用特征方程求数列的通项

用特征方程求数列的通项

一、递推数列特征方程的研究与探索

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？

（一）、 若数列{}n a 满足),0(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：

设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ，令d t c =-)1(，即1

-=

c d

t ，当1≠c 时可得

)1

(11-+=-+

+c d a c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，

11)1

(1--+=-+

∴n n c c d

a c d a 将

b a =1代入并整理，得()1

1---+=-c d

c b

d bc a n n n . 故数列d ca a n n +=+1对应的特征

方程是：x=cx+d

（二）、二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a

仿上，用上述参数法我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征：不妨设

)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，则11

)(-++-=n n n sta a t s a , 令 ⎩

⎨⎧==-q st p

t s （ ※）

（1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,

则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a , )(12221-++=+n n n n a t a s a t a , 即{}n n a t a 11++、

{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列，由等比数列通项公式可得

1

1

11211)(-++=+n n n s a t a a t a ①, 1

2

12221)(1-++=+n n n s a t a a t a ②,

∵,21t t ≠由上两式①+②消去1+n a 可得 ()()()

n

n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=

.

（2）若方程组（ ※）有两组相等的解⎩⎨⎧==2

12

1t t s s ，易证此时11s t -=，则

())(2112

111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a

=)(1121

1

a t a s n +=-，2

1

1

121

1

1

1s a s a s a s a n

n n n -=

-

∴

++,即⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列通项公式可知

()21112111

.1s a s a n s a s a n

n --+=

，所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去t 即得02

=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程

q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方

程，

所以有结论： 若递推公式为 ,11-++=n n n qa pa a 则其特征方程为 q px x +=2

1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则n

n

n s c s c a 2211+=；

2、 若方程有两等根21s s =，则n

n s nc c a 121)(+=. 其中1c 、2c 可由初始条件

确定。

（三）分式线性递推数列d

a c b

a a a n n n +⋅+⋅=

+1（0,,,,≠∈c R d c b a ），

将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则

d

a c ct a dt

b a ct a t d a

c b a a t a n n n n n +⋅+++

+=++⋅+⋅=++)(1 ①， 令ct

a dt

b t ++=

，即0)(2

=--+b t d a ct ②， 记②的两根为21,t t ， （1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入①式可得 d a c t a ct a t a n n n +⋅++=++1

111)

(，

d

a c t a ct a t a n n n +⋅++=++2

221)

(

以上两式相除得

21

212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++，于是得到⎭

⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为

2

1

ct a ct a ++，数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n n

ct a ct a t a t a t a t a 求得； （2）若21t t =，将1t t =代入①式可得d

a c t a ct a t a n n n +⋅++=++1

111)

(,考虑到上式结构特