测量误差理论与数据处理

则相对误差为
= ΔA／ A0 = –5 ／100= –5%
分贝误差为 [dB]= 20lg （ 1+ ） dB = 20lg （ 1 – 0.05 ） dB = –0.446 dB
13
引用相对误差：又叫满度相对误差，即 n Δx／xm
常用电工仪表分为±0.1、 ±0.2、 ±0.5、 ±1.0、 ±1.5、 ±2.5、 ±5.0七级，分别表示它们的引用相对误 差所不超过的百分比。
恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。 造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因 （测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放 置和使用不当等）；测量环境原因（温度、湿度、电源电 压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人 员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、 不正确的测量习惯等）。
31
一、随机误差的影响及统计处理
1、测量数据的正态分布 由概率论中的中心极限定理可知，只要构成随机
变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个 随机变量对总和的影响足够小，随机变量总和的分布 规律就可认为是正态分布。
测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微 小误差的总和，因而测量中随机误差的分布及在随机 误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。
（xm . s%）／ x0 可见,仪表等级选定后， x0越接近xm，测量中相对误差 的最大值越小，测量越准确。 因此，实际测量时，在一般情况下应使被测量的数值尽 可能在仪表满刻度的2／3以上。
15
系统误差
系统误差的定义：在相同条件下多次测量同一量时，误 差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定 规律而变化的误差称为系统误差。
16
方法误差举例
电流表
R 电压表
电流表 R
电压表
(A)
(B)
图2-2 测量电阻中的电压和电流时存在的方法误差
17
随机误差
随机误差的定义：在实际相同条件下多次测量同一量时， 误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为 随机误差。
造成随机误差的根源：由那些对测量值影响较微小，又 互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、电 磁场的微变、空气扰动、大地微振等。
判断：检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处 的误差最大，为1.4mA，其它刻度处的误差均小于1.4mA， 问这块电流表是否合格？
14
实际测量时如何选取量程？
设某仪表的等级是 s 级，其满刻度值为xm ，被测量的真 值为x0 ，则测量的绝对误差
Δx xm . s% 可见，仪表等级选定后，测量中绝对误差的最大值与满 刻度值成正比。 测量的相对误差为
率1／n代替概率Pi ，则得到测量值X的数学期望为
1n
M（X）=
—— n
Σ i=1
xi
（当n
∞）
可见，测量值的数学期望就是当测量次数 n 它的各次测量值的算术平均值x。
∞ 时，
21
测量值的数学期望反映了测量值平均的情况。而测
量数据的离散程度通常用测量值的方差σ2(X)来反映。 若离散值可能的取值数目为m种,当测量次数n ∞
广泛应用于自然科学的一切领域： 大到天文观测、宇宙航天， 小到物质结构、基本粒子； 从复杂深奥生命、细胞、遗传问题 到日常的工农业生
产、医学、商业各部门，都越来越多地采用电子测量和设 备。
电子测量技术的发展与自然科学特别是电子技术的发展 互相促进、互相推动。
6
本课程的任务
1. 了解电子测量中最基本的测量原理和测量方法； 2. 具备一定的测量误差分析和测量数据处理能力； 3. 对现代新技术在电子测量中的应用有一定的了解； 4. 对频率、电压等常用电学量的计量方法具备一定的知识。
4
电子测量特点
1、测量频率范围极宽，低端可测直流，测交流时可低至 10-4~10-5 Hz，高端可至100GHz左右。 2、量程很广。 3、测量准确度高。 4、测量速度快。 5、易于实现遥测和长期不间断测量，显示方式可以做到 清晰、直观。 6、易于利用计算机，形成电子测量与计算技术的紧密结合。
5
电子测量的应用
随机误差的特点：1. 有界性（多次测量中，随机误差的 绝对值不会超过一定的界限）；2. 对称性（绝对值相等的 正负误差出现的机会相同）；3. 抵偿性（随机误差的算术 平均值随着测量次数n的无限增加而趋近于零）。
18
粗大误差
粗大误差的定义：超出在规定条件下预期的误差称为粗 大误差，又称寄生误差。
造成粗大误差的主要原因：读数错误、测量方法错误、 测量仪器有缺陷。
粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的测量结果称为 坏值，应剔除不用。
19
测量误差对测量结果的影响
1. 测量数据的数学期望和方差 （1）测量值为离散值时的数学期望和方差 若测量值X可能的取值数m为有限个或无穷可数个离散 值，当进行了足够多次的测量时，根据概率论中的贝努力
定理可知，事件发生的频率ni／n依概率收敛于它的概率Pi， 即当测量次数n ∞ 时，可以用事件发生的频率ni／n代
设测量值X落在区间(x，x+x)内的概率密度为P(x<X< x+x)，
当x趋近于零时，若P(x<X< x+x)与x之比的极限存在，就把它
称为测量值X在x点的概率密度，记为(x)。
P(x<X< x+x)
(x)= lim ——————
x
x
24
则测量值X的数学期望为 0
M（X）= x (x) dx –
则测量值X的方差为
第一章 绪论
第一节 测量和计量 第二节 电子测量的特点和应用 第三节 本课程的任务
第二章 测量误差理论与数据处理
1
测量
概念： 为确定被测对象的量值而进行
的实验过 程。
2
计量
•计量：为了保证量值的统一和准确一致的一 种测量，具有统一性、准确性和法制性等三 大主要特征。 •计量器具：按用途分为计量基准、计量标准 和工作用计量器具三类。 •计量基准：分为国家基准、副基准和工业基 准。 •计量标准：分标准器具和标准物质两类。
i = x i –（ x0 ） i = x i –M（X）
27
结论： 1. 对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测
量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的 系统误差。
2. 系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不 存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。
为 绝对误差和相对误差两种。 二、测量误差的分类
根据测量误差的性质和特点，可将它们分为系统误差、随 机误差和粗大误差三大类。
三、测量误差对测量结果的影响
9
绝对误差：又叫作绝对真误差，可表示为： Δx=x–x0
绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度 和方向。 实际值：满足准确度要求，用来代替真值使用的量值。 修正值C：与绝对误差大小相等、符号相反的量，即
0
σ2(X) =
[ x–M（X）]2 (x) dx
–
25
2. 测量误差对测量结果的影响
一般地说,任何一次测量误差都是由系统误差和随机误 差共同组成的。在确定条件下，对被测量 x 的第 i 次测量的 误差为
x i = x i – x0 = i
上式中为系统误差，在测量条件不变时不变。当测量次数
n时，对n次测量结果取平均值，则
率1／n代替概率Pi ，则得到测量值X的方差为
σ2(X) = —1—
n Σ
[xi – M(X)]2
（当n
n i=1
∞）
方差的算术平方根σ(X)叫作标准方差,又叫均方根差。 σ(X)越小，测量值越集中，离散程度越小。
23
（2）测量值为连续值时的数学期望和方差
若测量值的取值在它所在区间内是连续的，则可能取值有 无穷多个，对应于某个取值的概率趋近于零，故需要用到概率 密度。
结
存在随机误差和系统误差时
果
的 影 响
i
——————x0——M••（••X••）•••x—i —•x—k（—坏——值—） X
三种误差同时存在时
29
测量结果的正确度、精密度和准确度
在剔除粗大误差后，随机误差可通过多次测量取平均的方 法来消除，故系统误差越小，测量结果越正确。
正确度：用系统误差作为衡量测量是否正确的尺度，称为 正确度。即正确度是表示测量结果中系统误差大小的程度。
7
第二章 测量误差理论与数据处理
第一节 测量误差的基本概念 第二节 测量误差的估计和处理 第三节 测量误差的合成与分配 第四节 测量数据处理
8
第一节 测量误差的基本概念
真值：一个量在被观测时，该量本身具有的真实大小称为 真值。
一、测量误差的定义 测量误差：就是测量结果与被测量真值的差别。通常可分
时，第i种取值的概率Pi可用事件发生的频率ni／n代替，
其中i=1~ m 。这时测量值的方差为
m
σ2(X)
=
Σ i=1
[xLeabharlann Baidu –
M(X)]2
Pi
=
m Σ i=1
[xi
–
M(X)]2
—n—i n
（当n
∞）
22
若每个测量值只得到一次，或者对每次测量结果单独统 计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有 无相同的情况。当测量次数n ∞ 时，用测量值出现的频
3. 某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的 数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。
下面用图来表示测量误差对测量结果的影响
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i
——————[—M（—X—）••]•=•x•0•••x—i ————— X
测
不存在系统误差时
量
误 差
i
对 测 量
——————x0——M••（••X••）•••x—i ————— X
替事件发生的概率Pi （i=1~ m ）。这时，测量值X的数学期 望为
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m
m
M（X）= Σ xiPi = Σ xi․ni／n (当n ∞ )
i=1
i=1
若每个测量值只得到一次，或者对每次测量结果单独统
计，认为n次测量得到n个测量值，而不考虑这些结果中有
无相同的情况。当测量次数n ∞ 时，用测量值出现的频
A[dB]= A0[dB]+ [dB]
11
分贝误差[dB]与相对误差关系：
由A=A0+ΔA可得 A[dB]=20lg （A0+ΔA） dB
= 20lg A0 （ 1+ΔA／ A0 ） dB = 20lg A0 dB + 20lg （ 1+ΔA／ A0 ） dB
= A0[dB] + 20lg （ 1+ ） dB 与式A[dB]= A0[dB]+ [dB]比较，可得分贝误差为
—1—
n Σ
n i=1
x i =
+
—1— n
n
Σ i
i=1
26
由于随机误差的抵偿性，当n时， i的平均值等于零。
于是
=
—1— n
n
Σ i=1
x
i
（当n ）
将x i = x i – x0 代入上式， 则
=
—1—
n Σ
n i=1
（ x i – x0 ）
（当n ）
= M（X） – x0 由于x i = x i – x0 = i
随机误差的大小可用均方根差σ(X)来衡量， σ(X)越小，测量 值越集中 。
精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度，简称 精度。
准确度：用来表示测量结果与真值的一致程度，是测量结 果中系统误差与随机误差的综合。
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第二节 测量误差的估计和处理
一、随机误差的影响及统计处理 二、用统计学方法剔除异常数据 三、处理系统误差的一般方法
测量随机误差及测量数据的正态分布曲线如下图 所示:
32
[dB]= 20lg （ 1+ ） dB 同理，当A为功率传输函数时，有
[dB]= 10lg （ 1+ ） dB
12
[例1] 某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次测 量时测得的电压增益A =95，求测量的相对误差和分贝误 差。
[解] 先求得增益的绝对误差为 ΔA = A–A0 =95 –100= –5
C = x0 –x
10
相对误差：又叫作相对真误差，它是绝对误差与真值的比 值，通常用百分数表示。即
（ Δx／x0） 100%
分贝误差：在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差， 叫分贝误差，它实质上是相对误差的另一种表示形式。
例如某有源网络的电压传输函数为A0，则该传输函数可用 分贝表示为
A0[dB]=20lg A0 dB 当测量中存在误差时，测得的传输函数偏离A0[dB]一个数 值[dB ]，即
3
电子测量
广义说： 凡是利用电子技术来进行的测量都可以说是电子测量。
狭义说： 是指在电子学中测量有关电的量值。通常包括以下几个
方面的内容：
1、电能量的测量，如电流、电压、电功率等。
2、信号的特性及所受干扰的测量，如信号的波形和失真度、 频率、相位、脉冲参数、调制度、信号频谱、信噪比等。
3、元件和电路参数的测量，如电阻、电感、电容、频率响 应、通带宽度、品质因数、增益等。