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对于正整数n,设是关于的方程的实数根。

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2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2023年上海市宝山区高三上学期高考一模数学试卷含详解

2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．2.函数21log 1xy x +=-的定义域是______.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b =，则2a b + 在a 方向上的数量投影的最小值是______.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）10.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.12.对于正整数n ，设nx 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.2415.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.2023届宝山区高三一模数学试卷2022.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.集合A ={1，2}，B ={2，3}，则A ∩B =_____．【答案】{2}【解析】【分析】直接利用交集的定义求解．【详解】解：∵A ={1，2}，B ={2，3}，∴A ∩B ={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．2.函数21log 1xy x+=-的定义域是______.【答案】()1,1-【解析】【分析】根据已知，可得101xx+>-，解出不等式即可得到结果.【详解】要使函数21log 1xy x +=-有意义，则应满足101x x+>-，即101x x +<-该不等式等价于()()110x x -+<，解得11x -<<.所以，函数21log 1xy x+=-的定义域是()1,1-.故答案为：()1,1-.3.设复数()i 2i z =-（其中i 为虚数单位），则z =______.【答案】【解析】【分析】化简z ，根据复数模的运算即可求得结果.【详解】因为()i 2i 12i z =-=+，所以z ==..4.当1x >时，41x x +-的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】将所求代数式变形为441111x x x x +=-++--，利用基本不等式即可求解.【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥+=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，所以41x x +-的最小值为5.故答案为：5.5.若函数y =a x (a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则实数a =_________【答案】3【解析】【分析】由指数函数是单调函数，代入端点计算最值之和，即可求解.【详解】函数y =a x (a ＞0，a ≠1)为单调函数，所以在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为212a a +=.解得3a =或-4（舍）.答案为：3.6.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______.【答案】0.3【解析】【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果.【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件A ，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件B ，则()0.6P A =，()0.5P B =，事件A 和B 相互独立.则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件AB 来表示，()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.故答案为：0.3.7.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.##3π3【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，∴1r =.∴圆锥的高h ==，∴圆锥的体积21ππ33V r h ==.故答案为：33π.8.已知平面向量a 、b 满足3a = ，4b = ，则2a b + 在a方向上的数量投影的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】先求出()2a b a +⋅的范围，根据()2a ab a +⋅ 即可求得结果.【详解】因为2a b + 在a方向上的数量投影为()2a ab a +⋅ ，所以当()2a b a +⋅最小时，数量投影取得最小值.设,a b θ= ，则()222a b a a a b +⋅=+⋅ 22cos a a b θ=+1812cos θ=+.因为1cos θ1-＃，则当cos 1θ=-时，()21812cos a b a θ=+⋅+有最小值6.所以，2a b +在a方向上的数量投影的最小值是()2263a b a a⋅=+= .故答案为：2.9.从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）【答案】96【解析】【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作.【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1344C A 96=种.故答案为：9610.双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在y 轴上.双曲线C 与线段1AF 交于点P ，与线段2AF 交于点Q ，直线1AF 平行于双曲线C 的渐近线，且:5:6AP PQ =，则双曲线C 的离心率为______.【答案】53【解析】【分析】根据双曲线的对称性，可得PQ 与x 轴平行.双曲线的渐近线方程为by x a =±，可得出0,bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.根据1//MP OF ，可得1MP MA OF OA=，代入相关数值，可得43a b =，进而得出离心率.【详解】如图，PQ 交y 轴于M .根据双曲线的对称性，知PQ 与x 轴平行，且12PM PQ =.设5AP k =()0k >，则6PQ k =，3PM k =，所以4MA k ==.双曲线渐近线方程为by x a =±.()1,0F c -，由已知直线1AF 斜率为b a，则直线1AF 的方程为()b y x c a =+，则0,bc A a ⎛⎫⎪⎝⎭，bc OA a =.因为1//MP OF ，所以有1MPMAOF OA=，即34k kbc c a=，整理可得，43a b =，则43b a =，则22222242539a c a b a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以有222259c ea ==，所以53e =.故答案为：53.11.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC ，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB 朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC 与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面ABC '面积达到最大.【答案】60︒##π3【解析】【分析】遮阴影面ABC '面积达到最大即是点C '到AB 的距离最大，根据正弦定理表示出点C '到AB 的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥交AB 于D ，连接C D '，由题可知C D AB'⊥因此C DC '∠就是遮阳篷ABC 与地面所成的角，因为C D AB '⊥，所以求遮阴影面ABC '面积最大，即是求C D '最大，其中已知30CC D '∠=︒，32CD =设DCC θ'∠=，()0,150θ∈︒︒，根据正弦定理62sin 30sin CD C DC D θθ''=⇒=︒当90θ=︒时遮阴影面ABC '面积最大，此时60C DC '∠=︒故答案为：60︒12.对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，记[](1)(2)n n a n x n =+≥，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()234202211012a a a a +++⋅⋅⋅+=______.【答案】2021【解析】【分析】根据导数可得()f x 为单调递增函数，根据零点存在性定理找到n x 的取值范围，代入[](1)(2)n n a n x n =+≥即可得出通项公式，求出答案.【详解】设()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当2n ≥时，()0f x ¢>因此()f x 为单调递增函数，又因当2n ≥时，()()2332111110n n n n f n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭++<+且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x ，且,11n n x n ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，所以(1)1n n n x n <+<+，[](1)n n a n x n =+=，因此()()()234202222022202111234202220211012101221012a a a a +⨯+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯故答案为：2021二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.已知a ，b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的（）条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】举出特例，即可说明充分条件不成立，必要条件显然成立，即可得到答案.【详解】令1a =，3b =，则4a b +=是偶数，而,a b 都是奇数；若a ，b 都是偶数，显然a b +是偶数.所以，“a b +是偶数”是“a ，b 都是偶数”的必要而不充分条件.故选：B.14.某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为6:5:4，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.A.16B.18C.20D.24【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得抽样比为120，再求出高三的学生数，即可求出结果.【详解】设高一学生数为6k ，则高二学生数为5k ，高三学生数为4k .所以，该高中共有学生数为654151200k k k k ++==，解得80k =.用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，抽样比为601120020=，所以，高三年级应该抽取14801620⨯⨯=人.故选：A.15.设sin cos x αα+=，且33323210sin cos a x a x a x a αα+=+++，则0123a a a a +++=（）A.－1B.12C.1D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求出21sin cos 2x αα-=，则可以得到，333232103322sin cos a x x a x a x x a αα+==++-+，进而可得0123a a a a +++的值.【详解】sin cos x αα+=，故22(sin cos )x αα+=，得212sin cos x αα+=，得到21sin cos 2x αα-=，3322sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )αααααααα+=+-+23(3)3222x x x x -==-，所以，2321033322a x a x a x a x x =++-+，得00a =，132a =，20a =，312a =-，则01231a a a a +++=故选：C16.已知O 为坐标原点，点()1,1A 在抛物线C ：()220x py p =>上，过点()0,1B -的直线交抛物线C 于P 、Q 两点：①抛物线C 的准线为12y =-；②直线AB 与抛物线C 相切；③2OP OQ OA ⋅>；④2BP BQ BA ⋅=，以上结论中正确的是（）A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出抛物线C 方程，再假设出直线AB 的直线方程，联立方程和利用韦达定理即可判断得出答案．【详解】将点()1,1A 代入抛物线方程，可得12p =，故抛物线C 的准线为14y =-，①错误；抛物线C 方程为2x y =，令()2f x x =，()12AB f k '==，抛物线在A 点处切线斜率与直线AB 斜率相同，因此直线AB 与抛物线C 相切，②正确；由题可知22OA =，直线PQ 斜率存在，所以设直线PQ 的方程为1y kx =-，交点()211,P x x ，()222,Q x x ，联立方程21x yy kx ⎧=⎨=-⎩，整理可得：210x kx -+=22404k k ∆=->⇒>，且12x x k +=，121=x xOP OQ ⋅==因为24k >22OA >=，③正确；()22121211BP BQ k x x k ⋅===+=+因为24k >，所以215BP BQ k ⋅=+>()()22210115BA =-++=，所以2BP BQ BA ⋅>，④错误故选：B ．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知函数()sin 22f x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，当()0f A =，1b =，且三角形ABC 求a .【答案】（1）5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z ；（2）a =.【解析】【分析】（1）由已知可得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）先解出π3A =，根据面积公式可求得4c =，根据余弦定理，即可求解.【小问1详解】由题意可得，()sin 22f x x x =+12sin 2222x x ⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 可得，5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-()k ∈Z .【小问2详解】由（1）知，()π2sin 23f A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为()0f A =，所以π2π3A k +=，k ∈Z ，则ππ62k A =-+，k ∈Z ，又A 是锐角，所以πππ0622k <-+<，k ∈Z ，解得1k =，则π3A =.又1b =，ABC S =113sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯= ，所以，4c =.根据余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-22114214132=+-⨯⨯⨯=，所以a =.18.已知数列{}n a 满足11a =，134(2)n n a a n -=+≥.（1）求证：数列{}2n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）写出5211i i a-=∑的具体展开式，并求其值.【答案】（1）证明见解析；（2）32nn a =-；（3）1138388-.【解析】【分析】（1）利用构造法，得到123(2)n n a a -+=+，可证明{}2n a +是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式，求出23nn a +=，进而可求{}n a 的通项公式；（3）直接写出5211i i a-=∑的具体展开式，根据n a ，利用等比数列的前n 项和公式，直接计算5211i i a-=∑可得答案.【小问1详解】134(2)n n a a n -=+≥，等式两边同时加上2，得123(2)n n a a -+=+，又11a = ，123a +=则{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列【小问2详解】由（1）得，{}2n a +为首项是3，公比3q =的等比数列，23n n a ∴+=，故32n n a =-.【小问3详解】521135791i i aa a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-19.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是11C D 、1C C 、1AA 的中点.（1）证明：M 、N 、1A 、B 四点共面；（2）求异面直线1PD 与MN 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）求三棱锥-P MNB 的体积.【答案】（1）证明见详解；（2）arccos 10；（3）13.【解析】【分析】（1）由已知可证明11//A B CD 和1//MN A B ，即可证明1//MN A B ，进而得出结果；（2）1//MN CD ，所以1PD C ∠即等于异面直线1PD 与MN 所成角，在1PD C V 中，求出各边长，用余弦定理即可求出；（3）根据已知可得，四边形1MNA B 为梯形，112MNB MA B S S =V V ，则112P MNB P MA B V V --=，根据等体积法可知11P MA B M PA B V V --=，求出1P MA B V -，即可解出.【小问1详解】证明：如图1，连结MN 、1A B 、1CD .由已知可得，11//A D BC ，11=A D BC ，所以四边形11A BCD 为平行四边形，则11//A B CD .又M 、N 分别是11C D 、1C C 的中点，所以1//MN CD ，且11=2MN CD ，所以1//MN A B ，且11=2MN A B .所以M 、N 、1A 、B 四点共面.【小问2详解】如图2，连结DP 、1D P 、CP .因为CD ⊥平面11ADD A ，DP ⊂平面11ADD A ，所以CD DP ⊥.因为，P 是1AA 的中点，所以11PA PA ==.又111A D A A ⊥，所以1PD ==同理DP =.在Rt PDC 中，3PC ==.又1D C ==在1PCD V 中，有3PC =，1D C =，1PD =，由余弦定理可得，22211111cos 2PD D C PC PD C PD D C +-∠=⋅10==.又1//MN CD ，所以异面直线1PD 与MN 所成角的大小即等于直线1PD 与1CD 所成角的大小，即等于1arccos10PD C ∠=.【小问3详解】如图3，1.,,,MP MB PN MA NB ，因为1//MN A B ，且11=2MN A B ，且M 、N 、1A 、B 四点共面，所以四边形1MNA B 为梯形，设梯形高为h ，则12MNB S MN h =⨯⋅V ，1112MA B S A B h =⨯⋅V ，所以1111112222MNB MA B S MN h A B h S =⨯⋅=⨯⋅=V V .设P 到平面MNB 即到平面1MNA B 的距离为d ，则13P MNB MNB d V S -=⨯⋅V ，1113P MA B MA B d V S -=⨯⋅V ，则11111322P MNB MA B P MA B V S d V --=⨯⨯⋅=V ，且11P MA B M PA B V V --=.因为11//C D 平面11ABB A ，11C B ⊥平面11ABB A ，11M C D ⊂，所以M 到平面11ABB A 的距离等于线段11C D 到平面11ABB A 的距离112C B =.又111112122PA B S PA AB =⨯⋅=⨯⨯=V ，所以11112212333M PA B PA B V S -=⨯⨯=⨯⨯=V ，所以，111212233P MNB P MA B V V --=⨯==.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，()1,3P ，()3,1Q ，()3,1M -，()0,2N 这四点中恰有三点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）点E 是椭圆C 上的一个动点，求EMN 面积的最大值；（3）过()0,1R 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，设直线l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在一点(),0D m ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=；（2）3+；（3）3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）观察可知，,Q M 都在椭圆上，即满足椭圆方程，若()1,3P 在椭圆上，代入方程，联立解得2210a b ==，舍去；因此,,Q M N 三点在椭圆上，即可解出椭圆的方程；（2）要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.当过点E 的直线l 与MN 平行，且与椭圆相切时，取得最大或最小值，联立方程即可求得；（3）写出直线l 的方程为1y kx =+，与椭圆方程联立，可得()2231690k x kx ++-=，根据韦达定理求出AB 的中点坐标以及线段AB 的垂直平分线的方程，代入0y =，即可求得m 的值.根据基本不等式，可求出实数m 的取值范围.【小问1详解】因为()3,1Q ，()3,1M -关于y 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有22911a b +=成立.若()1,3P 在椭圆上，则有22191a b+=.联立2222911191a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得，2210a b ==，不合题意，舍去.所以，()0,2N 在椭圆上，即有241b =，所以24b =，代入22911a b+=，可得212a =.所以，椭圆C 的方程为221124x y +=.【小问2详解】要使EMN 面积最大，则应有点E 到直线MN 的距离最大.由()3,1M -，()0,2N ，可得直线MN 方程为360x y -+=.过点E 作直线l ，使得//l MN ，则E 到直线MN 的距离即等于直线l 到直线MN 的距离.显然，当直线l 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线l 方程为30x y m -+=，联立直线与椭圆的方程22112430x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩可得，22126120y my m -+-=.因为，直线l 与椭圆相切，则()()()22264121212480m m m ∆=--⨯-=--=，解得，m =±.则当m =-时，此时直线方程为30x y --=，与直线360x y -+=距离最大，此时5d +==.又MN ==，所以EMN面积的最大值为113225MN d +⋅==+.【小问3详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，假设在x 轴上存在一点(),0D m ，使得DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形.因为直线l 过()0,1R 点，则直线l 的方程为1y kx =+()0k >，联立直线l 的方程与椭圆的方程2211124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2231690k x kx ++-=，()()()()222Δ6431936410k k k =-⨯+⨯-=+>恒成立，且122631k x x k +=-+，122931x x k -=+，111y kx =+，221y kx =+，所以()12122y y k x x +=++226231k k =-++2231k =+，则AB 的中点坐标为2231,3131k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以线段AB 的垂直平分线方程为221133131k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，显然该直线过点(),0D m .令0y =，则221133131k m k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即2231km k -=+.因为0k >，所以23113k k k k +=+≥=，当且仅当13k k =时，即33k =时，等号成立.所以，231k k+≥231k k ≤+2232313k k -≥-=-+，所以33m ≥-.即实数m 的取值范围为3,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭.21.已知函数()2f x x ax a =--，R a ∈.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，且关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，求实数m 的取值范围；（3）记()e xg x =-（e 是自然对数的底数）.若对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =时，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）5[1,27-；（3）[]2ln 22,1-.【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断；（2）根据极值，求出1a =，得到32()F x x x x =--，利用导数的性质，判断()F x m =有3个不同的实根时，m 的取值范围；（3）根据()g x 的单调性，问题转化为()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-，整理得，11221122()()()()()()()()f xg x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，分别判断函数()()f x g x +和函数()()f x g x -在[0,e]上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】()2f x x ax a =--，因为()f x 的对称轴为2ax =，故当0a =时，()f x 的对称轴为y 轴，此时()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.【小问2详解】()()F x x f x =⋅在1x =处有极值，因为32()F x x ax ax =--，则2()32F x x ax a '=--，故(1)320F a a '=--=，得1a =；32()F x x x x =--，此时，2()321(1)(31)F x x x x x '=--=-+，故1(,)3x ∈-∞-和(1,)+∞上，()F x 单调递增，1(,1)3x ∈-上，()F x 单调递减，因为关于x 的方程()F x m =有3个不同的实根，根据导数的性质，当1(1)()3F m F ≤≤-时，满足题意，得5127m -≤≤，故5[1,]27m ∈-【小问3详解】()e x g x =-，()g x 单调递减，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，21()()0g x g x ->，12()()0g x g x -<，则对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，转化为，对任意1x 、[]20,x ∈e 且12x x >时，均有()()()()()()121221g x g x f x f x g x g x -<-<-成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +<+⎧⎨->-⎩，所以，函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，①函数()()f x g x +在[0,e]上单调递减，即()()0f x g x ''+≤在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''+=--≤，得2e x x a -≤在[0,e]上恒成立，令()2e x h x x =-，()2e x h x '=-，令()0h x '=，得ln 2x =，所以，()h x 在[)0,ln 2上单调递增，在(]ln 2,e 上单调递减，故max ()(ln 2)2ln 22h x h ==-，故2ln 22a ≥-；②函数()()f x g x -在[0,e]上单调递增，即()()0f x g x ''-≥在[0,e]上恒成立，又因为，()2f x x ax a =--，()e xg x =-，故()()2e 0x f x g x x a ''-=-+≥，得2e x x a +≥在[0,e]上恒成立，因为函数2e xy x =+在[0,e]上为单调递增函数，故min 1y =，此时，1a ≤；综上所述，实数a 的取值范围为：[]2ln 22,1-.。

历届东南数学奥林匹克试题

历届东南数学奥林匹克试题

目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。

高二数学集合的运算试题

高二数学集合的运算试题

高二数学集合的运算试题1.已知集合,，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,；所以．【考点】集合的运算．2.已知集合,则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,.【考点】集合的交集.3.已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】集合的运算.4.若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜1}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|0＜x＜1}【答案】D【解析】由交集的定义且可知，答案选D.【考点】集合的运算5.设集合N }的真子集的个数是（）A．3B．7C．8D．15【答案】B【解析】由题知A={0,1,2}，其真子集个数23-1=7，故选B.考点:子集6.已知全集U=R，集合，函数的定义域为集合B. （1）若时，求集合;（2）命题P: ,命题q: ,若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，已知函数的定义域B可求，进而可求出集合B在R上的补集；再将集合A化简，即可求得集合；（2）首先可用字母a表示出集合B，再由q是p的必要条件，知，画数轴可列出关于字母a不等式，从而可求实数a的取值范围.试题解析：（1）化简集合，，因为，从而，当时，，故；（2）由于q是p的必要条件，由已知得：，从而有，所以a必须且只需满足：．【考点】１．集合的运算；２．充要条件．7.设集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用解得；（2）利用无公共部分解得；（3）得．规律总结：涉及集合的子集、交集、并集等问题，要注意利用数形结合思想借用数轴解得．注意点：在分类讨论时注意的情形．试题解析：（1）由题意知：，，．①当时，得，解得．②当时，得，解得．综上，．（2）①当时，得，解得；②当时，得，解得．综上，．由，则．【考点】1．集合的运算；2．数形结合思想；3．分类讨论思想．8.若集合，则集合A∩B的元素个数为( )A．0B．2C．5D．8【答案】B【解析】由得，又，，由得，，则集合A∩B的元素个数为2个。

人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解(40题)

人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解(40题)

人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解（40题）重要说明：1、本资料系本人多年教学经验的总结，力求每一道题目代表一种题型或一种思维，力求穷尽本章所有相关知识的培优，内容主要立足于课程标准，少部分奥赛内容，掌握此培优系列内容则中考无忧，同时具备参加重点高中学校的自主招生考试的能力。

2、本资料仅供优生（百分制下得分80分以上学生）使用，其余学生不得使用，每道题目后面附有详细解答及点评，学生至少做两遍资料方能理解其中真谛和得到能力提升。

3、本资料主要根据人教版教材编写，其它版本的教材都是在国家同一个课程标准下编写的，只是编排顺序不同，因此该内容也适用于其它版本的教材的对应章节。

一．选择题（共5小题）1．已知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，则二次三项式x2﹣px+q 可分解为（）A．（x+3）（x﹣4）B．（x﹣3）（x+4）C．（x+3）（x+4）D．（x﹣3）（x﹣4）2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C D．3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣54．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A．7 B．11 C．12 D．165．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4二．填空题（共13小题）6．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，那么a2+b2=．7．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}=1，若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=．8．设α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）=．9．已知a是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则a3﹣2017a2﹣=．10．设m是方程x2﹣3x+1=0的一个实数根，则=．11．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．12．已知x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，且x12+x22+（x1+x2）2=3，，则m=n=．13．设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则=．14．已知α、β是方程x2+x﹣1=0的两个实根，则α4﹣3β=．15．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，当k=时，△ABC是等腰三角形；当k=时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．16．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值范围是．17．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．18．若实数a、b、c满足，b+c﹣1=0，a﹣bc﹣1=0，则a的取值范围是．三．解答题（共22小题）19．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，求x+y+z的值．20．求证：对于任意实数x，代数式﹣12x2﹣3x﹣5的值恒为负值．21．解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y 则原方程可化为y2﹣5y+4=0 解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．请利用这种方法解方程（3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0．22．阅读下列材料：已知实数x，y满足（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）=63，试求x2+y2的值．解：设x2+y2=a，则原方程变为（a+1）（a﹣1）=63，整理得a2﹣1=63，a2=64，根据平方根意义可得a=±8，由于x2+y2≥0，所以可以求得x2+y2=8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（1）已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）=27，求x+y的值．（2）填空：①分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1=．②已知关于x，y的方程组的解是，关于x，y的方程组的解是．23．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣3=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=8，求k的值．24．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．25．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．26．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．28．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=，x3=；（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．29．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=，=，=；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．30．阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0解：（1）当x﹣1≥0即x≥1时．|x﹣1|=x﹣1，原方程化为x2﹣（x﹣1）﹣1=0，即x2﹣x=0，解得x1=0，x2=1．∵x≥1，故x=0舍去，x=1是原方程的解（2）当x﹣1＜0即x＜1时．|x﹣1|=﹣（x﹣1），原方程化为x2+（x﹣1）﹣1=0，即x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2．∵x＜1，故x=1舍去，x=﹣2是原方程的解．综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣2．解方程：x2+2|x+2|﹣4=0．31．如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？32．阅读下面材料：在计算1+4+7+10+13+16+19+22+25+28时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值，具有这种规律的一列数，求和时，除了直接相加外，我们还可以用公式来计算（公式中的S 表示它们的和，n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值）．那么S=1+4+7+10+13+16+19+22+25+28==145．用上面的知识解决下列问题：我市某乡镇具有“中国北方乔木之乡”的美称，到2000年底这个镇已有苗木2万亩，为增加农民收入，这个镇实施“苗木兴镇”战略，逐年有计划地扩种苗木．从2001年起，以后每年又比上一年多种植相同面积的苗木；从2001年起每年卖出成苗木，以后每年又比上一年多卖出相同面积的苗木．下表为2001年、2002年、2003年三年种植苗木与卖出成苗木的面积统计数据．假设所有苗木的成活率都是100%，问到哪一年年底，这个镇的苗木面积达到5万亩？33．如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？34．如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？35．如图1，某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形．如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%，南北空地等宽，东西空地等宽．（1）求该小区四周的空地的宽度；（2）如图2，该小区在东、西、南三块空地上做如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路，小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米，绿化面积为18000平方米，请算出小区道路的宽度．36．泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副，鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．（1）填表：（2）如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？37．某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润？（毛利润=销售额﹣费用）38．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．39．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？40．某水果商在今年1月份用2.2万元购进A种水果和B种水果共400箱．其中A、B两种水果的数量比为5：3．已知A种水果的售价是B种水果售价的2倍少10元，预计当月即可全部售完．（1）该水果商想通过本次销售至少盈利8000元，则每箱A水果至少卖多少元？（2）若A、B两种水果在（1）的条件下均以最低价格销售，但在实际销售中，受市场影响，A水果的销量还是下降了a%，售价下降了a%；B水果的销量下降了a%，但售价不变．结果A、B两种水果的销售总额相等．求a的值．人教版初中数学培优系列九年级上册之第21章一元二次方程题目和详解（40题）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【分析】由方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，将多项式x2+px+q=0分解因式，求出p与q的值，确定出所求多项式，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：∵方程x2+px+q=0的两个根为x1=3，x2=﹣4，∴二次三项式x2+px+q=（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12，∴p=1，q=﹣12，则x2﹣x﹣12=（x+3）（x﹣4）．故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．弄清题意是解本题的关键．2．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＜0，b＜0，即kb＞0，故B不正确；C．k＞0，b＜0，即kb＜0，故C正确；D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．+===﹣2=﹣2=﹣5．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．4．【分析】由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2﹣2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及二次函数的最值，根据根与系数的关系找出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7是解题的关键．5．【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2=34.6，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故选：D．【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x）2=b．二．填空题（共13小题）6．【分析】设a2+b2=t（t≥0），则原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解该方程得到t即a2+b2的值．【解答】解：设a2+b2=t（t≥0），则t（t﹣2）=8，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），则a2+b2=4．故答案是：4．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．7．【分析】首先理解题意，进而可得min{（x﹣1）2，x2}=1时分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意．8．【分析】根据α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两实数根，把x=α与x=β代入得到关系式，利用根与系数得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵α、β是方程x2+2013x﹣2=0的两实数根，∴α2+2013α﹣2=0，β2+2013β﹣2=0，α+β=﹣2013，αβ=﹣2，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）=（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）=（3α+1）（3β+1）=9αβ+3（α+β）+1=﹣18﹣6039+1=﹣6056．故答案为：﹣6056．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．9．【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a=﹣1、a2+1=2017a，代入原式=a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴a2﹣2017a+1=0，即a2﹣2017a=﹣1，a2+1=2017a，则原式=a（a2﹣2017a）﹣=﹣a﹣=﹣=﹣=﹣2017，故答案为：﹣2017．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．10．【分析】利用一元二次方程的解的意义得到m2﹣3m+1=0，两边除以m得到m+=3，再把原式变形得到原式=m2+1+=（m+）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1=0的一个实数根，∴m2﹣3m+1=0，两边同除以m得：m+=3，∴原式=m2+1+=（m+）2﹣2+1=9﹣2+1=8．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．【分析】利用韦达定理，把a消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，再求解这个对称的不定方程即可．【解答】解：设两个根为x1≥x2，由韦达定理得，从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴或，∴或，∴a=x1x2=0或16．故答案为：0或16．【点评】主要考查了求解为整数的二次方程的系数问题；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键．12．【分析】由x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出x1+x2与x1x2，且得到根的判别式大于等于0，得到m大于4n，将已知的两等式变形后代入得到关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m 与n的值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=n，b2﹣4ac=m﹣4n≥0，即m≥4n，化简得：x12+x22+（x1+x2）2=2（x1+x2）2﹣2x1x2=2m﹣2n=3①，+===5②，由①得：2m=2n+3③，③代入②整理得：（5n﹣3）（n+1）=0，解得：n=或﹣1，当n=时，m=（不合题意，舍去）；当n=﹣1时，m=，则m=，n=﹣1．故答案为：；﹣1【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设两根分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．13．【分析】根据α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，得到α+β=3，αβ=1，根据完全平方公式得到α4+β4=47，于是得到结论．【解答】解：方程（x+1）（x﹣4）=﹣5可化为x2﹣3x+1=0，∵α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，∴α+β=3，αβ=1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=7，α4+β4=（α2+β2）2﹣2α2•β2=47，∴==47，故答案为：47．【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对进行变形．14．【分析】由方程的根的定义，可知α2+α﹣1=0，移项，得α2=1﹣α，两边平方，整理得α4=2﹣3α①；由一元二次方程根与系数的关系，可知α+β=﹣1②；将①②两式分别代入α4﹣3β，即可求出其值．【解答】解：∵α是方程x2+x﹣1=0的根，∴α2+α﹣1=0，∴α2=1﹣α，∴α4=1﹣2α+α2=1﹣2α+（1﹣α）=2﹣3α．又∵α、β是方程x2+x﹣1=0的两个实根，∴α+β=﹣1．∴α4﹣3β=2﹣3α﹣3β=2﹣3（α+β）=2﹣3×（﹣1）=5．故答案为5．【点评】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解．15．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2=25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为△=b2﹣4ac=[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）=1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB=BC=5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．∵无论k取何值，△＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，则AB2+AC2=（AB+AC）2﹣2AB•AC=25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）=25，解得k=2或k=﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积3k+2＞0，解得k＞﹣∴k=2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件16．【分析】根据根与系数的关系得α+β=2，αβ=﹣m+1，由|α|+|β|=6，推得αβ＜0，由α+β=2得α2+β2=4﹣2αβ，由|α|+|β|=6得α2+β2=36﹣2|αβ|，于是4﹣2αβ=36﹣|αβ|=36+2αβ，从而得到αβ=﹣8，即﹣m+1=﹣8，解方程即可求得结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，∴α+β=2，αβ=﹣m+1，∵|α|+|β|=6，∴α，β为异号，即αβ＜0，由α+β=2得α2+β2=4﹣2αβ，由|α|+|β|=6得α2+β2=36﹣2|αβ|，∴4﹣2αβ=36﹣2|αβ|=36+2αβ，∴αβ=﹣8，∴﹣m+1=﹣8，∴m=9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，能根据根与系数的关系与与已知条件求得αβ＜0是解题的关键．17．【分析】由根与系数的关系得a n+b n=n+3，a n•b n=﹣3n2，所以（a n﹣3）（b n﹣3）=a n b n﹣3（a n+b n）+9=﹣3n2﹣3（n+3）+9=﹣3n（n+1），则==﹣（﹣），然后代入即可求解．【解答】解：由根与系数的关系得a n+b n=n+3，a n•b n=﹣3n2，所以（a n﹣3）（b n﹣3）=a n b n﹣3（a n+b n）+9=﹣3n2﹣3（n+3）+9=﹣3n（n+1），则==﹣（﹣），∴原式=﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=﹣×（1﹣）=﹣×=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．18．【分析】有已知条件得到b+c=1，bc=a﹣1，则利用根与系数的关系可把b、c为方程x2﹣x+（a﹣1）=0的两实数解，根据根的判别式的意义得到△=1﹣4（a﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵b+c=1，bc=a﹣1，∴把b、c为方程x2﹣x+（a﹣1）=0的两实数解，∴△=1﹣4（a﹣1）≥0，∴a≤．故答案为a≤．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．三．解答题（共22小题）19．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质分别求出x、y、z，代入计算即可．【解答】解：x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，则x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，解得，x=1，y=﹣2，z=3，则x+y+z=2．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．20．【分析】原式前两项提取﹣3变形，配方后利用非负数的性质判断即可得证．【解答】证明：∵﹣12x2﹣3x﹣5=﹣12（x2+x）﹣5=﹣12（x+）2﹣≤﹣＜0．∴代数式﹣12x2﹣3x﹣5的值恒为负值【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．【分析】先设3x+5=t，则方程即可变形为t2﹣4t+3=0，解方程即可求得t即3x+5的值【解答】解：设t=3x+5，则原方程可化为：t2﹣4t+3=0，即（t﹣1）（t﹣3）=0∴t=1或t=3．当t=1时，3x+5=1，解得x=﹣；当t=3时，3x+5=3，解得x=﹣．综上所述，原方程的解是：x1=﹣，x2=﹣．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．22．【分析】（1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）=27，解之求得a的值，继而可得x+y的值；（2）①令a=x2+4x+3，原式变形为a（a+2）+1=（a+1）2，将a代入进一步根据完全平方公式分解可得；②将原方程组变为，由题意得出，即可得出答案．【解答】解：（1）设2x+2y=a，则原方程变为（a+3）（a﹣3）=27，整理，得：a2﹣9=27，即a2=36，解得：a=±6，则2x+2y=±6，∴x+y=±3；（2）①令a=x2+4x+3，则原式=a（a+2）+1=a2+2a+1=（a+1）2=（x2+4x+4）2=（x+2）4；②由方程组得，整理，得：，∵方程组的解是，∴x﹣1=±3，且y=5，解得：或，故答案为：（x+2）4，或．【点评】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．23．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2﹣3，代入（x1+1）（x2+1）=8，即x1x2+（x1+x2）+1=8代入即可得到关于k的方程，可求出k的值，再根据△与0的关系舍去不合理的k值．【解答】解：依题意可知，x1+x2=2（k+1）=2k+2，，由（x1+1）（x2+1）=8得x1x2+x1+x2+1=8，于是k2﹣3+2k+2+1=8，即k2+2k﹣8=0，解得k1=2，k2=﹣4﹒而△=[﹣2（k+1）]2﹣4（k2﹣3）≥0，所以k≥﹣2．所以k=2．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题时不要只根据（x1+1）（x2+1）=8，求出k的值，而忽略△与零的关系．24．【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让﹣=0即可求得k的值．（3）分b=c，b=a两种情况做．【解答】证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣）=（2k﹣3）2≥0，∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x1+x2=2k+1=0，解得k=﹣0.5；（3）①当b=c时，则△=0，即（2k﹣3）2=0，∴k=，方程可化为x2﹣4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不适合题意舍去；②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，∴k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C=10，△ABC综上所述，△ABC的周长为10．【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．25．【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=﹣，x1x2=，代入到+x1+x2=2中，可求得k的值．【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2，∴S的值能为2，此时k=2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．26．【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和与两根之积用m表示的形式，也可以根据两根之积得到x1x2≤0，从而可以去掉已知等式的绝对值符号，然后结合根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．27．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；。

考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

考前归纳总结导数中的有关方程根的问题

导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。

例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值 范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。

福建省福州第三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

福建省福州第三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

福建省福州第三中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集{}6U x x =∈<N ，集合{}{}1,2,3,2,4,5A B ==，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{}0B ．{}4,5C ．{}2,4,5D ．{}0,2,4,52．设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34．已知ABC V 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（ ） A ．sin cos tan ααα-≤ B ．sin cos tan ααα-≥ C ．sin cos tan ααα⋅<D ．sin cos tan ααα⋅>7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,==AB A B AA O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（ ） A ．9πB ．16πC ．25πD ．36π8．已知函数()2ln f x x =+，()g x =()y f x =，()y g x =图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()1,e二、多选题9．已知各项均为正数的等差数列{}n a ，且1n n a a +>，则（ ） A ．3746a a a a +=+ B ．3746a a a a ⋅>⋅ C ．数列{}21n a +是等差数列D ．数列{}2n a 是等比数列10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱1BB ，11B C ，1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1AC ⊥平面1D MN B ．点P 与点D 到平面1D MN 的距离相等C ．平面1D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为等腰梯形D ．平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分割成的上、下两部分的体积之比为7:17 11．已知奇函数()f x 的定义域为R ，()22f =，对于任意的正数12,x x ，都有()()()12121f x x f x f x =+-，且12x >时，都有()0f x >，则（ ） A ．102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增C ．对于任意0x <都有()12f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．不等式()ln 20f x -<⎡⎤⎣⎦的解集为()11,2,4816⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭三、填空题12．已知单位向量12e e ⊥u r u u r ，向量122a e e λ=-r u r u u r ，122b e e =+r u r u u r ，若a b ⊥r r，则实数λ＝．13．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为． 14．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =；设数列{}n a 的前n 项和为n S =.四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,2n n n S a S a +==-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令21log n n b a =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B =+. (1)求角B ；(2)若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值. 17．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点F 在直线210x y +-=上，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且3AF BF =. (1)求C 的标准方程；(2)是否存在过点()1,0G -的直线l 交C 于M ，N 两点，使得直线BM ，BN 的斜率之和等于-1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，60BAD CDA ∠∠==o ，90ABC ∠=o ，4=AD ，2CD =，3PB =，PA =PDC ⊥平面ABCD .(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD . (2)求二面角P BC D --的余弦值.(3)G 为平面PBC 内一点，若DG ⊥平面PBC ，求BG 的长.19．设a ，b 为实数，且1a >，函数()()2e xf x a bx x =-+∈R .(1)若()()ln xg x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；(2)若对任意2e 2b >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；(3)当e a =时，对任意4e >b ，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，证明：2212ln e 2e >+b b x x b.（注：e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）。

33.零点数列

33.零点数列

第27讲:零点数列 223第27讲:零点数列以含n 的函数或周期函数的零点(或函数的极值点,即导函数的零点)而产生的数列问题,于2012年首次出现在陕西高考中,2013年又出现于安徽高考中,应成为研究的专题.例1:三次函数的零点.[始源问题]:(2006年第三届东南地区数学奥林匹克竞赛试题)对任意正整数n,设a n 是方程x 3+nx =1的实数根.求证:(Ⅰ)a n+1>a n ; (Ⅱ)∑+=ni ia i12)1(1<a n .[解析]:由a n 3+na n=1⇒0<a n <1; (Ⅰ)由a n 3+n a n =1⇒a n+13+11++n a n =1⇒a n+13-a n 3+11++n a n -n a n =0⇒a n+13-a n 3+n a n 1+-n a n >0⇒(a n+1-a n )(a n+12+a n+1a n +a n 2+n1)>0⇒a n+1>a n ; (Ⅱ)由a n 3+n a n =1⇒a n (a n 2+n1)=1⇒a n =na n 112+>n111+=1+n n ⇒n a n 2)1(1+<)1(1+n n =n 1-11+n ⇒∑+=n i ia i 12)1(1<1-11+n = 1+n n<a n . 本题是零点数列的第一题,它指出了数列命题的一个新方向.是命制安徽高考数列特色试题:“不求数列通项,研究数列性质”的好方法.[原创问题]:对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x 3-nx=1的最大实数根.(Ⅰ)求证:n <a n <a n+1<2+n ; (Ⅱ)当n ≥4时,对任意的正整数m,2nm n -+<a n+m -a n <2(m n +-n ). [解析]:(Ⅰ)令f(x)=x 3-nx-1,则f '(x)=3x 2-n ⇒f(x)在区间(3n,+∞)内单调递增;又由f(n )=-1<0,f(1+n )=1+n -1>0⇒n <a n <1+n ⇒1+n <a n+1<2+n ⇒n <a n <a n+1<2+n ;(Ⅱ)当n ≥4时,f(21++n n )=813++n n -1≥856+-1=825->0=f(a n )⇒a n <21++n n ⇒n <a n <21++n n ⇒ 1+n <a n+1<221+++n n ⇒1+n -21++n n <a n+1-a n <221+++n n -n ⇒21(1+n -n )<a n+1-a n <21[(1+n -n )+(2+n -n )<2+n -n ⇒a n+m -a n =(a n+1-a n )+(a n+2-a n+1)+(a n+3-a n+2)+…+(a n+m -a n+m-1)>21[(1+n -n )+(2+n -1+n )+ …+(m n +-1-+m n )]=2nm n -+;a n+m -a n =(a n+1-a n )+(a n+2-a n+1)+(a n+3-a n+2)+…+(a n+m -a n+m-1)<(2+n -n )+(3+n -1+n )+ (4+n -2+n )+…+(1++m n -1-+m n )=m n ++1++m n -n -1+n <2(m n +-n ).[原创问题]:己知函数f(x)=x 3-x-1(x ∈R).(Ⅰ)求证:f(x)有唯一的正的零点x 0;(Ⅱ)数列{x n }满足:x 1=2,x n+1=31+n x ,求证:存在正常数M,使得:|x n -x 0|≤M(41)n.224 第27讲:零点数列 [解析]:(Ⅰ)由f(x)=x 3-x-1⇒f '(x)=3x 2-1⇒f(x)在(0,33)上单调递减,在(33,+∞)上单调递增⇒当x ∈(0,33)时,f(x)<f(0)=-1<0;且f(-1)=-1<0,f(2)=5>0⇒f(x)有唯一的正的零点x 0∈(1,2);(Ⅱ)由x 1=2,x n+1=31+n x ⇒x n ∈[1,2];注意到:x n+1=g(x n ),且f(x 0)=0⇔x 03-x 0-1=0⇔x 0=301+x ⇔x 0=g(x 0);所以,|x n -x 0|= |311+-n x -301+x |=2303031231)1(11)1(1+++⋅+++--x x x x n n |x n-1-x 0|≤3431|x n-1-x 0|≤41|x n-1-x 0|⇒|x n -x 0|≤|x 1-x 0|(41)n-1;令M=4|x 1-x 0|>0得:|x n -x 0|≤M(41)n. 例2:n 次函数的零点.[始源问题]:(2012年陕西高考试题)设函数f n (x)=x n +bx+c(n ∈N +,b,c ∈R).(Ⅰ)设n ≥2,b=1,c=-1,证明:f n (x)在区间(21,1)内存在唯一的零点; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设x n 是f n (x)在(21,1)内的零点,判断数列x 2,x 3,…,x n ,…的增减性. [解析]:(Ⅰ)由f n (x)=x n +x-1⇒f 'n (x)=nx n-1+1>0⇒f n (x)在区间(21,1)内单调递增;又由f n (21)=(21)n +21-1<21+21-1 =0,f n (1)=1>0⇒f n (x)在区间(21,1)内存在唯一的零点; (Ⅱ)由(Ⅰ)知21<x n <1⇒21<x n+1<1,又由x n+1n+1+x n+1-1=0…①,x n n +x n -1=0…②,②-①得x n+1n+1+x n+1-(x n n +x n )=0⇒x n+1n +x n+1-(x n n+ x n )>0⇒x n+1n+x n+1>x n n+x n ⇒x n+1>x n ⇒数列x 2,x 3,…,x n ,…单调递增. 本题是高考中出现的零点数列的第一题,该题的命题方法极易移植.[原创问题]:对任意正整数n,设a n 是关于x 的方程x n +nx-1=0的实数根.(Ⅰ)求证:0<a n+1<a n <1; (Ⅱ)求证:a 12+a 22+a 32+…+a n 2<1.[解析]:(Ⅰ)设f n (x)=x n +nx-1⇒f 'n (x)=nx n-1+n>0⇒f n (x)在区间(0,1)内单调递增;又由f n (0)=-1<0,f n (1)=n>0⇒f n (x)在区间(0,1)内存在唯一的零点⇒0<a n <1⇒0<a n+1<1;又由a n+1n+1+(n+1)a n+1-1=0…①,a n n+na n -1=0…②,②-①得a n+1n+1+(n+1) a n+1-(a n n+na n )=0(a n+1n+1+(n+1)a n+1>a n+1n+na n+1⇔a n+1+1>1成立)⇒a n+1n+na n+1-(a n n+na n )=0⇒a n+1n+na n+1<a n n+na n ⇒a n+1<a n ⇒0<a n+1< a n <1; (Ⅱ)因a 1=21,当n ≥2时,由f n (n 1)=(n 1)n >0⇒a n <n 1⇒a 12+a 22+a 32+…+a n 2<221+221+231+…+21n <41+41+(21-31)+…+ (11-n -n 1)=1-n1<1. 例3:n 次多项式的零点.[始源问题]:(2013年安徽高考试题)设函数f n (x)=-1+x+222x +233x +…+2n x n (x ∈R,n ∈N +).证明:(Ⅰ)对每个n ∈N +,存在唯一的x n ∈[32,1],满足f n (x n )=0; (Ⅱ)对任意的p ∈N +,由(Ⅰ)中x n 构成的数列{x n }满足:0<x n -x n+p <n1. [解析]:(Ⅰ)由f 'n (x)=1+2x +32x +...+n x n 1->0⇒f n (x)在区间[32,1]内单调递增,且f n (1)=221+231+ (21)>0,f n (32)=第27讲:零点数列 225-1+32+221(32)2+231(32)3+…+21n (32)n <-31+41[(32)2+(32)3+…+(32)n ]<-31+41⋅321)32(2-=0⇒存在唯一的x n ∈[32,1],满足f n (x n )=0; (Ⅱ)当x ∈[32,1]时,由f n+1(x)=-1+x+222x +233x +…+2n x n +21)1(++n x n =f n (x)+21)1(++n x n >f n (x)⇒f n+1(x n )>f n (x n )=f n+1(x n+1);又由f n+1(x)在区间[32,1]内单调递增⇒x n >x n+1⇒x n -x n+1>0; 由-1+x n +222nx +233nx +…+2n x n n=0…①⇒-1+x n+p +222pn x ++233pn x ++…+2n x npn ++21)1(+++n x n pn +…+2)(p n x pn pn +++=0…②;①-②得:(x n -x n+p ) +2222pn n x x +-+2333pn n x x +-+…+2n x x npn n n +--[21)1(+++n x n pn +…+2)(p n x pn pn +++]=0⇒x n -x n+p =[2222n p n x x -++2333np n x x -++…+2n x x nnn p n -+]+[21)1(+++n x n pn+…+2)(p n x pn pn +++]≤21)1(+++n x n pn +…+2)(p n x pn pn +++<2)1(1+n +2)2(1+n +…+2)(1p n +<)1(1+n n +)2)(1(1++n n +…+))(1(1p n p n +-+=(n 1-11+n )+(11+n -21+n )+…+(11-+p n -pn +1)=n 1-p n +1<n 1. 本题类比2012年陕西高考试题,但拓展了载体函数,深化了数列性质.[原创问题]:设a n 是关于x 的方程x n +x n-1+…+x-1=0(x ∈R +,n ≥2)的实数根.(Ⅰ)求证:21<a n+1<a n <1; (Ⅱ)求证:a 2+a 3+…+a n <2n . [解析]:(Ⅰ)设f(x)=x n +x n-1+…+x-1,则f '(x)=nx n-1+(n-1)x n-2+…+2x+1>0⇒f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f(1)=n-1>0,f(21)=-(21)n<0⇒21<a n <1;由a n n +a n n-1+…+a n -1=0,a n+1n+1+a n+1n +…+a n+1-1=0⇒a n+1n +…+a n+1-1<0=a n n +a n n-1+…+a n -1⇒f(a n+1) <f(a n )⇒a n+1<a n ⇒21<a n+1<a n <1; (Ⅱ)由(21)n =f(a n )-f(21)=[a n n -(21)n ]+[a n n-1-(21)n-1]+…+(a n -21)>a n -21⇒a n <21+(21)n ⇒a 2+a 3+…+a n <21-n +211])21(1[411---n<21-n +21=2n. 例4:n 次多项式的背景.[始源问题]:(2013年广州普通高中毕业班综合测试一文科试题)已知n ∈N +,设函数f n (x)=1-x+22x -33x +…-1212--n x n ,x ∈R.(Ⅰ)求函数y=f 2(x)-kx(k ∈R)的单调区间;(Ⅱ)是否存在整数t,对于任意n ∈N +,关于x 的方程f n (x)=0在区间[t,t+1]上有唯一实数解？若存在,求t 的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)y=1-x+22x -33x -kx ⇒y '=-(x 2-x+k+1),△=(-1)2-4(k+1)=-4k-3;①当k ≥-43时,y '≤0⇒y 有递减区间为R;②当k<-43时,x 1=2431k ---,x 2=2431k--+⇒y 有递减区间为(-∞,x 1)和(x 2,+∞),递增区间为(x 1,x 2); (Ⅱ)由f 'n (x)=-1+x-x 2+…+x 2n-3-x2n-2;⑴当x=-1时,f 'n (-1)=-(2n-1)<0;⑵当x ≠-1时,f 'n (x)=-[1+(-x)+(-x)2+…+226 第27讲:零点数列(-x)2n-2]=-x x n ++-1112;①当x<-1时,1+x<0,1+x 2n-1<0⇒x x n ++-1112>0⇒f 'n (x)<0;②当x>-1时,1+x>0,1+x 2n-1>0⇒xx n ++-1112>0⇒f 'n (x)<0.综上,f 'n (x)<0⇒f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;又因f n (1)=(1-1)+(21-31)+…+(221-n -121-n )>0;f n (2)=(1-2)+(222-323)+…+(22222--n n -12212--n n )=-1-321⋅⋅22-…-)12)(22(32---n n n ⋅22n-2<0⇒f n (x)=0只有一解x n ,且x n ∈(1,2)⇒t=1. 本题中的多项式具有高等数学背景,ln(1+x)的泰勒展开式:ln(1+x)=x-21x 2+31x 3+…+(-1)n 11+n x n+1+…,所以,f n (x)=1 -ln(1+x)-σ2n (x),其中,σ2n (x)为拉格朗日余项.[原创问题]:已知n ∈N +,设函数f n (x)=1-x+22x -33x +…-1212--n x n ,x ∈R.证明: (Ⅰ)对每个n ∈N +,存在唯一的x n ∈(1,2),满足f n (x n )=0; (Ⅱ)当n ≥2时,x n >x n+1.[解析]:(Ⅰ)由f 'n (x)=-1+x-x 2+…+x2n-3-x2n-2;⑴当x=-1时,f 'n (-1)=-(2n-1)<0;⑵当x ≠-1时,f 'n (x)=-[1+(-x)+(-x)2+…+(-x)2n-2]=-x x n ++-1112;①当x<-1时,1+x<0,1+x 2n-1<0⇒x x n ++-1112>0⇒f 'n (x)<0;②当x>-1时,1+x>0,1+x 2n-1>0⇒xx n ++-1112 >0⇒f 'n (x)<0.综上,f 'n (x)<0⇒f n (x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;又因f n (1)=(1-1)+(21-31)+…+(221-n -121-n )>0;f n (2)=(1-2)+(222-323)+…+(22222--n n -12212--n n )=-1-321⋅⋅22-…-)12)(22(32---n n n ⋅22n-2<0⇒f n (x)=0只有一解x n ,且x n ∈(1,2); (Ⅱ)由f n (1+n 21)=-n 21+(1+n 21)2[21-31(1+n 21)]+…+(1+n 21)2n-2[221-n -121-n (1+n 21)]>-n 21+(1+n 22)[21-31(1+n21)]+…+(1+n n 222-)[221-n -121-n (1+n 21)](通项为(1+n k 2)[k 1-11+k (1+n 21)]=(1+n k 2)⋅11+k ⋅(k 1-n 21)>0)> -n 21+(1+n 22) [21-31(1+n 21)]=61-n 21-261n⇒当n ≥4时,f n (1+n 21)>0,易验证:当n=2,3时,f n (1+n 21)>0⇒当n ≥2时,f n (1+n 21)>0 =f n (x n )(f n (x)在区间(-∞,+∞)上单调递减)⇒x n >1+n21⇒2n+1-2nx n <0; 当x ∈(1,2)时,由f n+1(x)=1-x+22x -33x +…-1212--n x n +n x n 22-1212++n x n =f n (x)+n x n 22-1212++n x n =f n (x)+)12(2212+-+n n nx n x 2n ⇒f n+1(x n )=f n (x n )+)12(2212+-+n n nx n n x n 2n<f n (x n )=0=f n+1(x n+1)⇒x n >x n+1.[原创问题]:已知n ∈N +,设函数f n (x)=1+x+！x 22+！x 33+…+！n x n )22(22--+！n x n )12(12--. (Ⅰ)求证:f n (x)有唯一零点x n ; (Ⅱ)证明:(Ⅰ)中的零点x n 满足:-2n-1≤x n+1<x n <0.[解析]:(Ⅰ)令g n (x)=1+x+！x 22+！x 33+…+！n x n )12(12--+！n x n )2(2⇒g 'n (x)=1+x+！x 22+！x 33+…+！n x n )12(12--=f n (x),f 'n (x)=1+x+！x 22+！x 33 +…+！n x n )22(22--=g n-1(x);①f 1(x)=1+x 有唯一零点x 1=-1,且单调递增;g 1(x)=1+x+！x 22>0;②假设f k (x)有唯一零点x k >-2k+1,且单调递增;g k (x)>0,则由f 'n (x)=g n-1(x)⇒f 'k+1(x)=g k (x)>0⇒f k+1(x)单调递增,且f n+1(x)=1+x+！x 22+！x 33+…+！n x n )2(2+！n x n )12(12++ =[1+x]+[！x 22+！x 33]+…+[！n x n )2(2+！n x n )12(12++]=(1+x)+！x 22(x+3)+…+！n x n)2(2(x+2n+1)⇒f k+1(-2k-1)<0,f k+1(0)=1>0⇒0>x k+1>-2k-1;第27讲:零点数列 227由g 'n (x)=f n (x)⇒g 'k+1(x)=f k+1(x)单调递增,且有唯一零点x k+1⇒g k+1(x)的最小值=g k+1(x k+1)=f k+1(x k+1)+！k x k k )22(221+++=！k x k k )22(221+++>0; (Ⅱ)由(Ⅰ)知0>x n ≥-2n+1;只需证:x n+1<x n ,由f n (x)单调递增得:x n+1<x n ⇔f n (x n+1)<f n (x n )=0⇔f n (x n+1)<0;注意到:f n+1(x)-f n (x)=！n x n )2(2+！n x n )12(12++=！n x n)2(2(x+2n+1)⇒f n+1(x n+1)-f n (x n+1)=！n x n n )2(21+(x n+1+2n+1)⇒-f n (x n+1)=！n x n n )2(21+(x n+1+2n+1)>0(x n+1+2n+1>0)⇒f n (x n+1)<0.综上,-2n-1≤x n+1<x n <0.例4:一般多项式.[始源问题]:(2013年“桌越联盟”自主招生试题)设数列{a n }满足:0<a n <1,n ∈N +,定义函数f n (x)=x+a 1x 2+a 2x 3+…+a n x n+1,n∈N +.(Ⅰ)对于每一个n ∈N +,证明:方程f n (x)=1在区间(0,1)内有唯一解x n ; (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的数列{x n },证明:x n >x n+1>21. [解析]:(Ⅰ)由f 'n (x)=1+2a 1x+3a 2x 2+…+(n+1)a n x n>0,且f n (0)<1,f n (1)=1+a 1+a 2+…+a n >1⇒方程f n (x)=1在区间(0,1)内有唯一解x n ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f n (x n )=1⇒f n+1(x n+1)=1⇒f n (x n )-f n (x n+1)=1-(x n+1+a 1x n+12+a 2x n+13+…+a n x n+1n+1)=1-(x n+1+a 1x n+12+a 2x n+13+…+a n x n+1n+1+ a n+1x n+1n+2)+a n+1x n+1n+2=1-f n+1(x n+1)+a n+1x n+1n+2=a n+1x n+1n+2>0⇒f n (x n )>f n (x n+1)⇒x n >x n+1; 由f n (x n )-f n (21)=1-[21+a 1(21)2+a 2(21)3+…+a n (21)n+1]>1-[21+(21)2+(21)3+…+(21)n+1]=(21)n+1>0⇒x n >21. 本题极大的拓展了函数零点数列的命题空间,由此可构造:[原创问题]:已知函数f n (x)=-1+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ,其中,a n =(21)n-1,n ∈N +.(Ⅰ)对于每一个n ∈N +,证明:方程f n (x)=0在区间[21,1)内有唯一解x n ; (Ⅱ)对任意的m ∈N +,由(Ⅰ)中x n 构成的数列{x n }满足:0<x n -x n+m <(21)n-1. [解析]:(Ⅰ)由f 'n (x)=a 1x+2a 2x 2+…+na n x n-1>0,且f n (21)=-1+[21+21(41)1+…+21(41)n-1]=-31+32(41)n≤0,f n (1)=-1+a 1+a 2+…+a n =1+2(21)n >0⇒方程f n (x)=0在区间[21,1)内有唯一解x n ; (Ⅱ)当x ∈[21,1)时,由f n+1(x)=-1+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n +a n+1x n+1=f n (x)+a n+1x n+1>f n (x)⇒f n+1(x n )>f n (x n )=0=f n+1(x n+1);又由f n+1(x)在区间[21,1)内单调递增⇒x n >x n+1⇒x n >x n+m ⇒x n -x n+m >0; 由-1+a 1x n +a 2x n 2+a 3x n 3+…+a n x n n=0…①⇒-1+a 1x n+m +a 2x n+m 2+a 3x n+m 3+…+a n x n n+a n+1x n+m n+1+…+a n+m x n+m n+m=0…②;①-②得:a 1(x n -x n+m ) +a 2(x n 2-x n+m 2)+…+a n (x n n-x n+m n)-(a n+1x n+m n+1+…+a n+m x n+m n+m)=0⇒x n -x n+m =a 2(x n+m 2-x n 2)+…+a n (x n+m n-x n n)+(a n+1x n+m n+1+…+a n+m x n+m n+m)≤a n+1x n+m n+1+…+a n+m x n+m n+m≤a n+1+…+a n+m =[2-2(21)n+m ]-[2-2(21)n ]=2(21)n [1-(21)m ]<2(21)n =(21)n-1. 例5:极值点数列.[始源问题]:(2012年安徽高考试题)设函数f(x)=2x+sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(Ⅰ)求数列{x n }; (Ⅱ)设{x n }的前n 项和为S n ,求sinS n .[解析]:(Ⅰ)由f(x)=2x +sinx ⇒f '(x)=21+cosx,令f '(x)=0⇒cosx=-21⇒x=2n π±32π;又因f(x)的极小值点⇔y=cosx 单调递增部分与y=-21的交点⇒x=2n π-32π⇒x n =2n π-32π(n ∈N +);228 第27讲:零点数列(Ⅱ)由x n =2n π-32π⇒S n =n(n+1)π-32πn ,注意到:n(n+1)为偶数⇒sinS n =sin[n(n+1)π-32πn ]=-sin 32πn ;①当n=3k-2 (k ∈N +)时,sinS n =-23;②当n=3k-1(k ∈N +)时,sinS n =23;③当n=3k-2(k ∈N +)时,sinS n =0. 本题把导数、数列与三角函数三个部分进行有机结合,其中更体现了三角函数的桥梁与勾通功能.[原创问题]:己知函数f(x)=e -x (cosx+sinx)+2.(Ⅰ)将f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列{x n },求数列{f(x n )}的前n 项和; (Ⅱ)设数列{a n }满足:0<a 1<3,a n+1=f(a n ),n ∈N*,求证:0<a n <π.[解析]:(Ⅰ)f '(x)=-2e -xsinx,由f '(x)=0⇒x=k π,k ∈Z,且f '(x)在x=k π附近的左、右符号相反,所以f '(x)=0的点x=k π都是其极值点,即x n =n π,n ∈N*⇒f(x n )=2±e -n π;(Ⅱ)当x ∈(0,π)时,f '(x)<0⇒f(x)在(0,π)内递减⇒f(x)∈(f(0),f(π))⊂(0,π)即证.例6:极值点数列的不等式.[始源问题]:(2005年天津高考试题)设函数f(x)=xsinx(x ∈R).(Ⅰ)证明:f(x+2k π)-f(x)=2k πsinx,其中k 为整数; (Ⅱ)设x 0为f(x)的一个极值点,证明:[f(x 0)]2=20401x x +;(Ⅲ)设f(x)在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a 1,a 2,…,a n ,…,证明:2π<a n+1-a n <π(n=1,2,….). [解析]:(Ⅰ)f(x+2k π)-f(x)=(x+2k π)sin(x+2k π)-xsinx=(x+2k π)sinx-xsinx=2k πsinx;(Ⅱ)f '(x)=sinx+xcosx,x 0为f(x)的一个极值点⇒f '(x 0)=0⇒sinx 0+x 0cosx 0=0⇒tanx 0=-x 0,所以,[f(x 0)]2=x 02sin 2x 0=x 02⋅204002022002020211tan tan cos sin sin x x x x x x x x +=+⋅=+;(Ⅲ)x 0>0,且x 0=-tanx 0,所以必存在非负整数k,使x 0∈(k π+2π,k π+π),f '(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x),其中,⑴当x ∈(2k π+2π,2k π+π)时,cosx<0,此时,①当x ∈(2k π+2π,x 0)时,-tanx>x ⇒f '(x)<0;②当x ∈(x 0,2k π+π)时,-tanx<x ⇒f '(x)>0;⑵当∈(2k π+23π,2k π+2π)时,cosx>0,①当x ∈(2k π+2π,x 0)时,-tanx>x ⇒f '(x)>0;②当x ∈(x 0,2k π+π)时,-tanx<x ⇒f '(x)<0.所以满足f '(x)=0的正根x 0都是的极值点.因此,当a n ∈(k π+2π,k π+π)时,a n+1∈(k π+23π, k π+2π)⇒a n+1-a n ∈(2π,23π);又由a n+1-a n =-(tana n+1-tana n )=-(1+tana n+1tana n )tan(a n+1-a n )⇒tan(a n+1-a n )<0⇒a n+1-a n ∈(2π,π). 本题以类周期函数为背景,研究其极值点的性质,与三角函数的性质进行了有机结合,有发展空间.[原创问题]:设f(x)=xsinx-1,x ∈R +.(Ⅰ)求证:f(x)有无数个零点; (Ⅱ)若f(x)的全部零点按从小到大的顺序排列为x 1,x 2,…,x n ,…,证明:23π<x n+2-x n <25π. [解析]:(Ⅰ)因f(2n π+2π)=(2n π+2π)sin(2n π+2π)-1=2n π+2π-1>0,f(2n π-2π)=(2n π-2π)sin(2n π-2π)-1= -2n π-2π-1<0,所以,对任意的自然数n,f(x)在区间(2n π-2π,2n π+2π)内至少有一个零点⇒f(x)有无数个零点; (Ⅱ)由y=sinx 与y=x1的图像知x 1∈(0,2π),x 2∈(2π,π),x 3∈(2π,2π+2π),x 4∈(2π+2π,3π),x 5∈(4π,4π+2π),第27讲:零点数列 229…,x 2n-1∈((2n-2)π,(2n-2)π+2π),x 2n ∈((2n-2)π+2π,(2n-1)π);①由x 2n-1∈((2n-2)π,(2n-2)π+2π)⇒-(2n-2)π-2π<-x 2n-1<-(2n-2)π,且2n π<x 2n+1<(2n+1)π+2π,两式相加得:23π<x 2n+1-x 2n-1<3π+2π;②由x 2n ∈((2n-2)π+2π, (2n-1)π)⇒-(2n-1)π<-x 2n <-(2n-2)π-2π,且2n π+2π<x 2n+2<(2n+1)π,两式相加得:23π<x 2n+2-x 2n <3π-2π=25π.综上,23π<x n+2-x n <25π. 例7:函数的隐性零点.[始源问题]:(2011年湖南高考试题)已知函数f(x)=x 3,g(x)=x+x .(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(Ⅱ)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1=a(a>0),f(a n+1)=g(a n ),证明:存在常数M,使得对于任意的n ∈N *,都有a n ≤M.[解析]:(Ⅰ)由h(x)=x 3-x-x 的定义域为[0,+∞),且h(0)=0⇒有零点x=0;当x ∈(0,+∞)时,由h '(x)=3x 2-1-x21⇒h ''(x)=6x+2341-x >0⇒h '(x)在区间(0,+∞)内单调递增;而h '(41)<0,h '(1)>0⇒h '(x)恰有一个零点x 0∈(41,1)⇒h(x)在区间(0,x 0)内单调递减,在区间(x 0,+∞)内单调递增;而h(1)=-1<0,h(4)>0⇒h(x)在区间(0,1)内无零点,在区间(1,+∞)内恰有一个零点,综上h(x)的零点个数=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,h(x)=f(x)-g(x),即f(x)=g(x)恰有一个正根x 0⇒x 03=x 0+0x ;①当0<a 1=a<x 0时,由f(a n+1)=g(a n )⇒a n+13=a n +n a ⇒a 23=a 1+1a <x 0+0x =x 03⇒a 2<x 0⇒a 33=a 2+2a <x 0+0x =x 03⇒a 3<x 0⇒…⇒a n <x 0,令M=x 0即可;②当a 1=a ≥x 0时,由h(x)在区间(x 0,+∞)内单调递增⇒h(a)≥h(x 0)=0⇒f(a)≥g(a)⇒a 3≥a+a ;又由f(a n+1)=g(a n )⇒a n+13=a n +n a ⇒a 23=a 1+1a =a+a ≤a 3⇒a 2≤a ⇒a 33=a 2+2a ≤a+a ≤a 3⇒a 3≤a ⇒…⇒a n ≤a,令M=a 即可.综上,M=max{a,x 0}.本题以两函数的等式包装数列,独具特色,值得研究拓展.[原创问题]:已知函数f(x)=3sin2x-2sin3x,x ∈(0,3π). (Ⅰ)求证:0<f(x)<233; (Ⅱ)设数列{a n }(n ∈N *)满足:a n ∈(0,3π),sina n+1=31sin3a n ,求证:sina n <n1.[解析]:(Ⅰ)由x ∈(0,3π)⇒0<2x<3x<π⇒cos2x>cos3x;又由f(x)=3sin2x-2sin3x ⇒f '(x)=6cos2x-6cos3x>0⇒ f(x)在区间(0,3π)内单调递增⇒f(x)>f(0)=0,f(x)<f(3π)=233⇒0<f(x)<233; (Ⅱ)由f(x)>0⇒3sin2x>2sin3x ⇒31sin3x<21sin2x ⇒sina n+1=31sin3a n <21sin2a n =sina n cosa n ;以下用数学归纳法证明:①当n=1时,由a 1∈(0,3π)⇒sina 1<sin 3π=23<11成立;②假设sina k <k1;(i)当sina k <11+k 时,由sina n+1<sina n cosa n <sina k <11+k ;(ii)当11+k ≤sina k <k1时,由sina n+1<sina n cosa n <sina k k a 2sin 1-<k1111+-k =11+k .综上,230 第27讲:零点数列sina n+1<11+k .例8:极值点包装数列.[始源问题]:(2010年湖南高考试题)数列{a n }(n ∈N +)中,a 1=a,a n+1是函数f n (x)=31x 3-21(3a n +n 2)x 2+3n 2a n x 的极小值点.(Ⅰ)当a=0时,求通项a n ;(Ⅱ)是否存在a,使数列{a n }是等比数列？若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析]:由f n (x)=31x 3-21(3a n +n 2)x 2+3n 2a n x ⇒f 'n (x)=x 2-(3a n +n 2)x+3n 2a n =(x-n 2)(x-3a n );①当3a n <n 2时,f n (x)的极小值点=n 2;②当3a n >n 2时,f n (x)的极小值点=3a n ;③当3a n =n 2时,f n (x)无极值点;(Ⅰ)当a=0时,a 1=0,3a 1<12⇒a 2=12=1⇒3a 2<22⇒a 3=22=4⇒3a 3>32⇒a 4=3a 3=3×4⇒a 5=32×4,由此猜测:当n ≥3时,a n =3n-3×4;假设a k =3k-3×4,则3a k =3k-2×4>k 2⇔4(1+2)k>9k 2;而4(1+2)k>4(C k 0+2C k 1+22C k 2+23C k 3)=34(4k 3-6k 2+8k+3)>9k 2⇔k(16k 2- 51)+32k+12>0成立.故a k+1=3a k =3k-2×4,即当n=k+1时,a n =3n-3×4成立,由数学归纳法原理知,当n ≥3时,a n =3n-3×4; (Ⅱ)因当3a n >n 2时,a n+1=3a n ,此时,a n =3n-1a,数列{a n }是等比数列,所以,3×3n-1a>n 2⇔a>nn 32;令b n =nn 32⇒n n b b 1+=223)1(n n +;当n=1时,12b b =34>1⇒b 2>b 1;当n ≥2时,n n b b 1+=223)1(nn +<1⇔2n 2>2n+1成立⇒b n+1<b n ⇒b n ≤b 2⇒b n 的最大值=b 2=94⇒a>94. 本题以函数的极值点为背景,以数列为载体考虑了分类讨论思想、数学归纳法原理和数列的单调性、最值性.是一道数列创新题.类比可构造:[原创问题]:数列{a n }(n ∈N +)中,a 1=a,a n+1是函数f n (x)=31x 3-21(3a n +2)x 2+2a n (a n +2)x 的极小值点.(Ⅰ)当a=1时,求通项a n ;(Ⅱ)是否存在a,使数列{a n }是等比数列？若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析]:由f n (x)=31x 3-21(3a n +2)x 2+2a n (a n +2)x ⇒f 'n (x)=x 2-(3a n +2)x+2a n (a n +2)=[x-(a n +2)](x-2a n );①当2a n <a n +2,即a n <2时,f n (x)的极小值点=a n +2;②当2a n >a n +2,即a n >2时,f n (x)的极小值点=2a n ;③当2a n =a n +2,即a n =2时,f n (x)无极值点; (Ⅰ)当a=1时,a 1=1,a 2=a 1+2=3>2⇒a 3=2a 2=3×2>2,假设a k =2k-2×3>2,则a k+1=2a k =2k-1×3,即当n=k+1时,a n =2n-2×3成立,由数学归纳法原理知,当n ≥2时,a n =2n-2×3;(Ⅱ)因当a n >2时,a n+1=2a n ,此时,a n =2n-1a,数列{a n }是等比数列,所以,a>2.[原创问题]:已知在数列{a n }中,a 1=t,a 2=t 2,其中t>0,x=t 是函数f(x)=a n-1x 3-3[(t+1)a n -a n+1]x+1(n ≥2)的一个极值点.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)令b n =nn n a a t n 2)2(--(t ≠2).证明:对于一切正整数n,b n ≤112++n n a +1.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=a n-1x 3-3[(t+1)a n -a n+1]x+1⇒f '(x)=3a n-1x 2-3[(t+1)a n -a n+1];又由f '(t )=0⇒a n-1t-[(t+1)a n -a n+1]=0⇒a n+1-a n =t(a n -a n-1)⇒a n+1-a n =(t-1)t n⇒a n+1-t n+1=a n -t n⇒a n =t n; (Ⅱ)因b n ≤112++n n a +1⇔nn n a a t n 2)2(--≤112++n n a +1⇔nnn t t t n 2)2(--≤112++n n t +1⇔22--t t n nn ≤12+n t +nt1⇔12122---+⋯++n n n ttn≤12+n t+n t 1⇔n ≤(12+n t +nt 1)(t n-1+2t n-2+…+2n-2);而(12+n t +nt 1)(t n-1+2t n-2+…+2n-2)=(12+n n t +n n t 21-+ (22))+(t 1+22t +…+n n t12-)=(22t +t1)+(322t +22t )+…+(12+n n t +nn t 12-)≥1+1+…+1=n.。

2024-2025学年福建省福州第三中学高三上学期10月月考数学试题及答案

2024-2025学年福建省福州第三中学高三上学期10月月考数学试题及答案

福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测数学试卷命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}6U x x =∈<N ，集合{}{}1,2,3,2,4,5A B ==，则()UA B ⋂=ð（）A {}0 B. {}4,5 C. {}2,4,5 D. {}0,2,4,52. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A.π12B.π6C.π4D.π34. 已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( )A. 2- B. 32-C. 43-D. 1-5. 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是．A. [2,2]- B. [1,1]- C. [0,4]D. [1,3]6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（ ）A. sin cos tan ααα-≤ B. sin cos tan ααα-≥C. sin cos tan ααα⋅< D. sin cos tan ααα⋅>.7. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA ，若球O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（ ）A 9πB. 16πC. 25πD. 36π8. 已知函数()2ln f x x =+，()g x =()y f x =，()y g x =图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()0,1 B. ()0,2 C. ()1,2 D. ()1,e 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9. 已知各项均为正数的等差数列{}n a ，且1n n a a +>，则（ ）A. 3746a a a a +=+ B. 3746a a a a ⋅>⋅C. 数列{}21n a +是等差数列D. 数列{}2n a 是等比数列10. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱1BB ，11B C ，1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 1A C ⊥平面1D MNB. 点P 与点D 到平面1D MN 的距离相等C. 平面1D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为等腰梯形D. 平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分割成的上、下两部分的体积之比为7:1711. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，()22f =，对于任意的正数12,x x ，都有.()()()12121f x x f x f x =+-，且12x >时，都有()0f x >，则（ ）A. 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. 函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增C. 对于任意0x <都有()12f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D. 不等式()ln 20f x -<⎡⎤⎣⎦的解集为()11,2,4816⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.12. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．13. 直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为______．14. 对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.四、解答题：本题共577分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,2n n n S a S a +==-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21log n n b a =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.17. 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b右焦点F 在直线210x y +-=上，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且3AF BF =.（1）求C 的标准方程；的（2）是否存在过点()1,0G -的直线l 交C 于M ，N 两点，使得直线BM ，BN 的斜率之和等于-1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，60BAD CDA ∠∠== ，90ABC ∠= ，4=AD ，2CD =，3PB =，PA =，平面PDC ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD .（2）求二面角P BC D --的余弦值.（3）G 为平面PBC 内一点，若DG ⊥平面PBC ，求BG 长.19. 设a ，b 实数，且1a >，函数()()2exf x a bx x =-+∈R .（1）若()()ln xg x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若对任意2e 2b >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当e a =时，对任意4e >b ，函数()f x 有两个不同的零点x 1,x 2,(x 2>x 1)，证明：2212ln e 2e >+b b x x b.（注：e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）的为福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测数学试卷命题人：高三数学集备组 审卷人：高三数学集备组注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}6U x x =∈<N ，集合{}{}1,2,3,2,4,5A B ==，则()UA B ⋂=ð（）A. {}0B. {}4,5C. {}2,4,5D. {}0,2,4,5【答案】B 【解析】【分析】求出U A ð再求()U A B ⋂ð即可.【详解】由题知{}0,1,2,3,4,5U =，{}U 045，，=A ð，则(){}U 45，= B A ð.故选：B.2. 设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件.故选：A.3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C =A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ，∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA ，∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=，∵a=2，，∴sinC=sin c A a12，∵a ＞c ，∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4. 已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( )A. 2- B. 32-C. 43-D. 1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-- ∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．5. 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是．A. [2,2]- B. [1,1]- C. [0,4] D. [1,3]【答案】D 【解析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-= ；又()f x 是减函数，1(2)1f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f ≤-≤- 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.的6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（ ）A. sin cos tan ααα-≤ B. sin cos tan ααα-≥C. sin cos tan ααα⋅< D. sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.7. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,===AB A B AA ，若球O 与上底面1111D C B A 以及棱,,,AB BC CD DA 均相切，则球O 的表面积为（ ）A. 9πB. 16πC. 25πD. 36π【答案】C 【解析】【分析】根据勾股定理求解棱台的高1MN =,进而根据相切，由勾股定理求解球半径52R =，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为,N M ,连接11,D B DB ，则11D B DB ==所以棱台的高1MN ===,设球半径为R ,根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面1111D C B A 相切于N ,与棱,,,AB BC CD DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接,,OE OM ME ,所以22222212OE OM ME R R =+⇒=-+，解得52R =，所以球O 的表面积为24π25πR =，故选：C8. 已知函数()2ln f x x =+，()g x =()y f x =，()y g x =图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()0,1 B. ()0,2 C. ()1,2 D. ()1,e 【答案】B 【解析】【分析】设函数()y f x =，()y g x =的切点坐标分别为()11,2ln x x +，(2,x ，根据导数几何意义可得2114ln 4x a x +=，1>0x ，即该方程有两个不同的实根，则设()4ln 4,0x h x x x+=>，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a .【详解】解：设函数()2ln f x x =+上的切点坐标为()11,2ln x x +，且1>0x ，函数()g x =上的切点坐标为(2,x ，且20x ≥，又()()1,f x g x x ''==，则公切线的斜率11k x ==0a >，所以22214a x x =，则公切线方程为()()11112ln y x x x x -+=-，即111ln 1y x x x =++，代入(2,x得：2111ln 1x x x =++，则22211111ln 124a a x x x x =⋅++，整理得2114ln 4x a x +=，若总存在两条不同的直线与函数()y f x =，()y g x =图象均相切，则方程2114ln 4x a x +=有两个不同的实根，设()4ln 4,0x h x x x+=>，则()()244ln 44ln x x x x h x x x⋅-+-=='，令()0h x '=得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，又()0h x =可得1ex =，则0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()0h x →，则函数()h x 的大致图象如下：所以2004a a >⎧⎨<<⎩，解得02a <<，故实数a 的取值范围为()0,2.故选：B.【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为()11,2ln x x +，且1>0x，(2,x ，且20x ≥，可得11k x ==22214a x x =，得公切线方程为111ln 1y x x x =++，代入切点(2,x将双变量方程2111ln 1x x x =++转化为单变量方程22211111ln 124a a x x x x =⋅++，根据含参方程进行“参变分离”得2114ln 4x a x +=，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9. 已知各项均为正数的等差数列{}n a ，且1n n a a +>，则（ ）A. 3746a a a a +=+ B. 3746a a a a ⋅>⋅C. 数列{}21n a +是等差数列 D. 数列{}2n a 是等比数列【答案】AC 【解析】【分析】根据等差数列性质可以判断A 正确；利用等差数列通项公式可以判断B 错误；根据等差数列的概念可判断C ，根据特例可判断D.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，对A ，因为{}n a 是等差数列，且3746+=+，则由等差数列性质可得3746a a a a +=+，故A 正确；对B ，246371111(3)(5)(2)(6)30a a a a a d a d a d a d d ⋅-⋅=+⋅+-+⋅+=>，则3746a a a a ⋅<⋅，故B 错误；对C ，因为21212n n a a d +-=-，则数列{}21n a +是等差数列，故C 正确；对D ，如数列{}n a 为1,2,3,4,5,6 ，显然数列{}2n a 不是等比数列，故D 错误;故选：AC.10. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱1BB ，11B C ，1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 1A C ⊥平面1D MNB. 点P 与点D 到平面1D MN 的距离相等C. 平面1D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形为等腰梯形D. 平面1D MN 将正方体1111ABCD A B C D -分割成的上、下两部分的体积之比为7:17【答案】BCD 【解析】【分析】假设1A C ⊥平面1D MN ，证得111D N A C ⊥，显然不成立，即得A 错误；证明1,,,A M N D 四点共面，即得截面四边形，再结合平行关系和长度关系即判断C 正确；利用线面平行的判定定理证明//DP 平面1D MN ，即证B 正确；计算分割的上面部分棱台的体积和正方体体积，即得下面部分体积，证得D 正确.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，不妨设棱长为2.假设1A C ⊥平面1D MN ，则11A C D N ⊥，而1C C ⊥底面1111D C B A ，则11C C D N ⊥，1AC 与1C C 相交于平面1AC C 内，所以1D N ⊥平面1AC C ，则111D N A C ⊥，显然不成立，即选项A 错误；连接1AD ，AM ，由11////MN BC AD 知，1,,,A M N D 四点共面，即为平面1D MN 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形，而1MN AD ≠，1D N AM ==，故截面图形为等腰梯形，C 正确；由//AD MP ,=AD MP 知四边形ADPM 是平行四边形，所以//DP AM ，且DP ⊄平面1D MN ，AM ⊂平面1D MN ，故//DP 平面1D MN ，所以点P 与点D 到平面1D MN 的距离相等，选项B 正确；平面1D MN 将正方体1111ABCD A B D -分割的上面部分是棱台111B MN A AD -，上底面面积为12S '=，下底面面积为2S =，高112h A B ==，所以体积()111171223323V S S h ⎛⎫=+=++⨯= ⎪⎝⎭，而正方体体积为8V =，所以分割的下面部分体积2717833V =-=，所以12717V V =，即选项D 正确.故选：BCD.11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，()22f =，对于任意的正数12,x x ，都有()()()12121f x x f x f x =+-，且12x >时，都有()0f x >，则（ ）A. 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭B. 函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增C. 对于任意0x <都有()12f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭D. 不等式()ln 20f x -<⎡⎤⎣⎦的解集为()11,2,4816⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知应用赋值法判断A 选项，结合奇函数判断C 选项，根据单调性定义判断B 选项，结合单调性解不等式判断D 选项.【详解】已知()()()12121f x x f x f x =+-,令121,1,x x ==可得()()()1111,f f f =+-()11f =,令1212,,2x x ==可得()()112112f f f ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭,得()22f =,102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,A 选项正确;奇函数()f x 的定义域为R ,()()f x f x -=-，所以()00f =,又知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以函数()f x 在(),-∞+∞内不是单调递增,B 选项错误;对于任意的正数12,x x ，都有()()()12121f x x f x f x =+-，对于任意0x <都有0x ->,()()111f f x f x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭,()12f x f x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭,又因为函数()f x 为奇函数，可得()12f x f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,C 选项正确;对于任意的正数()1221,0,,,x x x x ∈+∞>，都有()()()()1112211f x f x f f x =+-=-，()()()()212121f x f x f x f x -=-+,又因为0x >()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以()111222f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以()()()()2212211111211222x f x f x f x f f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又因为21,x x >211,x x >211,22x x >所以2102x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以()()210f x f x ->,所以函数()f x 在()0,∞+内是单调递增, 又因为函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 在(),0-∞内是单调递增,不等式()ln 20f x -<⎡⎤⎣⎦,()021f x <-<,()23f x <<已知()()()12121f x x f x f x =+-,令,122,2,x x == 因为()22f =可得()()()42213f f f =+-=，函数()f x 在()0,∞+内是单调递增, 所以24x <<,已知()()()12121f x x f x f x =+-,令,1211,,22x x == 因为102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得可11111422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，理同11112842f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111131644f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又因为函数()f x 为奇函数，1316f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,128f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又因为函数()f x 在(),0-∞内是单调递增, 所以11816x -<<-不等式()ln 20f x -<⎡⎤⎣⎦的解集为()11,2,4816⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭, D 选项正确；故选:ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共35分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.12. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-= 故1λ=.故答案为：113. 直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为______．【答案】【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.【详解】由已知，圆的标准方程为22(3x y +=，圆心为，半径r =圆心到直线2sin 0x y θ⋅+=的距离d =<，解得21sin 6θ>，所以弦长为=，因为254sin 153θ<+≤，所以25134sin 1θ≤<+，所以弦长=，当24sin 15θ+=即2sin 1θ=时，弦长有最大值.故答案为：.14. 对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S=___.【答案】 ①. 0②. 1010【解析】【分析】（1）当1n =时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果.（2）令12=n nt x ，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即n t 得范围，分类讨论n 为奇数和偶数时n a ，求得结果.【详解】（1）当1n =时，221log 4-=x x，设221()log 4=--f x x x 单调递减，1(1>02=f ，(1)30f =-<，所以1112<<x ，111122<<x 111[]02x a ==（2）令12=n nt x ，则方程化为：22+1(2)log 23+=+n n n t n t n n 令22+1()(2)log 23=+--n f x x n x n n ，则()f x 在(0,+∞)单调递增+1()log 302=-<n nf n n n ；+1(1>02=n f 由零点存在定理可得：1(,22+∃∈n n x ，()0f x =，当21()n k k +=-∈N ，21(,)2-∈n k t k ，[]1==-n n a t k 当2()n k k +=∈N ，21(2，+∈n k t k ，[]==n n a t k 所以当101010102202011(1)1010===-+=∑∑k k S k k ，1010=故答案为：①0；②1010【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,2n n n S a S a +==-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21log n n b a =+，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a = （2）12n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）由,n n S a 的关系分n 是否等于1进行讨论即可求解；（2）首先得()12nn n n c a b n =⋅=+⋅，进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.【小问1详解】112,2n n a S a +==-当1n =时12221,2,4,2a a a a a =-∴==，当2n ≥时，12n n S a -=-，两式相减得()122n n a a n +=≥，()*12N n n a a n +∴=∈()*1120,2N n na a n a +=≠∴=∈ ，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比等比数列，2nn a ∴=【小问2详解】由（1）可知21log 1n n b a n =+=+，记()12nn n n c a b n =⋅=+⋅，()12322324212n n T n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅ ，()2341222324212n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ，两式相减得()()()2123111212422212412212n nn n n n T n n n -+++--=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- 12n n T n +∴=⋅.16. 在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3S a c l =+-，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24cos cos tan Sa B ab A B=+，所以214si n cos 2cos cos si n ac B Ba B ab AB⨯=+，即2cos cos cos c B a B b A =+，的由正弦定理，得()2sin cos sin cos sin cos sin C B A B B A A B =+=+，因为A B C π+=-，所以2sin cos sin C B C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =+-，所以()293a c ac =+-，即()2193ac a c ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，因为1sin 2S ac B ==，3l a c =++，所以S l ==，所以()3S a c l =+-，又()24a c ac +≤（当且仅当a c =时取等号），所以()()22934a c a c ac +=+-≥（当且仅当3a c ==时取等号），所以6a c +≤（当且仅当3a c ==时取等号），所以()()363S a c l =+-≤⨯-=（当且仅当3a c ==时取等号），即S l17. 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的右焦点F 在直线210x y +-=上，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且3AF BF =.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在过点()1,0G -的直线l 交C 于M ，N 两点，使得直线BM ，BN 的斜率之和等于-1？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，10x y -+=.【解析】【分析】（1）先求出点F 的坐标，得出椭圆中的1c =，结合椭圆的几何性质可出答案.（2）设直线l 的方程为：1x my =-，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意1PM PN k k +=-，将韦达定理代入可出答案.【小问1详解】设右焦点F (c,0)，直线210x y +-=与x 轴的交点为(1,0)，所以椭圆C 右焦点F 的坐标为(1,0)，故在椭圆C 中1c =，由题意()33AF a c BF a c =+==-，结合1c =，则2a =，222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=；【小问2详解】当直线l 的斜率为0时，显然不满足条件1PM PN k k +=-，当直线l 的倾斜角不为0︒时，设直线l 的方程为：1x my =-，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩，可得()2234690m y my +--=，由题意Δ=36m 2−4×(3m 2+4)×(−9)=144m 2+144>0，则122634m y y m +=+，122934y y m =-+，由()()1212121221212121223223339PM PNmy y y y y y y y k k x x my my m y y m y y -++=+=+=-----++222229623343496393434mm m m m mm m m m -⨯-⨯++==--⨯-⨯+++，由1PM PN k k +=-，即1m =，故存在满足条件的直线，直线l 的方程为：10x y -+=.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，60BAD CDA ∠∠== ，90ABC ∠= ，4=AD ，2CD =，3PB =，PA =，平面PDC ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD .（2）求二面角P BC D --的余弦值.（3）G 为平面PBC 内一点，若DG ⊥平面PBC ，求BG 的长.【答案】（1）证明见解析 （2）13-（3【解析】【分析】（1）利用余弦定理先证AC CD ⊥，由面面垂直的性质得出AC PC ⊥，结合勾股定理及线面垂直的判定证明⊥BC 平面PAB 即可；（2）法一、利用二面角的定义结合第一问得出二面角的一个平面角，再由余弦定理计算即可；法二、以B 为中心建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可；（3）法一、利用线线垂直、线面垂直的性质与判定作出DG⊥平面PBC ，解三角形即可；法二、利用（2）的坐标系，设BG坐标结合空间向量基本定理及空间向量数量积计算求G 点坐标即可.【小问1详解】连接AC ，在ACD 中，4,2,60AD CD CDA ==∠=o ，2222242242cos 12AC CDA AD CD ∴=+-⨯⨯∠==-，则90ACD ∠=，AC =30CAD ∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD ，AC CD ⊥，平面PCD 平面ABCD CD =，AC ∴⊥平面PCD ，CP ⊂平面PCD ，所以AC CP ⊥，∴在PAC中，PC ==又60,90BAD ABC ∠=∠= ，∴30,3BAC BC AB ∠=== ，在PBC △中：222PB BC PC +=，∴BC PB ⊥，又BC AB ⊥，AB PB B ⋂=,AB PB ⊂平面PAB ，BC ∴⊥平面PAB ，且⊂BC 平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】法一、由上可知：,BC AB BC PB ⊥⊥，则二面角P BC D --的一个平面角为PBA ∠，∴在PBA △中，由余弦定理知2221cos 23PB AB PA PBA PB AB +-∠===-⋅；法二、如图建系：设z 轴与PA 交于M ，过P 作PE BM ⊥与E ，设PM x =，则AM x =，∴()222915BM xx =-=+-，229cos 6x BMAPB x+-⇒∠==，解之得x BM ==，易知13PE EM PM AB MB MA ===，所以1,PE EB EM MB ==+==则()()(0,0,0,,1,0,B C P -，设(),,n x y z =r 为平面PBC的一个法向量，则：00x =-+=⎪⎩，令1z =，则0xy ==，所以()n =，易知()10,0,1n =是平面ABCD 一个法向量，设二面角P BC D --的一个平面角为θ，则1111cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，由图形可知该二面角为钝角，所以1cos 3θ=-；小问3详解】法一：过D 作DN BC ⊥，垂足为N ，过N 作//l PB ，在PDC △中，过D 作DQ PC ⊥，过Q 作,QG PC QG l G ⊥= ，因为,,QG DQ Q QG DQ =⊂ 平面DGQ ，所以PC ⊥平面DGQ ，又DG ⊂平面DGQ ，所以PC DG ⊥，而,,PC l PC l ⊂ 平面PBC ，所以DG ⊥平面PBC ，即G 为所求.分别延长ABDC 、交于R ，连接PR ，的【过D 作l AB '⊥，由（1）易知,PR AC PR l '⊥⊥，,,AC l AC l ''⊂ 平面ABCD ，PR ∴⊥平面ABCD ，∴PR PD ==CQ x '=，QD =∴(22424x x '-++=，则x '=，设PQ HG W = ，在平面PBC内，由几何关系知81,33WQ WG WG NG WN WC ==⇒==，所以BG ==；法二：取（2）的坐标系，则()D ，()(3,0,0,1,0,BA BP ==-，()BC =，设(),BG BC BP λμμ=+=-，所以(),G μ-，又：20180136009DG BP DG BC λμμλμ=⎧⎧⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，即1,9G ⎛ ⎝，BG ∴==.19. 设a ，b 为实数，且1a >，函数()()2e xf x a bx x =-+∈R .（1）若()()ln xg x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若对任意2e 2b >，函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围；（3）当e a =时，对任意4e >b ，函数()f x 有两个不同的零点()1221,,x x x x >，证明：2212ln e 2e >+b b x x b.（注：e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）【答案】（1）答案见解析（2）(21,e ⎤⎦.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()()ln xg x f x a x =-+，对函数求导，分0b ≤和0b >两种情况讨论函数的单调性即可；（2）原问题等价于2ln 0x a e bx e -+=有2个不同的解，然后构造函数，二次求导，利用导数判断函数的单调性，分析即可确定实数a 的取值范围；（3）结合（2）的结论，对问题进行等价变形，适当放缩，利用分析法即可证明结论.【小问1详解】因为()()2exf x a bx x =-+∈R ，()()ln xg x f x a x =-+，所以()2ln eg x x bx =-+()0x >，()1g x b x'=-()0x >，①若0b ≤，则g ′(x )=1x −b >0，所以()g x 在R 上单调递增；②若0b >，当10,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,x b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.综上，0b ≤时，()g x 在(0,+∞)上单调递增；0b >时，()g x 在10,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】()f x 有2个不同零点2e 0x a bx ⇔-+=有2个不同解，等价于ln 2e e 0x a bx -+=有2个不同的解，令ln t x a =，则22e e e e 0ln ln t tbt b a a t+-+=⇒=，0t >，记()2e e t g t t +=，()()2222e e e e (1)e t t t t t g t t t⋅-+--='=，记2()e (1)e t h t t =--，ℎ′(t )=e t (t−1)+e t ⋅1=e t ⋅t >0，所以()h t 定义域上单调递增，又(2)0h =，所以(0,2)t ∈时，()0h t <，()2,t ∞∈+时，()0h t >，则()g t 在(0,2)单调递减，()2,∞+单调递增，∴2(2)e ln b g a >=，故2ln eba <，∵2e 2b >，∴22eb>，∴ln a ≤2a >1⇒1<a ≤e 2.即实数a 的取值范围是(21,e ⎤⎦.【小问3详解】[方法一]【最优解】：e a =，()2e e xf x bx =-+有2个不同零点，则2e e x bx +=，故函数的零点一定为正数.由于函数有2个不同零点，21x x >，1222412e e e e e x x b x x ++==>，由（2）知函数2e e x y x+=在区间(0,2)上单调递减，区间()2,∞+上单调递增，在故122x x <<，又由524e e e 5+<知25x >，1222111e 2e 2e e x b x x x b+=<⇒<，要证2212ln e 2e >+b b x x b ，只需22e ln x b b>+，22222e e 2e x x b x x +=<且关于b 的函数()2e ln g b b b=+在4e >b 上单调递增，所以只需证x 2>ln2e x 2x 2+e 2x 22e x 2(x 2>5)，只需证2222222e l e ln 02e e n x x x x x -->，只需证2ln ln 202ee x xx -->，∵2e 42<，只需证()4ln ln 2e x x h x x =--在5x >时为正，由于ℎ′(x )=1x +4x e −x −4e −x =1x +4e −x (x−1)>0，故函数ℎ(x )单调递增，又55(5)ln 5l 20n 2ln 02e h =--=->，故()4ln ln 2e x xh x x =--在5x >时为正，从而题中的不等式得证.[方法二]：分析+放缩法e a =，()2e e xf x bx =-+有2个不同零点1x ，2x ，12x x <，由()e x f x b '=-得12ln x b x <<（其中ln 4b >）.且()1211e e 0xf x bx =-+=，()2222e e 0xf x bx =-+=.要证2212ln e 2e >+b b x x b，只需证2212ln e 2e b b bx bx ->，即证212ln e2e x b bbx >，只需证x 2>1.又22c222e e e 0b f b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以212e x b <，即1212e bx <.所以只需证x 2>ln(b ln b )，而ln 4b >，所以ln b b b >，又ln(b ln b )>ln b ，只需证()()ln ln 0f b b <.所以()()()2242ln ln ln ln ln e ln ln e e ln 4e 0f b b b b b b b b b =-+=-+<-+<，原命题得证.[方法三]：若e a =且4e >b ，则满足21e a <≤且2e 2b >，由（2）知()f x 有两个零点()1212,x x x x <且120ln x b x <<<.又()222e 20f b =-<，故进一步有1202ln x b x <<<<.由()()120f x f x ==可得121e e xbx +=且222e e x bx =-，从而x 2>b ln b 2e2x 1+e2b⇔b x 2−e 2>b ln b 2e2b x 1⇔e x 2>b ln b 2e 2(e x 1+e 2).因为102x <<，所以122e e 21e x +<，只需证22222e e ln e ln ln x b b bx b b x b b>⇔->⇔>+.又因为()f x 在区间()ln ,b ∞+内单调递增，故只需证()22e ln 0f b f x b ⎛⎫+<= ⎪⎝⎭，即2e e ln 0bb b ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭，注意4e >b 时有2e e e 4ln bb<<<，故不等式成立.【点睛】关键点点睛：（1）利用导数求函数的单调区间，判断单调性，对于导数中含有参数的，往往需要分类讨论；（2）一次求导无法判断单调性的题目，可以二次求导；（3）运用导数结合函数的单调性证明不等式成立.。

代数综合【解析版】

代数综合【解析版】

全国联赛代数问题选1.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____． 【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144.由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤. 当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有_________个【答】 由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个.4．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为_________ 【答】4721222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.5. 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 【 】【答】25若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 6．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x+=，则1{}{}x x+=_________【答】 1 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 7．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．8. 实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件9. 已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．10. 对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． 【答案】5463967【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-，于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-． 11. 设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc ca a b c ++++的值为（ ）． 【答案】12-【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 12. 如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是_________个答案：2解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得 ； 当时，解得．13. 设a n =（n 为正整数），则a 1+a 2+…+a 2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】 ＜解：由a n ==， 得a 1+a 2+…+a 2012==＜1.14. 红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等， 那么共有 种放法．【答案】25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9， 且， （1）即 ，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y =5，或者z =5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法． 15. 设532x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). 【答】﹣1 解：由已知得2310x x ++=， 于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-16. 已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为_____________【答】5411解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，， 可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． 17. 若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). 【答】92解：由题设可知1y y x -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．18. 设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). 【答】4解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦， 所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭． 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．19. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16． 解： 在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6）， （2，5）， （2，5）， （3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.20. 若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32． 解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．21. 若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 ___________答案：﹣1122. 对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= _________【答案】28068.23. 将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放___个球.【答案】1524. 已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是___________.【答案】﹣325. 如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答案】﹣126. 已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.【答案】7对27. 设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是______个【答案】4个28. 设1a =，则32312612a a a +--=__________【答案】2429. 用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解为_________ 【答案】﹣3,1，或根号5 30. 已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为________ 【答】 7解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x ++==， 21122y -+-+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 31. 将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有_______种【答】5种解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．32. 对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-． 解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=， 依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．33. 关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，34．设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值． 解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， …………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ………10分若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ………… … 15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ………20分35. 已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．解：已知，又，且，所以b ，c 是关于x 的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即 ≥0，所以≥20． 于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．36. 求关于a ，b ，c ，d 的方程组的所有正整数解.解：将abc =d 代入10ab +10bc +10ca =9d 得10ab +10bc +10ca =9abc .因为abc ≠0，所以，.不妨设a ≤b ≤c ，则≥≥＞0.于是， ＜≤，即 ＜≤，＜a ≤.从而，a =2，或3.若a =2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b ≤5.从而，b =3，4，5. 相应地，可得 c =15，(舍去)，5.当a =2，b =3，c =15时，d =90； 当a =2，b =5，c =5时，d =50.若a =3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b ≤.从而，b =2（舍去），3.当b =3时，c =(舍去).因此，所有正整数解为(a ，b ，c ，d )=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).37. 已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，； 或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩， ………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，； 或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（）， 所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分38. 设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.39. 已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°. 40. 已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y ，y ，且满足11222008x y x y -=.求b 的最小值. 解：由韦达定理，得12122,x x a x x b +==　；12122,y y a y y b +=-=　即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-⎧⎨==--⎩ 解得：11122221y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或 把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -= 得1122()()2008x x x x ---=或1221()()2008x x x x ---=（不成立）即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=因为121220,0x x a x x b +=>=>　所以120,0x x >>　于是有 22442008aa b -=即250215022251aa b -==⨯=⨯因为a,b都是正整数，所以2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或 分别解得：2222150222511502502122512514a a a ab b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或经检验只有：2250225150212514a ab b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝。

备考2023年中考数学二轮复习-一元二次方程根的判别式及应用-综合题专训及答案

备考2023年中考数学二轮复习-一元二次方程根的判别式及应用-综合题专训及答案

备考2023年中考数学二轮复习-一元二次方程根的判别式及应用-综合题专训及答案一元二次方程根的判别式及应用综合题专训1、(2017盂.中考模拟) 某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表：x …﹣3-﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 3 m ﹣1 0 ﹣1 0 3 …其中m=．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；（3）观察函数图象，写出2条函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；②方程x2﹣2|x|=2有个实数根．2、(2017长春.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0 （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=10，求实数m的值．3、(2017新泰.中考模拟) 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．4、(2017林州.中考模拟) 已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0 （1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．5、(2017黄冈.中考模拟) 已知方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0有两个实数根x1， x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x12+x22=4，求k的值．6、(2017鄂州.中考真卷) 关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|= ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．7、(2016张家界.中考模拟) 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y=x﹣1的零点．已知y=x2+kx﹣4（k为常数）．（1）当k=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论k取何值，该函数总有两个零点．8、(2017岳阳.中考真卷) 如图，抛物线y= x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．9、(2018广州.中考真卷) 已知抛物线。

江苏省苏州市南麻中学高三数学理测试题含解析

江苏省苏州市南麻中学高三数学理测试题含解析

江苏省苏州市南麻中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B复数，其在复平面上对应的点为，该点位于第二象限．故选．2. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）A．B． C．或 D．参考答案：C略3. （5分）设集合M={ x∈Z|﹣4＜x＜2 }，N={x|x2＜4}，则M∩N等于（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C． {﹣1，0，1} D． {﹣1，1，2}参考答案：C【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解．解：M={ x∈Z|﹣4＜x＜2 }={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N={﹣1，0，1}，故选：C【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4. 设i为虚数单位，复数 z1=3﹣ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣B．C．﹣6 D．6参考答案：B考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．解答：解：∵z1=3﹣ai，z2=1+2i，由=是纯虚数，得，解得：a=．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．5. 在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( ) A．32 B． 0.2 C． 40 D． 0.25参考答案：A略6. 已知函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，则f（1）=（）A．3 B．﹣3 C．0 D．4﹣1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由已知利用函数性质推导出asin1﹣btan1=1，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（x）=asinx﹣btanx+4cos，且f（﹣1）=1，∴f（﹣1）=asin（﹣1）﹣btan（﹣1）+4×=﹣asin1+btan1+2=1，∴asin1﹣btan1=1，∴f（1）=asin1﹣bsin1+4×=1+2=3．故选：A．7. 已知正方形的边长为4，点位边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球表面积为A. B. C.D.参考答案：A略8. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限参考答案：答案：B9. 已知函数f（x）=x3﹣bx2﹣4，x∈R，则下列命题正确的是（）A．当b＞0时，?x0＜0，使得f（x0）=0B．当b＜0时，?x＜0，都有f（x）＜0C．f（x）有三个零点的充要条件是b＜﹣3D．f（x）在区间（0．+∞）上有最小值的充要条件是b＜0参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令f（x）=0，得到矛盾，判断A错误，令b=﹣6，x=﹣1，求出f（﹣1）＞0，得到矛盾，判断B错误；求出函数的导数，通过讨论b的符号结合函数的单调性判断C正确，D错误．【解答】解：对于A：令f（x）=0，得：x3﹣bx2﹣4=0，∴x2（x﹣b）=4，∴x2=①，若b＞0，x0＜0，则x0﹣b＜0，方程①无解，故选项A错误；对于B：若b＜0，?x＜0，不妨令b=﹣6，x=﹣1，则f（﹣1）=﹣1﹣（﹣6）×1﹣4=1＞0，故选项B错误；对于C：f′（x）=3x2﹣2bx=x（3x﹣2b），b＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴x=0是极大值点，此时f（0）=﹣4，函数f（x）只有1个零点，故b＞0不合题意，b＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞0，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，0）递减，在（0，+∞）递增，∴x=是极大值点，若f（x）有三个零点，只需f（）＞0，解得：b＜﹣3，故选项C正确；对于D：由选项C得：若b＜0，则f（x）在（0，+∞）递增，而函数f（x）无最小值，故D错误，故选：C．10. 若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由z+zi=3+2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由z+zi=3+2i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若x，y满足不等式则z=x﹣y的取值范围是．参考答案：[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2）．联立，解得B（2，4）．化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12. 设（x﹣2）6=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，则a0+a1+a2+…+a6的值为．参考答案：6413. 函数,则的解集为 .参考答案：14. 若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则满足条件的实数a构成的集合为．参考答案：{4}【考点】15：集合的表示法．【分析】由已知得，由此能求出满足条件的实数a构成的集合．【解答】解：∵集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，∴，解得a=4．∴满足条件的实数a构成的集合为{4}．故答案为：{4}．【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．15. 若是偶函数，则a=____________.参考答案：16. 已知函数的图像关于直线对称，且为函数的一个零点，则的最小值为．参考答案：217. 对于正整数n，设x n是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记a n=[（n+1）x n]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）= ．参考答案：2017【考点】8E：数列的求和．【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=?（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根x n且x n∈（，1），∴n＜（n+1）x n＜n+1，a n=[（n+1）x n]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

初中数学 一元二次方程的公共根与整数根

初中数学 一元二次方程的公共根与整数根

,j'_'中中中中考要求内容基本要求略高要求 :1,1代例题精讲公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上），然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 整数根问题：对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 丰0）有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴A=b 2-4ac 为完全平方数；（2）-b+b 2-4ac=2ak 或一b-b 2-4ac=2ak ，其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a 、b 、c 均为有理数）方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.【例1】求k 的值，使得一元二次方程x 2+kx -1=0,x 2+x+（k-2）=0有相同的根，并求两个方程的根.【例2】1.设a ,b ,c 为AABC 的三边，且二次三项式12+2ax +b 2与x 2+2cx -b 2有一次公因式，证明:元二次方程的公共根与整数根一元二次 方程 一元二次 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方 方程的解因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 较高要求AABC一定是直角三角形.(北京数学竞赛试题)2.三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.⑴求证：a+b+c-0；⑵求03+b3+c3的值.abc【例3】试求满足方程x2-kx-7-0与x2-6x-(k+1)-0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根.【例4】三个二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0有公共根.(1)求证：a+b+c-0；(2)求a3+加+c3的值.abc【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)-0和(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0(其中a,b为正整数)有一个公共根，求ab +ba的值.a-b+b-a【例6】k为什么实数时，关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数?【巩固】若关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54-0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例7】(2007年全国初中数学联合竞赛)1.已知a是正整数，如果关于％的方程%3+(a+17)%2+(38-a)%-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.2.若k为正整数，且关于k的方程(k2-1)%2-6(3k-1)%+72=0有两个相异正整数根，求k的值.(2000年全国联赛试题)3.关于％的二次方程(k2-6k+8)%2+(2k2-6k-4)%+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.4.当m为何整数时，方程2%2-5m+2m2=5有整数解.5.已知关于％的方程4%2-8n%-3n=2和%2-(n+3)%-2n2+2=0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例8】求所有有理数r，使得方程r%2+(r+1)%+(r-1)=0的所有根是整数.【例9】1已知关于％的方程%2+(a-6)%+a=0的两根都是整数，求a的值.6.已知k为常数，关于%的一元二次方程(k2-2k)%2+(4-6k)%+8=0的解都是整数，求k的值.【例11】已知p为质数，二次方程%2-2p%+p2-5p-1=0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值.【例12】(2007—2008清华附中初三第一次月考试题)1已知12<m<40,且关于%的二次方程%2-2(m+1)%+m2=0有两个整数根，求整数m.2.若一直角三角形两直角边的长，a、b(a丰b)均为整数，且满足[a+b=m+2[ab=4m试求这个直角三角形的三边长．【例13】关于％的方程ax2+2（a-3）x+（a—2）=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.【巩固】已知方程ax2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例14】（2008年西城区初三抽样试题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数.【例15】（2007—2008清华附中初三第一次月考试题）已知12<m<40,且关于x的二次方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个整数根，求整数m.【巩固】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例16］当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解.【例17】已知方程ax2-Q a2-8a ）x+2a2-13a+15=0（a是非负整数）至少有一个整数根，那么【例18］若关于x的方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【例19】设方程mx2-(m-2)x+(m-3)=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解.【例20】设m为整数，且4<m<40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．【例21】①已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根，求a 的值.②已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 【例22】(1999年全国联赛试题)已知b,c为整数，方程5x2+bx+c=0的两根都大于-1且小于0，求b和c的值．【例23】(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)1.已知a,b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+2(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明.(1993年全国数学联赛试题)2.已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根x,x12及x',x',且xx>0,x'x'>0.121212⑴求证：x<0,x<0,x'<0,x'<0；1212⑵求证：b-1W c W b+1；⑶求b,c所有可能的值.3.设p、q是两个奇整数，试证方程x2+2px+2q=0不可能有有理根.(北京市数学竞赛)4.试证不论n是什么整数，方程x2-16nx+7s=0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．【例24】求方程a3b-ab3+2a2+2b2+4=0的所有整数解.【例25】1.已知a为整数，关于％,j的方程组「+>=(a+2*的所有解均为整数解，求a的值.[xy=(a2+1)x一2a3+24.求方程x +y=3的所有正整数解.x2一xy+y275.求所有的整数对(x,y)，使x3一x2y+xy2一y3=4x2一4xy+4y2+47.【例26】设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，求m的值.【例27】(2008年西城区初三抽样试题)当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2一4mx+4m2一4m一5=0的根都是整数．【例28】(2007年全国联赛试题)a是正整数，关于x的方程x3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例29】（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛）已知a,b是实数，关于％,y的方程组卜=x3-ax2-b x有整数解（％,丁），求0,b满足的关系式.I y=ax+b【例30】（2002年上海市初中数学竞赛）已知p为质数，使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的两根都是整数，求出所有可能的p的值.【例31】（2000年全国联赛）设关于x的二次方程（k2-6k+8）x2+（2k2-6k-4）x+k2=4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值.【例32】b为何值时，方程x2-bx-2=0和x2-2x-b（b-1）=0有相同的整数根？并且求出它们的整数根?【例33】（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程（a-1）x2+2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a有个.【例34】（1998年全国竞赛题）求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.【例35】(1996年全国联赛)方程(%—a)(x-8)—1=0有两个整数根，求a的值.【例36】(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c使得关于x的方程x2-3ax+2b=0,x2-3bx+2c=0,x2-3cx+2a=0的所有的根都是正整数.【例37】(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程x—拒+1)x+/n-6=0有一个整数根，则n=【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a，使方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根．【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，则整数a的值是.【例40】不解方程，证明方程x2-1997x+1997=0无整数根【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程x2-1999x+a=0有两个质数根，则常数a=【例42】（1996年四川竞赛题）已知方程％2+mx-m+1=0有两个不相等的正整数根，求m的值.【例43】（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的方程x2-（m-1）x+m+1=0的两根都是整数? 【例44】设方程mx2-（m-2）x+（m-3）=0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解. 【例45】（2007年全国初中数学联合竞赛）已知a是正整数，如果关于x的方程x3+Q+17）x2+（38-a）x-56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.【例46］若k为正整数，且关于k的方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个相异正整数根，求k的值.【例47】（2008年全国初中数学联赛）设a为质数，b,c为正整数，且满足9(2a+2b-c)2=509(4a+1022b-511c)求a(b+c)的值.b-c=2。

苏科版九年级(上)数学课时练习：1.2一元二次方程的解法(含答案)

苏科版九年级(上)数学课时练习：1.2一元二次方程的解法(含答案)

1.2一元二次方程的解法题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣33．一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（）A．无实数根 B．有一个正根，一个负根C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 4．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是（）A． B．﹣C．﹣D．5．一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（）A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2=D．（y﹣）2= 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x=0 B．x2+4x﹣1=0 C．2x2﹣4x+3=0 D．3x2=5x﹣2[来源:]7．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣48．△ABC三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|=10a+2﹣22，△ABC 为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．以上三种情况都有可能10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A． B．C．D．（1+）211．关于x的一元二次方程的两根应为（）A．B．，C．D．12．已知α，β是方程x2+2019x+1=0的两个根，则（1+2019α+α2）（1+2019β+β2）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共5小题）13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1=0有实数根，则a的取值范围是．14．如果α，β（α≠β）是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则α2+α﹣β的值是．15．若关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1=0有实数根，则整数a的最大值．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两根x1、x2满足x12+x22=14，则m=17．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．三．解答题（共6小题）18．解方程（1）x2﹣36=0（2）x2﹣3x+2=019．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．20．我们规定：方程ax2+bx+c=0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c=0．例如，方程2x2﹣3x+4=0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4=0（1）直接写出方程x2+2x﹣5=0的变形方程；（2）若方程x2+2x+m=0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（3）若方程ax2+bx+c=0的变形方程为x2+2x+1=0，直接写出a+b+c 的值．21．已知关于x的一元二次方程（m2﹣4）x2+（2m﹣1）x+1=0．（1）m为何值时，方程有实数根？（2）若x1，x2是方程的两个实数根，S=﹣+﹣++10，求S的取值范围．22．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a ﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．23．先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10=0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）=0．即（m+1）2+（n﹣3）2=0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1=0，n﹣3=0即m=﹣1，n=﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5=0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．D．4．C．5．B．6．C．7．B．8．A．9．C．10．A．11．B．12．D二．填空题13．a≤2．14．315．3．16．[来源:]﹣2．17．﹣三．解答题18．解：（1）∵x2﹣36=0，∴x2=36，则x=6或x=﹣6；（2）∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，则x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x=1或x=2．19．解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；[来源:学+科+网Z+X+X+K] （2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=﹣6，∴p=﹣2．20．解：（1）用x+1表示方程x2+2x﹣5=0里的x，可得（x+1）2+2（x+1）﹣5=0．（2）用x+1表示方程x2+2x+m=0里的x，得（x+1）2+2（x+1）+m=0．整理，得x2+4x+3+m=0∵变形后的方程有两个不相等的实数根，∴△=42﹣4（3+m）=4﹣4m＞0，∴m＜1．（3）a+b+c=1．（方程ax2+bx+c=0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c=0，[来源:学。

专题2.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题2.3根的判别式【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题2.3根的判别式【十大题型】【北师大版】【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【题型4证明一元二次方程的根的情况】【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】【题型6根的判别式与三角形的综合运用】【题型7根的判别式与四边形的综合运用】【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【题型9一元二次方程中的新定义问题】【题型10 一元二次方程中的多结论问题】知识点1：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b acn．=-①当240n时，原方程有两个不等的实数根；=->b ac②当240=-=n时，原方程有两个相等的实数根；b ac③当240n时，原方程没有实数根．b ac=-<【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）1．关于一元二次方程2320+-=根的情况，下列说法正确的是（）x xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）2．方程240x-=的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）3．设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的三组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2b =，1c =；②5b =，6c =；③4b =，2c =-．【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）4．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2440x x +-=C ．()2230x --=D ．2320x +=【题型2 判断含参数的一元二次方程的根的情况】【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）5．关于x 的方程2(2)0x k x k +--=的根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）6．已知一元二次方程20x bx c ++=．(1)当2b =时，若方程的一个根为3-，求c 的值以及方程的另一个根；(2)当2114c b +=时，请判别方程根的情况．【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）7．一元二次方程2470x x +-=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一个实根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）8．对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法不正确的是（ ）A ．若=1x -是方程的解，则0a b c -+=B ．若0c =，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根C ．若0ac <，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根D ．若0a c +=，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根【题型3 由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（23-24·四川广安·中考真题）9．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <且1m ¹-B ．0m ³C ．0m £且1m ¹-D ．0m <【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）10．若方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）11．关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，则m = ．【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）12．关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ）A ．2k ³B ．2k £且1k ¹C ．2k >D ．2k <且1k ¹【题型4 证明一元二次方程的根的情况】【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）13．已知：关于x 的一元二次方程()()2120x x m ---=．求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）14．关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一个根小于2-，求m 的取值范围．【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）15．已知关于x 的一元二次方程223210x mx m m -++-=．(1)当2m =时，解这个方程；(2)试判断方程根的情况，并说明理由．【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）16．已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的积为12，求m 的值．【题型5 由根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（23-24九年级·安徽·期末）17．若实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，则a 的取值范围是 ．【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）18．已知实数,m n 满足223m mn n -+=，设22P m mn n =+-，则P 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）19．已知关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，设此方程的一个实数根为t ，令2241y t t m =-++，则y 的取值范围为．【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）20．设实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则y z -的最大值为 .【题型6 根的判别式与三角形的综合运用】【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）21．已知关于x 的一元二次方程()2232220x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，这个方程总有实数根；(2)若ABC V 的两边,AB AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为3，当ABC V 是等腰三角形时，求m 的值．【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）22．关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，若a ，b ，c 是ABC V 的三边长，则这个三角形一定是（ ）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）23．已知关于x 的方程，()2220x k x k -++=．(1)求证：无论k 为任意实数值方程，总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边1a =，另两边b 、c 恰是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长．【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为x 1和x 2若以x 1，x 2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k 的值．【题型7 根的判别式与四边形的综合运用】【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）25．已知关于x 的一元二次方程()2350x k x k --+-=．(1)求证：无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当11k =时，该方程的两个根分别是菱形ABCD 的两条对角线的长，求菱形ABCD 的面积．【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）26．已知ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根．(1)若AC 的长为1，求m 的值；(2)当m 为何值时，ABCD Y 是矩形．【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）27．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202mx mx -+=的两个实数根．（1）求m 的值；（2）求正方形的面积．【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）28．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 ．【题型8 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）29．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）30．一元二次方程2240x x --=有两个实数根a ，b ，那么一次函数(1)y ab x a b =-++的图象一定不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）31．已知不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，则关于x 的方程()2210ax a x a +-+=的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法判断【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）32．已知关于x y 、的方程组2223,234x y m n xy n m n -=-ìí=-++î对每一个实数n 都有实数解，那么正整数m 的值为．【题型9 一元二次方程中的新定义问题】【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）33．新定义：《a ，b ，c 》为一元二次方程20ax bx c ++=(其中0,,,a a b c ¹为实数)的“共同体数”，如：2210x x +-=的“共同体数”为《1，2，1-》，以下“共同体数”中能让一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根的是( )A ．《3，2，1》B ．《3，4，5》C ．《1n +，2n ，1n -》D ．1,,+《》m m m m【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）34．对于实数a ，b 定义新运算：2a b b ab =-△，若关于x 的方程6x k =△有两个相等实数根，则k 的值为.【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）35．定义一种新运算“a b V ”，对于任意实数a ，b ，231a b ba a =+-△，如23443331=´+´-△，若0x k =△（k 为实数）是关于x 的一元二次方程，并且该方程有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k £-B ．94k £-且0k ¹C ．94k ³-D ．94k ³-且0k ¹【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）36．阅读下列材料：我们发现，关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，如果24b acD =-的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，D 的值一定是一个完全平方数．定义：两根都为整数的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹称为“全整根方程”，代数式244ac b a-的值为该“全整根方程”的“最值码”，用(),,Q a b c 表示，即()24,,4ac b Q a b c a -=；若另一关于x 的一元二次方程()200px qx r p ++=¹也为“全整根方程”，其“最值码”记为(),,Q p q r ，当满足()(),,,,Q a b c Q p q r c -=时，则称一元二次方程()200ax bx c a ++=¹是一元二次方程()200px qx r p ++=¹的“全整根伴侣方程”．(1)“全整根方程”2320x x -+=的“最值码”是______；(2)关于x 的一元二次方程()2221230x m x m m --+--=（m 为整数、且415m <<）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”；(3)若关于x 的一元二次方程()2120x m x m +-+-=是()210x n x n +--=（m ，n 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m n -的值．【题型10 一元二次方程中的多结论问题】【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）37．已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）38．关于x 的一元二次方程20ax bx c ++= 0a ¹（） ，下列说法：①若420a b c -+=，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有一个根为2x =；②当22c b +£（a ） （时，则关于x 的方程20ax bx c ++=必有实数根；③若260b ac ->，则方程一定有两个不相等的实数根；④若200ax bx c a ++=¹（）和200cx bx a c +=+¹（）有一个相同的根，那么这个根一定是1．其中正确的是（填序号）【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）39．已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，下列说法正确的有（ ）①若0ac ＞，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；②若0a b c ++=，则240b ac -³；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）40．对于一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c ，有下列说法：①若方程20ax c +=有两个不相等的实数根，则方程20(a 0)++=¹ax bx c 必有两个不相等的实数根；②若方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两个实数根，则方程20cx bx a ++=一定有两个实数根；③若c 是方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根，则2204(2)b ac ax b -=-其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个1．A【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）0D >，方程有两个不相等的实数根；（2）0D =，方程有两个相等的实数根；（3）0D <，方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案．【详解】解：由△2(3)41(2)170D =--´´-=>，\一元二次方程2320x x --=有两个不相等的实数根．故选：A 2．C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵()240414160b ac D =-=-´´-=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C3．选②，方程的解为12x =-，23x =-；选③，方程的解为12x =，22x =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式0D >．先根据判别式得出可选择的组，然后解方程即可．【详解】解：Q 使这个方程有两个不相等的实数根，240b ac \->，即24b ac>\②③均可，当选②解方程时：2560x x ++=，()()230x x ++=，20x +=或30x +=，12x \=-，23x =-；当选③解方程时：2420x x +-=，24424x x ++=+，()226x +=，2x +=，12x \=，22x =．4．D【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式D 与实数根的情况之间的关系如下：0D >，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0D ，一元二次方程有两个相等的实数根；0D <，一元二次方程无实数根．【详解】解：A 选项()2Δ241040=--´´=>，则A 选项有两个不等实数根，不符合题意；B 选项1616320D =+=>，则B 选项有两个不等实数根，不符合题意；C 选项方程的一般式为：2410x x -+=，则164120D =-=>，则C 选项有两个不等实数根，不符合题意；D 选项方程=0432240D -´´=-<，则D 选项没有实数根，符合题意．故选：D ．5．A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况．【详解】解：关于x 的方程2(2)0x k x k +--=，∵1a =，2b k =-，=-c k ，∴2224(2)41()40b ac k k k -=--´´-=+>，所以关于x 的一元二次方程2(2)0x k x k +--=有两个不相等的实数根，故选：A ．6．(1)3c =-，方程另外一个根为1x =(2)原方程有两个不相等的实数根【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将2b =和方程的一个根为3-代入方程求出c 值，再解方程即可；（2）根据2114c b +=判断出D 的取值范围，进而进行判断即可；熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．【详解】（1）2b =Q 时，若方程的一个根为3-，()()23230c \-+´-+=解得：3c =-，\得到方程为2230x x +-=，解得13x =-或21x =，3c \=-，方程另外一个根为1x =；（2）2114c b +=Q ，∴2114c b =-222221Δ4414404b c b b b b æö\=-=--=-+=>ç÷èø，\原方程有两个不相等的实数根．7．D【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵2470x x +-=，∴1,4,7a b c ===-，()24164171628440b ac D =-=-´´-=+=>，故选：D ．8．B【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式D 的关系：Δ0Û＞方程有两个不相等的实数根；Δ0=Û方程有两个相等的实数根，Δ0Û＜方程没有实数根．根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A 、将x =―1代入方程20(a 0)++=¹ax bx c 可得：0a b c -+=，∴本选项说法正确，不符合题意；B 、若0c =，则方程为20ax bx +=，∴2240b ac b D =-=³，∴程20ax bx c ++=必有两个的实数根，故原说法错误，符合题意；C 、∵0ac ＜，∴240b ac D =-＞，∴方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实数根，原说法正确，不符合题意；D 、∵方程20ax bx c ++=中，0a c +=，∵222440b ac b a D ==+->，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故原说法正确，不符合题意；故选：B ．9．A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，若240b ac D =->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac D =-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac D =-，则方程没有实数根．由关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=两个不相等的实数根，可得0D >且10m +¹，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，∴()()22410m D =--+>，解得：0m <，10m +¹Q ，1m \¹-，m \的取值范围是：0m <且1m ¹-．故选：A ．10．C【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即240b ac D =-=，代入数值计算求解即可．【详解】解：∵该方程有两个相等实根，∴()2440c D =--=，解得4c =；故答案为：C ．11．1-【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根的判别式为24b ac D =-是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2240x x m ++=的根的判别式的值为24，∴22444224b ac m D =-=-´=，解得：1m =-．故答案为：1-．12．D【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式0D >，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的方程()21104k x x --+=有两个不相等的实根，∴()()210114104k k -¹ìïí=--´->ïîV ，解得：2k <且1k ¹．故选：D ．13．见解析【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系：当0D >时，方程有两个不相等的实数根；当0D =时，方程有两个相等的实数根；当0D <时，方程无实数根．根据根的判别式得出()()22234241m m D =---=+，然后说明0D >即可．【详解】证明：由()()2120x x m ---=得22320x x m -+-=，则()()22234241m m D =---=+，∵无论m 取何值，都有20m ³，∴24110m +³>，即0D >，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．14．(1)见解析(2)3m >【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．（1）根据()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，证明即可；（2）由210x mx m ++-=，可得()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，由方程的一个根小于2-，可得12m -<-，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵210x mx m ++-=，∴()()222414420m m m m m D =--=-+=-³，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x mx m ++-=，∴()()110x m x +-+=，解得，1x m =-或1x =-，∵方程的一个根小于2-，∴12m -<-，解得，3m >．15．(1)123x x ==(2)有两个实数根，理由见解析【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的根的判别式为24b ac D =-，且当0D >时，该方程有两个不相等的实数根；当0D =时，该方程有两个相等的实数根；当0D <时，该方程没有实数根是解题关键．（1）当2m =时，原方程为2690x x -+=，即()230x -=，再直接解方程即可；（2）根据方程可求出()()()2223412120m m m m D =--´´+-=-³，即可得出原方程有两个实数根．【详解】（1）解：当2m =时，原方程为223222210x x -´+´+-=，即为2690x x -+=，∴()230x -=，∴123x x ==；（2）解：由题意可知1a =，3b m =-，221c m m =+-，∴()()()222243412120b ac m m m m D =-=--´´+-=-³，∴原方程有两个实数根．16．(1)见解析(2)2m =【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）利用因式分解法可得12,3x m x m ==，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得2312m =，计算即可求出m 的值．【详解】（1）证明：21,4,3a b m c m ==-=Q ，22224(4)4134b ac m m m \D =-=--´´=，Q 无论m 取何值时，240m ³，即0D ³，\原方程总有两个实数根；（2）解：22430x mx m -+=Q ，即：()()30x m x m --=，12,3x m x m \==，Q 该方程的两个实数根的积为122312m \=，2m \=±，0m >Q ，2m \=．17．80a -£<【分析】由实数a ，b 满足22240a ab ab -++=得到关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹，得到不等式组，解不等式组即可得到a 的取值范围．【详解】解：∵实数a ，b 满足22240a ab ab -++=，∴关于b 的一元二次方程22240ab ab a -++=中，()()2224244320a a a a a D =--´+=--³且20a ¹，即()80a a +£且0a ¹，∴080a a >ìí+£î或080a a <ìí+³î，解得80a -£<，即a 的取值范围是80a -£<．故答案为：80a -£<【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式24320a a D =--³且20a ¹得到不等式组是解题的关键．18．C【分析】由原式得，223P m =-．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³，可得24m £，进而得出结论．【详解】解：将两个等式相加得：232P m +=，则223P m =-．要求P 的最大值，只需求出2m 的最大值．将223m mn n -+=看成关于n 的一元二次方程，整理得：2230n mn m -+-=．根据方程有实数解，所以()22Δ430m m =--³．可得24m £，即2m 的最大值为4．所以当24m =时，P 的最大值为5．故选：C【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．19．4y £【分析】由一元二次方程根的判别式先求解3m £，根据一元二次方程的解的定义得出223t t m -=代入代数式，进而即可求解．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2230x x m -+=有实数根，244120b ac m \=-=-³V ，解得：3m £，设此方程的一个实数根为t ，223t t m\-=-\2241y t t m =-++341m m =-++1m =+3m £Q14m \+£ 即4y £故答案为：4y £．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．20．6【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令x y a y z b -=ìí-=î，将完全平方式转化为一个只含a 和b 的等式，然后将问题转化为已知一元二次方程的根的情况，求未知参数问题，最后利用根的判别式求解即可.【详解】22227x y z xy yz zx ++---=两边同乘以2得：2222()54x y z xy yz zx ++---=整理得：222()()()54x y y z x z -+-+-=①令x y ay z b -=ìí-=î，则x z a b-=+代入①得：222()54a b a b +++=化简得：22270a bab ++-=由题意可知，关于a 的一元二次方程22270a ba b ++-=有实数根则方程的根的判别式224(27)0b b D =--³解得：6b £，即6y z -£所以y z -的最大值为6故答案为：6.【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键.21．(1)见解析(2)m 的值为12【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的两根，1x m =，222x m =+，再根据等腰三角形的定义，即可求解．【详解】（1）解：()()22324122m m m D =-+-´´+éùëû22912488m m m m =++--244m m =++()220m =+³，∴无论m 取何值时，这个方程总有实数根．（2）解：()2232220x m x m m -+++=()()220x m x m ---=∴1x m =，222x m =+，当3m =时，三边为3，3，8（舍），当223m +=时， 12m =，三边为12，3，3，∴m 的值为12．22．B【分析】由关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，可得()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，根据勾股定理逆定理判断ABC V 的形状即可．【详解】解：∵关于x 的方程22220-++=x cx a b 有两个相等的实数根，∴()()222240c a b =--+=V ，整理得222c a b =+，∴ABC V 是直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．23．(1)证明见解析(2)5【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，两种情况求出k 的值进而求出另一个根，再根据构成三角形的条件求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，()228k k D =-+-éùëû 2448k k k =++-244k k =-+()220k =-³，∴无论k 为任意实数值方程，总有实数根；（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则1x =是方程()2220x k x k -++=的一个根，∴()1220k k -++=，∴1k =，∴原方程为2320x x -+=，解得1x =或2x =，∴底边长为2，∵112+=，∴此时不能构成三角形，不符合题意；当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，∴()220k D =-=，∴2k =，∴原方程为2440x x -+=，解得122x x ==，∵122+>，∴此时能构成三角形，∴ABC V 的周长为2215++=．24．（1）见详解；（2）k 【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定()1212a b k c k ==-+=，，，再计算()22=4210b ac k D -=-³即可；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，得出方程的解1221x k x ==，，然后分两种情况2k ＜3与2k ＞3，分别根据勾股定理建构方程求解即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +2k ＝0．∴()1212a b k c k ==-+=，，，∴()()2222=4=-21412441210b ac k k k k k D -+-´´=-+=-³éùëû，∴方程总有两个实数根；（2）将方程因式分解得()()210x k x --=，解得1221x k x ==，，∵以2k ，1，3为三边长的三角形是直角三角形，∴当2k ＜3时，则()2221+23k =，解得k k ==舍去)；当2k ＞3时，则()2221+32k =，解得k k ==舍去)；以1，2k ，3为三边长的三角形是直角三角形，k 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．25．(1)详见解析(2)3ABCD S =菱形【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：()()()222Δ3415102954k k k k k éù=---´´-=-+=-+ëû，0\D >，\无论k 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）当11k =时，原方程为2860x x -+=，1,8,6a b c ==-=，()2Δ841640=--´´=，∴4==x∴1244x x =+=-14432ABCD S \=´+´-=菱形((26．(1)32m =(2)1【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．（1）将1x =代入方程，求出m 的值即可；（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到0D =，进行求解即可．【详解】（1）解：∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程21024m x mx -+-=的两个实数根，∴当AC 的长为1时，211024m m -+-=，解得：32m =；（2）∵ABCD Y 的两对角线AC ，BD ，∴当AC BD =时，ABCD Y 是矩形，\方程21024m x mx -+-=有两个相等的实数根，214024m m æö\D =--=ç÷èø，解得121m m ==，即m 的值为1．27．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得；（2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m x mx -+=的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>Q ，20m \=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD \==，则正方形的面积为11111222AC BD ×=´´=．【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．28．22+10a b ab³【分析】因为矩形的长和宽分别为a 、b ，所以其周长和面积分别为2(a +b )和ab ，设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解．【详解】解：设所求矩形的长为x ，则宽为13(a +b )-x ，其面积为x [13(a +b )-x ]，根据题意得：x [13(a +b )-x ]=13ab ，即()211-++=033x a b x ab ，∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一∴方程有解，∴△=21()1433ab a b éù-ú´+êëû=221214++-9993a ab b ab =221101-+999a ab b ≥0∴22-10+0a ab b ³∴22+10a b ab³故答案为：22+10a b ab ³．【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．29．B【分析】对于关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，解不等式组得到整数a 为：-1，0，1，3，4，5；接着解分式方程得到y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，从而得到当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，然后求符合条件的所有a 的个数．【详解】解：∵整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，∴a-2≠0且2a+3≥0且△=2-4（a-2）≥0，∴31122a -££且a≠2，∴整数a 为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y ，解得y=61a -，而y≠3，则61a -≠3，解得a≠3，当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a 的个数是3．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．30．D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab 与a b +的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：2a b +=，4ab =-，∴15ab -=∴一次函数解析式为：52y x =+，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．31．C【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到34a £<，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定0D <即可得到答案，熟练掌握含参数的一元一次不等式组的解法及判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．【详解】解：01312x a x ->ìïí-<ïî①②由①得x a >；由②得8x <；Q 不等式组01312x a x ->ìïí-<ïî有且仅有4个整数解，\34a £<；Q 关于x 的方程()2210ax a x a +-+=中，()2221441a a a D =--=-+，1511\-<D £-，即0D <，。

函数与导数压轴小题

函数与导数压轴小题

函数与导数压轴小题一．单选1.（2021.湖北七市联考）已知函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >且()'()0f x f x +<（'()f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()(1)()f a a f b >+B. ()(1)()f b a f a >-C. ()()af a bf b >D. ()()af b bf a >2.（2021.苏锡常镇一模）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－16x，x ≠00，x ＝0则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞)C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[－1，0]∪[1，＋∞)3.（2021.衡水中学高三第二次联合考试）若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．（2021.惠州第三次调研）已知a ＝22.1，b ＝2.12，c ＝ln 2.14，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a5．（2021.南通3月模拟）已知函数f （x ）＝x 2•e ﹣x ，g （x ）＝﹣x 3+2x 2﹣3x +c ．若对∀x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[1，3]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则c 的取值范围是（ ） A ．＜c ＜B ．≤c ≤C ．c ≤D ．c ≥6．（2021.苏北七市一模）已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为（） A ．1 B ．2 C ．52 D ．1747．（2021.连云港高三下学期期初调研）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是 A ．α＜β B ．α＞β C ．α＝β D ．无法确定8．已知函数()()402log 10x a e a x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，在定义域上单调递增，且关于x 的方程()2f x x =+恰有一个实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．114⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ． 114e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ． 11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ． (0，1)9.（2021.镇江10月调研）已知函数ln , 1()11, 14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，()g x ax =，若方程()()g x f x =恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1e ) B ．[14，1e ) C ．(0，14] D ．(14，1e) 10.（2021徐州9月调研）定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是A ．{x |x ≠±1}B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)11.（2021.金陵中学10月调研）已知点P 为函数21()22f x x ax =+与2()3ln g x a x b =+(a ＞0)的图象的公共点，若以点P 为切点可作直线与两个函数的图象都相切，则实数b 的最大值为A ．232e 3B ．233e 2C ．322e 3D ．323e 212.（2021.淮安市五校联考）已知函数有两个极值点，则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.13（2021.常州市新桥高级中学高三年级第一学期第一次学情调研）已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-二.多选题14．(2021.惠州第三次调研）函数f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝e ﹣x （x ﹣1），下列结论正确的有（ ）A ．当x ＜0时，f （x ）＝e x （x +1）B ．函数f （x ）有且仅有2个零点C ．若m ≤e ﹣2，则方程f （x ）＝m 在x ＞0上有解D ．∀x 1，x 2∈R ，|f （x 2）﹣f （x 1）|＜2恒成立15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x 的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是A. 是偶函数B. 是奇函数C.在上是增函数D.的值域是16.（2021.苏州八校10月联考）关于函数2()ln f x x x=+，下列判断正确的是 A ．x ＝2是()f x 的极大值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且1x ＞2x ，若12()()f x f x =，则124x x +>17．（2021.南通3月模拟）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝e x （x +1），则下列命题正确的是（ ）A ．当x ＞0时，f （x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1）B ．函数f （x ）有3个零点C ．f （x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜218．（2021.常州期初联考）设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[﹣a ，a ]⊆D ，且对任意的1x ∈[﹣a ，a ]，总存在2x ∈[﹣a ，a ]，使得12()()1f x f x ⋅-=，称函数()f x 为P(a )函数，则下列结论中正确的有A ．函数()3x f x =是P(1)函数B ．函数3()f x x =是P(2)函数C ．若函数12()log ()f x x t =+是P(2)函数，则t ＝4D ．若函数()tan f x x b =+是P(4π)函数，则b ＝三．填空19.（2021.天一中学模拟）对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根.记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =____________；设数列{}n a 的前n 项和为n S 则=___.20．（2021.常州期初联考已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是 ．21.（2021.金陵中学10月调研）已知函数ln , 0e ()2ln , e x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ．22. （2021.常州市新桥高级中学高三年级第一学期第一次学情调研）已知函数3()1f x x ax =-+，()32g x x =-，若函数(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．23.（2021.镇江10月调研）已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=（其中e 是自然对数的底数），则αβ ＝ ．24.（2021.苏州二模）已知函数1()112f x x x x =-++-，若函数()()g x f x b =-恰有四个零点，则实数b 的取值范围是 ．25.（2021.盐城一模）罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：22331x y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S 2（选填“＞”、“＜”或“＝”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 ．（第一空2分，第二空3分） 26．（2021.无锡质量调研）若ln 1x ax b x+≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当a =0时，b 的最小值为 ；当a >0时，ba的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分)27（2020•苏教版）已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ．函数与导数压轴小题解析一．单选1.（2021.湖北七市联考）已知函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >且()'()0f x f x +<（'()f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ）A. ()(1)()f a a f b >+B. ()(1)()f b a f a >-C. ()()af a bf b >D. ()()af b bf a >【答案】C 【解析】【详解】令()()()(()())0x x g x e f x g x e f x f x =∴='+<'()()()()()()0()a b b a f a g a g b e f a e f b f x e f b -∴>∴>>∴> 取2b =，则321(),12()f b ba e a f a a-=<<-<∴ B,D 错； 因12b ab eeb -->> ，所以2()()()()b a f a be b af a bf b f b a->>=⇒> ，所以C 正确. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 2.（2021.苏锡常镇一模）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－16x，x ≠00，x ＝0则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞)C ．[－1，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[－1，0]∪[1，＋∞) 【答案】B【考点】分段函数中函数的性质应用：求解不等式【解析】由题意，不妨求(x ＋1)f (x )≥0 ①当x ＝－1或0时显然成立；②当1-<x 时，可有0163≤-xx ，可解得x ≤－2； ③当01≠->x x 且时，可有0163≥-xx ，可解得－1＜x ＜0或x ≥2； 所以x ∈(－∞，－2]∪[－1，0]∪[2，＋∞)则原不等式的解为x ∈(－∞，－1]∪[0，1]U [3，＋∞)，故答案选B3.（2021.衡水中学高三第二次联合考试）若不等式1cos cos308m x x --≤对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A.9,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B.(],2-∞-C.9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦答案：A【解析】因为0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()cos 0,1,x ∈ 原不等式可变形为()11cos3cos 288cos cos x x x mx x +++== 21cos cos2sin sin2184cos 3.cos 8cos x x x x x xx-+=+-令()cos 0,1,t x =∈则()()2143,8g t t g t t='+-= 33322211641488888t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==⨯=⨯22114416t t t t ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时(),0,g t '<()g t单调递减;当1,14t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()(),0,g t g t>'单调递增，所以()19. 44g t g ⎛⎫=-⎪⎝⎭又min(),m g t所以9.4m-4．（2021.惠州第三次调研）已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln2.14，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】构造函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，利用函数图像可知f（2.1）＞g（2.1），所以a＞b＞4，再利用对数函数的性质得到c＜4，从而得到a，b，c的大小关系．解：构造函数f（x）＝x2，g（x）＝2x，由函数图像可知：在x∈（2，4）时，x2＞2x，即f（2.1）＞g（2.1），∴2.12＞22.1＞22＝4，又∵ln2.14＝4ln2.1＜4lne＝4，∴b＞a＞c，故选：C．5．（2021.南通3月模拟）已知函数f（x）＝x2•e﹣x，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c．若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[1，3]，使f（x1）＝g（x2）成立，则c的取值范围是（）A．＜c＜B．≤c≤C．c≤D．c≥解：f（x）＝x2•e﹣x，x∈（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，故f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，故f（x）max＝f（2）＝，而x→0时，f（x）→0，x→+∞时，f（x）→+∞，故f（x）∈（0，]，g（x）＝﹣x3+2x2﹣3x+c，g′（x）＝﹣（x﹣3）（x﹣1），令g′（x）＞0，解得：1＜x＜3，故g（x）在[1，3]递增，而g （x ）min ＝g （1）＝﹣+c ， g （x ）max ＝g （3）＝c ， 故g （x ）∈[﹣+c ，c ]，若对∀x 1∈（0，+∞），∃x 2∈[1，3]，使f （x 1）＝g （x 2）成立， 则（0，]⊆[﹣+c ，c ]，故，解得：≤c ≤，故选：B ．6．（2021.苏北七市一模）已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为（） A ．1 B ．2 C ．52 D ．174答案：C解析：y =lnx 的定义域为 （0，+∞），x y 1,=,在A 点处切线斜率为x 11，故在A 点处的切线方程为),(1111x x x y y -=-即1111-+=y x x y ，同理可得在B 点处1122-+=y x x y ，又因为在A,B 处的切线分别与曲线x e y =相切与C,D两点，,1,12143x e x e x x ==且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=111124241313y x x y y x x y 且),(),(443343x x e y y x x e y y x x -=--=-由此可得，25221,21121212143=+=+=⋅=⋅y y x x x x y y 7．（2021.连云港高三下学期期初调研）定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是A ．α＜βB ．α＞βC ．α＝βD ．无法确定 答案：B解析：因为g(x),=1,令g(x)=g(x),接得α=1，又ℎ(x),=1x+1,结合ℎ(x),和h(x)图相可知，β<1，所以α>β。

1高斯函数

1高斯函数

第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。

2024-2025学年天津市南开中学高三(上)统练数学试卷(6)(含答案)

2024-2025学年天津市南开中学高三(上)统练数学试卷(6)(含答案)

2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（6）一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ={−2,−1,0,1,2,3}，N ={x|2x−1>0}，则M ∩N =( )A. {2,3} B. {1,2,3}C. {0,1,2,3}D. {−2,−1,0,1,2,3}2.记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }为递增数列”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=(x−1x )cosx B. f(x)=(x +1x )sinx C. f(x)=(x +1x )ln |x|D. f(x)=(x +1x )cosx4.设a =(35)0.5，b =(53)0.4，c =lo g 53(sin3)，则( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b5.下列说法错误的是( )A. 线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强B. 独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高D. 甲、乙两个模型的决定系数R 2分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好6.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1a n <1，若a 3+a 5=20，a 3a 5=64，则S 4=( )A. 63或126B. 252C. 120D. 637.已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2，S n +1+S n−1=2S n +log 2(1+1n )(n ≥2,n ∈N ∗)，则a 8=( )A. 22B. 3C. 4D. 428.将函数g(x)=cos (ωx +π12)(ω∈N ∗)的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，若f(x)在(0,π2)上只有一个极大值点，则ω的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 59.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(−x)，且当x ∈[0,12]时，f′(x)>π，则不等式f(x)≤sinπx 在[−32,32]上的解集为( )A. [−1,0]∪[1,32]B. [−12, 32]C. [−12, 1]D. [−32,−1]∪[0,1]二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

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对于正整数n,设n x 是关于x 的方程n n x x n n 3log 1212+=-+的实数根。

记[]n
x n a 21
=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则=1a ，设数列{n a }的前n 项和为n s ，则2020s = 。

解：由已知条件n n x x
n n 3log 1212+=-+，定义域为()∞+，0，可得， 当n=1时，4log 122=-x x ，记()x x
x f 22log 1-=，则()()x f f f 又,521,11=⎪⎭⎫ ⎝⎛=在()∞+，0单调递减，故方程
4log 122=-x x 的实数根1x 需满足1211〈〈x ; 当n=2时，10log 1232=-x x ，记()2
32log 1x x x f -=，则
1011293log 931,104log 421233〉=+=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛〈+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，又()x f 在()∞+，0单调递减，故方程10log 1232=-x x 的实数根2x 需满足2
1312〈〈x ; 依此类推，有n x n 11n 1〈〈+。

故有21212+〈〈n x n n ，又[]n
x n a 21=，故有3,2,1,07654321=======a a a a a a a ..............1010,1009202020192018===a a a ，可记2019,...,5,3,1202020191010653432211=+==+==+==+=a a b a a b a a b a a b ，由n b 成等差数列，前n 项记为n T ，有(),10102201911010s 210102020+⨯=
=T 故有10102020=s
12. 已知斜率为ｋ（ｋ＞０）直线ｌ过抛物 线Ｃ： 的焦点Ｆ，与抛物线Ｃ交于
Ａ，Ｂ两点，过Ａ，Ｂ作ｘ轴的垂线，垂足 分别为 ，若 ，则直线ｌ的斜率 等于
解：设 到直线ｌ的距离分别为 ，
直线ｌ的方程为：23x +=ky ，
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+=x y ky 623x 2可得9,6,0962-==+∴=--B A B A y y k y y ky y ，
x 6y 2=2s 11=∆∆ABA ABB S 11,B A 21,d d 11,B A
由已知条件可得
由A B B A B A y y y y k y y 29,6-=-==+，解得ｋ＝42，
2y s 11d 112111=====∆∆A B F A F B d ABA ABB y AA BB S。

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