2018最新五年级奥数.数论.整除性(A级).学生版

数论之整除性
九进制
乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。

他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。

他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。

他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。

拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。

拿破仑1816年战败，希
特勒1945年战败，相隔129年。

拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938
年攻人维也纳，也是相隔129年。

拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔
129年后进攻苏联。

美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届
总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。

两人同在星期五并在女人的参
与下被刺遇害。

接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。

更巧的是，
杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔
又是100年。

兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。

他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。

兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。

他发现将l、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。

他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。

取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。

他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。

这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。

最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。

懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。

科学家认为，使用九进制，能使加减乘除运算变得更快更准确。

但目前对9的研究还很不够，9对人
类来说极具神秘性。

包括兰伯特在内的数学家们正努力探索9的奥秘，希望在不久的将来对9的研究有更大的突破。

考试要求
（1）熟悉常见数的整除性质
（2）对于整除含义的理解，求解一些特定问题
知识框架
整除性质余老师薇芯：69039270
（1）2：个位是偶数的自然数
（2）5：个位是0或5的自然数
注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0
（3）4、25：末两位能被4、25整除
（4）8、125：末三位能被8、125整除
（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除
（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，
则其必能被7、11、13整除
②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13
的倍数，则其为7、11、13的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的
倍数，则其为7、11、13的倍数
（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除
（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除
注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，接着考虑3和9，最后7、11、13，
重难点
（1）熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×9
（2）已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把余数减去，如例9
（3）看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8
例题精讲
【例1】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.
154能被72整除，求x+y的值.
【巩固】已知五位数xy
【例2】六位数3ABABAB是6的倍数，其中A、B表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？
【巩固】七位数17562□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数
【例3】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【巩固】求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，…,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？
【例4】从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几个？
【巩固】一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个是.余老师薇芯：69039270
【例5】求被11整除且数字和等于43的五位数
【巩固】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？
【例6】（2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那么，这个九位数是
【巩固】42□28□能被99整除,方框里应该填什么数?
【例7】把三位数3ab 接连重复的写下去，共写1993个，所得的数3ab3ab3ab……3ab 1993个3ab
恰是91的倍数，求
ab 【巩固】如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是
.
【例8】2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?
注意：看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5
【巩固】从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0？
【例9】某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是
【巩固】（2009年101中学小升初试题）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得这个七位数能被2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是
【例10】某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以
叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101
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【巩固】求1～9999的所有数码和？
课堂检测
【随练1】(2003年一零一中学入学摸底考试第11题)既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是.
【随练2】(2003年一零一中学入学摸底考试第20题)一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个？
【随练3】(北京市一零一中学计算机培训班六年级04～05学年一学期第一次随堂测试第12题)在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.
【随练4】（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）2006年6月11日是小明的生日.在2006的前边和后边各添上一个数，组成一个六位数，这个六位数正好能被他的出生月份数和日期数整除.这个六位
数是.
【随练5】（06年十一学校选拔考试真题）一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．
【随练6】（“祖冲之”杯数学邀请赛试题）求1，2，3，…，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和.
复习总结
1、重点掌握
2、
3、5、9、11、99的整除性质
2、重点掌握求数码和的方法，如例10，此内容是杯赛常考类型，也可与余数问题结合起来
家庭作业
【作业1】在25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填.
【作业2】一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是或.
【作业3】有一个首位数字是8的六位数，它能被9整除，并且各个数位上的数字都不相等.这样的六位数最小是几？
【作业4】（2008走美五年级初赛）
2
87
1a
a是2008的倍数，那么a=
【作业5】已知九位数2005□□□□是2010的倍数，这样的九位数共有多少个？
【作业6】把30个自然数1、2、3……30乘到一起，那么这个乘积的末尾会有个0
【作业7】三位数中能被11整除，且数字之和是11的有个欢迎关注：“奥数轻松学”
【作业8】（三帆培训班）一个四位数能被45整除，千位数字与个位数字之积是20，百位数字与十位数字组成的两位数是9的4倍，求这个四位数
【作业9】（2005人大附中小升初真题）有个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身.
【作业10】李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成4个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生人.
教学反馈
学生对本次课的评价
○特别满意○满意○一般
家长意见及建议
家长签字：。