第四章 刚塑性有限元法
塑性材料的有限元分析
系。
ANSYS 有适用于金属成形过程的率相关模型 （Anand模型）。
October 17, 2000
塑性分析 – 5.7版本
5-12
增量塑性理论
增量塑性理论为表示塑性范围材料行为提供了一种应力应变增量 (D and D)间的数学关系。在增量塑性理论中有三个基本组成部 分：
步）。对塑性不能使用叠加原理
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5-4
塑性－预备知识
在进行塑性分析之前应先理解下列问题: • 比例极限 • 屈服点 • 应变强化 • Bauschinger 效应 • 应力偏量 • 等效应力 • 率相关性
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的屈服应力。因此，知道了应力状态和屈服准则后，程序可确定是 否发生了塑性应变。
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5-14
屈服准则(续)
常用的屈服准则是von Mises屈服准则。当形状应变能(等效应力)超 过一定值时屈服发生。 von Mises 等效应力定义为：
1
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5-32
多线性随动强化 KINH 选项
KINH 选项移走了施加在MKIN 模型上的一些限制。（ KINH 具 有与MKIN 选项TBOPT=2的Rice模型相同的机械行为。） 最多 可定义40条与温度相关的应力－应变曲线，每条曲线最多20个点 。不同温度下的曲线必须具有相同的点数，但各曲线间的应变值 可不同。
y
ET
模量E，屈服应力y 和切向模量ET 。
deform基本操作
DEFORM-3D基本操作入门QianRF前言有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。
由于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解精度高而得到广泛的应用。
有限元法在40年代提出，通过不断完善，从起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳定问题和波动问题。
随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题，提供了极大的方便。
现有的计算方法（解析法、滑移线法、上限法、变形功法等）由于材料的本构关系，工具及工件的形状和摩擦条件等复杂性，难以获得精确的解析解。
所以一般采用假设、简化、近似、平面化等处理，结果与实际情况差距较大，因此应用不普及。
有限元数值模拟的目的与意义是为计算变形力、验算工模具强度和制订合理的工艺方案提供依据。
通过数值模拟可以获得金属变形的规律，速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。
通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。
利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。
通过模具虚拟设计，充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。
一、刚（粘）塑性有限元法基本原理刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。
这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。
在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。
刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。
根据对体积不变条件处理方法上的不同（如拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式 其中罚函数法应用比较广泛。
根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中 对应于真实速度场的总泛函为：∏≈∑π（ｍ）＝∏（１，２，…，ｍ）（１）对上式中的泛函求变分，得：∑＝０（２）采用摄动法将式（２）进行线性化：＝＋ Δｕ ｎ（３）将式（３）代入式（２），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。
板带轧制过程刚塑性有限元求解的初速度场设定
摘
要： 在保证计算精 度的情况 下 ， 以减 少迭代 步数和提高计算效率 为 目标 ， 出基 于工程法和细分单元法设 提
定初始速度场。依据某钢厂轧制过程数据 ， 通过 自行开发的刚塑性有限元程序模拟板带轧 制过程 。结果表明 ： 轧 制力计算值和实测值吻合 良好 ， 计算误差控制在 ５ ％之 内； 和工程法相 比该方法设定 的初始速度场更加接近真实 速度场 ， 明显减少 了迭代求解 步数 ， 提高 了求解 稳定性 ， 迭代步数基本 控制在 ３ Ｏ次 以内， 单道次计算 时间少 于 １０ｍ 。研究结果可为板带轧制过程 刚塑性有限元法快速求解提供一定的理论指导 。 ５ ｓ 关键词 ：刚塑性有限元 ； 板带 轧制 ； 工程法 ； 初始速度场 ； 迭代步数
法迭代求解时， 需要设定一个初始速度场 ， 然后进行迭代求解 。初始速度场的设定对迭代次数 、 收敛过程 和计算时间有重要影响。Ｎ ｗｏ 法迭代求解的初速度场设定方法有能量法 、 ｅ ｎ ｔ 初等法 、 Ｇ函数法、 细化网格
收 稿 日期 ： ０ ８ １－ ５ 修 回 日期 ： ０ ８ １— ５ ２０— １２ ； ２ ０ — ２ １ 作者简介 ： 陈伟 （ ９ ２ ）男 ， 苏 常 州人 ， 教 ， 士 ， 究 方 向为 思想 政 治 教 育 、 属 塑 性 成 形 有 限 元模 拟 。 １８ 一 ， 江 助 硕 研 金
２ ８年 ｌ 第１誊第４ ０４ ２月 ０
江 苏 技 术 师 范 学 院学 报 （ 自然 科 学 版）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｇ Ｕｄｔ ｎ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｊ Ｎ Ｓ Ｅ Ｃ ＲＳＵ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｆ Ｔ Ｃ ＮＯ Ｏ Ｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉ ｏ ） Ｉ ｕ ｎ ｉ
过程建模 方法 多采 用一般 解析模 型 或能量 方法 。 由于板材 生产 控制过 程 比较复 杂 ， 轧制过 程 中轧件 变形
塑性成形过程中的有限元法
塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。
它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。
金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。
由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。
据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。
随着现代制造业的快速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计提出了更高的要求。
如果工艺分析不完善、模具设计不合理或选材不当，产品将不符合质量要求，导致大量不良品和废品，增加模具的设计制造时间和成本。
为了防止缺陷，提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司、企业、高校和研究机构对塑料成型件的性能进行了大量的理论分析、实验研究和数值计算，通过对成形过程中应力应变分布及变化规律的研究，试图找出各零件在产品成形过程中遵循的共同规律和机械失效所反映的共同特征。
由于影响塑性成形过程的因素很多，一些因素，如摩擦和润滑、变形过程中材料的本构关系等，还没有被人们充分理解和掌握。
因此，到目前为止，还无法对各种材料和形状零件的成形过程做出准确的定量判断。
由于大变形机理非常复杂，塑性成形研究领域一直是一个充满挑战和机遇的领域。
一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。
如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。
在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。
仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。
deform基本操作
DEFORM-3D基本操作入门QianRF前言有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。
由于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解精度高而得到广泛的应用。
有限元法在40年代提出，通过不断完善，从起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳定问题和波动问题。
随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题，提供了极大的方便。
现有的计算方法（解析法、滑移线法、上限法、变形功法等）由于材料的本构关系，工具及工件的形状和摩擦条件等复杂性，难以获得精确的解析解。
所以一般采用假设、简化、近似、平面化等处理，结果与实际情况差距较大，因此应用不普及。
有限元数值模拟的目的与意义是为计算变形力、验算工模具强度和制订合理的工艺方案提供依据。
通过数值模拟可以获得金属变形的规律，速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。
通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。
利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。
通过模具虚拟设计，充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。
一、刚（粘）塑性有限元法基本原理刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。
这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。
在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。
刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。
根据对体积不变条件处理方法上的不同（如拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式 其中罚函数法应用比较广泛。
根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中 对应于真实速度场的总泛函为：∏≈∑π（ｍ）＝∏（１，２，…，ｍ）（１）对上式中的泛函求变分，得：∑＝０（２）采用摄动法将式（２）进行线性化：＝＋ Δｕ ｎ（３）将式（３）代入式（２），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
刚塑性有限元数值模拟中产生误差的原因及改进方法(精)
刚塑性有限元数值模拟中产生误差的原因及改进方法1 引言塑性加工过程的有限元数值模拟，可以获得金属变形的详细规律，如网格变形、速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。
通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。
利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。
在制造技术飞速发展、市场竞争日益加剧的今天，塑性加工过程的计算机模拟可在模具虚拟设计、制造阶段就能充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。
由此可见，金属成型过程的有限元模拟已是模具计算机集成制造系统中必不可少的模具设计检验环节。
金属成形工艺分体积成形和板料成形两大类，相应地，用于分析其流动规律的有限元法也分为两类，即：刚塑性、刚粘塑性有限元和弹塑性有限元。
体积成形中的挤压成形和锻造成形在实际生产中应用很广，中外学者在这方面进行了很多研究，其中二维模拟技术已相当成熟，三维模拟是目前的世界研究热点。
刚塑性、刚粘塑性有限元模拟能否对模具设计的合理性做出可靠校验，取决于模拟的精度和效率。
作者结合从事二维塑性有限元模拟的经验和当前的三维塑性有限元模拟系统开发的实践，对刚塑性、刚粘塑性有限元模拟过程中产生误差的原因进行了全面的详细分析，并提出相应的解决方法，同时以具体实例说明。
2 刚塑性、刚粘塑性有限元模拟中产生误差的原因及改进方法2.1 刚塑性有限元法求解的数学基础刚塑性有限元法是假设材料具有刚塑性的特点，把实际的加工过程定义为边值问题，从刚塑性材料的变分原理或上界定理出发，接有限元模式把能耗率表示为节点速度的非线性函数，利用数学上的最优化原理，在给定变形体某些表面的力边界条件和速度边界条件的情况下，求满足平衡方程、本构方程和体积不变条件的速度场和应力场。
有限元法的发展及在塑性加工研究中的应用
有限元法的发展及在塑性加工研究中的应用有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种用于求解结构力学问题的数值分析方法。
它将复杂的连续体结构分割成许多小单元，每个小单元的行为可以简单描述。
通过建立离散的数学模型，计算各个小单元的应力和形变，并通过总结各个小单元的相互作用关系来获得整个结构的力学行为。
有限元法在塑性加工研究中的应用非常广泛。
塑性加工是指材料在外力作用下产生塑性变形的一种加工方法，常见的包括挤压、拉伸、压缩等。
有限元法可以用来预测和分析这些塑性加工过程中的形变、应力和应变等力学变量。
以下是有限元法在塑性加工研究中的应用举例：1.挤压加工：挤压是一种将材料通过模具挤压成特定形状的加工过程。
有限元法可以模拟挤压过程中材料的塑性变形、应力分布和刚度等参数，帮助优化工艺参数和模具设计。
2.拉伸加工：拉伸是指在一定条件下，将材料拉伸以改变其形状或结构的加工过程。
有限元法可以用来预测拉伸过程中的变形、应力和应变分布，从而判断材料的耐久性和失效机制。
3.压制成形：压制成形是指将材料放置在模具中，通过施加压力使其变形成模具所需的形状。
有限元法可以模拟压制成形过程中的塑性变形和应力分布，进而分析和改进工艺参数和模具设计。
4.径向压制：径向压制是将粉末或颗粒材料放置在模具中，并施加径向压力以形成具有预定形状和密度的工件。
有限元法可以模拟径向压制过程中的变形、应力和应变分布，以优化工艺参数和模具设计。
总而言之，有限元法在塑性加工研究中的应用可以帮助工程师和研究人员更好地理解材料的塑性行为，预测和优化加工过程中的力学变量，提高产品的质量和工艺效率。
随着计算机技术的不断进步，有限元法在塑性加工研究中的应用将会更加广泛和深入。
第四章 刚塑性有限元法
1 2
ij ij k
v ij
2
• 5.体积不可压缩条件 0 (4-6) • 6.边界条件：包括应力边界和速度边界条件 n p (4-7) SS SS • (4-8) u u
ij
ij j i
p
i
0 i
u
二、理想刚塑性材料的变分原理
• 称为马可夫变分原理(Markov Principle)，表述如 下：对于刚塑性边值问题，在满足变形几何方程(42)、体积不可压缩条件（4-5）和边界位移速度条 件式(4-8)的一切运动容许速度场中，使泛函 dV p u dS • (4-9)
i 1, 2 , m
• 的条件下的极值，可构造如下修正函数
g (u , u • 并令其一阶偏导数为零而得到，即
i i 1 i 2
,un )
F ui F i
1
0 0
i 1, 2, n
• 这里 称为Lagrange乘子，数值待定。共有（m + n）个 方程，恰好可解出 u , u , u 和 , , 共（m + n）个未知数。
一、刚塑性材料的边值问题
• 塑性变形问题是一个边值 问题，可以描述如下：设 一刚塑性体，体积为V， 表面积为S，在表面力 p i 作用下整个变形体处于塑 性状态，表面分为S p和 S u 两部分，其中 S p上给定表 面力 p i , S u 上给定速度 u (如图所示)。该问题称之 为刚塑性边值问题，它由 以下塑性方程和边界条件 定义，即
刚塑性有限元法的种类
• 刚（粘）塑性有限元法是建立在刚（粘） 塑性材料材料变分原理基础上的，其方法 主要三种： • Kobayashi 等提出的，建立在不完全广义变 分原理基础上的Lagrange乘子法； • 小坂田等人提出的，建立在可压缩性材料 基础上的刚塑性有限元法； • 由Zienkiewicz（监凯维奇） 等提出的罚函 数法。
刚粘塑性有限元法的基本原理
第二章 刚粘塑性有限元法的基本原理在金属塑性成形过程中，对于大多数体积成形的问题，弹性变形量相对非弹性变形量来说很小，一般情况下是可以忽略不计的，也就是说可以将材料视为刚（粘）塑性材料。
本章主要介绍刚粘塑性有限元法的理论基础，基于等效积分形式的虚功原理以及泛函变分法。
2.1刚粘塑性材料流动的基本方程设变形体的体积为V ，在V 内给定体力i p ；表面积为S ，在S 的一部分力面t S 上给定面力i q ，在S 的另一部分速度（位移）面V S 上给定速度o i v ，则材料在流动过程中满足下列力学基本方程1．力平衡方程0,=+i j ij p σ (2.1)2．力边界条件即在t S 上 i j ij q n =σ (2.2)3．几何方程)(21,,i j j i ij v v +=ε (2.3) 4．速度边界条件即在V S 上 0i i v v = (2.4)5．体积不可压缩方程0==ij ij v εδε(2.5) 6．屈服准则采用Misers 屈服准则和等向强化模型，初始屈服准则为0=-s σσ (2.6)后继屈服条件，对于静态加载只考虑应变强化)(,0⎰==-εσd H K K (2.7) 式中H 可以由单向拉伸试验曲线确定。
对于粘塑性材料，加载还应考虑时间因素即变形速度的影响，瞬时屈服条件为 ),(,0εεσ Y Y Y ==- (2.8) 式中Y 可以由一维动力试验确定。
7． 本构关系对于粘塑性材料的本构关系将在下一章作详细的讨论。
通常我们把满足上述所有基本方程的应力场、应变率场、速度场称为真实应力场、应变率场、速度场。
满足方程1、2、6即满足应力平衡方程，应力边界条件和屈服条件的应力场称为静力许可应力场；满足3、4、5的速度场称为运动许可速度场。
利用上述方程和边界条件，变形体在塑性成形时的场变量从理论上是可以求解的，但实际上很困难，只有在少数几种简单情况下才能求出较准确的解析解。
对于大多数情况利用传统的解析方法如主应力法、滑移线法等往往需要对实际的问题进行简化，难以获得满意的计算结果。
刚塑性有限元法及其在轧制中应用
对轧件不均匀变形及轧件头尾不稳定变形过程的理论研究， 为提高产品质量和成材率、进一步优化轧制规程服务。
提高轧制过程参数的理论解析精度，建立和完善控制轧制过 程的数学模型。
开展轧制过程热力学及冶金学参数的综合研究，对轧制过程 的变形温度、变形程度、金属的微观组织及产品的最终性能 进行综合模拟，实现根据产品使用进行钢材成份及轧制过程 的预设计。
1.2.2 滑移线理论及其数值解法
滑移线法：把轧制过程变形区划分为一系列由滑移线族组 成的滑移线网络，每条滑移线均为达到屈服切应力k，根 据Henky应力方程可以确定变形区的应力场。 近年来，利用计算机可以形成金属成型变形区的滑移线网 络，并计算相应的滑移线场。 特点：滑移线法只能处理理想刚塑性体平面变形或轴对称 变形问题，对三维变形问题、温度和材料性质参数分布不 均问题是无能为力的。
g
2 m
2
(2-8)
3
平面
Misees 屈服曲面
21 , 22
1
图2-3 刚塑性可压缩材料主应力空间的屈服曲面
可压缩参数对屈服条件的影响
在平面上(1 + 2 + 3 =3m=0 ),椭球体与Mises屈
服圆柱相切，即刚塑性可压缩材料与Mises屈服条
件一致。在平面以外(m≠0)，刚塑性可压缩材料
2.3.1 理想刚塑性材料模型
理想刚塑性材料模型的基本假设如下： (1) 材料均质各向同性； (2) 忽略材料的弹性变形，不计体积力与惯性力； (3) 材料的变形流动服从Levy-Mises流动理论； (4) 材料的体积不变； (5) 不考虑加工硬化，忽略变形抗力对变形速度的敏感性。
塑性有限元法在金属轧制过程中组织演化模拟进展_陆璐
Ｓ＋ ｄ Ｖ ε） ２ ∫ＦＶ ｄ ∫（
２
ｉ ｉ
α
Ｖ
（ ） ２
Ｓ Ｆ
Ｖ
： ： 男， 副教授 ， 博士 ， 主要从事钢铁材料的轧制 、 组织演化 、 有 限 元 模 拟 等 方 面 的 研 究 Ｔ １ ９ ７ ８ 年生 ， ｅ ｌ ０ ４ １ ６ ３ ９ ３ ０ ３ ６ ３ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ 陆璐 ： － ａ ｈ ｏ ｏ ． ｃ ｎ ｌ ｕ ｌ ｕ ｉ ｓ ｏ ｏ ｄ ＠ｙ ｇ
１］ 。随着对轧制产品质量要求 量等方面发挥 了 重 要 的 作 用 ［
有限元法和弹塑 性 有 限 元 法 的 应 用 比 粘 塑 性 有 限 元 法 更 为 广泛 。
１． １ 刚塑性有限元法
刚塑性有限元法是 １ ９ ７ ３年 小 林 史 郎 等 提 出 的。 由 于 金 属塑性成形过程中大多数塑性变形量很大 ， 相对来说弹性变 可以 忽 略 。 因 而 简 化 了 有 限 元 列 式 和 计 算 过 程 。 形量很小 ， 刚塑性有限元的理论 基 础 是 Ｍ 其表述是在 ａ ｒ ｋ ｏ ｖ变 分 原 理， 真实解使得泛函（ 取极 所有满足运动学允 许 的 速 度 场 中 ， １） 值：
从20世纪90年raabe26究冷轧再结晶织构问题采用ca法对再结晶组织和织构进行了大量的模拟转换初始静态再结晶动力学及其与jmak理论的marx等27做了一些关于元胞自动机模拟金属的再结晶方面的工作使用元胞自动机结合有限元分析完整的模型模拟了再结晶过程的动力学显微结构及组织的guo等2829将金属学基本原理与元胞自动机法相耦合建立的二维模型可以模拟热加工过程动态再结晶的介观组织演化预测微观结构流变应力随应变的变化
） 取得最小值 。 函（ ４ Π ＝
Ｖ
DEFORM-3D基本操作入门
DEFORM-3D基本操作入门QianRF前言有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。
由于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解精度高而得到广泛的应用。
有限元法在40年代提出，通过不断完善，从起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳定问题和波动问题。
随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题，提供了极大的方便。
现有的计算方法（解析法、滑移线法、上限法、变形功法等）由于材料的本构关系，工具及工件的形状和摩擦条件等复杂性，难以获得精确的解析解。
所以一般采用假设、简化、近似、平面化等处理，结果与实际情况差距较大，因此应用不普及。
有限元数值模拟的目的与意义是为计算变形力、验算工模具强度和制订合理的工艺方案提供依据。
通过数值模拟可以获得金属变形的规律，速度场、应力和应变场的分布规律，以及载荷-行程曲线。
通过对模拟结果的可视化分析，可以在现有的模具设计上预测金属的流动规律，包括缺陷的产生（如角部充不满、折叠、回流和断裂等）。
利用得到的力边界条件对模具进行结构分析，从而改进模具设计，提高模具设计的合理性和模具的使用寿命，减少模具重新试制的次数。
通过模具虚拟设计，充分检验模具设计的合理性，减少新产品模具的开发研制时间，对用户需求做出快速响应，提高市场竞争能力。
一、刚（粘）塑性有限元法基本原理刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。
这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。
在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。
刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。
根据对体积不变条件处理方法上的不同（如拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式其中罚函数法应用比较广泛。
根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中对应于真实速度场的总泛函为：∏≈∑π（ｍ）＝∏（１，２，…，ｍ）（１）对上式中的泛函求变分，得：∑＝０（２）采用摄动法将式（２）进行线性化：＝＋Δｕｎ（３）将式（３）代入式（２），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。
第四章 弹塑性体的本构理论
第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。
塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。
塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。
4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。
常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。
变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。
因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。
对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。
因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。
只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。
刚塑性有限元数值模拟中产生误差的原因及改进方法
刚塑性有限元数值模拟中产生误差的原因及改进方法在塑性有限元数值模拟中，误差的产生主要可以归结为以下几个原因：1.材料本构模型的选择：塑性有限元数值模拟需要根据材料的塑性行为选择适当的本构模型。
不同的本构模型对应不同的材料行为描述，而真实材料的塑性行为往往是复杂多变的，选择不合适的本构模型将会引发误差。
2.网格离散化误差：有限元数值模拟需要将连续的物理问题离散化为离散的代数方程组。
在塑性材料的模拟中，常常需要使用非线性有限元方法，这意味着需要使用大变形和大应变的网格。
如果网格划分不合理，特别是在高应变梯度区域，可能会产生数值不稳定性和误差。
3.模型参数不确定性：塑性有限元数值模拟中，材料本构模型的参数通常需要通过试验或者理论推算来确定。
然而，由于试验条件的差异或者参数的测量误差，模型参数可能会存在一定的不确定性，这将直接影响模拟结果的准确性。
改进方法包括：1.选择合适的本构模型：在塑性有限元模拟中，选择合适的本构模型是至关重要的。
可以根据材料的塑性行为特点和实验数据来选择适当的本构模型，并根据需要进行参数的修正。
此外，可以考虑使用更为精确的本构模型，如弹塑性、强化材料等，以提高模拟结果的准确性。
2.优化网格划分：合理的网格划分可以减小离散化误差，特别是在高应变梯度区域。
可以通过自适应网格划分方法来增加网格的分辨率，使其能够更好地适应应变场的变化。
此外，还可以使用更加精细的网格划分方法，如等边长网格或混合网格，提高模拟结果的准确性。
3.精确测量和确定模型参数：在材料本构模型中，模型参数的准确性对模拟结果具有重要影响。
因此，在进行实验测量时，需要严格控制测量条件，提高测量的准确性，并进行多次实验来估计参数的不确定性。
此外，还可以使用逆问题方法来根据试验数据反求本构模型的参数，以提高参数的准确性。
4.模型验证和验证实验：在进行塑性有限元模拟之前，可以先进行模型验证和验证实验。
模型验证是通过比较模拟结果和已知实验结果来评估模型的准确性和可靠性，验证实验是通过进行与模拟条件相同的实验来验证模拟结果。
弹塑性有限元法与刚塑性有限元法
弹塑性有限元法与刚塑性有限元法
板料成形数值模拟涉及到连续介质力学中材料非线性、几何非线性、边界条件非线性三非线性问题的计算，难度很大。
随着非线性连续介质力学理论、有限元方法和计算机技术的发展，通过高精度的数值计算来模拟板料成形过程已成为可能。
从70年代后期开始，经过近二十年的发展，板料成形数值模拟逐渐走向成熟，并开始在汽车、飞机等工业领域得到实际应用。
本文评述了板料成形数值模拟的发展历史和最新进展，并指出了该领域的发展趋势。
1、板料成形的典型成形过程、物理过程与力学模型
典型成形过程
板料成形的具体过程多种多样，在模拟分析时，可归纳成如图1所示的典型成形过程。
成形时，冲头在压力机的作用下向下运动，给板料一个作用压力，板料因此产生运动与变形。
同时，冲头、压力圈和凹模按一定方式共同约束板料的运动与变形，从而获得所要求的形状与尺寸。
物理过程
板料成形的物理过程包括模具与板料间的接触与摩擦；由于金属的塑性变形而导致的加工硬化和各向异性化；加工中可能产生的皱曲、微裂纹与破裂及由于卸载而在零件中产生回弹。
力学模型
板料成形过程可归纳成如下的力学问题：
给定冲头位移、凹模位移及压边圈历程函数，求出板料的位移历程函数，使其满足运动方程、初始条件、边界条件、本构关系及接触摩擦条件。
2板料成形数值模拟的发展历史
塑性有限元方法的发展
根据材料的本构关系，用于板料成形分析的非线性有限元法大体上分为刚-（粘）塑性与弹-（粘）塑性两类。
粘塑性有限元法很早就在板料成形分析中应用过，只是未能推广。
事实上，粘塑性有限元法适用于热加工。
在热加工时，应变硬化效应不显著，材料形变对变形速率有较大敏感性。
塑性成形的刚塑性有限元方法概述
塑性成形的刚塑性有限元方法概述徐小波摘要：总结了国外有关塑性成形的刚塑性有限元方法的研究现状以及刚塑性有限元法的概述和基本理论。
指出三维成形有限元模拟在工业设计生产中具有广泛的应用前景。
关键词：有限元法塑性成形数值模拟一、引言21世纪的塑性加工产品向着轻量化、高强度、高精度、低消耗的方向发展。
塑性精密成形技术对于提高产品精度、缩短产品交货期、减少或免除切削加工、降低成本、节省原材料、降低能耗，当前的生产的发展，除了要求锻件具有较高的精度外，更迫切地是要解决复杂形状地成形问题，同时还要不断提高锻件地质量、减少原料的消耗、提高模具寿命，促使降低锻件成本、提高产品的竞争能力。
塑性加工问题的研究方法主要有三种：理论解析研究方法、试验研究方法和数值模拟研究方法。
这几种方法中，理论解析法突出的优点是求解直接，能给出力学量与参数间的函数全局关系，对揭示变形的力学本质和指导实践有重要意义。
但这种方法只能求解简单的或经过简化的问题，对于复杂问题，求解复杂、难度大。
试验研究方法在理论解析与数学手段尚不完善的情况下，是一种不可缺少的研究方法；结果可靠，常作为理论解析与数值模拟的验证或对比数据；此外，试验研究可以发现新现象、新规律。
然而，试验研究的局限性在于对复杂成形过程的研究有时试验手段与试验方法无法实现或难以达到要求；另外，耗资大、周期长、工作量大，为此，试验方法的应用存在严重的局限性，并且优化显得特别重要。
数值模拟的方法，克服了理论解析法求解复杂问题的困难，能减少试验工作量，近年来得到很大的发展。
特别是基于变分原理的有限元法，由于其单元形状的多样性与方法本身的特点，原则上可以运用于分析任何材料模型、任意边界条件、任意形状的零件的塑性成形过程，得到广泛的应用。
二、刚塑性/刚粘塑性有限元法概述塑性有限元法可以分为流动性塑性有限元（包括刚塑性有限元和刚粘塑性有限元法）和固体塑性有限元（包括小变形弹塑性有限元和大变形弹塑性有限元）两大类。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
硬化法则
• 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈 服函数（又称加载函数或加载曲面） – 各向同性硬化 – 运动硬化 – 混合硬化
第二十九页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其 形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。
• 非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中 应力和变形的演变历史。）
– 每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
第六页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法 x g(x) xk1 g(xk )
Newton-Raphson迭代
• 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
第十四页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
第八章 几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
第一页，编辑于星期五：十九点 二十二分。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.1 非线性问题及分类
• 在分析线性弹性问题时，假定：
– 应力应变线性关系
– 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）
– 加载时边界条件的性质不变
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题
塑性理论及有限元
2 3
1，而 max
0.5
。对于纯
1
B
一一对应的 -ε关系 ，即塑性变形与变形 历史或路径有关。这
s A’ p A
是第3个重要特征。
E
O
p e
f
F
> s 以后的点都可
以看成是重新加载时的
屈服点。以B点为例， b
C
若卸载则-ε关系为弹性
B
。卸载后再加载，只要 < B点，关系仍为弹
s p
A’ A
性。一旦超过B点， -ε
呈非线性关系，即B点
也是弹塑性变形的交界 O
E
点，视作继续屈服点。 一般有 s< B，这一现
p e
象为硬化或强化，是塑 f
F
性变形的第4个显著特点
。
在简单压缩下，忽略摩擦影
响，得到的压缩 -ε与拉伸 -ε 基本相同。但是若将拉伸屈服 b 后的试样经卸载并反向加载至
C B
屈服，反向屈服一般低于初始 屈服。同理，先压后拉也有类
O
E
p e
f
F
可以写为
H (p),或 (,h )
式中，h 为记录塑性加载历史的参数
称为加载函数
从拉伸曲线可以看出，应力与应变之间 不再是单值对应关系，与加载历史有关
。因此塑性力学问题应该是从某一已知
的初始状态（可以是弹性状态）开始， b
C
随加载过程用应力增量与应变增量之间
B
的关系，逐步将每个时刻的各增量叠加 起来得到物体内的应力与应变分布。
塑性力学的主要研究对象是金属材料，人们对此进行了比较充分的实验研究 ，并总结出若干塑性理论。而对于非金属材料相对来说研究得不够充分，因 此将塑性理论应用到非金属材料和其它材料上时，需持非常审慎的态度。塑 性力学今后的研究重点是用宏观与微观相结合的方法研究材料的塑性变形机 理，吸收材料学的近代成果，丰富和发展原有的理论，推动研究向前发展。
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4-3 刚塑性可压缩材料的变分原理
• 拉格朗日乘子法和罚函数法都是在马尔科夫变分原理的 基础上，着重于数学方面来引入体积不可压缩约束条件， 以解决容许场不宜满足体积不可压缩条件和由材料模型 假定等带来的应力计算问题。 • 体积不可压缩必然导出屈服与静水压力无关的结论，因 而，同一种塑性变形状态可由同一应力偏量叠加上不同 静水应力形成的多种不同的应力状态所对应，反映在刚 塑性有限元中则不能由应变速率直接求出应力场。 • 可压缩法则从改变材料模型入手，放松体积不可压缩条 件，认为材料体积可少许压缩，亦即刚塑性可压缩材料 假设。这就为解决上述问题提供了另外一条途径。
1 2
• 对于刚塑性可压缩边值问题，在满足几何方程、速度边 界条件的一切容许速度场 u i 中，真实解使泛函
4
4
d V
V
Sp
• 取驻值，即 d V p u d S 0 • 优点是可以直接由应变速率场计算出应力场，因而计算 过程得到一定程度的简化。
• 刚塑性有限元法中的Lagrange乘子法的数学基础是数学
分析中多元函数的条件极值理论，若求目标函数
( u1 , u 2 , u n 1 , u n )
• 在约束函数
g i g i ( u1 , u 2 , u n ) 0 ,
F ( u1 , u 2 , u n )
*
* d V
V
Sp
1 p i u i d S ij ij ( u i , j u j , i ) d V V 2
*
0 V d V i ( i i )d S
V Su
1. Lagrange乘子法
2.罚函数法
• 罚函数法的基本思想是用一个足够大的正数把体积不可 压缩条件引入泛函式(4-9)，构造出一个新泛函，即 • (4-14) 2
2
dV
V
2
V
v dV
S
p i u i dS
p
• 则对于一切满足几何方程和位移速度边界条件的容许速 度场，其真实解使式(4-14)取极值，即满足 • (4-15) dV dV p u dS 0 • 它的作用原理是，当速度场远离真实解时，惩罚项值很 大，相当于对速度解违反约束条件施加一种“惩罚”作 用；而随着接近真解，罚项的作用也随之减弱。 • 当速度场为真实解时，Lagrange乘子法与罚函数法的 泛函驻值点应相同，即
o i
uio
刚性体 Su 塑性体 z SP
o
y
Pi
x
• 1.平衡微分方程 • 2.几何方程 • 3.本构关系 3 • 2 • 4. Mises屈服条件
ij 'ij
ij , j 0
ij
1 2 ( u i , j u j ,i )
（4-1） (4-2) (4-3) (4-4) (4-5) i 1, 2, m
• 把上述方法用于Markov变分原理，即把体积不 可压缩条件（4-5）式用Lagrange乘子引入泛函 式（4-9），构造的新泛函如下：
1
(4-11) • 同理，对于一切满足几何方程和位移速度边界条 件的容许速度场，其精确解使式（4-11）取极值， 即满足
1 2
ij ij k
v ij
2
• 5.体积不可压缩条件 0 (4-6) • 6.边界条件：包括应力边界和速度边界条件 n p (4-7) SS SS • (4-8) u u
ij
ij j i
p
i
0 i
u
二、理想刚塑性材料的变分原理
• 称为马可夫变分原理(Markov Principle)，表述如 下：对于刚塑性边值问题，在满足变形几何方程(42)、体积不可压缩条件（4-5）和边界位移速度条 件式(4-8)的一切运动容许速度场中，使泛函 dV p u dS • (4-9)
（1）简化积分法
• 所谓简化积分法，即减少V 罚项在数值积分 时的高斯积分点数。具体做法是将多点高斯积分 (如平面问题2×2点，三维问题2×2×2点)简化为 单元形心一点处的积分运算，亦即只要求单元形 心点很小，而对其它点不做要求。 • 对于平面问题简化积分值与积分原值相同。所以， 这种简化积分反映了单元内部体积变化的平均效 应，即只需单元整体满足体积不可压缩条件就可。 但是对于轴对称问题二者不相等。尽管如此，简 化积分法仍可以用于轴对称问题。
i 1, 2 , m
• 的条件下的极值，可构造如下修正函数
g (u , u • 并令其一阶偏导数为零而得到，即
i i 1 i 2
,un )
F ui F i
1
0 0
i 1, 2, n
• 这里 称为Lagrange乘子，数值待定。共有（m + n）个 方程，恰好可解出 u , u , u 和 , , 共（m + n）个未知数。
v d V
2
（2）修正罚函数法
• 该方法是通过对罚项构造形式的修改，来达到放松约束 的目的。修改后罚项的泛函表示为
dV [ dV ] 2 3 V V 2V V
S
p i u i dS
p
• 式中的第二项即为修改后的罚项，它的直观意义是要求 单元体积变化的平均值很小。因此，尽管修正的罚项与 前者在形式上不同，但它们的内涵是类似的。 • 同理，对于泛函上式，若取真实解时，静水压力为 m V v dV V • 实际应用时，两种放松约束的方法都能达到同样的目的。 对于修正罚函数法，各体积积分运算在同一数值积分格 式下进行，所以程序可适当简化。而对于简化积分法， 由于减少了积分点，因而降低了运算次数，提高了计算 效率。
三、刚塑性材料不完全广义变分原理
• Markov变分原理的意义在于：将 (4-1)～(4-8) 式 所描述的刚塑性材料边值问题归结为能量泛函对 位移速度场的极值问题，避开了偏微分方程组的 求解困难，一旦求得速度场 u 的精确解后，利用 几何方程(4-2)可求出应变率场 ，然后再由本构 关系(4-3)进一步确定出变形体瞬时的应力场 。 • 变分原理为塑性加工问题的求解指出了一条途径， 即在运动容许速度场中设法找出能使总能耗率泛 函取最小值的速度场，因而如何正确的构造容许 速度场 ，成为求解过程的关键问题。 * ui
* V S i * i
p
• 取驻值(即一阶变分
0 )的 u i为本问题的精确解
*
。
• Markov变分原理式(4-9)是塑性力学极限分析中上
限定理的另一种表达形式。它的物理意义是刚塑性 变形体的总能耗率，泛函的第一项表示变形工件内 部的塑性变形功率，第二项则代表工件表面的外力 功率。
2 V V v v S i i
p
1 2
2 罚函数法
• 实践表明， 的取值大小对解有很大的影响。若 取值太小，则体积不可压缩条件施加不当，以至 降低计算精度；若 取值过大，则有限元刚度方 程会出现病态，甚至不能求解。因此， 取值应适 宜。 • 罚函数中静水压力为： m v 2 • 罚函数泛函中罚项的被积函数采用 v 形式，它 要求 v2 在域内处处满足体积不可压缩条件，才 能保证惩罚项总值很小，过于严格。可通过适当 放松约束条件处理。 • 目前常用的方法有简化积分法和修正罚函数法
一、刚塑性材料的边值问题
• 塑性变形问题是一个边值 问题，可以描述如下：设 一刚塑性体，体积为V， 表面积为S，在表面力 p i 作用下整个变形体处于塑 性状态，表面分为S p和 S u 两部分，其中 S p上给定表 面力 p i , S u 上给定速度 u (如图所示)。该问题称之 为刚塑性边值问题，它由 以下塑性方程和边界条件 定义，即
i
ij
ij
不完全和完全广义变分原理
• 对一般的刚塑性材料，运动容许速度场须满足速度边界 条件、几何方程和体积不变条件，把这些限制条件作为 约束条件引入总能耗率泛函，则可使上述约束条件在对 泛函求变分的过程中得到满足，从而使初始速度场的设 定容易得多。引入约束条件后，变分原理的表述要有相 应的变化，统称为广义变分原理。根据引入部分或全部 约束条件，又分为不完全广义变分原理和完全广义变分 原理。 完全广义变分原理:
刚塑性有限元法的种类
• 刚（粘）塑性有限元法是建立在刚（粘） 塑性材料材料变分原理基础上的，其方法 主要三种： • Kobayashi 等提出的，建立在不完全广义变 分原理基础上的Lagrange乘子法； • 小坂田等人提出的，建立在可压缩性材料 基础上的刚塑性有限元法； • 由Zienkiewicz（监凯维奇） 等提出的罚函 数法。
4-3 刚塑性可压缩材料的变分原理
• 一、刚塑性可压缩材料的边值问题 • 改变的方程 有： • 1.本构关系 • 2.屈服条件 • 二、变分原理
Y
ij
3 2
ij
m
1
g
3
m
3 2 ij ij g m 2 1 2 2 1 2 ij ij v g 3
第四章 刚塑性有限元法
哈尔滨工业大学（威海） 材料科学与工程学院 王 刚
思考题
• • • • 1 写出刚塑性有限元的边值问题。 2 马尔科夫变分原理和广义变分原理 3 简述刚塑性有限元的种类。 4 比较Lagrange乘子法和罚函数法对计算 方面的影响。 • 5 简述摩擦力计算模型（公式）及适用范围 • 6. 什么是刚性区，如何对其进行处理？ • 7. 刚塑性有限元有什么缺点？