导数的几何意义(优质课比赛)

（3）函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x ) 在x=x0处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) |x x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0
看一个例子:
例4.已知y x，求y.
解：y x x x
y x 1 x x
O
2
t0
t1
t2
t
单调递减 . 从图1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线 ht 在t1附近比在 t2附近下降得缓慢 .
根据图像，请描述、比 较曲线ht 在t 3、t 4附近的变化情况。
函数在t 3、t 4 处的切线的 斜率均大于0，所以在两 点附近曲线上升，即函 数在两点附近单调递增。
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢 ?
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
导数的几何意义的应用
例1:
求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 解：y |x 1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
h
o
t 3t 4
t
但是t 3处切线的倾斜程度大于t 4处切线的倾斜程度， 这说明曲线在t 3附近比在t 4附近上升的快速
结论：根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线 是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线 是下降的，即函数在这点附近是单调递减； 当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。
3.1.3导数的几何意义
一、复习
1、导数的定义
函数y＝f x 在x＝x 0处的导数，记作：f x 0 或y
x＝x 0
其中：
f x０＋x －f x０ y 即：f x 0 ＝ lim ＝ lim x 0 x x 0 x －ｆ ｘ ＋ｘ ｘ y ｆ ０ ０
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线 ,它的斜率约为 1.4, 所以
f 0.8 1.4.
'
下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
2
h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线 h x 在t0 , t1 , t2 处的切线 , 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f ( x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学 过的切线定义有什么不 同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
通过逼近的方法，将
l2
割线趋于的确定位置的 直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
f ( x0 x ) f ( x0 ) y ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn 沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
P(x0,y0)
△x
M
o
x
f ( x0 x) f ( x0 ) y 所以：k＝lim lim f x0 x x 0 x x 0
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ) .
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2
y
1 3 x 3
1 3x 2 x 3x(x)2 (x)3 lim { } x 0 3 x
1 lim { [3x 2 3xx (x) 2 ]} x 2 . x 0 3
P
x 1 2
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y |x2 22 4.
利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近 的变化情况 .
1当t t0时,曲线 ht 在
t0处的切线 l0平行于 x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦 , 几乎没有升降 .
h
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线 l1的斜率 h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数 ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线 ht 在t2处的切线 l2的斜率 h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数 ht 在t t1附近也
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
导数的几何意义的应用
f (1) f (1 x ) lim 1 练：设f(x)为可导函数,且满足条件 x 0 , 2x 求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
f (1) f (1 x ) 解： f ( x )是 可 导 函 数 且 lim 1, x 0 2x 1 f (1) f (1 x) lim 1, 2 x0 1 (1 x)
切线
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线： 直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的 切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反 l 例。
直线与圆有惟一公共点时， 直线叫做圆的切线。 P y
不能
o x
所以，不能用直线与曲线的公共点的个 数来定义曲线的切线。
y
圆的切线定义并不适
l1
A
用于一般的曲线。
例 3 如图 1 .1 4 , 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
切线方程：y 2 2( x 1)
即： 2x y 0
1 3 8 y x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图,已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解： (1) y x , 1 1 3 3 3 ( x x) x y 3 y lim lim 3 x 0 x x 0 x
y 4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2
y
1 3 x 3
1 3x 2 x 3x(x)2 (x)3 lim { } x 0 3 x
1 lim { [3x 2 3xx (x) 2 ]} x 2 . x 0 3
P
x 1 2
y |x2 22 4.
药物浓度的瞬时变化率 f ' t 0.4 0 0.7 1.4
t
0.2 0.4
0.6
0.8
二、函数的导数：
小结:
弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改
变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ( x ) 。
x x x x
x
y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
1 3 8 y x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图,已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 3 解： (1) y x , 1 1 3 3 3 ( x x) x y 3 y lim lim 3 x 0 x x 0 x
f (1 x) f (1) lim 2, x 0 (1 x) 1
f (1) 2.
故所求的斜率为-2.
继续观察图像的运动过程，还有什么发现？
y=f(x) y Q1 Q2 Q4 Q3
观察图像，可以发现， 在点P附近， P Q2比P Q1更贴紧曲线f x ， P Q3比P Q2 更贴紧曲线f x ， P Q4比P Q3 更贴紧曲线f x ，
T 过点P的切线P T最贴紧点P
P o
曲线f x 就可以用过点P的切线P T
附近的曲线f x 。因此，在点P附近， 近似代替。这是微积分 中的重要思
x
想方法－－以直代曲！
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .