模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生 dt 型时，总是采用尽可能简 物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数 单的方法。
2 N0 N0e
故
lnபைடு நூலகம்2 T r
rT
模型检验 模型预测 假如人口数真能保持每 34.6年增加一倍，那么人口数将 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如， 以几何级数的方式增长。例如，到 2510年，人口达 19612 年世界人 ×1014个， 口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 9.3平方英尺的活动范围， 2%，人口数 Malthus 模型实际上只有在群体总数 大约每 而到 2670 35年，人口达 年增加一倍。检查 36 ×1015 1700 个，只好一个人站在另一人的 年至1961的260年人口实际 不太大时才合理，到总数增大时， 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 所以 Malthus 模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生存竞争等现
二。含盐量问题 设容器内有100公斤盐水，内含食盐10公斤，现以 2 L / min 的速度注入的0.01kg / L淡盐水，同时以2 L / min 的速度抽出混合均匀的盐水，试求容器内含盐量x随时 间t变化规律。
解
为了求出含盐量x随时间t的变化规律x x(t ),
我们采用通过对x的微小增量x的分析得出微分方 程的微元分析法，这是建立微分方程的一种常用 方法。 考虑从时刻t到t dt时间间隔内，含盐量从x变到x dx， 注意到在dt时间内，含盐量的改变量为： dx 注入盐水中所含盐量－抽出盐水中所含盐量 注入盐水中所含盐量为0.01 3 dt（公斤）， x(t ) 由于t时刻盐水的浓度为 , t到dt的时间间隔 100 (3 2)t 内浓度可以近似看作不变，故抽出的盐量为 x(t ) 2 dt（公斤） .于是可得方程： 100 (3 2)t x(t ) dx 0.01 3 dt 2 dt 100 (3 2)t
人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节 功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体 温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化 率正比于尸体温度与室温的差，即 dT k (t 21.1) dt k
T (t ) 21.1 Ce T (1) 21.1 11.5e
k kt
N (t t ) N (t ) N (t )rt
即
dN (t ) N (t )r dt N (t 0 ) N 0
Malthus模型
这个方程的解为：
N (t ) N0e
r ( t t0 )
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻 一番所需的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
三. 导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度 v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导 弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ （解析法）
假设 t 时刻导弹的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0 t ) .
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x(t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) (100 t ) 2
其解即为导弹的运行轨迹:
4 5 6 5
5 5 5 y (1 x) (1 x) 8 12 24
5 5 当 x 1时 y ，即当乙舰航行到点 (1, ) 处时被导弹击中. 24 24 y 5 被击中时间为: t . 若 v0=1, 则在 t=0.21 处被击中. v0 24v0
x x 1 S S y (e e S ) 2 g
g
g
此曲线方程又称为悬链线方程。
引例 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
世界人口数量统计数据：
年 人口 亿 1625 5 1830 10 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60
中国人口数量统计数据：
年 1908 1933 1953 人 3.0 口 4.7 6.0 1964 1982 1990 2000 7.2 10.3 11.3 12.95
将初值条件y x 0 p
x 0
0代入，得C1 0，从而