哈密顿算子与梯度、散度、旋度

哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 哈密顿算子是一种重要的微分算子 • 由它作为工具，可导出一系列美妙的结论， 它把数量场的梯度与矢量场的散度和旋度 简洁地呈现出来 • 麦克斯韦的电磁学方程组微分形式就是用 哈密顿算子表示起来极其简洁、明了 • 可以说，算子简化了复杂的理论，且通过 它可把远离的理论巧妙地联系起来
引进哈密顿算符： 引进哈密顿算符：
∂r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k ∂x ∂y ∂z
r ∇⋅ D = ρ r ∇⋅ B = 0 r r r ∂D ∇× H = δ + r ∂t r ∂B ∇× E = − ∂t
标量场的梯度(gradient) 标量场的梯度(gradient)
考虑压强标量场，空间某点的梯度，记 考虑压强标量场，空间某点的梯度， p 定义为如下矢量： 为 ∇ ，定义为如下矢量： 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 的最大变化率。 的最大变化率。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向 方向为给定点压强变化率最大的方向。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向。 笛卡尔坐标系下梯度表达式： 笛卡尔坐标系下梯度表达式：
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
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∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
=

∂Vz ∂y
∂V y ∂z


∂Vx ∂z
−
∂Vz ∂x

r j +

∂V y ∂x
−
∂Vx ∂y

r k
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设u = u(x, y, z), 则
= rot A
Q
R
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
r ∇ × V = ∂ ∂x Vx − ∂ ∂y Vy ∂ ∂z Vz r i +
∇ p = ∂ p ∂ p i+ ∂ x ∂ y j+ ∂ p k ∂ z
梯度和方向导数的关系： 梯度和方向导数的关系：
r dp =∇ p•n ds
矢量场的散度(divergence) 矢量场的散度(divergence)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其散度定 义为： 义为：
r ∂V x ∂V y ∂V z ∇ •V = + + ∂x ∂y ∂z
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
∂Hz ∂Hy ∂Dx − = δx + ∂t ∂y ∂z ∂Dy ∂Hx ∂Hz =δy + − ∂z ∂x ∂t ∂Hy ∂Hx ∂DZ − = δz + ∂x ∂y ∂t
∂Ez ∂Ey ∂Bx − =− ∂t ∂y ∂z ∂By ∂Ex ∂Ez − =− ∂z ∂x ∂t ∂Ey ∂Ex ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t